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Disciplina Matemática
Marcelo Haubert
Data:12/06/2014
Trigonometria – Equações, Operações,
Funções, Relações e Identidades
Lista de Exercícios
Equações Trigonométricas 10. Considere os gráficos abaixo e dê a lei da função, o
1. Resolva as equações abaixo:
domínio, imagem e período: (Obs.: Gráficos sem escala)
5
a)sen x= 3 , no intervalo [0, 2π] b)cos x = 3 , no intervalo [0, π]
2
2
4
c)tg x= − 3 , no intervalo [0, 6π] d)sen x =1, no intervalo [0, 360º]
3
3
2
e)cos x= -1, no intervalo [0, 180º] f)tg x = 0, no intervalo [0, 450º] a)
h)sen x = − 1
i)tg x = 1
g)cos x = − 2
2
1
2
π /6
Operações com Arcos(Ângulos)
2. (UFES)Se x = 105º, então sen x é:
a) 6 2 − 2 b) 6 3 − 7 c) 7 3 − 5 d) (3 + 2 ) 3 e) (1 + 3) 2
4
8
8
8
4
π /3
π/2
2 π /3
π/2
π
3 π/2
−1
1
3.
O valor de sen 105º - cos 345º é:
a) 0 b) − 2 − 6 c) 2 + 6
d) 2 + 6
e)1
b)
4
2
4
4. (UEPG-PR)O sen de 435º vale:
a) − 2 − 6 b) 2 + 6 c) 2 − 6
2
2
4
− 2− 6
2+ 6
e)
d)
4
4


5. Simplificando a expressão  sen( a + b ) + sen( a − b )  resulta:
 cos( a + b ) + cos( a − b ) 


c)
a)cot a b)tg a c)tg b d)cot(a+b) e)sen a
2
6. Se y = 4 cos 15º.cos 75º, então y vale:
a) 1
b) 1/4
c) 1/2
d) 3/4
e) 2
7. O valor de tg 75º é
a) 2
b) -4 c)
5 + 7 d)
3 + 7 e) 2 + 3
8.
3 +7
e) 8 3 + 7
4
Funções Trigonométricas - Gráficos e Aplicações
9. Faça um esboço do gráfico das funções abaixo indicando o d)
domínio, imagem e período.
a) y = 8+4sen(x) b) y = 8 cos(4x) c) y = 2 + sen(x + π/9)
b) -4
c) 2 + 3
1
π /4
π /2 3 π /4
π
5 π /4 3 π /2 7 π /4
2π
9 π /4
−1
−2
−3
d)
d) y = 2 + 8cos(x + π/5) e) f(x) = 8 + 5sen(10x)
f) f(x) = 4 + 5sen(x-π/4) g) f(x) = 3 - 8sen(6x)
h) f(x) = 1 + 5cos(10x) i) f(x) = 9 + 8sen(1/5x)
j) f(x) = 10 + 5cos(1/2x) k) f(x) = 10 + 5cos(π/4x) x é nº de dias
(Dica: quando o “c” tem π o período é dado pelo dobro do
denominador. Se o “c” tiver 2π/nº ímpar, o período será o
denominador e no eixo x não estará mais representando
ângulos e sim outra escala de tempo que deve ser indicada)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
−1
2
O valor de cot 15º é
a) 8
− π/2
f(x) = 8 + 30sen(π/20x) x é nº horas
f(x) = -5 + 10cos(2π/9x) x é nº de meses
f(x) = -20 + 2 cos (π/8x) x é nº de horas
f(x) = 80 + 14 sen (π/4x) x é nº de segundos
f(x) = 50 - 6 sen (π/4x) x é nº de minutos
f(x) = 30 + 8cos(2π/15x) x é nº de dias
1
π/1 2
π/6
π/4
π/3
11. (DOM BOSCO 08/2-7)A imagem da função definida por
y = 1 + 2cos x é o intervalo:
b) [ 0, 3]
c) [-1,3]
d) [1, 3]
e) IR
a) [-1, 1]
12. (FEEVALE 08/2-41)No gráfico abaixo, que representa a
variação do nível do mar, são mostradas as alturas das marés
alta e baixa. O eixo x é o tempo em h e y é a altura em m. Nas
funções circulares referidas, os arcos são expressos em
radianos.
A função que representa o
gráfico acima é:
a) y = 4 – 2 sen x.
b) y = 4 + 2 cos x.
c) y = 3 – sen x.
d) y = 2 + tg x.
Av. Sebastião Amoretti 2130-A/Taquara – RS/CEP: 95600-000/Fone: (51) 3541-6800/www.iacs.org.br/[email protected]/[email protected]
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Lista de Exercícios
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Trigonometria – Equações, Operações,
Funções, Relações e Identidades
e) y = 2 – 2 cos x.
19. (UCS 08/1-7)A corrente elétrica i, em ampères, em um
13. (UFCSPA 07-68)Dada a função f definida por f(x) = circuito, é dada em função do tempo t, em segundos, por
i(t)=kcos(π/60t), em que k é uma constante real. Se no instante t
12sen(x)cos(x)cos(2x), o valor de f  π  é
= 20s a corrente era 0,125 ampères, então a constante k é igual
 12 
a ____, e a corrente no circuito no instante t = 100s será de
____________ ampères.
a) 3 3 b) 3 3 c) 3 d)1 e)0
Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente
2
2
14. (UFCSPA 08-65)Se f(x)=a+b.senx tem o gráfico abaixo, as lacunas acima.
0,25 -0,125
então
a)
b) 0,125-0,125
c) 20-10
3
a)a = 1 e b = -2
d) 0,25-0,25
e) 0,25-0,125
b)a = -1 e b = 2
20. (UFSM
2006-2)Sobre
a
c) a = 1 e b = -1
função representada no gráfico é
d) a = 2 e b = 2
correto afirmar:
e) a = -1 e b = -2
15. (PUCRS 08/1-50)A representação gráfica da função f dada
por f(x)=2sen(x+π/2)-2 é
e) A função é y = 3 sen
a) O período da função é 2π. b)
O domínio é o intervalo [-3, 3].
c) A imagem é o conjunto IR. d)
A função é par.
x
.
2
21. (UFSM 2007-15)Uma gráfica que confeccionou material de
campanha determina o custo unitário de um de seus produtos,
em reais, de acordo com a lei C(t) = 200+120.sen (π.t/2), com t
medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximo e
mínimo desse produto são
a)
b)
c)
a)320 e 200 b)200 e 120 c)200 e 80 d)320 e 80 e)120 e 80
22. (UFSM 2008-10)Em determinada cidade, a concentração
diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmosfera é
medida pela função C(t) = 3 + 2sen(πt/6), em que t é a
quantidade de horas para fazer essa medição. O tempo mínimo
necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de
d)
e)
fósforo é de
16. (PUCRS 08/2-43)A representação da função dada por a) 1/2 hora. b) 1 hora. c) 2 horas. d) 3 horas. e) 4 horas.
y = f(x) = Asen(Ax) com A em IR e x ∈[0;2π] tem como imagem
Relações Trigonométricas
[-2, 2]. O número de vezes que a curva intercepta o eixo “x” é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
23. Se sen x = 4/5 e x ∈ [0 , π/2], o valor de cos x é
17. (PUCRS 09/1-42)Em uma animação, um mosquitinho a) 3/5
b) 3/4
c) -3/5 d) -3/4 e) 5/4
aparece voando, e sua trajetória é representada em um plano 24. (UDESC)Considerando que cos x = 2/5, podemos ter
onde está localizado um referencial cartesiano. A curva que
3
3
3
1
d) sen x = − e tgx = −
fornece o trajeto tem equação y = 3cos(bx + c). O período é 6π, a) sen x = e tgx =
5
2
5
5
o movimento parte da origem e desenvolve-se no sentido
21
positivo do eixo das abscissas. Nessas condições, podemos b) sen x = 21 e tgx = − 2
e) sen x = 21 e tgx =
5
afirmar que o produto 3.b.c é
21
2
5
a) 18π
b) 9π
c) π
d) (π2)/2
e) π/2
3 e
2
tgx =
18. (UCS 07/2-01)A equação para a posição é s= A sen(ωt + ρ0) c) sen x = 5
3
e para a velocidade é v = Aωcos(ωt + ρ0), em que: A denota
25. (UNISINOS)Se sec x = 3/2 e x é um ângulo do 4º
amplitude da onda; w denota velocidade angular; e r0 denota
quadrante, então é correto afirmar que:
ângulo de rotação em t = 0.
Para um pêndulo em movimento harmônico, com A = 0,5 m, a) sen x = 2/3 c) sen x = − 5 3 e) cos x = 2/5
ω = (π/6)rad/s e ρ0 =(π/4) , em relação à posição s e à b) sen x = 5 3 d) cos x = -2/3
velocidade v, no instante t = 5 segundos, é correto afirmar que
26. (UPF) Num ciclo trigonométrico, o seno do ângulo θ vale
a) s > 0 e v > 0 b) s < 0 e v > 0 c) s < 0 e v < 0
2/7, e o ângulo pertence ao segundo quadrante. O valor da
d) s > 0 e v < 0. e) s < 0 e v = 0.
expressão tg θ - sec θ é
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Funções, Relações e Identidades
Lista de Exercícios
a) 3 5 7
b) 2/15
c) -3/15 d)
5 3
e) 2/5
f)
27. Sendo sen x = -3/5 e π < x < 3π , calcule:
2
a) cotx
b) sec x c) tg x
28. Dado cos x = -1/4 e
π
2
sec2 x − 1
− sen2 x = 0
2
tg x + 1
g)
sen x + cot x
= cot 2 x
csc x
h) (sec x - cos x).(csc x - sen x).(tg x + cot x) -1=0
< x < π , o valor de sen x + tg x é
Respostas/Gabarito
3π
, o valor de y=cosx–senx 1a)60º(π/3) e 120º(2π/3)
2
1b)30º(π/6)
é
1c)150º(5π/6),330º(11π/6),510º(17π/6),690º(23π/6),870º(29π/6)
a) 5
b) 3
c) -8
d) 1/8
e) -1/5
e 1050º(35π/6)
30. (PUCRS) Sendo x um arco com extremidade no segundo 1d)90º(π/2) 1e) 180º(π) 1f) 0º(0),180º(π) e 360º(2π)
2
quadrante e sec x = -5/3, então 5 sen x –3tgx é igual a:
1g)x=135º(3π/4)+360º(2π).k, x=225º(5π/4)+360º(2π).k
a) -32/15 b) -36/5 c) -4/5
d) 4/5
e) 36/5
1h)x=210º(7π/6)+360º(2π).k, x=330º(11π/6)+360º(2π).k
2
31.
(UFPI)Se 90º < x < 180º e 2cos x+5senx-4=0 então tg x é 1i)x=45º(π/4)+360º(2π).k, x=225º(5π/4)+360º(2π).k
igual a:
2 E 3 A 4 E 5 B 6 A 7 E 8 C
a) - 3 /3 b) 3 /3 c) 1/2
d) - 2 /2 e) - 3
29. (FUVEST)Se tg x = 3/4 e π < x <
2
32. Calcule o valor de tg x sabendo que cos x = -4/5 e 90º < x <
180º
a)3/4 b)7/6 c)9/16 d)3/7 -8/5
Simplificações/Identidades
33. (UFRGS)Sabe-se que sen x = a ≠ 0 e que cos x = b ≠ 0.
Logo, tg x + cot x =
a +b
a)
ab
ab
b)
a +b
1
ab
c)
d)
2
2
ab
a +b
1
e)
2
a + b2
34. (UNOPAR)Efetuando-se (1 + cos x) . (1 – cos x), obtém-se:
2
a) 2
b) 1 – 2cosx c) 2cosx d) sen 2x e) sen x
35. (UFRGS)Para todo o x ∈ [-π/2 , π/2], o valor de
2
2
(sen x – 1) . (tg x+1) é
2
2
c) 1
d) cos x
e) -sec x
a) -1 b) 0
36. (UFCE)Para todo o x ∈ 1º Quadrante, a expressão
2
(sec x – tg x) . (sec x + tg x) - sen x é igual a
2
2
c) 1 + sen x
e) 1
a) cos x
b) cos x – sen x d) sec x + cos x
37. (UEL)Para todo número real x, tal que 0 < x < π/2, a
expressão
(sec x + tg x) / (cos x + cot x) é
equivalente a
c) cos x . tg x
e) sen x . tg x
a) sen x . cot x
d) sec x . tg x
b) sec x . cot x
38. (FAENQUIL-SP)Simplificando
a
expressão
9a) As questões de gráfico serão corrigidas em aula
11
18
25
C
C
C
12
19
26
B
E
D
13
20
27
A 14 E 15
E 21 D 22
a)4/3 b)-5/4 c)3/4
C
B
28
30
37
E
D
31
38
A
A
32
39
C
E
33
2
D
34
16
23
E
A
−3 15 / 4
35
A
17
24
29
E
E
E
36
A
a) sec x = tg x(Falso),
b) sen x = 2 / 2 (Falso pois só funciona qdo x =π/4)
c) Verdadeira
d) sec x = sen x(Falso)
e) Verdadeira
f) Verdadeira
4
g) sen x = cot x(Falso)
2
h) sec x = 1 (pois só funciona para alguns x)
1
 sen a.tga. csc a  2 , obtém-se


 cos a. cot a. sec a 
a) tg a
c) sec a
e) sen a
d) csc a
b) cot a
39. Verifique quais expressões abaixo são verdadeiras:
a)
csc x. sec x
2
1 + cot x
= tgx
2
b) tg x.(csc x-1)= tg x
2
2
c) (sec x - tg x).(sec x + tg x) - sen x = cos x
d)
tgx + cot x
= sen x
csc x
e)
2 − sen2 x
cos2 x
− tg2 x = 2
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