Universidade Presbiteriana Mackenzie Curso de Engenharia Elétrica Práticas de Engenharia Elétrica II Notas de Aula Prof. Marcio Eisencraft Primeiro semestre de 2006 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Universidade Presbiteriana Mackenzie Práticas de Engenharia Elétrica II Professor Marcio Eisencraft ([email protected]) 2° semestre 2005 1. Objetivos Apresentar uma introdução à modelagem de sinais e sistemas através de variáveis aleatórias e processos estocásticos. Estes conceitos são muito importantes para o Engenheiro Elétrico atual sendo aplicado em diversas áreas como: o Telecomunicações; o Automação e Controle (Controle estocástico) o Projeto e dimensionamento de redes de computadores o Projeto e dimensionamento de redes de Distribuição de energia o Estudos de Engenharia biomédica o Mercados financeiros. 2. Metodologia das aulas Aulas expositivas utilizando transparências e quadro negro. 3. Conteúdo programático O curso abordará: 1. Probabilidades (PEEBLES, 1993; p. 1-38) 2. A Variável Aleatória (PEEBLES, 1993; p.39-74). 3. Operações sobre uma variável – Esperança (PEEBLES, 1993; pp. 75-99). 4. Múltiplas variáveis aleatórias (PEEBLES, 1993; p. 100-133). 5. Operações sobre múltiplas variáveis (PEEBLES, 1993; p. 134-162). 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 6. Processos aleatórios (PEEBLES, 1993; p. 163-198). 4. Avaliação A média do aluno será formada por três provas (P1, P2 e PAF). A média final será calculada como: MF = P1 + P 2 + 2 PAF 4 As provas serão realizadas no horário das aulas nos seguintes dias: PROVA Turma 10F (5ª feira) Peso P1 22/09 Peso 1 P2 27/10 Peso 2 PAF A ser definida Peso dois 5. Bibliografia As notas de aula do curso estão organizadas aula a aula e estão disponíveis na página do curso http://meusite.mackenzie.com.br/marcioft/. Livros que serão usados durante o semestre: COSTA NETO, P. L. O. Probabilidades: resumos teóricos, exercícios resolvidos, exercícios propostos [por] Pedro Luiz de Oliveira Neto [e] Melvin Cymbalista. São Paulo: Edgard Blücher, 1993. DEVORE, J. L. Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 6th edition, New York: Duxbury, 2003. HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Probability, random variables, and random processes, New York: McGraw-Hill, 1997. 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Analog and Digital Communications. 2nd edition, New York: McGraw-Hill, 2003. KAY, S. M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. New Jersey: Prentice Hall, 1993. LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford University, 1998. MONTGOMERY, D. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros, 2ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2003. PAPOULIS, A.; PILLAI, U. Probability, random variables and stochastic processes. 4th edition, New York: McGraw-Hill, 2002. PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. 5. Exemplos de questões a serem debatidas no curso 1. (PEEBLES, 1993; p.69) A central de um sistema de intercomunicação provê música para seis quartos de um hospital. A probabilidade de que cada quarto seja ativado e consuma potência a qualquer instante é 0,4. Quando ativado, o quarto consome 0,5W. (a) Encontre e faça um gráfico das funções distribuição e densidade para a variável aleatória “potência fornecida pela central”. 3 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 (b) Se o amplificador da estação principal fica sobrecarregado quando mais do que 2W é necessário, qual a probabilidade de sobrecarga? 2. A potência refletida por uma aeronave com um formato complexo é recebida por um radar e pode ser descrita por uma variável aleatória exponencial P . A densidade de P é, portanto, ⎧ 1 − PP ⎪ e 0, P>0 f P (P ) = ⎨ P0 ⎪ , caso contrário ⎩0 em que P0 é o valor médio da potência recebida. Em um instante particular, P pode ter um valor diferente do seu valor médio. Qual a probabilidade de que a potência recebida seja maior do que o seu valor médio? 3. Uma tensão aleatória X tem densidade gaussiana segundo f X (x ) = 1 2πσ X2 − e ( x − a X )2 2σ X2 Esta tensão é aplicada a um amplificador linear que gera em sua saída a tensão Y = T ( X ) = aX + b . Determine a função densidade de probabilidade de Y , f Y ( y ) . 4. (PEEBLES, 1993; p.173) Num sistema de controle, sabe-se que uma tensão aleatória X tem média X = m1 = −2 V e momento de segunda ordem 2 X 2 = m2 = 9 V . Se a tensão X é amplificada por um amplificador que for- nece como saída Y = −1,5 X + 2 encontre σ X2 , Y , Y 2 , σ Y2 e R XY . 5. (HSU, 2003; p. 149) Todos os dispositivos e máquinas produzidos falham mais cedo ou mais tarde. Se a taxa de falha é constante, o tempo até uma 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 falha T é modelado por uma variável aleatória exponencial. Suponha que se descobriu que uma classe particular de chips de memória para computadores tem uma lei de falha exponencial dada por: fT (t ) = ae − at u (t ) , com t em horas. (a) Medidas mostraram que a probabilidade de que o tempo de falha exceda 104 horas para chips desta classe é de e −1 ( ≈ 0,368 ). Calcule o valor do parâmetro a para este caso. (b) Usando o valor do parâmetro a determinado na parte (a), calcule o tempo t 0 tal que a probabilidade de que o tempo de falha seja menor do que t 0 seja de 0,05. 6. (PEEBLES, 1993; p. 71) Uma linha de produção fabrica resistores de 1000Ω que devem satisfazer uma tolerância de 10%. (a) Se a resistência é descrita adequadamente por uma variável aleatória gaussiana X com a X = 1000 Ω e σ x = 40 Ω, qual fração de resistores espera-se que seja rejeitada? (b) Se a máquina não está ajustada corretamente, os resistores produzidos passam a ter a X = 1050 Ω (5% de erro). Qual fração será rejeitada agora? 7. (GIROD et al., 2003; p. 224) A figura a seguir mostra dois processos aleatórios A e B que possuem valores esperados idênticos. Porém, as funçõesamostra do processo A variam mais lentamente no tempo do que as do processo B . O que pode se esperar das funções de autocorrelação dos processos A e B ? 5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 1 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 6 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Aula 2 - Probabilidades - Definição Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford University, 1998. 1. Probabilidades 1.0. Introdução ao curso e ao capítulo Ö Os objetivos principais deste curso são introduzir os princípios de sinais aleatórios e prover as ferramentas através das quais pode-se lidar com sistemas envolvendo tais sinais. Ö Para chegar a esses objetivos, talvez a primeira coisa que deve ser feita é definir o que é um sinal aleatório: Sinal aleatório (ou randômico) é uma forma de onda que pode ser caracterizada apenas de uma maneira probabilística. Em geral, pode ser uma forma de onda desejada ou não. Exemplos: O ruído de fundo ouvido quando escutamos uma rádio. A forma de onda causadora do ruído, se observada em um osciloscópio, apareceria como uma tensão flutuando aleatoriamente com o tempo. Ela é indesejável já que interfere com nossa habilidade de ouvir o programa de rádio e é chamada de ruído. Num sistema de televisão, o ruído aparece na forma de interferência de imagem, freqüentemente chamada de “snow”. Num sistema sonar, sons do mar gerados de forma aleatória geram ruídos que interferem com os ecos desejados. 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Bits em uma comunicação entre computadores parecem flutuar aleatoriamente com o tempo entre os níveis zero e um gerando um sinal aleatório. A saída de tensão em um gerador eólico é aleatória por cauda da variação randômica da velocidade do vento. A tensão de um detector solar varia aleatoriamente devido à imprevisibilidade das condições das nuvens e do tempo. A tensão de um analisador de vibração acoplado a um carro dirigido sobre um terreno irregular Para definir precisamente as características de um sinal aleatório precisamos dos conceitos da teoria das probabilidades. 1.1. Definições de conjuntos Um conjunto é uma coleção de objetos. Os objetos são chamados de elementos do conjunto. Existem dois modos para especificar os elementos de um conjunto: o método tabular – todos os elementos são enumerados explicitamente. Exemplo: {6; 7; 8; 9} . o método da regra – o conteúdo do conjunto é determinado por uma regra. Exemplo: {inteiros entre 5 e 10}. Um conjunto é dito enumerável se seus elementos podem ser postos em correspondência 1-a-1 (biunívoca) com os números naturais. Caso contrário será não-enumerável. Um conjunto é dito vazio ( φ ) se não possui elementos. Um conjunto finito é aquele que contém um número finito de elementos. Caso contrário será infinito. Dois conjuntos, A e B, são disjuntos ou mutuamente exclusivos se não têm nenhum elemento em comum. 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Exercícios 1. Os conjuntos a seguir representam os possíveis valores que podem ser obtidos na medição de certa corrente: A = {1; 3; 5; 7} D = {0} } B = {1; 2; 3; C = {0,5 < c ≤ 8,5} E = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} F = {− 5 < f ≤ 12} Determine se são finitos ou não, enumeráveis ou não e especificados de forma tabular ou por regra. 2. Ainda com relação aos conjuntos do exercício anterior, diga se é verdadeiro ou falso: (a) A ⊂ B (d) C ⊂ F (b) A ⊂ C (e) D ⊄ F (c) A ⊄ F (f) E ⊂ B 3. Escreva todos os pares de conjuntos que são mutuamente exclusivos. o O conjunto que contém todos os objetos em discussão é chamado de conjunto universo ( S ). Exercício 4. Suponha que se considere o problema de jogar um dado. Estamos interessados nos números que aparecem na face superior. Pede-se: (a) Escreva o conjunto universo S de todos os resultados possíveis. (b) Num jogo, suponha que uma pessoa ganhe se sair um número ímpar. Escreva o conjunto A dos resultados que interessam a esta pessoa. 3 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 (c) Suponha que uma outra pessoa vence se sair um número menor ou igual a 4. Escreva o conjunto de todos os resultados que interessam a esta pessoa. (d) Quantos subconjuntos de S existem? 1.2. Operações com conjuntos Igualdade e diferença o Dois conjuntos A e B são iguais se todos os elementos de A estão presentes em B e vice-versa. o A diferença de dois conjuntos A − B é o conjunto contendo todos os elementos de A que não estão em B . União e intersecção o A união de dois conjuntos ( A ∪ B ) é o conjunto de todos os elementos pertencentes a A , B ou ambos. o A intersecção de dois conjuntos ( A ∩ B ) é o conjunto de elementos comuns a A e B . Se A e B forem mutuamente exclusivos, A ∩ B = φ . Complemento o O complemento de um conjunto A , denotado por A é o conjunto de todos os elementos que não estão em A . Exercício 5. Dados os conjuntos: S = {1 ≤ inteiros ≤ 12} B = {2; 6; 7; 8; 9; 10; 11} A = {1, 3, 5, 12} C = {1; 3; 4; 6; 7; 8} pede-se: (a) A ∪ B (d) A ∩ B (g) A (b) A ∪ C (e) A ∩ C (h) B (c) B ∪ C (f) B ∩ C (i) C 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Álgebra de conjuntos o Valem as propriedades comutativa, distributiva e associativa para união e intersecção. 1.3. Probabilidade introduzida através de conjuntos Experimentos e espaços amostrais o Espaço amostral: conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Símbolo: S . Espaços amostrais discretos e contínuos o O espaço amostral é dito discreto se S é enumerável. O espaço amostral é dito contínuo se S é não-enumerável. Eventos o Um evento é definido como um subconjunto do espaço amostral. Como um evento é um conjunto, todas as definições e operações anteriores aplicadas a conjuntos se aplicam a eventos. Por exemplo, se dois eventos não têm resultados comuns eles serão mutuamente exclusivos. Definição de probabilidade e axiomas o A cada evento definido no espaço amostral S associa-se um número não negativo chamado de probabilidade. A probabilidade é, portanto uma função; é uma função dos eventos definidos. Adota-se a notação P( A) para a “probabilidade do evento A ”. o A probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas para quaisquer eventos definidos num espaço amostral S : 5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 2 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Axioma um: P ( A) ≥ 0 Axioma 2: P (S ) = 1 ⎛ N ⎞ N ⎠ n =1 Axioma três: P⎜⎜ ∪ An ⎟⎟ = ∑ P( An ) se Am ∩ An = φ ⎝ n =1 Modelo matemático de experimentos o Para resolver problemas de probabilidades são necessários 3 passos: (1) estabelecimento do espaço amostral (2) definição dos eventos de interesse (3) associar probabilidade aos eventos de forma que os axiomas sejam satisfeitos Exercício 6. Um experimento consiste em observar a soma dos números que saem quando dois dados são jogados. Determine a probabilidade dos seguintes eventos: (a) A = {soma = 7} (b) B = {8 < soma ≤ 11} (c) C = {10 < soma} 7. [PEEBLES, p. 30] Um dado é jogado. Encontre a probabilidade dos eventos A = {um número ímpar é obtido} , B = {um número maior do que 3 é obtido} , A ∪ B e A∩ B. 6 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Aula 3 - Probabilidade conjunta e condicional Independência estatística Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. Páginas 13 – 35. LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford University, 1998. Páginas 439 – 445. 1.4. Probabilidade conjunta e condicional Probabilidade conjunta Ö P( A ∩ B ) é chamada de probabilidade conjunta para dois eventos A e B que se interceptam no espaço amostral. Ö Estudando um diagrama de Venn, obtém-se: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) ≤ P ( A) + P (B ) . Portanto, P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) Para eventos mutuamente exclusivos, P( A ∩ B ) = φ e P( A) + P(B ) = P( A ∪ B ) . Probabilidade condicional Dado um evento B com probabilidade não-nula, define-se a probabilidade condicional de um evento A , dado B , como: P(A B ) = P( A ∩ B ) P (B ) 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Exercício 1. Em uma caixa existem 100 resistores tendo a resistência e a tolerância mostradas na tabela a seguir: Figura 1 – Resistores em uma caixa (PEBLES, 1993). Considere que um resistor é selecionado da caixa e assuma que cada resistor tem a mesma possibilidade de ser escolhido. Defina três eventos: A como “selecionar um resistor de 47Ω”, B como “selecionar um resistor com tolerância de 5%” e C como “selecionar um resistor de 100Ω”. A partir da tabela, determine as seguintes probabilidades: (a) P( A) (b) P(B ) (f) P(B ∩ C ) (g) P(A B ) (c) P(C ) (d) P( A ∩ B ) (h) P(A C ) (i) P(B C ) (e) P( A ∩ C ) Probabilidade Total Dado N eventos mutuamente exclusivos Bn , n = 1, 2, … , N , cuja união seja o espaço amostral S , a probabilidade de qualquer evento A pode ser escrita como: 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 P ( A) = ∑ P (A Bn )P (Bn ) N n =1 Figura 2 – N eventos mutuamente exclusivos Bn e A (PEEBLES, 1993). Teorema de Bayes O Teorema de Bayes, um dos mais importantes e usados na área de probabilidades e na teoria de estimação estabelece que: P(B n A) = P( A Bn )P(Bn ) P ( A) Usando a probabilidade total, 3 . Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 P (B n A) = P( A Bn )P(Bn ) P( A B1 )P(B1 ) + P ( A B2 )P(B2 ) + + P( A BN )P(BN ) . As probabilidades P(Bn ) são geralmente chamadas de probabilidades a priori já que são aplicadas a eventos antes de ocorrer o experimento. As probabilidades P(Bn A) são chamadas de a posteriori já que elas se aplicam quando um evento A é obtido. Exercício 2. Um sistema de comunicação binário elementar consiste de um transmissor que envia um de dois símbolos possíveis (1 ou 0) sobre um canal para o receptor. O canal ocasionalmente causa erros de forma que um 1 é detectado quando foi transmitido um zero e vice-versa. O espaço amostral tem dois elementos (0 ou 1). Denota-se por Bi , i = 1, 2 , como os eventos “o símbolo antes do canal é um” e “o símbolo antes do canal é zero”, respectivamente. Além disso, define-se Ai , i = 1, 2 , como os eventos “o símbolo depois do canal é um” e “o símbolo depois do canal é zero”, respectivamente. Assume-se que as probabilidades de que os símbolos um e zero sejam selecionados para transmissão sejam P(B1 ) = 0,6 e P(B2 ) = 0,4 . O seguinte diagrama mostra as probabilidades condicionais que descrevem o efeito que o canal tem sobre os símbolos transmitidos: 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Figura 3 – Sistema de comunicação binário simétrico [PEEBLES]. Pede-se: (a) as probabilidades de se receber um um e de receber um 0 P( A1 ) e P( A2 ) . (b) as probabilidades de acerto de bit P(B1 A1 ) e P(B2 A2 ). (c) as probabilidades de erro de bit P(B2 A1 ) e P(B1 A2 ) . 1.5. Eventos independentes Sejam dois eventos A e B tais que P( A) ≠ 0 e P(B ) ≠ 0 . Dizemos que estes eventos são estatisticamente independentes se a probabilidade de ocorrência de um evento não afeta a ocorrência do outro evento. Matematicamente, temos: P ( A B ) = P( A) e P (B A) = P(B ) Por substituição no teorema de Bayes, temos que, para eventos estatisticamente independentes, 5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) Cuidado: não confundir independência estatística com eventos mutuamente exclusivos. Dois eventos serem independentes significa que a ocorrência de um não depende, não é influenciado, pela ocorrência do outro. Dois eventos serem mutuamente exclusivos significa que um não pode ocorrer se outro ocorreu. Em suma, A e B Independentes: P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P(B ) A e B mutuamente exclusivos: P( A ∩ B ) = 0 Pelas definições, dois eventos não podem ser simultaneamente independentes e mutuamente exclusivos. Exercícios 3. Em um experimento, uma carta é selecionada de um conjunto comum de 52 cartas. Defina os eventos A como “selecionar um rei”, B como “selecionar um valete ou uma rainha” e C “selecionar uma carta de copas”. Pede-se: (a) Determine P( A) , P(B ) e P(C ) . (b) Determine as probabilidades conjuntas P( A ∩ B ) , P(B ∩ C ) e P( A ∩ C ) . (c) Determine se os pares A e B , A e C e B e C são estatisticamente independentes ou não. 4. Considere a retirada de quatro cartas de um conjunto com 52 cartas. Sejam os eventos A1 , A2 , A3 , A4 definidos como a retirada de um ás na primei6 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 ra, segunda, terceira e quarta tentativas. Determine a probabilidade conjunta P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) (ou seja, retirar quatro ases seguidos) nos seguintes casos: (a) cada carta é recolocada no baralho após ser retirada. (b) as cartas retiradas não são retornadas ao baralho. Em qual dos dois experimentos os eventos A1 , A2 , A3 , A4 são independentes? 1.6. Tentativas de Bernoulli Problema: Seja A com P( A) = p um evento elementar tendo um de dois possíveis resultados como elemento. Deseja-se repetir esse experimento N vezes e determinar a probabilidade do evento A ser observado k vezes nessas N tentativas. Esse experimento é chamado de tentativas de Bernoulli (“Bernoulli trials”). Pode-se mostrar que: ⎛N⎞ N −k P( A ocorrer exatamente k vezes) = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p ) , ⎝k ⎠ ⎛N⎞ N! . com ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ k ⎠ k!( N − k )! Quando N é muito grande, uma aproximação para a fórmula acima é a aproximação de De Moivre-Laplace: P( A ocorrer exatamente k vezes) = 7 ⎡ (k − Np )2 ⎤ 1 exp⎢− ⎥ ( ) 2 Np 1 − p 2πNp(1 − p ) ⎣ ⎦ Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 Exercícios 5. Um submarino deseja afundar um porta-aviões. Ele terá sucesso apenas se dois ou mais torpedos atingirem a embarcação. Se o submarino dispara três torpedos e a probabilidade de cada torpedo atingir o alvo é 0,4, qual a probabilidade do porta-aviões naufragar? 6. Em uma cultura usada para pesquisa biológica, o crescimento inevitável de bactérias ocasionalmente estraga os resultados de um experimento que requer pelo menos três de quatro culturas não estejam contaminadas para se obter um ponto de dado. Experiências mostram que cerca de 6 em cada 100 culturas são aleatoriamente contaminadas por bactérias. Se um experimento requer três pontos de dados, encontre a probabilidade de sucesso para um conjunto de 12 culturas (três pontos de dados usando quatro culturas cada). 7. Suponha que certa arma automática dispara balas por 3 segundos a uma taxa de 2400 por minuto e que a probabilidade de acertar um alvo seja 0,4. Encontre a probabilidade de que exatamente 50 balas atinjam o alvo. (Use a aproximação de De Moivre-Laplace). 8. (PEEBLES, 1993; p. 32) Uma companhia vende amplificadores de alta fidelidade capazes de gerar potências de 10, 25 e 50W. Ela tem em mãos 100 unidades de 10W das quais 15% são defeituosas, 70 unidades de 25W dos quais 10% são defeituosos e 30 dos de 50W dos quais 10% são defeituosos. (a) Qual a probabilidade de que um amplificador vendido entre os de 10W seja defeituoso? 8 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 3 – Professor Marcio Eisencraft – julho 2005 (b) Se cada amplificador de potência é vendido com mesma probabilidade, qual a probabilidade de uma unidade selecionada aleatoriamente ser de 50W e defeituoso? (c) Qual a probabilidade de uma unidade aleatoriamente selecionada para venda ser defeituosa? 9 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Aula 4 - Variáveis aleatórias Funções densidade e distribuição Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. Páginas 41 – 51. LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford University, 1998. Páginas 445 – 452. 2. A variável aleatória 2.0. Introdução Neste capítulo é introduzido um conceito que permite definir eventos de uma forma mais consistente. Este novo conceito é o de variáveis aleatórias e se constitui em uma poderosa ferramenta na solução de problemas probabilísticos práticos. 2.1. O conceito de variável aleatória Definição de uma variável aleatória Define-se uma variável aleatória real como uma função real dos elementos de um espaço amostral S . Representa-se uma variável aleatória por letras maiúsculas (como W , X ou Y ) e um valor particular que ela assume por letras minúsculas (como w , x ou y ). Assim, dado um experimento definido pelo espaço amostral S com elementos s , atribui-se a cada s o número real X (s ) de acordo com alguma regra e diz-se que X (s ) é uma variável aleatória. Variáveis aleatórias contínuas e discretas Uma variável aleatória é discreta se possui apenas valores discretos. 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Uma variável aleatória é contínua se abrange um contínuo de valores. Exercícios 1. Um experimento consiste em jogar um dado e uma moeda. Considere uma variável aleatória X tal que: (1) uma cara (H) corresponde a valores positivos de X que são iguais aos números que aparecem no dado e (2) uma coroa (T) corresponde a valores negativos de X cuja magnitude é o dobro do número que aparece no dado. Pede-se: (a) Represente o espaço amostral deste experimento; (b) Para cada evento s deste espaço amostral, determine X (s ) . 2. Um espaço amostral é definido pelo conjunto S = {1; 2; 3; 4} sendo as probabilidades de seus elementos P(1) = 4 3 7 , P(2) = e P(3) = . Definin24 24 24 do a variável aleatória X = X (s ) = s 3 , calcule as probabilidades: (a) P{X = 1} (b) P{X = 8} (c) P{X = 27} (d) P{X = 64} 3. Suponha que a temperatura de uma localidade seja modelada como uma variável aleatória contínua T que se sabe encontrar entre -5ºC e 35ºC. Além disso, considere que todos os valores {− 5 ≤ t ≤ 35} são igualmente prováveis. Calcule: (a) P{T ≤ 10} 2.2. (b) P{5 ≤ T ≤ 20} (c) P{T = 10} Função distribuição A probabilidade P{X ≤ x} é a probabilidade do evento {X ≤ x}. É um número que depende de x . Esta função, denotada por FX (x ) , é chamada de fun- 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 ção distribuição de probabilidade cumulativa da variável aleatória X . Assim, FX ( x ) = P{X ≤ x} Freqüentemente, FX (x ) é chamada de função distribuição de X . O argumento x é qualquer número real entre − ∞ e ∞ . Propriedades: (1) FX (− ∞ ) = 0 (2) FX (∞ ) = 1 (3) 0 ≤ FX ≤ 1 (4) FX ( x1 ) ≤ FX ( x2 ) se x1 < x2 (5) P{x1 < X ≤ x2 } = FX (x2 ) − FX (x1 ) Exercícios 4. Considere que X assuma valores discretos no {− 1; − 0,5; 0,7; 1,5; 3} . {0,1; 0,2; 0,1; 0,4; 0,2} . Determine e faça um gráfico de FX (x ) . 2.3. As probabilidades conjunto correspondentes são Função Densidade A função densidade de probabilidade f X (x ) é definida como a derivada da função de distribuição: dFX ( x ) f X (x ) = dx 3 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Freqüentemente, chama-se f X (x ) apenas de função densidade da variável aleatória X . Existência f X ( x ) existe desde que a derivada de FX ( x ) exista. No caso de variáveis aleatórias discretas, pode ser necessária a utilização de funções impulso δ (x ) = du (x ) para sua representação. dx Propriedades da função densidade (1) 0 ≤ f X ( x ) para todo x ∞ (2) (3) (4) ∫ f (x )dx = 1 X −∞ FX ( x ) = x ∫ f (ξ )dξ X −∞ P{x1 < X < x 2 } = x2 ∫ f (x )dx X x1 Exercícios 5. A tensão contínua X sobre um capacitor é uma variável aleatória cuja função densidade g X (x ) é dada na figura a seguir: 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Figura 2 – Função densidade triangular (PEEBLES, 1993). (a) Determine a para que g X (x ) seja uma função densidade. (b) Para o valor de a do item anterior, determine e esboce G X (x ) . 6. Suponha que uma tensão aleatória X tenha a densidade de probabilidade triangular do exercício anterior com x0 = 8 , α = 5 e a = 1 α = 1 . Determine a 5 probabilidade P{4,5 < X ≤ 6,7}. 7. A quantidade acessos normalizada a um servidor durante um dia é descrita por uma variável aleatória X que tem distribuição: −x ⎡ FX ( x ) = u ( x )⎢1 − e b ⎢⎣ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ Determine a função densidade f X (x ) . 8. (PEEBLES, 2001, p.69) A central de um sistema de intercomunicação provê música para seis quartos de um hospital. A probabilidade de que ca5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 4 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 da quarto seja ativado e consuma potência a qualquer instante é 0,4. Quando ativado, o quarto consome 0,5W. (a) Encontre e faça um gráfico das funções distribuição e densidade para a variável aleatória “potência fornecida pela central”. (b) Se o amplificador da estação principal fica sobrecarregado quando mais do que 2W é necessário, qual a probabilidade de sobrecarga? 6 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Aula 5 - Exemplos de funções densidade e distribuição Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 4ª edição, McGraw-Hill, 2001. Páginas 51 – 65. LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3ª edição, Oxford University Press, 1998. Páginas 452 – 463. 2. 4. A variável aleatória gaussiana. Uma variável aleatória X é chamada de gaussiana se sua função densidade de probabilidade tem a forma f X (x ) = − ( x − a x )2 1 2πσ x2 e 2σ x2 em que σ x > 0 e − ∞ < a x < ∞ são constantes reais. A densidade gaussiana é a mais importante de todas as densidades e aparece praticamente em todas as áreas da ciência e da Engenharia. Esta importância vem de sua descrição precisa de muitas quantidades práticas e significado no mundo real, especialmente as quantidades resultantes de muitos efeitos aleatórios pequenos que se somam agindo para criar a quantidade de interesse. A função distribuição é dada por: FX (x ) = x 1 2πσ ∫e 2 x −∞ − (ξ − a x )2 2σ x2 dξ . Esta integral não tem forma fechada conhecida. Para obter FX (x ) , definese: 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 F (x ) = x 1 2π ∫e −∞ − ξ2 2 dξ . Com esta definição, ⎛ x − ax FX ( x ) = F ⎜⎜ ⎝ σx ⎞ ⎟⎟ ⎠ A função F (x ) ou a função Q(x ) = 1 − F (x ) são tabeladas e podem ser encontradas em muitos livros para x ≥ 0 . Para x < 0 , usa-se F (− x ) = 1 − F (x ) . Figura 1 – Valores tabelados de F (x ) [PEEBLES]. 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Exercícios 1. A relação sinal-ruído no canal de um sistema de comunicações dada em dB pode ser aproximada por uma variável aleatória gaussiana tendo a x = 3 e σ x = 2 . Encontre a probabilidade do evento {X ≤ 5.5}. 2. Assuma que a altura das nuvens sobre o solo em um determinado local é uma variável aleatória gaussiana X com a x = 1830 m e σ x = 460 m. Encontre a probabilidade de que uma nuvem esteja a uma altura superior a 2750m. 3. Seja uma variável aleatória gaussiana para a qual a x = 7 e σ X = 0,5 . Encontre a probabilidade do evento {X ≤ 7,3}. 2.5. Outros exemplos de distribuições e densidades Binomial Para 0 < p < 1 e N = 1, 2, … então a função ⎛N⎞ k f X ( x ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p ) δ (x − k ) k =0 ⎝ k ⎠ N é chamada de função densidade binomial. A densidade binomial pode ser aplicada aos experimentos de Bernoulli. É aplicada a muitos problemas de detecção em radar e sonar e muitos experimentos tendo apenas dois possíveis resultados. Integrando, obtém-se a função distribuição binomial: ⎛N⎞ k FX ( x ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p ) u (x − k ) . k =0 ⎝ k ⎠ N A figura a seguir ilustra as funções densidades e distribuição binomial para N = 6 e p = 0,25 . 3 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Figura 2 – Exemplo de densidade e distribuição binomial [PEEBLES]. Poisson Densidade e distribuição dadas por: ∞ bk f X (x ) = e ∑ δ (x − k ) k = 0 k! −b ∞ bk FX ( x ) = e ∑ u ( x − k ) k = 0 k! −b em que b > 0 é uma constante positiva. Caso limite em que N → ∞ e p → 0 da distribuição binomial com Np = b . Usada para descrever número de unidades defeituosas numa linha de produção, o número de chamadas telefônicas feitas durante um período de 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 tempo, o número de elétrons emitidos de uma pequena porção de um cátodo num intervalo de tempo. Se o intervalo de tempo de interesse tem duração T e os eventos sendo contados ocorrem a uma taxa λ , então b é dado por: b = λT Exercício 4. Assuma que a chegada de carros num posto de gasolina é uma distribuição de Poisson e ocorrem a uma taxa média de 50/h. O posto tem apenas uma bomba. Assumindo que todos os carros necessitam de 1 minuto para abastecer, qual a probabilidade de que uma fila se forme na bomba? Uniforme A densidade de probabilidade uniforme e a sua função de transferência são definidas por: ⎧ 1 , a≤ x≤b ⎪ f X (x ) = ⎨ b − a ⎪⎩0, caso contrário x<a ⎧0, ⎪x − a ⎪ FX ( x ) = ⎨ , a≤ x<b ⎪b − a x≥b ⎪⎩1, para constantes reais − ∞ < a < ∞ e b > a . 5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Figura 3 – Funções densidade e distribuição uniforme [PEEBLES]. Aplicação importante: quantização de sinais amostrados precedente à codificação em sistemas de comunicações digitais Æ erro introduzido por arredondamentos são distribuídos uniformemente. Exponencial As funções distribuição e densidade são: ⎧ 1 − ( x −b a ) , x>a ⎪ e f X (x ) = ⎨ b ⎪0, x<a ⎩ ( x−a ) − ⎧ b ⎪ , x>a FX (x ) = ⎨1 − e ⎪⎩0, x<a para números reais − ∞ < a < ∞ e b > 0 . 6 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Figura 4 – Densidade e distribuição exponencial [PEEBLES]. Aplicações: descrição do tamanho das gotas de chuva, flutuação da intensidade de um sinal de radar recebido da reflexão de certas aeronaves. Exercício 5. A potência refletida por uma aeronave com um formato complexo é recebida por um radar e pode ser descrita por uma variável aleatória exponencial P . A densidade de P é, portanto, ⎧ 1 − PP ⎪ e 0, P>0 f P (P ) = ⎨ P0 ⎪ , caso contrário ⎩0 7 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 em que P0 é o valor médio da potência recebida. Em um instante particular, P pode ter um valor diferente do seu valor médio. Qual a probabilidade de que a potência recebida seja maior do que o seu valor médio? Rayleigh As funções densidade e distribuição de Rayleigh são ( x−a ) ⎧2 − ⎪ ( x − a )e b , f X (x ) = ⎨ b ⎪0 , ⎩ 2 ( x −a ) ⎧ ⎪1 − e − b , FX ( x ) = ⎨ ⎪⎩0 , x≥a x<a 2 x≥a x<a para constantes reais − ∞ < a < ∞ e b > 0 . Figura 5 – Funções densidade e distribuição de Rayleigh [PEEBLES]. 8 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 5 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Aplicações: descreve a envoltória de um tipo de ruído quando passa por um filtro passa-faixas. Também é importante na análise de erros em vários sistemas de medição. Exercício 6. O valor x = x0 tal que P{X ≤ x0 } = P{X > x0 } é chamado de mediana de uma distribuição. Determine a mediana de uma distribuição de Rayleigh. 7. [PEEBLES, p.72] Uma tensão aleatória gaussiana X para o qual a X = 0 e σ X = 4,2 V aparece através de um resistor de 100Ω com uma potência má- xima tolerável de 0,25W. Qual a probabilidade de que esta tensão cause uma potência instantânea que exceda a máxima do resistor? 9 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 7 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2005 Aula 7 - Questões da Prova P1 1. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) Um método A de diagnóstico de certa enfermidade dá resultados positivos para 80% dos portadores da enfermidade e para 10% dos sãos. Um método B de diagnóstico da mesma enfermidade dá positivo para 70% dos portadores e para 5% dos sãos. Se 15% da população são portadores da dita enfermidade, calcular a probabilidade: (a) (1,0) de uma pessoa fornecer resultado positivo pelos dois métodos. (b) (1,5) de, entre duas pessoas enfermas, pelo menos uma fornecer resultado positivo por algum método. 2. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) Considere dois eventos A e B tais que: P ( A) = 1 ; 4 P(B A) = 1 ; 2 P(A B ) = 1 . 4 (a) (1,0) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justifique. (b) (0,5) Os eventos A e B são independentes? Justifique. ( ) ( ) (c) (1,0) Calcule P A B , P (A B ) + P ( A B ) e P A B . 3. (HSU, 1996) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade: 0 < x <1 ⎧kx, f X (x ) = ⎨ ⎩0, caso contrário . em que k é uma constante. (a) (0,5) Determine o valor de k e esboce f X ( x ) . (b) (1,0) Encontre e esboce a função distribuição de probabilidade correspondente. ⎛1 ⎞ (c) (1,0) Encontre P⎜ < X ≤ 2 ⎟ . 4 ⎝ ⎠ 4. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) (2,5) No circuito abaixo é igualmente provável que a chave seletora esteja nas posições A ou B , bem como que os interruptores 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 7 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2005 P , Q , R , S e T estejam abertos ou fechados. Calcular a probabilidade de que a lâmpada esteja acesa. Se a lâmpada está acesa, qual a probabilidade de que a chave seletora esteja na posição A ? 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Aula 8 - Valor esperado e variância Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. Páginas 66 – 87. LATHI, B. P. Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd edition, New York: Oxford University, 1998. Páginas 463 – 472. 3. Operações sobre uma variável aleatória – Valor esperado 3.0. Introdução Introduziremos neste capítulo algumas operações importantes que podem ser realizadas sobre uma variável aleatória. 3.1. Valor esperado Valor esperado é o nome dado ao processo de tomar uma média quando uma variável aleatória está envolvida. Para uma variável aleatória X , usa-se a notação E [X ], que pode ser lida como “a esperança matemática de X ”, “o valor esperado de X ”, “o valor médio de X ” ou “a média estatística de X ”. Ocasionalmente, usa-se a notação X que é lida da mesma forma que E [X ], ou seja, X = E [X ]. Vamos começar com um exemplo: Exercício 1. Noventa pessoas foram selecionadas aleatoriamente e o valor em reais fra- cionário das moedas em seus bolsos foi contado. Se a conta dava acima de um real, o valor inteiro era descartado e tomava-se apenas a parte que ia de 0 a 99 centavos. Observou-se que 8, 12, 28, 22, 15 e 5 pessoas tinham 18, 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 45, 64, 72, 77 e 95 centavos respectivamente. Determine o valor médio da quantidade de centavos nos bolsos. Valor esperado de uma variável aleatória Seguindo o exemplo do exercício anterior, o valor esperado de uma variável aleatória X é definido por: E [X ] = X = ∞ ∫ xf (x )dx . X −∞ Caso X seja discreta com N possíveis valores de xi com probabilidades P( xi ) , então: N E [ X ] = ∑ x i P ( xi ) n =1 Exercício 2. A potência captada na entrada de uma antena interna pode ser modelada aproximadamente por uma variável aleatória contínua distribuída exponencialmente com: ⎧ 1 − ( x −b a ) , ⎪ e f X (x ) = ⎨ b ⎪0, ⎩ Determine o valor médio da potência recebida. Dica: ∫ xe − ax e − ax dx = − 2 (1 + ax ) . a 2 x>a x<a Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Valor esperado de uma função de uma variável aleatória Como ficará evidente na próxima seção, muitos parâmetros úteis relacionados a uma variável aleatória X podem ser obtidos encontrando o valor esperado de uma função real g (⋅) de X . Pode-se mostrar que este valor esperado é dado por E [g ( X )] = ∞ ∫ g (x ) f (x )dx X (1) −∞ Se X for uma variável aleatória discreta, N E [g ( X )] = ∑ g ( xi )P ( xi ) n =1 Exercícios 3. Sabe-se que uma dada tensão aleatória pode ser representada por uma vari- ável aleatória de Rayleigh V com função densidade dada por: (v − a ) ⎧2 − ⎪ (v − a )e b , f V (v ) = ⎨ b ⎪0, ⎩ 2 v≥a v<a com a = 0 e b = 5 . Esta tensão é aplicada a um dispositivo que gera uma tensão Y = g (V ) = V 2 que é igual, numericamente, à potência de V (sobre um resistor de 1Ω). Encontre a potência média de V . 4. Um problema em sistemas de comunicações é como definir a informação de uma fonte. Considere a modelagem de uma fonte capaz de emitir L símbolos distintos (mensagem) 3 representada pelos valores Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 xi , i = 1, 2, … , L de uma variável aleatória discreta X ( L = 2 é o caso binário). Seja P(xi ) a probabilidade do símbolo X = xi . Pergunta-se, qual a informação contida nesta fonte, em média. É necessário fazer três considerações. Primeiro, considera-se que a informação deve ser maior para saídas da fonte com baixa probabilidade. Por exemplo, contém pouca informação prever tempo quente e seco para o deserto do Saara já que estas condições prevalecem quase todo o tempo. Mas prever tempo frio e chuvas fortes carrega “muita informação”. A seguir, as informações de duas fontes independentes devem se somar de acordo e finalmente a informação deve ser uma quantidade positiva (uma escolha feita) e zero para um evento que ocorre com certeza. A única função com estas propriedades é a logarítmica. Como duas quantidades representam o menor número para uma escolha, o logaritmo na base 2 é escolhido para medir informação e sua unidade é chamada de bit. Para uma fonte, definimos a informação de um símbolo xi como ⎡ 1 ⎤ log 2 ⎢ ⎥ = − log 2 [P( xi )] . Determine então a informação média de uma fon⎣ P( xi )⎦ te, ou entropia, discreta com L símbolos possíveis. 3.2. Momentos Uma aplicação imediata do valor esperado de uma função g (⋅) de uma variável aleatória X é o cálculo de momentos. Dois tipos de momentos são de interesse, os em torno da origem e os em torno da média. Momentos em torno da origem A função 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 g(X ) = X n n = 0, 1, 2, … quando usada em (1) dá o momento em torno da origem da variável aleatória X . Denotando o n-ésimo momento por mn , temos: ∞ [ ] ∫x mn = E X n = n f X ( x )dx −∞ Claramente, m0 = 1 , a área sob a função f X (x ) e m1 = X , o valor esperado de X . Momentos centrais Momentos em torno da média são chamados de momentos centrais e são simbolizados por μ n . São definidos pelo valor esperado da função g ( X ) = (X − X ) , n = 0, 1, 2, … n que é [ ] μ n = E (X − X ) = n ∞ ∫ (x − X ) n f X ( x )dx −∞ . O momento μ 0 = 1 , a área sob f X (x ) , enquanto μ1 = 0 . (Por quê?). Variância e distorção (skew) O segundo momento central μ 2 é tão importante que é conhecido por um nome especial: variância representada por σ X2 . Assim, a variância é dada por: 5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 σ [ ] = μ 2 = E (X − X ) = 2 X 2 ∞ ∫ (x − X ) 2 f X (x )dx . −∞ A raiz positiva σ X da variância é chamada de desvio padrão de X e é uma medida do espalhamento da função f X (x ) ao redor da média. A variância pode ser determinada conhecendo-se o primeiro e segundo momento em torno da origem. Temos: [ ] σ X2 = E (X − X ) = E [X 2 − 2 XX + X 2 ] = E [X 2 ] − 2 XE[X ] + X 2 = m2 − m12 2 [ ] O terceiro momento central μ 3 = E (X − X ) é uma medida da assimetria de 3 f X ( x ) ao redor de x = X = m1 . É chamada de distorção (skew) da função densidade. Se uma densidade é simétrica em torno de x = X então ela tem distorção zero. O terceiro momento central normalizado μ3 é chamado de coeficiente de σ X3 distorção (skewness). Exercícios 5. Seja X uma variável aleatória com a função densidade exponencial do E- xercício dois. Determine a variância de X . 6. Ainda para a variável X do exercício anterior, 3 (a) Mostre que μ 3 = X 3 − 3 Xσ X2 − X . (b) Calcule μ 3 e o coeficiente de distorção. ⎡ x 2 2x 2 ⎤ − 2 + 3⎥. m ⎦ ⎣m m Dicas: ∫ x 2 e mx dx = e mx ⎢ 3 3x 2 6 x 6 ⎤ 3 mx mx ⎡ x = − + 3 − 4⎥. x e dx e ⎢ 2 ∫ m m ⎦ ⎣m m 6 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 8 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 7. (PEEBLES, 2001, p.101) Certo medidor é projetado para ler pequenas tensões, porém comete erros por causa de ruídos. Os erros são representados de forma acurada por uma variável aleatória gaussiana com média nula e desvio padrão 10-3V. Quando o nível DC é desconectado, descobre-se que a probabilidade da leitura do medidor ser positiva devido ao ruído é 0,5. Quando a tensão DC é presente, a probabilidade torna-se 0,2514. Qual o nível DC? 7 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Aula 9 - Variáveis aleatórias múltiplas Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. Páginas 109 – 122. HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Analog and Digital Communications. 2nd edition, New York: McGraw-Hill, 2003. Páginas 133-135. 4. Múltiplas variáveis aleatórias 4.0. Introdução • Estendemos agora a teoria para incluir duas variáveis aleatórias na discrição de um fenômeno. Por exemplo, a posição de um ponto aleatório no plano. 4.1.Variáveis aleatórias vetoriais • Suponha que duas variáveis aleatórias X e Y sejam definidas num espaço amostral S em que valores específicos de X e Y são denotados por x e y respectivamente. • Então, qualquer para ordenado de números (x, y ) pode ser convenientemente considerado como um ponto aleatório no plano xy . • O ponto pode ser tomado como o valor específico de uma variável aleatória vetorial ou um vetor aleatório. A Figura 1 a seguir ilustra o mapeamento envolvido em ir de S para o plano xy . 4.2. Distribuição conjunta e suas propriedades As probabilidades dos eventos A = {X ≤ x} e B = {Y ≤ y} já foram definidas como funções de x e y , respectivamente e chamadas de funções distribui- ção de probabilidades: 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Figura 1 – Mapeamento do espaço amostral S para o plano xy (PEEBLES, 2001). FX (x ) = P{X ≤ x} FY ( y ) = P{Y ≤ y} . Será introduzido agora um novo conceito para incluir a probabilidade do evento conjunto {X ≤ x, Y ≤ y}. Função Distribuição Conjunta Define-se a probabilidade do evento conjunto {X ≤ x, Y ≤ y}, que é uma função dos números x e y como uma função distribuição de probabilidades conjunta e a denotamos pelo símbolo FX ,Y (x, y ) . Assim, FX ,Y ( x, y ) = P{X ≤ x, Y ≤ y} P{X ≤ x, Y ≤ y} = P( A ∩ B ) em que o evento A ∩ B foi definido em S . 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Exercício 1. Assuma que o espaço amostral conjunto S J tenha apenas três elementos possíveis: (1,1), (2,1) e (3,3). As probabilidades destes elementos são P(1,1) = 0,2 , P(2,1) = 0,3 e P(3,3) = 0,5 . Encontre FX ,Y ( x, y ) . Resposta: Figura 2 – Função distribuição conjunta do Exercício 1 [PEEBLES]. Propriedades da distribuição conjunta (1) FX ,Y (− ∞,−∞ ) = 0 FX ,Y (− ∞, y ) = 0 FX ,Y ( x,−∞ ) = 0 . (2) FX ,Y (∞, ∞ ) = 1 . (3) 0 ≤ FX ,Y (x, y ) ≤ 1 (4) FX ,Y (x, y ) é uma função não-decrescente de x e y . (5) FX ,Y (x 2 , y 2 ) + FX ,Y (x1 , y1 ) − FX ,Y (x1 , y 2 ) − FX ,Y (x 2 , y1 ) = P{x1 ≤ X ≤ x 2 , y1 ≤ Y ≤ y 2 } ≥ 0 . 3 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 (6) FX ,Y (x, ∞ ) = FX (x ) FX ,Y (∞, y ) = FY ( y ) . Funções de distribuição marginal A propriedade (6) acima afirma que a função distribuição de uma variável aleatória pode ser obtida fazendo o valor da outra variável aleatória ser infinito em FX ,Y (x, y ) . As funções FX (x ) ou FY ( y ) obtidas desta forma são chamadas de funções de distribuição marginal. Exercício 2. Encontre expressões explícitas para FX ,Y (x, y ) e as distribuições marginais FX ( x ) e FY ( y ) para o espaço amostral conjunto do Exercício um. 4.3. Densidade conjunta e suas propriedades Função densidade conjunta Para duas variáveis aleatórias X e Y , a função densidade de probabilidade conjunta, denotada por f X ,Y (x, y ) é definida como a segunda derivada da função distribuição conjunta onde quer que ela exista. ∂ 2 FX ,Y ( x, y ) f X ,Y ( x, y ) = ∂x∂y Propriedades da densidade conjunta (1) f X ,Y (x, y ) ≥ 0 ∞ ∞ (2) ∫ ∫ f (x, y )dxdy = 1 X ,Y − ∞− ∞ 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 (3) FX ,Y (x, y ) = y x ∫ ∫ f (ξ , ξ )dξ dξ X ,Y 1 2 1 2 − ∞− ∞ (4) FX (x ) = x ∞ ∫ ∫ f (ξ , ξ )dξ X ,Y 1 2 2 FY ( y ) = dξ1 − ∞− ∞ (5) P{x1 < X ≤ x 2 , y1 < Y ≤ y 2 } = y ∞ ∫ ∫ f (ξ , ξ )dξ dξ X ,Y 1 2 1 2 − ∞− ∞ y 2 x2 ∫ ∫ f (x, y )dxdy X ,Y y1 x1 (6) f X (x ) = ∞ ∫ f X ,Y ( x, y )dy fY ( y) = −∞ ∞ ∫ f (x, y )dx X ,Y −∞ As propriedades (1) e (2) podem ser usadas para testar se uma dada função pode ser uma função densidade válida. Exercício 3. Seja b uma constante positiva. Determine seu valor para que a função π ⎧ −x ⎪be cos y, 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 g ( x, y ) = ⎨ ⎪0, caso contrário ⎩ seja uma função densidade de probabilidade válida. Função Densidade Marginal As funções f X (x ) e f Y ( y ) da propriedade (6) são chamadas de funções densidade de probabilidade marginal ou apenas funções densidade marginal. Elas são as funções densidades das variáveis simples X e Y , definidas como as derivadas das funções distribuição marginais: f X (x ) = dF ( x ) dx fY ( y) = dF ( y ) dy 5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Exercício 4. As tensões X e Y foram medidas em volts em dois pontos diferentes de um circuito elétrico. Encontre f X (x ) e f Y ( y ) se a função densidade de probabilidade conjunta dada dessas tensões é dada por: f X ,Y (x, y ) = u ( x )u ( y )xe − x ( y +1) . 4.4. Densidade e distribuição condicional A função distribuição condicional de uma variável aleatória X , dado algum evento B é definida como: FX (x B ) = P{X ≤ x B} = P{X ≤ x ∩ B} . P (B ) A função densidade condicional correspondente foi definida através da derivada dFX (x B ) f X (x B ) = dx . Densidade e distribuição condicional – condição pontual Pode-se mostrar que, para variáveis discretas, vale: f X (x Y = y k ) = ∑ N i =1 P ( xi , y k ) δ ( x − xi ) . P( y k ) Para o caso contínuo vale: 6 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 f X (x Y = y ) = f (x y ) = f X ,Y (x, y ) fY ( y) Exercício 5. Encontre f Y ( y x ) para a função densidade definida no Exercício quatro. 4.5. Independência Estatística Dois eventos A e B são independentes se (e somente se): P ( A ∩ B ) = P ( A)P (B ) . Assim, pela definição de funções distribuição, duas variáveis aleatórias X e Y são estatisticamente independentes se: FX ,Y ( x, y ) = FX ( x ) ⋅ FY ( y ) ou f X ,Y ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) . Usando a densidade e a distribuição condicionais, vemos que se duas variáveis aleatórias X e Y forem independentes, vale: f (x y ) = f (y x) = f X ,Y ( x, y ) fY ( y) f X ,Y ( x, y ) f X (x ) = f X (x ) f Y ( y ) = f X (x ) fY ( y) = f X (x ) f Y ( y ) = fY ( y) . f X (x ) Assim, as densidades deixam de ser condicionais e tornam-se iguais às marginais. Exercícios 6. Verifique se as tensões do Exercício quatro são independentes. 7 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 9 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 7. A densidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y tem densidade conjunta ⎧ ⎞ 2⎛ π ⎪k cos ⎜ 2 xy ⎟, − 1 < x < 1 e − 1 < y < 1 ⎝ ⎠ f X ,Y ( x, y ) = ⎨ ⎪ caso contrário ⎩0, π em que k = 2 π + Si(π ) ≈ 0,315 e o seno integral é definido por: x Si (x ) = ∫ sin (ξ ) ξ 0 dξ . Determine se X e Y são estatisticamente independentes. 8 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Aula 10 - Correlação e covariância Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. Páginas 122 – 146. HSU, H. Schaum´s outline Theory and Problems of Analog and Digital Communications. 2nd edition, New York: McGraw-Hill, 2003. Páginas 137-138. 5. Operações sobre múltiplas variáveis aleatórias 5.0. Introdução Vamos estender o conceito de valor esperado para o caso de duas ou mais variáveis aleatórias. 5.1. Valor esperado de uma função de variáveis aleatórias O valor esperado de uma função de uma variável aleatória foi definido no Capítulo 3 como: E [g ( x )] = ∞ ∫ g (x ) f (x )dx . X −∞ Quando mais de uma variável aleatória é envolvida, o valor esperado deve ser tomado em relação a todas as variáveis envolvidas. Por exemplo, se g ( X , Y ) é uma função de duas variáveis aleatórias X e Y , o valor esperado de g (⋅,⋅) é dado por: g = E [g ( X , Y )] = ∞ ∞ ∫ ∫ g (x, y ) f (x, y )dxdy X ,Y − ∞− ∞ Para N variáveis aleatórias X 1 , X 2 ,..., X N e uma função dessas variáveis denotada por g ( X 1 ,… , X N ) , o valor esperado dessa função se torna: g = E [g ( X 1 , … , X N )] = ∞ ∞ ∫ ∫ g (x ,… , x ) f 1 −∞ N −∞ 1 X 1 ,…, X N (x1 ,…, x N )dx1 … dx N . Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Um resultado que segue diretamente da definição acima é que o valor esperado de uma soma ponderada de variáveis aleatórias N g ( X 1 ,… X N ) = ∑ α i X i i =1 é a soma ponderada de seus valores médios: ⎡N ⎤ N g = E ⎢∑ α i X i ⎥ = ∑ α i E [ X i ] ⎣ i =1 ⎦ i =1 Momentos Conjuntos em torno da origem Uma importante aplicação do valor esperado é na definição de momentos conjuntos em torno da origem. Eles são denotados por mnk e são definidos por: [ ∞ ∞ ] ∫ ∫x y mnk = E X Y = n k n k f X ,Y ( x, y )dxdy − ∞− ∞ para o caso de duas variáveis aleatórias X e Y . Claramente, mn 0 = E [X n ] são os momentos mn de X e m0 k = E [Y k ] são os momentos de Y . A soma n + k é chamada de ordem dos momentos. Assim, m02 , m20 e m11 são todos momentos de segunda ordem de X e Y . Os momentos de primeira ordem m01 = E[Y ] = Y e m10 = E[X ] = X são os valores esperados de X e Y respectivamente e são as coordenadas do “centro de gravidade” da função f X ,Y (x, y ) . O momento de segunda ordem m11 = E [XY ] é chamado de correlação de X e Y. Ele é tão importante que recebe um símbolo especial R XY .Assim, 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 R XY = m11 = E [ XY ] = ∞ ∞ ∫ ∫ xyf (x, y )dxdy X ,Y − ∞− ∞ Se a correlação puder ser escrita na forma R XY = E [X ] ⋅ E[Y ] , então X e Y são ditas não correlacionadas. Independência estatística de X e Y é suficiente para garantir que elas são não correlacionadas. Porém, o contrário não é verdade em geral. Ou seja, independência implica não-correlação, mas não-correlação não implica independência. Se R XY = 0 as variáveis X e Y são ditas ortogonais. Resumindo: f X ,Y ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) Æ X e Y são independentes R XY = E[X ] ⋅ E[Y ] Æ R XY = 0 Æ X e Y são não-correlacionadas X e Y são ortogonais X e Y independentes ⇒ X e Y não correlacionadas Exercício 1. Seja X uma variável aleatória com um valor médio X = E [X ] = 3 e variância σ X2 = 2 e uma outra variável Y dada por Y = −6 X + 22 . Pede-se: (a) E [X 2 ] (b) Y (c) R XY (d) as variáveis são correlacionadas? (e) as variáveis são ortogonais? 3 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 Momentos conjuntos centrais Uma outra aplicação importante da definição de valores esperado é a definição de momentos centrais conjuntos. Para duas variáveis aleatórias X e Y , estes momentos denotados por μ m são dadas por: [ ] μ nk = E (X − X ) (Y − Y ) = n k ∞ ∞ ∫ ∫ (x − X ) ( y − Y ) n k f X ,Y ( x, y )dxdy − ∞− ∞ Os momentos centrais de segunda ordem [ ] = E [(Y − Y ) ] = σ μ 20 = E (X − X ) = σ X2 2 μ 02 2 2 Y são as variâncias de X e Y . O momento conjunto de segunda ordem μ11 é muito importante. É chamado de covariância de X e Y e é simbolizado por C XY . Assim, C XY = μ11 = E [(X − X )(Y − Y )] = ∞ ∞ ∫ ∫ (x − X )(y − Y ) f (x, y )dxdy X ,Y − ∞− ∞ Expandindo diretamente o produto (X − X )(Y − Y ) esta integral se reduz a: C XY = R XY − XY = R XY − E [X ]E [Y ] Se X e Y forem independentes ou não correlacionadas, então R XY = E [X ]E [Y ] e C XY = 0 . Se X e Y forem ortogonais então C XY = − E[X ]E[Y ] , X e Y ortogonais. Claramente, C XY = 0 se X ou Y também tiverem média nula além de serem ortogonais. 4 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 10 – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2005 O momento de segunda ordem normalizado: C μ11 = XY μ 20 μ 02 σ X σ Y ρ= dado por ⎡ (X − X ) (Y − Y )⎤ σ Y ⎥⎦ ρ = E⎢ ⎣ σX é conhecido como coeficiente de correlação de X e Y . Pode-se mostrar que − 1 ≤ ρ ≤ 1. Uma aplicação direta das definições acima é que se X é uma soma N ponderada de variáveis aleatórias X i , X = ∑ α i X i , então: i =1 N E [X ] = ∑ α i X i i =1 σ e N 2 X = ∑ α i2σ X2 i i =1 . Exercício 2. (PEEBLES, 2001, p.173) Num sistema de controle, sabe-se que uma tensão aleatória X tem média X = m1 = −2 V e momento de segunda ordem 2 X 2 = m2 = 9 V . Se a tensão X é amplificada por um amplificador que fornece como saída Y = −1,5 X + 2 encontre σ X2 , Y , Y 2 , σ Y2 e R XY . 5 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 12 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 Aula 12 - Questões da Prova P2 1. (PEEBLES, 2001, p. 173) (2,5) Em um sistema de controle, sabe-se que uma tensão aleatória X tem valor médio X = m1 = −2 V e um momento de segunda ordem E [X 2 ] = m2 = 9 V2. Se a tensão X é amplificada por um amplificador que tem como saída Y = −1,5 X + 2 , encontre σ X2 , Y , E [Y 2 ], σ Y2 e R XY . 2. (PEEBLES, 2001, p. 101) (2,5) Certo medidor é projetado para medir pequenas tensões dc, mas comete erros por causa de ruído. Estes erros podem ser representados de forma precisa por uma variável aleatória gaussiana com média zero e desvio padrão 10 −3 V. Quando a tensão dc está desconectada descobre-se que a probabilidade do medidor registrar um valor positivo é 0,5 por causa do ruído. Quando a tensão dc está presente, esta probabilidade torna-se 0,2514. Qual o valor da tensão dc? 3. (PEEBLES, 2001, p. 99) (2,5) Mostre que o valor médio e a variância de uma tensão aleatória com função densidade uniforme dada por: ⎧ 1 ,a ≤ x ≤ b ⎪ f X (x ) = ⎨ b − a ⎪⎩0, caso contrário são X (a + b ) e σ 2 = E[X ] = X 2 2 ( b − a) . = 12 4. (HSU, 1997, p. 98) A pdf conjunta de um v.a. bivariada ( X , Y ) é dada por: ⎧kxy, 0 < x < 1, 0 < y < 1 f X ,Y ( x, y ) = ⎨ caso contrário ⎩0, em que k é uma constante. 1 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 12 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 (a) (1,0) Determine o valor de k . (b) (1,0) X e Y são independentes? (c) (0,5) Encontre P( X + Y < 1) . 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 13– Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 Aula 13 Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas Bibliografia PEEBLES, P. Z. Probability, random variables and random signal principles. 3rd edition, New York: McGraw-Hill, 1993. Páginas 148 – 178. KAY, S. M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. New Jersey: Prentice Hall, 1993. Páginas 1-14. 5.3. Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas Variáveis aleatórias gaussianas são muito importantes porque aparecem praticamente em todas as áreas da Engenharia e das Ciências. Nesta seção o caso de duas variáveis aleatórias conjuntas gaussianas será examinado. Duas variáveis aleatórias Duas variáveis aleatórias X e Y são ditas conjuntamente gaussianas se sua função densidade conjunta é f X ,Y ( x, y ) = 1 2πσ X σ Y ⎧⎪ − 1 exp⎨ 2 ⎪⎩ 2 1 − ρ 1− ρ 2 ( com: X = E[X ] Y = E [Y ] [ ] = E [(Y − Y ) ] σ X2 = E (X − X ) 2 σ Y2 ρ= 2 E [(X − X )(Y − Y )] σ XσY = C XY σ XσY 1 ) ⎡ (x − X )2 2 ρ (x − X )( y − Y ) ( y − Y )2 ⎤ ⎫⎪ − + ⎢ ⎥⎬ 2 σ XσY σ Y ⎥⎦ ⎪⎭ ⎢⎣ σ X Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 13– Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 A Figura 1 ilustra a aparência da função densidade gaussiana. Seu máximo ocorre em (X , Y ) . Figura 1 – Densidade conjunta de duas v.a. ’s gaussianas (PEEBLES, 2001). 2 Práticas de Engenharia Elétrica 2 – Aula 13– Professor Marcio Eisencraft – novembro 2005 Pode-se ver que se ρ = 0 , correspondendo a variáveis X e Y nãocorrelacionadas, f X ,Y (x, y ) pode ser reescrita como: f X ,Y ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) em que f X (x ) e f Y ( y ) são as densidades marginais de X e Y dadas por: f X (x ) = fY ( y) = 1 2πσ X2 ⎧⎪ (x − X )2 ⎫⎪ exp⎨− ⎬ 2σ X2 ⎪⎭ ⎪⎩ ⎧⎪ ( y − Y )2 ⎫⎪ . exp⎨− ⎬ 2 2σ Y2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2πσ Y 1 Assim, concluímos que quaisquer variáveis aleatórias gaussianas não correlacionadas são estatisticamente independentes. Exercício 1. Sejam duas variáveis aleatórias gaussianas X e Y com médias X e Y , variâncias σ X2 e σ Y2 e coeficiente de correlação ρ . Determine o ângulo θ tal que as variáveis: A = X cos θ + Y sin θ B = − X sin θ + Y cos θ sejam independentes. 2. (PEEBLES, 2001, p. 176) Suponha que a queda de neve anual (quantidade de neve acumulada em metros) em dois hotéis de esqui alpinos vizinhos seja representada por variáveis aleatórias gaussianas conjuntas X e Y para as quais ρ = 0,82 , σ X = 1,5 m, σ Y = 1,2 m e R XY = 81,476 m2. Se a queda de neve média no primeiro hotel é 10m, qual a taxa de queda média no outro hotel? 3 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 Práticas de Engenharia Elétrica II Lista de Exercícios Suplementares 1 – 2º semestre 2005 1. Resolver Exercício 10.1-9 da página 481 do (LATHI, 1998). O primeiro aluno a entregar uma resolução completa e correta deste exercício ganhará 0,5 ponto na P1. RESP: (a) 9,562%; (b) 0,001004. 2. (NETO, 1993, p. 17] Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover? RESP: 47,06%. 3. (HSU, 2003, p. 149) Todos os dispositivos e máquinas produzidos falham mais cedo ou mais tarde. Se a taxa de falha é constante, o tempo até uma falha T é modelado por uma variável aleatória exponencial. Suponha que se descobriu que uma classe particular de chips de memória para computadores tem uma lei de falha exponencial dada por: fT (t ) = ae − at u (t ) , com t em horas. (a) Medidas mostraram que a probabilidade de que o tempo de falha exceda 104 horas para chips desta classe é de e −1 ( ≈ 0,368 ). Calcule o valor do parâmetro a para este caso. (b) Usando o valor do parâmetro a determinado na parte (a), calcule o tempo t 0 tal que a probabilidade de que o tempo de falha seja menor do que t 0 seja de 0,05. RESP: (a) a = 10 −4 ; (b) 512,93h. 4. (PEEBLES, 1993, p. 71) Uma linha de produção fabrica resistores de 1000Ω que devem satisfazer uma tolerância de 10%. (a) Se a resistência é descrita adequadamente por uma variável aleatória gaussiana X com a X = 1000 Ω e σ x = 40 Ω, qual fração de resistores espera-se que seja rejeitada? 1 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 (b) Se a máquina não está ajustada corretamente, os resistores produzidos passam a ter a X = 1050 Ω (5% de erro). Qual fração será rejeitada agora? RESP: (a) 1,24%; (b) 10,57%. 5. (PEEBLES, 1993, p.101) Certo medidor é projetado para ler pequenas tensões, po- rém comete erros por causa de ruídos. Os erros são representados de forma acurada por uma variável aleatória gaussiana com média nula e desvio padrão 10-3V. Quando o nível DC é desconectado, descobre-se que a probabilidade da leitura do medidor ser positiva devido ao ruído é 0,5. Quando a tensão DC é presente, a probabilidade torna-se 0,2514. Qual é o nível DC? RESP: -0,67mV. 6. (NETO, 1993, p. 25) Rivelino e Zé Maria estão machucados e talvez não possam defender o Corinthians em sua próxima partida contra o Palmeiras. A probabilidade de Rivelino jogar é de 40% e a de Zé Maria, 70%. Com ambos os jogadores, o Corinthians terá 60% de probabilidade de vitória; sem nenhum deles, 30%; com Rivelino, mas sem Zé Maria, 50%, e com Zé Maria, mas sem Rivelino, 40%. Qual é a probabilidade de o Corinthians ganhar a partida? RESP: 0,45. 7. (PEEBLES, 1993, p. 67) O resistor R2 na Figura 1 a seguir é escolhido aleatoria- mente de uma caixa de resistores contendo resistores de 180Ω, 470Ω, 1000Ω e 2200Ω. Todos os valores de resistores têm mesma possibilidade de ser selecionado. A tensão E 2 é uma variável aleatória discreta. Encontre o conjunto de valores que E 2 pode assumir e dê a suas probabilidades. Figura 1 – Circuito do Exercício 2 [PEEBLES]. RESP: E 2 ∈ {2,16V ; 4,37V ; 6,59V ; 8,74V } sendo que cada valor 2 tem 25% de probabilidade. Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 8. (HSU, 1997, p. 26) Duas máquinas produzem peças semelhantes. A maquina A pro- duz 1000 peças, 100 das quais são defeituosas. A maquina B produz 2000 peças sendo 150 defeituosas. Uma peça é selecionada aleatoriamente e é considerada defeituosa. Qual a probabilidade dela ter sido produzida pela máquina A? RESP: 0,4. 9. (HSU, 1997, p. 33) Um sistema constituído de n componentes separados é chamado de sistema paralelo se ele funciona quando pelo menos um dos componentes funciona (Figura a seguir). Assuma que os componentes falhem de forma independente e que a probabilidade de falha do componente i seja pi , i = 1, 2, … , n . Encontre a probabilidade de funcionamento do sistema. s1 s2 .... sn n RESP: 1 − ∏ pi . i =1 10. (HSU, 1997, p. 37) A rede de relês mostrada na figura a seguir funciona se e somen- te se existe um caminho fechado de relês da esquerda para a direita. Assuma que os relês falhem de forma independente e que a probabilidade de falha de cada relê seja a indicada na figura. Qual a probabilidade da rede funcionar? (HSU, 1997) 3 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 RESP: 0,865. 11. (HSU, 1997, p. 37) Sejam A e B dois eventos independentes em S . Sabe-se que P( A ∩ B ) = 0,16 e P( A ∪ B ) = 0,64 . Encontre P( A) e P(B ) . RESP: P( A) = P(B ) = 0,4 . 12. (HSU, 1997, p. 56) A função densidade de probabilidade (p.d.f.) de uma variável aleatória (v.a.) X é dada por: ⎧1 ⎪3 , 0 < x < 1 ⎪ ⎪2 . f X (x ) = ⎨ , 1 < x < 2 ⎪3 ⎪0, caso contrário ⎪ ⎩ Encontre a correspondente função distribuição (c.d.f.) Fx ( x ) e esboce f X ( x ) e Fx ( x ) . 13. (HSU, 1997, p. 57) Seja X uma v.a. contínua com p.d.f. ⎧kx, 0 < x < 1 f X (x ) = ⎨ ⎩0 caso contrário em que k é uma constante. (a) Determine o valor de k e esboce f X ( x ) . (b) Encontre e esboce a correspondente c.d.f. FX (x ) . ⎛1 ⎞ (c) Encontre P⎜ < X ≤ 2 ⎟ . ⎝4 ⎠ RESP: (a) 2; (c) 15 . 16 14. (HSU, 1997, p. 75) Um sistema de transmissão digital tem uma probabilidade de erro de 10 −6 por dígito. Encontre a probabilidade de três ou mais erros em 10 6 dígitos utilizando a aproximação da distribuição de Poisson. RESP: 0,08. 15. (HSU, 1997, p. 75) Sabe-se que os disquetes produzidos por uma companhia A são defeituosos com uma probabilidade de 0,01. A companhia vende os discos em paco- 4 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 tes de 10 e oferece garantia de troca se ao menos 1 dos 10 discos for defeituoso. Encontre a probabilidade de que um pacote comprado tenha que ser trocado. RESP: 0,004. 16. (HSU, 1997, p. 77) Um lote constituído de 100 fusíveis é inspecionado pelo seguinte processo: cinco fusíveis são selecionados aleatoriamente e se os cinco “queimarem” na corrente especificada, o lote é aceito. Suponha que um lote contenha 10 fusíveis defeituosos. Qual a probabilidade de se aceitar o lote? RESP: 0,584. 17. (NETO, 1993, p. 25) Uma cápsula espacial aproxima-se da Terra com dois defeitos: nos seus circuitos elétricos e no sistema de foguetes propulsores. O comandante considera que, até o instante de reingresso na atmosfera, existe 20% de probabilidade de reparar os circuitos elétricos e 50% de probabilidade de reparar o sistema de foguetes. Os reparos se processam independentemente. Por outro lado, os especialistas em Terra consideram que as probabilidades de êxito no retorno são as seguintes: (a) 90% com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes reparados. (b) 80% só com o sistema de foguetes reparado. (c) 60% só com os circuitos elétricos reparados. (d) 40% com os circuitos elétricos e o sistema de foguetes defeituosos. Com base nas considerações acima, qual é a probabilidade de êxito no retorno? Se o retorno se processar com êxito, qual a probabilidade de que tenha se realizado nas condições mais adversas (ambos os sistemas não-reparados)? RESP: 63% e 25,40% respectivamente. 18. (PEEBLES, 1993, p. 73) Assuma que as lâmpadas fluorescentes fabricadas por uma empresa tenham probabilidade de 0,05 de serem inoperantes quando novas. Uma pessoa compra oito lâmpadas para uso doméstico. (a) Qual a probabilidade de exatamente uma lâmpada ser inoperante entre as oito? (b) Qual a probabilidade de que as oito lâmpadas estejam funcionando? (c) Determine a probabilidade de que uma ou mais lâmpadas sejam inoperantes. (d) Faça um gráfico da função distribuição de probabilidades da variável aleatória “o número de lâmpadas inoperantes”. RESP: (a) 27,93%; (b) 66,34%; (c) 33,66%. 5 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2005 19. (PEEBLES, 1993, p. 72) Suponha que a altura da base das nuvens seja uma variável aleatória gaussiana X com a X = 4000 m e σ X = 1000 m. João afirma que a altura das nuvens amanhã estará no conjunto A = {1000m < X ≤ 3300m} enquanto Pedro afirma que a altura estará no conjunto B = {2000m < X ≤ 4200m} . Paulo afirma que os dois estarão corretos. Encontre a probabilidade de cada um acertar a previsão. RESP: João: 24,07%; Pedro: 55,66% e Paulo: 21,93%. 6 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 Práticas de Engenharia Elétrica II Lista de Exercícios Suplementares 2 – 2º semestre 2005 1. Resolver Exercício 10.2-8 da página 483 do (LATHI, 1998). Resposta: (a) f X ( x ) = xe − x2 2 u ( x ) ; f Y ( y ) = ye − y2 2 u ( y ) ; f X Y (x y ) = f X ( x ) ; f Y X ( y x ) = f ( y ) ; (b) Y Sim. 2. Resolver Exercício 10.3-5 da página 485 do (LATHI, 1998). Respostas: [ ] 5 17 1 X = ; E X 2 = ; σ X2 = . 3 6 18 3. Resolver Exercício 10.5-2 da página 486 do (LATHI, 1998). 4. Resolver Exercício 10.5-3 da página 486 do (LATHI, 1998). O primeiro aluno a entregar uma resolução completa e correta deste exercício ganhará 0,5 ponto na P2. ____ 1 ____2 5 19 1 5. (PEEBLES, 2001, p. 173) X = , X = , Y = 2 , Y 2 = e C XY = − para 2 2 2 2 3 variáveis aleatórias X e Y . (a) Encontre σ X2 , σ Y2 , R XY e ρ . (b) Qual a media da variável aleatória W = ( X + 3Y ) + 2 X + 3 ? 2 Resposta: (a) σ X2 = 6− 3 − 66 9 2 11 ; σY = ; R XY = ; ρ = ; (b) 96,27. 4 2 6 99 6. (DEVORE, 2003, p. 210) Dois componentes de um microcomputador têm a seguin- te pdf conjunta para seus tempos de vida útil X e Y : ⎧ xe − x (1+ y ) , x ≥ 0 e y ≥ 0 f XY ( x, y ) = ⎨ . 0 , caso contrário ⎩ (a) Quais são as pdf’s marginais de X e Y ? Estes tempos de vida são independentes? Justifique. (b) Qual a probabilidade de que o tempo de vida X do primeiro componente exceda 3? 1 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 Resposta: (a) f X (x ) = e − x , x ≥ 0 ; f Y ( y ) = 1 (1 + y )2 ; (b) 0,0498. 7. Duas variáveis aleatórias podem assumir os valores indicados na tabela. x y PROBABILIDADE -1 -2 1/8 -0,5 -1 1/4 0,5 1 1/2 1 2 1/8 (a) (MONTGOMERY, 2003, p. 103) Determine as seguintes probabilidades: P( X < 0,5; Y < 1,5) , P( X < 0,5) , P(Y < 1,5) e P( X > 0,25; Y < 4,5) . (b) (MONTGOMERY, 2003, p. 103) Determine E [X ] e E [Y ] . Respostas: (a) 3/8; 3/8; 7/8; 5/8 respectivamente. (b) 0,125 e ¼ respectivamente. 8. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1974, p. 55) Seja X uma variável aleatória con- tínua com função densidade constante entre a e b , a < b . Mostre que: (b − a ) . a+b E[X ] = e σ X2 = 2 12 2 9. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1974, p. 70) Sendo a função densidade conjunta de ( X , Y ) dada por f ( x, y ) = 1 −y e , para 4 > x > 0 , y > 0 e zero em qualquer outro 4 ponto, calcular a probabilidade P( X > 2, Y < 4 ) . Resposta: 0,4908. 10. (PEEBLES, 2001, p. 174) As variáveis aleatórias estatisticamente independentes X 1 e Y têm respectivamente médias X = 1 e Y = − . Seus momentos de segunda or2 dem são X 2 = 4 e Y 2 = 11 . Uma outra variável aleatória é definida como 4 W = 3 X 2 + 2Y + 1 . Encontre σ X2 , σ Y2 , R XY , C XY e RWY . 2 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 Resposta: σ X2 = 3 ; σ Y2 = 2,5 ; R XY = −0,5 ; C XY = 0 ; RWY = −1 . 11. (HSU, 1997, p. 77) Uma variável aleatória X é chamada de variável aleatória de Laplace se sua função densidade de probabilidade é dada por: f X ( x ) = ke −λ x , λ > 0, − ∞ < x < ∞ em que k é uma constante. (a) Encontre o valor de k . (b) Encontre FX (x ) . (c) Encontre a média e a variância de X . Resposta: (a) k= λ 2 ; (b) ⎧ 1 λx x<0 ⎪⎪ 2 e , 2 ; (c) E [X ] = 0; Var [ X ] = 2 FX ( x ) = ⎨ λ ⎪1 − 1 e λx , x ≥ 0 ⎪⎩ 2 . 12. (PEEBLES, 2001, p.98) Uma tensão aleatória gaussiana X tem valor médio X = a X = 0 e variância σ X2 = 9 . A tensão X é aplicada a um diodo detector de onda completa com lei quadrática que tem função de transferência Y = 5X 2 . Encontre o valor médio da tensão de saída Y . 13. (PEEBLES, 2001, p. 98) Uma variável aleatória X tem função densidade: π π ⎧1 ⎪ cos x, − < x < f X (x ) = ⎨ 2 2 2 . ⎪⎩0, caso contrário Encontre o valor médio da função g ( X ) = 4X 2 . 14. (HSU, 1997, p. 98) A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por: ⎧k ( x + y ), 0 < x < 2, 0 < y < 2 f X ,Y ( x, y ) = ⎨ . caso contrário. ⎩0, em que k é uma constante. (a) Encontre o valor de k . (b) Encontre as funções densidade marginais de X e Y . (c) X e Y são independentes? 3 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 Resposta: 1 k= ; 8 (a) ⎧1 ⎪ ( x + 1), 0 < x < 2 f X (x ) = ⎨ 4 ⎪⎩0, caso contrário (b) ⎧1 ⎪ ( y + 1), 0 < y < 2 fY ( y) = ⎨ 4 ; (c) Não. ⎪⎩0, caso contrário 15. (HSU, 1997, p. 101) Suponha que se escolha um ponto de forma aleatória dentro de um círculo de raio R . Se considerarmos o centro do círculo na origem e definirmos X e Y como as coordenadas do ponto escolhido (ver figura abaixo), então ( X , Y ) forma uma v.a. bidimensional cuja p.d.f. é dada por: ⎧⎪k , x 2 + y 2 ≤ R 2 f X ,Y ( x, y ) = ⎨ ⎪⎩0, x 2 + y 2 ≥ R 2 sendo k uma constante. (a) Determine o valor de k ; (b) Encontre as p.d.f.’s marginais de X e Y ; (c) Encontre a probabilidade de que a distância do ponto selecionado à origem não seja maior do que a . Resposta: ⎧ 2 ⎪ f X ( x ) = ⎨ πR 2 ⎪0, ⎩ 1 k= πR 2 (a) R2−y2 , y ≤R y >R ; ; (c) (b) a2 R2 para ⎧ 2 ⎪ f X ( x ) = ⎨πR 2 ⎪0, ⎩ R2 −x2 , x ≤R x >R 0 ≤ a ≤ R. 16. (HSU, 1997, p. 103) Um industrial tem usado dois diferentes processos de produção para fazer chips de memória para computadores. Seja ( X , Y ) uma v.a. bidimensio4 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – outubro2005 nal em que X denota o tempo até a falha dos chips feitos pelo processo A e Y denota o tempo até a falha dos chips feitos pelo processo B. Assumindo que a p.d.f. conjunta de ( X , Y ) é: ⎧abe − (ax +by ) , x > 0, y > 0 f XY ( x, y ) = ⎨ , caso contrário ⎩0 em que a = 10 −4 e b = 1,2 × 10 −4 , determine P( X > Y ) . Resposta: 0,545. 17. (HSU, 1997, p. 108) Seja ( X ,Y ) uma v.a. bidimensional com p.d.f. conjunta: x2 + y2 f X ,Y ( x, y ) = e 4π ( − x2 + y2 2 ) . Mostre que X e Y não são independentes, mas são não correlacionadas. 18. (PEEBLES, 2001, p. 176) Suponha que a queda de neve anual (profundidade acu- mulada em metros) para dois hotéis de esqui próximos seja adequadamente representada por duas variáveis aleatórias gaussianas conjuntas X e Y para as quais ρ = 0,82 , σ X = 1,5 m, σ Y = 1,2 m e R XY = 81,476 m2. Se a média de queda de neve em um dos hotéis é 10m, qual a média no outro hotel? 19. (HSU, 2003, p.159) Encontre a covariância de X e Y se (a) elas são independentes (b) Y está relacionada com X por Y = aX + b . Resposta: (a) 0; (b) σ XY = aσ X2 . 20. (HSU, 2003, p. 159) Seja Z = aX + bY , em que a e b são constantes arbitrárias. Mostre que se X e Y são independentes então: σ Z2 = a 2σ X2 + b 2σ Y2 . 5 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Prof. Marcio Eisencraft – novembro 2005 Práticas de Engenharia Elétrica II Lista de Exercícios Suplementares 3 – 2º semestre 2005 1. Resolver Exercício 10.1-15 da página 483 do (LATHI, 1998). 2. Resolver Exercício 10.2-3 da página 483 do (LATHI, 1998). 3. Resolver Exercício 10.2-10 da página 484 do (LATHI, 1998). 4. Resolver Exercício 10.3-5 da página 485 do (LATHI, 1998). 5. Resolver Exercício 10.5-2 da página 486 do (LATHI, 1998). 6. Resolver Exercício 3.32 da página 36 do (MONTGOMERY, 2003). 7. Resolver Exercício 3.41 da página 38 do (MONTGOMERY, 2003). Resposta no livro. 8. Resolver Exercício 3.51 da página 41 do (MONTGOMERY, 2003). Resposta no livro. 9. Resolver Exercício 3.58 da página 43 do (MONTGOMERY, 2003). 10. Resolver Exercício 3.76 da página 46 do (MONTGOMERY, 2003). 11. Resolver Exercício 3.80 da página 47 do (MONTGOMERY, 2003). 12. Resolver Exercício 5.33 da página 79 do (MONTGOMERY, 2003). Resposta no livro. 13. Resolver Exercício 5.51 da página 85 do (MONTGOMERY, 2003). Resposta no livro. 1 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Prof. Marcio Eisencraft – novembro 2005 14. Resolver Exercício 5.74 da página 92 do (MONTGOMERY, 2003). 15. Resolver Exercício 6.102 da página 124 do (MONTGOMERY, 2003). 16. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 16) No circuito elétrico dado abaixo, em que existe tensão entre os pontos A e B, determine a probabilidade de passar corrente entre A e B, sabendo-se que a probabilidade de cada chave estar fechada é ½ e que cada chave está aberta ou fechada independentemente de qualquer outra. B A RESPOSTA: 0,53125 17. (HSU; 1997, p. 159) Considere as variáveis aleatórias X , Y e Z = aX + bY , em que a e b são constantes arbitrárias. Mostre que, se X e Y são independentes então σ Z2 = a 2σ X2 + b 2σ Y2 . 18. (PAPOULIS; PILLAI, 2002, p. 87) Suponha que o tempo de espera de um clien- te por uma mesa num restaurante seja uma distribuição exponencial com média 5 minutos. Determine a probabilidade de que um cliente espere mais do que 10 minutos por uma mesa. ⎧λe − λx , x ≥ 0 Dado: função densidade exponencial: f X ( x ) = ⎨ . caso contrário ⎩0, RESPOSTA: 13,53%. 19. (HSU; 1997, p.98) A p.d.f. conjunta de uma v.a. bivariada ( X , Y ) é dada por: ⎧kxy, 0 < x < 1, 0 < y < 1 . f X ,Y ( x, y ) = ⎨ caso contrário ⎩0, em que k é uma constante. Pede-se: 2 Práticas de Engenharia Elétrica II - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Prof. Marcio Eisencraft – novembro 2005 (a) Encontre o valor de k . (b) X e Y são independentes? (c) Encontre P ( X + Y < 1) . RESPOSTAS: (a) 4; (c) 20. 1 . 6 (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 118) Certo tipo de resistor é conside- rado aceitável se seu valor estiver entre 45 e 55Ω e é considerado ideal se estiver entre 48 e 52Ω. O valor desses resistores tem distribuição normal com média de 53Ω e desvio padrão de 3Ω. Em um lote de 200 resistores aceitáveis, quantos resistores ideais devem-se esperar? RESPOSTA: 87 resistores. 3
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