EN2609 – Sinais Aleatórios – Lista de Exercícios Suplementares 1– março 2011
EN2609 – Sinais Aleatórios
Lista de Exercícios Suplementares 1
1° quadrimestre 2011
1. (PAPOULIS; PILLAI, 2002, p. 87) Suponha que o tempo de espera de um cliente por
uma mesa num restaurante seja uma distribuição exponencial com média 5 minutos. Determine a probabilidade de que um cliente espere mais do que 10 minutos por uma mesa.
λe − λx , x ≥ 0
.
Dado: função densidade exponencial: f X ( x ) = 
caso contrário
0,
RESPOSTA: 13,53%.
2. (HSU; 1997, p. 98) A FDP conjunta de uma VA bivariada ( X , Y ) é dada por:
kxy, 0 < x < 1, 0 < y < 1
,
f X ,Y (x, y ) = 
caso contrário
0,
em que k é uma constante. Pede-se:
(a) Encontre o valor de k .
(b) X e Y são independentes?
(c) Encontre P( X + Y < 1) .
RESPOSTAS: (a) 4; (c)
1
.
6
3. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 118) Certo tipo de resistor é considerado acei-
tável se seu valor estiver entre 45 e 55Ω e é considerado ideal se estiver entre 48 e 52Ω. O
valor desses resistores tem distribuição normal com média de 53Ω e desvio padrão de 3Ω.
Em um lote de 200 resistores aceitáveis, quantos resistores ideais devem-se esperar?
RESPOSTA: 87 resistores.
4. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 17) Um meteorologista acerta 80% dos dias
em que chove e 90% dos dias em que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover?
RESP: 47,06%.
5. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p.25) Rivelino e Zé Maria estão machucados e
talvez não possam defender o Corinthians em sua próxima partida contra o Palmeiras. A
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probabilidade de Rivelino jogar é de 40% e a de Zé Maria, 70%. Com ambos os jogadores, o Corinthians terá 60% de probabilidade de vitória; sem nenhum deles, 30%; com Rivelino, mas sem Zé Maria, 50%, e com Zé Maria, mas sem Rivelino, 40%. Qual é a probabilidade de o Corinthians ganhar a partida?
RESP: 0,45.
6. (PEEBLES, 2001, p. 173) X =
____
19
1 ____2 5
1
, X = , Y = 2, Y2 =
e C XY = −
para variá2
2
2
2 3
veis aleatórias X e Y .
(a) Encontre σ X2 , σ Y2 , R XY e ρ .
(b) Qual a media da variável aleatória W = ( X + 3Y ) + 2 X + 3 ?
2
Resposta: (a)
σ X2 =
9 2 11
6− 3
− 66
; σY =
; R XY =
; ρ =
; (b) 96,27.
4
2
6
99
7. (LATHI, 1998, p. 486) Duas variáveis aleatórias X e Y são relacionadas por:
Y = k1 X + k 2
em que k1 e k2 são constantes arbitrárias. Mostre que o coeficiente de correlação ρ XY = 1 se
k1 for positivo e ρ XY = −1 se k1 for negativo.
8. (LATHI, 1998, p. 485) Encontre a média, a média quadrática e a variância da variável
aleatória X cuja FDP é dada pela figura a seguir.
f X (x )
K
x
-1
Respostas:
3
5
17
1
X = ; E X 2 = ; σ X2 = .
3
6
18
[ ]
9. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 1993, p. 55) Seja X uma variável aleatória contínua
com função densidade constante entre a e b , a < b . Mostre que:
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(b − a ) .
a+b
e σ X2 =
12
2
2
E [X ] =
10. (PEEBLES, 2001, p. 178) Uma variável aleatória complexa Z é definida por
Z = cos ( X ) + j sin (Y ) ,
em que X e Y são variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas entre −π
e π.
(a) Encontre o valor médio de Z .
(b) Encontre a variância de Z .
11. (SOARES NETO; CYMBALISTA, 1974) Considere dois eventos A e B tais que:
P (A) =
1
1
1
; P (B | A) = ; P (A | B ) = .
4
2
4
(a) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justifique.
(b) Os eventos A e B são independentes? Justifique.
( )
( )
(c) Calcule P A B , P(A B ) + P( A B ) e P A B .
RESP: (c) ¾; 1 e ¼ respectivamente.
12. (PEEBLES, 2001, p. 173) (2,5) Em um sistema de controle, sabe-se que uma tensão alea-
tória
X
tem valor médio
X = m1 = −2 V e um momento de segunda ordem
[ ]
E X 2 = m2 = 9 V2. Se a tensão X é amplificada por um amplificador que tem como saí-
[ ]
da Y = −1,5 X + 2 , encontre σ X2 , Y , E Y 2 , σ Y2 e R XY .
Resposta: (a)
σ X2 = 5 ; Y = 5 ; E [Y 2 ] = 36,25 ; σ Y2 = 11,25 ; R XY = −17,5 .
13. (DEVORE, 2006, p. 210) Dois componentes de um microcomputador têm a seguinte FDP
conjunta para seus tempos de vida útil X e Y :
 xe − x (1+ y ) , x ≥ 0 e y ≥ 0
f XY ( x, y ) = 
.
caso contrário
0,
(a) Quais são as FDPs marginais de X e Y ? Estes tempos de vida são independentes? Justifique.
(b) Qual a probabilidade de que o tempo de vida X do primeiro componente exceda 3?
Resposta: (a)
f X (x ) = e − x , x ≥ 0 ; f Y ( y ) =
1
(1 + y )2
; (b) 0,0498.
3
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14. (LATHI, 1998, p.483) A PDF conjunta f X ,Y ( x, y ) de duas variáveis aleatórias contínuas é
dada por:
f XY ( x, y ) = xye
(a) Determine f X (x ) , f Y ( y ) , f X Y (x y ) e f Y
X
−
(x
2
+ y2
2
)
u ( x )u ( y )
( y x ).
(b) x e y são independentes?
Resposta: (a)
f X ( x ) = xe
−
x2
2
u ( x ) ; f Y ( y ) = ye
−
y2
2
u ( y ) ; f X Y (x y ) = f X ( x ) ; f Y
X
(y x ) = f ( y ) ; (b) Sim.
Y
15. (PEEBLES, 2001, p. 101) Certo medidor é projetado para medir pequenas tensões dc, mas
comete erros por causa de ruído. Estes erros podem ser representados de forma precisa por
uma variável aleatória gaussiana com média zero e desvio padrão 10 −3 V. Quando a tensão
dc está desconectada descobre-se que a probabilidade do medidor registrar um valor positivo é 0,5 por causa do ruído. Quando a tensão dc está presente, esta probabilidade tornase 0,2514. Qual o valor da tensão dc?
Resposta: -0,67mV
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