3
aula
Janeiro de 2012
TEORIA DE ERROS II:
Objetivos: Familiarizar o aluno com o tratamento estatístico de medidas e com a propagação
de erros.
3.1 Introdução
Nos laboratórios de física, as grandezas determinadas experimentalmente têm uma incerteza
intrínseca que vem das diferentes fontes de erro. As fontes de erro fazem com que toda medida
realizada, por mais cuidadosa que seja, seja afetada por um erro experimental. Esses erros podem ser
classificados em dois grupos: os erros sistemáticos e os erros estatísticos.
Os erros sistemáticos1 são aqueles causados por diferentes fatores e são classificados em:
a) Instrumentais: Erros que resultam da calibração do instrumento de medida;
b) Ambientais: Provenientes de fatores ambientais como temperatura, pressão, umidade,
aceleração da gravidade, campo magnético terrestre, luz e ruídos.
c) Observacionais: Aqueles devidos a pequenas falhas de procedimento ou às limitações do
próprio observador. Um erro deste tipo é o de paralaxe, que ocorre devido a uma posição
inadequada na leitura das escalas de instrumentos.
d) Acidentais: Que ocorrem inevitavelmente. Por exemplo, erros de julgamento na estimativa da
fração da menor divisão de uma escala.
e) Grosseiros: Devidos à falta de atenção ou de prática do operador. Por exemplo, enganos na
leitura de instrumentos, ao escrever 7248 ou 7428 quando o número é 7482.
f) Teóricos: São erros que resultam do uso de fórmulas teóricas aproximadas para obtenção dos
resultados.
Os erros estatísticos, por sua vez, são aqueles causados por flutuações nas medidas das
grandezas.
1
Observação – Uma das principais tarefas do experimentador é identificar e eliminar o maior número possível de erros
sistemáticos.
Caderno de Laboratório de Física
11
3.2 Tratamento Estatístico de Medidas
3.2.1 Valor Médio de uma Grandeza
O valor médio é representado por um único valor e é calculado dividindo a soma de todos os
valores medidos de uma grandeza pelo número de medidas que deu origem à soma, isto é, a média
aritmética de uma série de medidas:
1
N
X
N
Xi .
(3.1)
i 1
sendo:
X i : o valor de cada medida;
N : o número total de medidas;
X : o valor médio das N medidas.
3.2.2 Desvio Padrão  E
A estatística indica que uma estimativa do desvio das medidas em relação ao valor médio é
dada pelo cálculo do desvio padrão  E , cuja expressão é a seguinte:
E
N
1
N 1
Xi
2
X .
(3.2)
i 1
É importante observar que uma grandeza medida é caracterizada pelo seu valor médio, e que
esse valor médio deve sempre ser escrito com o seu respectivo desvio padrão, que representa um
intervalo onde o valor verdadeiro pode se situar. Por exemplo, várias medidas da aceleração da
gravidade g resultarão em um valor médio g e seu respectivo desvio padrão  g . O verdadeiro valor
da aceleração da gravidade provavelmente estará contido no intervalo [ g   g , g   g ] ou,
resumidamente, g   g .
Note ainda que todo instrumento de medida possui uma incerteza, que chamaremos de
M .
Por exemplo, numa régua milimetrada o menor valor de leitura é 1 milímetro (mm), e uma grandeza
cujo comprimento estiver compreendido entre uma e outra marca na escala dessa régua
necessariamente terá uma incerteza
 M associada
a ela. Essa incerteza geralmente é tomada como
sendo a metade da menor escala do instrumento, ou seja,  M  0,5 mm no exemplo da régua. Assim,
12
Caderno de Laboratório de Física
associada à média, há a incerteza inerente ao instrumento de medida (  M ) e a incerteza estatística
(  E ), dada pela Eq.(3.2). Em qualquer caso, a incerteza a considerar é sempre a maior delas, ou seja:
a) Se o desvio padrão for maior que a incerteza instrumental, o valor X mais provável da medida
estará compreendido no intervalo X
b)
 E;
X
Se o desvio padrão for menor que a incerteza instrumental, o valor X mais provável da
medida estará compreendido no intervalo X
M .
X
3.3 Propagação de Erros
Certas grandezas físicas são calculadas a partir de outras obtidas através de medições diretas,
por exemplo, a área de um retângulo. Se cada grandeza medida (lado do retângulo) vier acompanhada
de um desvio, a grandeza calculada (área) também deverá ser representada com seu respectivo desvio.
Para calcular este desvio, existem regras definidas pelo cálculo diferencial que fogem do enfoque
deste curso. Existe, porém, uma forma simples que não exige conhecimento mais profundo do cálculo,
mostrado no exemplo 1.
Exemplo 1
Para se achar o desvio padrão A da área do retângulo associada ao produto dos lados
a
a e b
b , calcula-se os valores máximos e mínimos da área:
Amax
(a
Amin
(a
a) (b
a) (b
b)
b)
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b ;
a b .
O desvio A será então dado por:
A
Amax
Amin
2
a b
b a .
O mesmo procedimento é adotado para as outras operações (divisão, subtração e soma) e o
resultado mostrado abaixo:
Soma:
(a
a)
(b
b)
(a
Subtração:
(a
a) (b
b)
(a
b)
b)
(a
(a
b)
b)
(3.1)
Caderno de Laboratório de Física
Divisão:
Multiplicação: (a
13
(a
a)
a) (b
(b
b)
b)
a b
(a
b)
(a b
ab
ba
b2
b a)
3.4 Erro Relativo Percentual
Uma outra forma de avaliar o resultado da medida de uma grandeza é feita pela comparação
deste resultado com um valor preestabelecido da mesma. Como valor de referência pode-se escolher o
valor tabelado ou a média de um conjunto de medidas da grandeza. Esta comparação permite
determinar o erro relativo percentual, que é dado por
E% 
X X
.100
X
onde X é o valor medido e X é o valor de referência.
Exercícios
1. A distância focal d (cm) de uma lente convergente foi determinada a partir das posições de um
objeto luminoso e da imagem correspondente, formada pela lente. A medição é repetida 12 vezes.
204
206
208
227
229
230
237
237
238
240
241
243
Pede-se:
a) O valor médio;
b) O desvio padrão;
c) O valor da medida com sua incerteza.
2.
Efetue as operações:
a)
(2,345  0,005) + (1,824  0,003);
b)
(4,03  0,01) x (2,74  0,03);
c)
(2,345  0,005) – (1,824  0,003);
d)
(2,523  0,004)  (5,121  0,006).