Revisão para a Bimestral – 8º ano
1- Quadrado da soma de dois termos
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos:
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
Exercícios
Calcule:
a) (3 + x)² =
b) (x + 5)² =
c) ( x + y)² =
d) (x + 2)² =
e) ( 3x + 2)² =
f) (2x + 1)² =
g) ( 5+ 3x)² =
h) (2x + y)² =
i) (r + 4s)² =
j) ( 10x + y)² =
l) (3y + 3x)² =
m) (-5 + n)² =
n) (-3x + 5)² =
o) (a + ab)² =
p) (2x + xy)² =
q) (a² + 1)² =
r) (y³ + 3)² =
s) (a² + b²)² =
t) ( x + 2y³)² =
u) ( x + ½)² =
v) ( 2x + ½)² =
x) ( x/2 +y/2)² =
2-Quadrado da diferença de dois termos
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²
Exercícios
Calcule:
a) ( 5 – x)² =
b) (y – 3)² =
c) (x – y)² =
d) ( x – 7)² =
e) (2x – 5) ² =
f) (6y – 4)² =
g) (3x – 2y)² =
h) (2x – b)² =
i) (5x² - 1)² =
j) (x² - 1)² =
l) (9x² - 1)² =
m) (x³ - 2)² =
n) (2m⁵ - 3)² =
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =
3-Produto da soma pela diferença
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
Exemplos :
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²
EXERCÍCIOS
Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y) =
b) (y – 7 ) . (y + 7) =
c) (x + 3) . (x – 3) =
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) =
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) =
g) (3x + y ) (3x – y) =
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) =
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) =
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) =
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) =
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) =
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =
Fatoração
O QUE SIGNIFICA FATORAR?
Fatorar significa transformar em produto.
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto
indicado de polinômios ou monômios e polinômios.
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em
evidência. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.
1-Fator comum
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx
ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O x é fator comum e foi colocado em evidência.
Exemplos
Vamos fatorar as expressões
1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)
Fatore as expressões:
a) 4x + 4y =
b) 7a – 7b =
c) 5x – 5 =
d) ax – ay =
e) y² + 6y =
f) 6x² - 4a =
g) 4x⁵ - 7x² =
h) m⁷ - m³ =
i) a³ + a⁶ =
j) x² + 13x =
k) 5m³ - m² =
l) x⁵⁰ + x⁵¹ =
m) 8x⁶ - 12x³ =
2-Agrupamento
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by
ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)
Observe o que foi feito:
Nos dois primeiros temos “x em evidência”.
Nos dois últimos fomos “y em evidência”.
Finalmente “ (a + b) em evidência”.
Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator
comum.
Exemplo:
5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)
Fatore as expressões:
a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =
3-Diferença de dois quadrados
Vimos que: ( a+ b ) (a –b) = a² - b²
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes
quadradas dos dois termos.
Exemplo:
x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)
Exercícios
Fatore as expressões:
a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =
4-Trinômio quadrado perfeito
Vimos que:
(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²
(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²
Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas.
Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
O resultado terá o sinal do termo do meio.
Para fatorar um trinômio quadrado perfeito extrai a raiz quadrada do 1º termo e
a do 3º termo , atente-se ao sinal e eleva-se ao quadrado.
Exercícios
Fatore as expressões
a) m² -12m + 36=
b) a² + 14a + 49 =
c) 4 + 12x + 9x² =
d) 9a² - 12a + 4 =
e) 9x² - 6xy + y² =
f) x² + 20x + 100 =
g) a² - 12ab + 36b² =
h) 9 + 24a + 16a² =
i) 64a² - 80a + 25 =
j) a⁴ - 22a² + 121=
Termos Semelhantes
Observe esses termos algébricos: x3, 27x3,
3
x3, 125x3. Note que todos eles
5
possuem x3, por essa razão são chamados de termos semelhantes.
Exercício
Escreva se os termos algébricos em cada item são ou não semelhantes.
a) 4x2 e 4x3
d)
3
x e -x
g)
8a
e
3a
3
5
8
b) 5xy2 e 7xy2
e) 7ab e 6ba
h) 9x e 9y
c) 9y e -2y
f) 4xy3 e 4x3y
i) xy e -xy
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
7x3 + 5x3 = 12x3
O exemplo nos mostra que devemos:
 Somar algebricamente os coeficientes;
 Manter a mesma parte literal.
Outros exemplos: 7ab2 – 3 ab2 + 2ab2 = 6ab2
MULTIPLICAÇÃO
(5x2) . (3x4) = 12 x6
O exemplo nos mostra que devemos:

Multiplicar os coeficientes;

Multiplicar as partes literais, usando a propriedade
de potência: multiplicação de potências de mesma
base, conserva a base e soma-se os expoentes.
DIVISÃO
(20x5) : (4x2) = 5 x3
O exemplo nos mostra que devemos:


Dividir os coeficientes;
Dividir as partes literais usando a propriedade de
potência: na divisão de potências de mesma
base, conservamos a base e subtrai os
expoentes.
MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIO POR POLINÔMIO
2x . (7x2 – 4x + 5) = 2x . (7x2) - 2x . (-4x) + 2x . (5) =
14x3 + 8x2 + 10x
O exemplo nos mostra que:

Multiplicamos o monômio por todos os termos do polinômio.
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO
( x + 4 ) . ( x – 2 ) = x2 – 2x + 4x – 8 = x2 + 2x – 8
Na prática:

Multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do
segundo polinômio e, a seguir, reduzimos os termos semelhantes.
Provas anteriores
1- Indique quais dessas sentenças abaixo são identidades.
I-
(a –b).(a-b) = b2 – 2ba + a2
II- (x2 +y)2 = y2 + x4 + 2yx2
III- x2 – y2 = (y + x ).(y – x)
IV- ( m + n )2 – 2mn = n2 + m2
É correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
)I é falsa.
)I, II e III são verdadeiras.
)todas as alternativas são verdadeiras.
)II e III são falsas.
2- O quadrado de uma soma é indicado pelo quadrado do 1º termo, mais
duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo. E o
quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo,
menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º
termo. Sabe-se que os trinômios abaixo podem ser obtidos a partir do
quadrado da soma ou do quadrado da diferença. Em cada item ,
descubra qual é:
a) X²-10x+25=
b) X²-8xy+16y²=
3- Com base nos estudos desenvolvidos a respeito dos produtos notáveis,
calcule a seguinte expressão (2n+1)² +(n+2)²+2(n+1)(n-1) :
4-Desenvolva os quadrados e reduza os termos semelhantes:
a)
b)
c)
d)
(3x – 1)2 – 6x2 + 6x =
X(x-3)2 – 4(x+ )2 =
(x-3)2 – (x+2)2 + (x+3)(x-1) =
(x-1)2 – ( x+1)2 =
5- As expressões em que aparecem letras no lugar de números são
chamadas expressões algébricas. Nessas expressões, as letras são
chamadas variáveis.
Efetue as operações abaixo.
a)(4x² + 5x -3) + (- 2x + 3)=
b)(2a³ + 3a² - 5) – (2a³ - 5a² - 6)=
c)(5x –xy)(xy)=
d)(7x²)(5x – 16)=