Universidade Federal de Minas Gerais
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia de Estruturas
NOTAS DE AULA
Análise Estrutural I
Estudo das Grelhas Isostáticas
Autor
Prof. Estevão Bicalho Pinto Rodrigues
Segunda Edição – Ano 2006
ESTUDO DAS GRELHAS ISOSTÁTICAS
1-) GENERALIDADES
1.1- Equações de Equilíbrio de um Sistema de Forças no
Espaço
Dado um sistema de eixos X, Y e Z, sabemos que um sistema de
forças no espaço está em equilíbrio quando a resultante das forças é
nula e o momento resultante também é nulo.
r
Vetorialmente, teremos: F = 0 e
r
M =0.
Se, entretanto, escrevermos as equações das componentes dos
vetores segundo os eixos X, Y e Z, teremos:
Σ FX = 0
Σ FY = 0
Σ FZ = 0
1.2-
e
ΣMX = 0
ΣMY = 0
ΣMZ = 0
Sistema de Forças Paralelas no Espaço
Seja, agora, um sistema de forças paralelas ao eixo OZ (ver Figura
1).
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Neste caso, as equações ΣFX = 0 e ΣFY = 0 se transformam em
meras identidades (0=0) pois as forças não tem componentes
segundo os eixos X e Y. Além disso, a equação ΣMZ = 0 também se
transforma em identidade pois as forças, sendo paralelas ao eixo OZ,
não dão momento em relação a este eixo.
Logo, ficam válidas as equações restantes, a saber:
Σ FZ = 0
ΣMX = 0
ΣMY = 0
2-) GRELHAS
2.1
– Definição
“Grelha é uma estrutura plana, submetida a um carregamento
perpendicular a este seu plano”.
Admitindo-se o plano XY como sendo o plano da grelha, as cargas
terão todas a direção Z. Neste caso, as equações de equilíbrio serão:
Σ FZ = 0
ΣMX = 0
ΣMY = 0
Logo, uma grelha será isostática quando ela possuir apenas 3
vínculos externos (3 incógnitas a determinar).
2.2
– Grelhas Isostáticas
Os tipos mais comuns de grelhas isostáticas são as indicadas abaixo:
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a-) GRELHA ENGASTADA
Trata-se de uma grelha com 1 apoio engastado e os demais nós
livres, cujas reações de apoio (VAZ, MAX e MAY) são obtidas através
das equações de equilíbrio citadas no item 2.1.
b-) GRELHA SOBRE 3 APOIOS
Nesta grelha, as reações de apoio (VA, VC e VD) são obtidas através
das equações de equilíbrio citadas no item 2.1.
Entretanto, os 3 apoios NÃO PODEM estar sobre a mesma reta pois,
neste caso, teremos uma forma crítica, uma vez que a grelha não
resistirá às forças verticais que não estiverem sobre a reta que une
os 3 apoios.
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2.3
– Esforços Solicitantes na Grelha
Dada uma grelha no plano XY, se nós reduzirmos as forças atuantes
em um dos lados da seção genérica “S” de uma barra ao seu centro
de gravidade, obteremos a força cortante Q (que é perpendicular ao
plano XY da grelha) e o momento m, situado no plano XY.
r
Este momento m , que tem direção
r genérica, sempre poderá ser
da barra (que dará
decomposto em uma componente T na direção
r
torção nesta barra), e em uma componente M , perpendicular ao eixo
da barra (que produzirá flexão da barra no plano perpendicular ao da
grelha).
Logo, os esforços solicitantes que atuam na grelha são a força
cortante Q, o momento torsor T e o momento fletor M.
OBSERVAÇÃO:
No caso de uma estrutura plana ser submetida a um
carregamento oblíquo ao seu plano, ele deverá ser decomposto em 2
carregamentos, sendo 1 perpendicular ao seu plano e o outro em seu
próprio plano.
Para o carregamento perpendicular ao plano, a estrutura deverá
ser analisada como grelha. Entretanto, para o carregamento em seu
próprio plano, ela deverá ser analisada como pórtico plano e
necessitará possuir pelo menos três vínculos no próprio plano, para
garantir a sua sujeição completa para este carregamento.
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3-) EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
3.1 – Grelha Engastada
Para a grelha abaixo, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio de
barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes
a-) reações se apoio
* ΣV = 0
VA – 2 - 3*2,5 = 0
VA = 9,5 t
* ΣMXBC = 0
-9,5*4 + 8 – MXA = 0
MXA = -30 tm
* ΣMYAB = 0
MYA – 2*2,5 –7,5*1,25 = 0
MYA = 14,38 tm
b-) equilíbrio de barras e nós
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b.1 – barra BC
→ MXB = 0
ΣMY = 0 → -2*2,5 – 3*(2,5)2/2 + MYB = 0 → MYB = 14,38 tm
ΣMXB = 0
b.2 – barra AB (verificação)
→ OK
ΣMY = 0 → OK
ΣV = 0
ΣMX = -9,5*4 + 8 + 30 = 0
→ OK
c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras)
d-) relatório do Programa INSANE
Observação:
Nos exemplos apresentados nestas notas de aula, as barras
da grelha encontram-se no PLANO XY (eixo Y horizontal, para
direita; eixo X vertical, para baixo) conforme indicado nas figuras
ilustrando a geometria das grelhas em planta. O carregamento
transversal é perpendicular a este plano, ou seja, o carregamento
tem a direção do eixo Z.
Entretanto, no Programa INSANE, as barras da grelha
encontram-se no Plano XZ (eixo X horizontal, para a direita; eixo Z
vertical, para cima), e o carregamento transversal é perpendicular a
este plano, ou seja, o carregamento tem a direção do eixo Y.
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3.2 – Grelha sobre 3 Apoios
Para a grelha a seguir, determinar: as reações de apoio, o equilíbrio
de barras e nós e os diagramas dos esforços solicitantes:
a-) reações de apoio
* ΣMYAC = 0
-4*VF + 3*3 + 5 + 8*4 = 0
VF = 11,5 t
* ΣMXA = 0
11,5*13 – 8*3 +8*VC –16*4 = 0
VC = -7,688 t
* ΣV = 0
VA + 11,5 – 7,688 – 16 – 8 = 0
VA = 20,18 t
b-) equilíbrio de barras e nós
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Decomposição da barra BE
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b.1 – barra DE
→ 3*3 + MEY’ = 0 → MEY’ = -9 tm
ΣMXE = 0 → 8*3 – MEX’ = 0 → MEX’ = 24 tm
ΣMY = 0
b.2 – barra EF
→ MEY’’ = 0
ΣMXE = 0 → 11,5*7 – MEX’’= 0 → MEX’’ = 80,5 tm
ΣMY = 0
b.3 – barra BE
→ 104,5 + 3,5*3 - MBX’ = 0 → MBX’ = 115 tm
ΣMYB = 0 → -3,5*4 + 9 + 5 – MBY’ = 0 → MBY’ = 0
ΣMXB = 0
b.4 – barra AB
→ MBY’’ = 0
ΣMXB = 0 → -20,188*3 + 6*1,5 – MBX’’ = 0 → MBX’’ = -51,564 tm
ΣMY = 0
b.5 – barra BC
→ MBY’’’ = 0
ΣMXB = 0 → -7,688*5 – 10*2,5 – MBX’’’ = 0 → MBX’’’ = -63,44 tm
ΣMY = 0
c-) diagramas (lado de referência é a face inferior das barras)
d-) relatório do Programa INSANE
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