ISSN 1984-8218
Reconstrução Algébrica e Tomografia Computadorizada
Lara Martins Barbosa1, Marcos Antônio da Câmara2
UFU - Faculdade de Matemática – Campus Santa Mônica
38408-100, Uberlândia, Minas Gerais
E-mail: [email protected], [email protected]
RESUMO
A tomografia computadorizada (TC), introduzida na prática clínica em 1972, é uma
modalidade da Radiologia reconhecida pelo alto potencial de diagnóstico. A TC possibilitou a
investigação por imagem de regiões do corpo humano até então não reproduzidas pelos métodos
convencionais. Como visto em [1], a invenção da TC apoiou-se em um tubo de raios-X que gira
emitindo radiação em torno do paciente num plano axial. Um conjunto de detectores
posicionados no lado oposto do tubo capta os fótons de raios-X que atravessam o paciente sem
interagir e um algoritmo de reconstrução, composto de uma seqüência de instruções
matemáticas, converte os sinais medidos pelos detectores em uma imagem. A imagem por TC é
um mapeamento do coeficiente linear de atenuação da seção do corpo humano em estudo. A
imagem é apresentada como uma matriz bidimensional em que a cada elemento desta matriz, o
pixel, é atribuído um valor numérico, denominado número de TC. Este é expresso em unidades
Hounsfield (UH) e está relacionado ao coeficiente linear médio de atenuação do elemento de
volume, voxel, no interior do corte que o pixel representa. O grau da qualidade da imagem ligase à fidelidade com que o conjunto de números de TC reproduz as pequenas diferenças em
atenuação entre os tecidos.
Em [2], vemos que os fótons que constituem o feixe de raios X são absorvidos pelo tecido
dentro do pixel numa taxa proporcional à densidade de raios X do tecido. Se o feixe de raios X
passa por uma fileira inteira de pixels, então o número de fótons saindo de um pixel é igual ao
número de fótons entrando no próximo pixel na fileira. Se estes pixels são numerados e é a
densidade de raios X do j-ésimo pixel então, pela propriedade aditiva da função logarítmica,
temos que
Já a densidade de feixe do i-ésimo feixe de um escaneamento é denotada por
e é dada por
Para cada feixe que passa paralelo por dentro de uma fileira de pixels nós devemos ter que
Assim, se o i-ésimo feixe passa paralelo por dentro de cada pixel de uma linha ou coluna de
pixels numerados
então,
.
1 Aluna PROMAT/FAMAT-UFU
2 Tutor do PET Matemática da UFU – SESu/MEC
Agradecimento: Os autores agradecem à FAPEMIG pelo apoio financeiro
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ISSN 1984-8218
Se definirmos
então, podemos escrever
Logo, escrevendo o conjunto de M equações de feixe de um escaneamento completo, teremos
um sistema linear
de M equações (as M equações de feixe) em N incógnitas (as N
densidades de pixel). Neste trabalho vamos considerar apenas o sistema sobredeterminado, em
que M > N. Devido aos erros experimentais e de modelagem não devemos esperar que nosso
sistema linear tenha uma solução matemática exata, portanto encontraremos uma solução
“aproximada” para o sistema.
Muitos foram os algoritmos desenvolvidos para tratar o sistema sobredeterminado. O
Algoritmo de Kaczmarz, que iremos descrever, encontra-se em [3] e pertence a uma classe
chamada de Técnicas de Reconstrução Algébrica.
; para a primeira rodada, tome p = 1; para k = 1, 2,...,
Escolha um ponto arbitrário do
M, calcule
–
; denote
p em 1 e retorne ao cálculo de
sobre o hiperplano
. A iterada
; aumente o número da rodada
é chamada a projeção ortogonal de
.
Consequentemente, este algoritmo determina uma sequência de projeções ortogonais de um
hiperplano sobre o seguinte até chegar ao último, quando então retornamos, voltando a projetar
no M-ésimo hiperplano, convergem a um ponto
sobre o primeiro. As iteradas
naquele hiperplano que não depende da escolha do ponto inicial
Na tomografia computadorizada é escolhida uma das iteradas
, com suficientemente
grande, como uma solução aproximada do sistema linear para as densidades dos pixels.
O algoritmo de reconstrução é selecionado conforme a indicação clínica e a área de estudo.
Alguns intensificam as bordas melhorando a resolução espacial, apropriados para exibir a
imagem detalhada do tecido ósseo. Contudo, todas as técnicas devem resolver o mesmo
problema matemático básico: encontrar uma boa solução aproximada de um sistema
sobredeterminado e inconsistente constituído de um grande número de equações lineares.
Palavras-chave: Tomografia, Algoritmo de Kaczmarz, Reconstrução algébrica
Referências
[1] M. T. Carlos, “Tomografia computadorizada: Formação da imagem e radioproteção”,
LNMRI, IRD/CNEN, 2002.
[2] A. Howard, e C. Rorres, “Álgebra linear com aplicações”, 8ª edição, Bookman, Porto
Alegre, 2001.
[3] T. Strohmer and R. Vershynin, A randomized Kaczmarz algorithm with exponential
convergence, J. Fourier Anal. Appl., vol. 15, pp. 262-278, (2009).
1 Aluna PROMAT/FAMAT-UFU
2 Tutor do PET Matemática da UFU – SESu/MEC
Agradecimento: Os autores agradecem à FAPEMIG pelo apoio financeiro
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