5ª Edição – Março 2009
Calheta
Humor
2
Desafio 1
“Problema das linhas”
Desenha uma linha contínua composta no máximo por
po quatro
segmentos de recta que percorra os nove pontos.
Desafio 2
“Problema dos quatro quatros”
Sabias que é possível escrever os números inteiros de 1 a 100,
100 usando
apenas quatro números 4? Que tal tentares?
Podes usar, para além dos quatro números 4, todos
os os sinais
matemáticos (+ - x :), mas não podes usar letras ou símbol
bolos como:
tan (tangente), log (logaritmo), lim (limites), …
Deixamos-te apenas uma pista:
1 = 44 ÷ 44
Agora é a tua vez de continuar até ao número 100!
3
Desafio 3
Como é possível colocar 10 soldados em 5 filas, ficando 4 soldados
em cada uma das filas?
4
Curiosidade
3,14159265358979323846.
Este é apenas o início de um número muito
especial com uma infinidade de casas decimais: o
número Pi representa o valor da razão entre a
circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro,
ou seja, a relação que existe entre o perímetro de
uma circunferência e o seu diâmetro. É uma das
grandes constantes universais conhecidas pelo
homem, a que se deu o nome de Pi.
Isto quer dizer que se pudéssemos ter uma
circunferência de um metro de diâmetro construída
com um fio, cortássemos o fio e o estendêssemos no
chão para formar um segmento, este teria um
comprimento exactamente igual ao valor de Pi (3,14…).
Sabes quantas casas decimais do número Pi são conhecidas?
São conhecidas 51539600000 casas decimais de Pi, calculadas por
Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997. Em
21/8/1998 foi calculada pelo projecto Pihex a 5000000000000a. casa
binária de Pi.
No dia 14 de Março (data que nos EUA se escreve 3/14), celebra-se
em todo o mundo o Dia do pi (3,14.). Esta celebração tem como objectivo
promover junto do público em geral o gosto pela Matemática,
aproveitando o interesse que o p tem suscitado ao longo dos tempos em
todas as culturas. 2006 foi muito especial, porque marcou o 300º
aniversário da aplicação da letra grega p para designar este número,
utilizada pela primeira vez em 1706 na publicação "Synopsis Palmariorium
Mathesios" de William Jones.
(in www.pititi.com)
5
Desafio 4
Qual é o próximo número desta sequência?
4 8 16 32 ...
Desafio 5
Completa a frase substituindo os traços por números que
podem ser repetidos.
Se_______homem_________num bar e______ beber_____pagar,
vem__________polícia e diz __________ prender.
6
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Critério de divisibilidade por 2
Um número é divisível por dois se for par (ou seja, se o número terminar
em 0, 2,4, 6, ou 8).
Critério de divisibilidade por 3
Um número é divisível por três se a soma dos seus algarismos for um
múltiplo de três.
Critério de divisibilidade por 4
Um número é divisível por quatro se o número formado pelos seus dois
últimos algarismos for um múltiplo de quatro.
Critério de divisibilidade por 5
Um número é divisível por cinco se terminar em 0 ou 5.
Critério de divisibilidade por 6
Um número é divisível por seis se for divisível por 2 e por 3.
Critério de divisibilidade por 9
Um número é divisível por nove se a soma dos seus algarismos for um
múltiplo de 9.
Critério de divisibilidade por 10
Um número é divisível por dez se terminar em 0.
7
Critério de divisibilidade por 11
Um número é divisível por onze se a diferença entre a soma
ma dos seus
algarismos de ordem pare a soma dos seus algarismos de ordem
em ímpar for
um múltiplo de 11.
Problema:
Prob
Num grupo de cinco pessoas, as que têm olhos verdes dizem
m sempre a
verdade e todas as que têm olhos azuis são sempre mentirosas.
Cada pessoa do grupo pode ver as restantes e, em conversa, dize
izem:
o
azuis.
Pessoa A:
A - Vejo três pessoas com olhos verdes e uma só com olhos
Pessoa B:
B - Eu vejo quatro pessoas com olhos azuis.
Pessoa C:
as uma com
C - Eu cá vejo três pessoas com olhos azuis e apenas
olhos
Pessoa D:
D - (Ficou calada).
Pessoa E:
E - Vejo quatro pessoas com olhos verdes.
Qual é a cor dos olhos de cada uma das pessoas A, B, C, D e E?
8
Problema:
O caracol na subida
Um caracol sobe pela parede de um prédio. Durante o dia sobe três
metros mas à noite adormece e escorrega dois.
O seu objectivo é comer umas plantas que estão localizadas numaa vvaranda a
10 metros de altura do solo.
Quantos dias precisa o caracol para, a eeste
ste ritmo, chegar à varan
aranda onde
estão as plantas?
CURIOSIDADE
URIOSIDADE
Você conhece o número mágico?
1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:
Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemp
emplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o meno
enor do
maior:
875 - 578 = 297
Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico).
9
DESAFIO 5
As nove moedas
A avó Maria é coleccionadora de moedas, e decidiu oferecer ao
seu neto nove moedas exactamente iguais excepto no peso, oito
delas têm o mesmo peso e a outra é mais leve.
No entanto propôs-lhe o seguinte problema:
“Com apenas duas pesagens, numa balança de
pratos, descobre qual é a maIs leve”.
Consegues descobrir?
Enigma
Enigma 1
A Ana, o Chico, a Maria e o Zé pretendem atravessar uma
densa floresta durante a noite dispondo para isso de uma lanterna
cujas pilhas durarão 60 minutos.
O caminho é estreito, permitindo apenas a passagem de duas
pessoas de cada vez.
O tempo que cada um demora a atravessar a floresta varia
de pessoa para pessoa:
- O Chico demora 5 minutos; a Maria 10 minutos; o Zé 20
minutos e a Ana demora 25 minutos.
Como conseguirão atravessar a floresta antes que as pilhas
Ana
da lanterna se esgotem?
25m
Chico5
m
Zé Maria
20m 10m
10
Enigma
Enigma 2
Primavera… de circunferências!
O Zéfiro desenha uma flor dentro de uma circunferência, mante
antendo
sempre a mesma abertura do compasso, tal como mostra a figura abaix
baixo.
Sabendo que a flor que o Zéfiro desenhou tem perímetro 2,, qual
qua é o raio
da circunferência inicial?
Dica:
Nota que a flor desenhada pelo Zéfiro divide a
circunferência inicial em várias partes iguais.
ILUSÕES
O cavaleiro…e o seu cavalo!
Vira a figura
contrário…
O que vez?
ao
Qual é a bola cinzenta escura
scura maior?
11
Enigma 3
A jogar… à geometria!
Um poliedro em forma de bola de futebol,
como mostra a figura, é constituído por 32 figuras, 20
das quais são hexágonos regulares e 12 são
pentágonos regulares.
Consegues descobrir quantos vértices tem
este poliedro?
Dica:
Repara que cada vértice pertence a várias figuras simultaneamente.
Linhas e pontos!
Num livro de brincadeiras o Martim tenta percorrer com o
lápis uma figura dada, passando por todos os pontos e segmentos, mas
sem tocar duas vezes no mesmo segmento e sem nunca levantar o
lápis.
Entre as figuras abaixo encontra-se uma para a qual não é
possível fazer isso. Sabes qual delas é?
Achas que conseguias descobrir essa figura se não pudesses usar o
lápis? De que modo?
Dica: Tenta descobrir o ponto (ou os pontos) por onde deves começar
o percurso.
12
O Número
Número Extra do Bilhete de Identidade
Em Portugal, os Bilhetes de Identidade possuem um misterioso número
extra. Cada número tem sete algarismos, digamos 7310682 mais um número
adicional, que normalmente não serve para nada, que neste caso seria o 8.
É claro que este número tinha que dar origem a infindáveis conversas de
café. Por exemplo, este número é o número de pessoas com o mesmo nome do
dono do cartão. O portador do cartão 7310682 tem mais 8 homónimos. Mas
será verdade? Não, é mentira!
O número extra é um algarismo de controlo de erros.
Para um número típico: abcdefg h em que h é o algarismo extra é válida a
seguinte condição:
8 × a + 7 × b + 6 × c + 5 × d + 4 × e + 3 × f + 2 × g + 1 × h = múltiplio de 11 .
No caso do número 7310682 - 8 teríamos: 8 x 7+ 7 x 3 + 6 x 1 + 5 x 0 + 4 x 6
+ 3 x 8 +2 x 2 +1 x 8 = 143. Como 143/11 =13, conclui-se que 143 é múltiplo de
11 e assim sendo, o número do Bilhete de Identidade é válido.
Para que é que isto serve?
Caso alguém se engane num algarismo do seu número, os serviços poderão
recuperar o número correcto sabendo que o resultado terá que ser múltiplo de
11.
13
Por exemplo:
4264167 - 6 tem um algarismo errado porque:
8 × 4 + 7 × 2 + 6 × 6 + 5 × 4 + 4 × 1 + 3 × 6 + 2 × 7 + 1 × 6 = 144;
144
= 13,09
11
Devia ser possível recuperar o número correcto, mas não é, porque há muitas
hipóteses, mesmo considerando que só um dos algarismos está errado. Por
exemplo, se o primeiro algarismo for 8 e não 4 obtém-se:
8 × 8 + 7 × 2 + 6 × 6 + 5 × 4 + 4 × 1 + 3 × 6 + 2 × 7 + 1 × 6 = 176 ,
176/11 =16 Mas se o quarto número for 9 e não 1 obtém-se:
8 × 4 + 7 × 2 + 6 × 6 + 5 × 4 + 4 × 9 + 3 × 6 + 2 × 7 + 1 × 6 = 176;
176
= 16 .
11
Mas o sistema permite detectar erros e corrigir erros simples, como por
exemplo a troca de um algarismo por um imediatamente acima ou abaixo.
Soluções da Edição Anterior (2ª Edição):
Desafio 1
Resposta: eram apenas três pessoas, um avô, um pai e um filho. O pai é filho do avô
Desafio 2
Pedro não pagou. Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou
sem pagar. Se Mário não falou a verdade, então o que os outros 3 afirmaram é verdade. Concluise que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a
afirmação de Pedro seria verdade, mas a de Carlos seria falsa.
Problema:
Se comprou perdeu (-) dinheiro e quando vende ganha (+)
logo o nosso problema fica: -150 +100 - 50 +200 =200, ou seja, ganhou 200 euros.
14
Adivinha: 5 de 25 é 5.
Desafio 1: 5 + 5 + 5=550 (ou seja, 545+5=550).
Buraco: Não existem meios buracos.
Cubi Cruza Fácil
3
7
4
1
2
1
5
8
5
6
9
8
4
6
9
1
9
2
1
4
1
3
7
2
3
3
8
7
5
5
3
1
9
7
9
1
4
5
2
2
Sudoku Puzzle 9
9
2
5
1
3
8
4
6
7
3
1
2
6
9
7
5
8
4
6
4
8
7
5
9
2
1
3
7
6
1
4
8
2
3
9
5
5
8
4
9
2
6
7
3
1
4
3
7
2
6
8
5
9
1
5
9
3
7
4
6
2
8
8
7
6
5
1
3
9
4
2
2
9
3
8
4
5
1
7
6
15
Laboratório de Matemática
MatLândia
(Antiga Sala de Estudo Pav. 4)
Professores de Matemática
Escola Básica e Secundária da Calheta
Professores organizadores:
Prof. Marisa Silva
Prof. Nélia Nascimento
Prof. Sofia Grandão
Prof. Tânia Marinho
e-mail: [email protected]
Visita-nos: http://matlandiacalheta.com.sapo.pt
16