Resolução da Lista 1
Demonstração da regra de divisibilidade por 4 para um número de 5 algarismos quaisquer.
Seja abcde um número de quatro algarismos, onde a pode estar de 1 até 9 e b, c,d e e estão de 0 à 9.
Podemos reescrever abcde como :
abcde  10000a  1000b  100c  10d  e
Sabemos que:
10000  4  2500
1000  4  250
100  4  25
Substituindo, abcde , fica da seguinte forma:
abcde  4  2500a  4  250b  4  25c  10d  e
Podemos perceber que o termo 4  2500a  4  250b  4  25c é múltiplo de 4. Daí, para que abcde seja múltiplo
de 4, basta que a última parcela da soma abaixo também seja múltipla de 4.
abcde  (4  2500a  4  250b  4  25c)  10d  e , ou seja, que 10d  e seja um múltiplo de 4.
Como, do número abcde , os dois últimos algarismos, de é exatamente 10d  e , já que d é a dezena e e a unidade.
Portanto, de tem que ser um número divisível por 4.
Assim, demonstramos a regra de divisibilidade por 4, que é: um número é divisível por 4 quando os dois últimos
algarismos formam um número divisível por 4.
Extra:
1) Demonstração da regra de divisibilidade por 3 para um número genérico de 6 algarismos:
Seja abcdef , um número genérico com 6 algarismos, onde a pode estar de 1 até 9 e b, c, d, e e f estão de 0 à 9.
De forma análoga a que foi feita na demonstração dessa mesma regra para um número de 4 algarismos, podemos
reescrever abcdef como sendo:
abcdef  100000a  10000b  1000c  100d  10e  f
Sabemos que:
100000a  99999a  a
10000b  9999b  b
1000c  999c  c
100d  99d  d
10e  9e  e
Fazendo a substituição, temos:
abcdef  99999a  a  9999b  b  999c  c  99d  d  9e  e  f
Usando as propriedades associativas e comutativa da soma, podemos escrever abcdef , como:
abcdef  (99999a  9999b  999c  99d  9e)  (a  b  c  d  e  f )
Como
99999  3  33333
9999  3  3333
999  3  333
99  3  33
9  3 3
Podemos afirmar que primeira parcela da soma acima é múltipla de 3. Portanto, para que abcdef seja divisível por
3, basta que a parcela (a  b  c  d  e  f ) também seja, como queríamos.
2) Demonstração da regra de divisibilidade por 3 para um número genérico de 7 algarismos: (repetirei a
demonstração anterior)
Seja abcdefg , um número genérico com 7 algarismos, onde a pode estar de 1 até 9 e b, c, d, e, f e g estão de 0 à 9.
De forma análoga a que foi feita na demonstração dessa mesma regra para um número de 4 algarismos, podemos
reescrever abcdefg como sendo:
abcdefg  1000000a  100000b  10000c  1000d  100e  10 f  g
Sabemos que:
100000aa  999999a  a
100000b  99999b  b
10000c  9999c  c
1000d  999d  d
100e  99e  e
10 f  9 f  f
Fazendo a substituição, temos:
abcdefg  999999a  a  99999b  b  9999c  c  999d  d  99e  e  9 f  f  g
Usando as propriedades associativas e comutativa da soma, podemos escrever abcdefg , como:
abcdefg  (999999a  99999b  9999c  999d  99e  9 f )  (a  b  c  d  e  f  g )
Como
999999  3  333333
99999  3  33333
9999  3  3333
999  3  333
99  3  33
9  3 3
Podemos afirmar que primeira parcela da soma acima é múltipla de 3. Portanto, para que abcdefg seja divisível por
3, basta que a parcela (a  b  c  d  e  f  g ) também seja, como queríamos.