TÍTULO
Matemática 6.a Classe
A U TO R E S
Isabel Ferreira do Nascimento
Wandanda Mbanza João
COLABORAÇ ÃO E REVISÃO
Cungatiquilo Cano
E D I TO R
ÁRVORE DO SABER
P R É - I M P R E S S Ã O, I M P R E S S Ã O
E A C A B A M E N TO S
Damer Gráficas, S.A.
MORADA
Rua Rainha Ginga, 182-A
Bairro Ingombotas
Luanda • ANGOLA
Internet: [email protected]
©2010
ÁRVORE DO SABER
LUANDA, 2010 • 1.ª EDIÇÃO
REGISTADO NA BIBLIOTECA NACIONAL
DE ANGOLA SOB O N.º 9197/10
INTRODUÇÃO
Os conteúdos seleccionados para esta classe visam adaptar o aluno
ao desenvolvimento e progresso com diferentes motivações, interesses, capacidades e conhecimentos; criando condições para a sua inserção num mundo em mudança.
Para melhor compreensão, iremos tratar os seguintes conteúdos:
1
Números e operações
Multiplicação de números inteiros e números decimais; decomposição de números naturais em factores primos na forma potencial;
critérios de divisibilidade por 10, 5 e 2; cálculo de m.m.c. e de m.d.c.
de dois ou mais números naturais; números racionais, adição e subtracção de fracções; divisão de números em forma de fracções; expressões numéricas e respectivas propriedades.
2
Geometria
Paralelogramo; triângulo; eixo de simetria; bissectriz de um ângulo; área de círculo; medição de volumes cilíndricos; área do triângulo;
área do paralelogramo.
3
Proporcionalidade
Proporções, percentagens, gráficos circulares, escala. Esclarece-se
que, nesta classe, a ordem de apresentação dos conteúdos é linear; isto
quer dizer que os conteúdos se encontram em «blocos» e essa é a ordem lógica por que devem ser tratados.
4
Estatística
Noções elementares de estatística: a moda, a média aritmética, a
mediana, tabelas e gráficos.
ÍNDICE
Tema
1
Números e operações
Multiplicação de números inteiros e de números decimais ................................................
Multiplicar um número inteiro por um número decimal .....................................................
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtracção................
Números primos e números compostos ..................................................................................
Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência ...........
Critérios de divisibilidade por 2 ...............................................................................................
Critério de divisibilidade por 10 e 5 .........................................................................................
Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum ............................................................
Ampliação de fracções ................................................................................................................
Simplificação de fracções ...........................................................................................................
Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções ......................................
Operações com números racionais ...........................................................................................
Adição e subtracção de fracções................................................................................................
Fracções com denominadores diferentes .................................................................................
Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista .....................................
Propriedades da adição de números fraccionários ................................................................
Propriedade associativa..............................................................................................................
Propriedade comutativa .............................................................................................................
Existência de elemento neutro...................................................................................................
Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais ................................
Adição de fracções decimais......................................................................................................
Adição escrita dos números decimais ......................................................................................
Subtracção de fracções decimais ...............................................................................................
Multiplicação de números fraccionários..................................................................................
Multiplicação de uma fracção por um número inteiro..........................................................
Inverso de um número ...............................................................................................................
Divisão de números fraccionários.............................................................................................
Multiplicação de números decimais.........................................................................................
Divisão de números fraccionários representados por números decimais..........................
Tema
8
8
11
14
14
15
16
17
19
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23
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28
29
29
30
30
31
31
33
35
39
40
43
44
2
Geometria
Triângulos .....................................................................................................................................
Construção de triângulos ...........................................................................................................
Construção de triângulos segundo os lados ...........................................................................
Construção de triângulos segundo os ângulos e lados .........................................................
Quadriláteros................................................................................................................................
Propriedades dos quadriláteros ................................................................................................
48
48
48
53
58
58
ÍNDICE
Propriedades dos paralelogramos ............................................................................................
Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo.........................................................................
Eixo de simetria ...........................................................................................................................
Bissectriz de um ângulo .............................................................................................................
Área do paralelogramo...............................................................................................................
Área do triângulo ........................................................................................................................
Área do círculo.............................................................................................................................
Cálculo da medida da área do círculo......................................................................................
O volume do prisma ...................................................................................................................
Prisma cuja base é um paralelogramo .....................................................................................
Volume dos prismas triangulares rectos ..................................................................................
Volume de prismas rectos não triangulares ............................................................................
Volume do cilindro......................................................................................................................
Tema
60
63
63
64
67
68
69
69
71
71
71
72
72
3
Proporcionalidade
Sucessões numéricas ...................................................................................................................
Sucessões numéricas proporcionais..........................................................................................
Proporcionalidade directa ..........................................................................................................
Sistema de coordenadas rectangulares ....................................................................................
Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa ..........................................................
Proporções ....................................................................................................................................
Noção de proporções ..................................................................................................................
Designação dos termos de uma proporção .............................................................................
Propriedade fundamental das proporções ..............................................................................
Percentagens.................................................................................................................................
Percentagens e cálculo mental...................................................................................................
Conversões de fracções ordinárias em percentagens.............................................................
Gráficos circulares .......................................................................................................................
Percentagens.................................................................................................................................
Escala .............................................................................................................................................
Tema
76
76
77
79
79
81
81
82
82
84
84
85
86
86
87
4
Estatística
Noções elementares de estatística.............................................................................................
Medidas de tendência central....................................................................................................
A moda ..........................................................................................................................................
A média aritmética ......................................................................................................................
Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
92
92
93
94
• Multiplicação de números inteiros e números decimais
• Propriedade distributiva da multiplicação em relação
à adição e à subtracção
• Números primos e números compostos
• Decomposição de números inteiros em factores primos
sob a forma de potência
• Critérios de divisibilidade por 2
• Critérios de divisibilidade por 10 e por 5
• Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
• Ampliação de fracções
• Simplificação de fracções
• Uso do máximo divisor comum para a simplificação
de fracções
• Cálculo com números racionais
• Adição e subtracção de fracções representadas
sob a forma mista
• Propriedade de adição de números racionais
• Cálculo com números decimais envolvendo as fracções
decimais
Números
e operações
TEMA
1
TEMA
1
Multiplicação de números inteiros e de números decimais
Observa a conversa entre amigos.
Mário,
sabes calcular
4 × 0,3?
Repara:
4 × 0,3 = 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3
Se 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 1,2
então,
4 × 0,3 = 1,2.
E se fosse
3 × 4,5 = 4,5 + 4,5 + 4,5
4,5 + 4,5 + 4,5 = 13,5
então,
3 × 4,5 = 13,5.
Oh! João,
é muito simples.
Multiplicar um número inteiro por um número decimal
Multiplicam-se os números como se fossem inteiros.
O produto tem tantas casas decimais como o número decimal.
1.
Quantos metros de tecido terá de comprar a Dona Anita para fazer 2 vestidos,
se cada vestido levar 1,5 m?
R.: ________________________________________________________________________________________________________
8
NÚMEROS E OPERAÇÕES
2.
3.
Calcula mentalmente.
6 × 2,5 =
2,8 × 10 =
5,5 × 2 =
19 × 0,5 =
2,5 × 4 =
0,15 × 5 =
A Dona Maria colocou uma renda à volta de uma toalha com a configuração da
figura abaixo apresentada.
2,50 m
1,20 m
Quanto gastou ela, se cada metro de renda custou 15 000 kz?
R.: ______________________________________________________________________________________________________________________
Observa os produtos.
0,6 × 3 = 1,8
5,2 × 8 = 41,6
3 × 0,6 = 1,8
8 × 5,2 = 41,6
Certamente observaste que o produto não se altera se trocarmos a ordem dos
factores. A isto chama-se Propriedade Comutativa da Multiplicação.
1. Resolve.
4,5 × 6 =
5 × 8,3 =
6 × 4,5 =
7,9 × 2 =
8,3 × 5 =
2 × 7,9 =
2. Completa utilizando a propriedade comutativa da multiplicação.
16,6 × 4 = 4 × ________
25,1 × ________ = 5 × 25,1
3,15 × 2 = ________ × 3,15
________
× 9,6 = 7 × ________
9
TEMA
1
Já conheces também outra propriedade: a Propriedade Associativa.
Observa:
(1,6 × 8) ________ = ________ × (8 × 4)
(2,3 × ________) × 5 = 2,3 × (10 × ________)
O cálculo de produto torna-se mais simples se utilizarmos a propriedade associativa da multiplicação
Observa e completa, como nos exemplos.
1,5 × 1,2 × 4 × 2 =
= (1,5 × 2) × (1,2 × 4)
= 3 × 4,8
= 14,4
3,1 × 3 × 0,2 × 5 = (3,1 × 3) × (0,2 × 5)
= 9,3 × 1
= 9,3
8 × 7 × 9 × 5 = (8 × 5) × (________ × ________)
= ________ × ________
= ________
18 × 6 × 9 × 3 = (________ × ________) × (________ × ________)
= ________ × ________
= ________
10
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Propriedade distributiva da multiplicação
em relação à adição e à subtracção.
A Mónica tem 2 irmãos.
Deu a cada um deles 3 rebuçados e 4 pastilhas.
Ao todo, quantas guloseimas deu a Mónica?
1.° Procedimento
Observa como é fácil calcular.
Número total de guloseimas
3 + 4 = ________
2 × (3 + 4) = ________ × ________
= ________
2.° Procedimento
Número total de guloseimas para os dois irmãos
2 × 3 = ________
Número total de pastilhas para os dois irmãos
2 × 4 = ________
Número total de guloseimas e de pastilhas para os dois irmãos
2 × 3 + 2 × 4 = ________ + ________
Concluímos então que:
2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4
A Mariana comprou 5 bananas e 3 maçãs para levar para o hospital.
Cada fruta custou 200 kwanzas.
Quanto pagou a Mariana pelas frutas?
1.° Procedimento
O número total de frutas
5 + 3 = ________
Quantia a pagar
(5 + 3) × 200 = ________ × ________
11
TEMA
1
Quantia total a pagar pelas bananas
5 × 200 = __________
Quantia total a pagar pelas maçãs:
3 × 200 = __________
Quantia total a pagar pelas frutas:
5 × 200 + 3 × 200 = __________ + __________ = __________
Concluímos então que:
(5 + 3) × 200 = 5 × 200 + 3 × 200
Esta propriedade chama-se Propriedade Distributiva da Multiplicação em Relação à Adição.
Será que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção?
Observa
A Nanda comprou 4 cadeiras no Super África, cujo preço era de 15 000 kz cada. No
entanto, foi feito um desconto de 200 kz por cada cadeira. Quanto pagou a Nanda?
«Contas» feitas pela Nanda.
Quantia a pagar por cada cadeira: 15 000 kz – 200 kz
Quantia a pagar pelas 4 cadeiras:
4 cadeiras = 4 × (15 000 – 200) = ____________ × ____________ = ____________
Super África
Preços das cadeiras sem descontos: 4 × 15 000 = ______________
Total dos descontos: 4 × 200 = ______________
Total a pagar: 4 × 15 000 – 4 × 200 = ______________ – ______________ = ______________
Conclusão
4 × (15 000 – 200) = 4 × 15 000 – 4 × 200
12
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Concluímos que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção.
Calcula como no exemplo:
6 × (9 – 5) = 6 × 9 – 6 × 5
= 54 – 30
= 24
16 × (10 – 7) = (________ × ________) – (________ × ________)
= ________ – ________ – ________
= ________
5,2 × (6 + 4) = (________ × ________) + (________ × ________)
= ________ + ________
= ________
2,7 × (13 – 10) = (________ × ________) – (________ × ________)
= ________ – ________
= ________
6,7 × (9 + 7) = (________ × ________) + (________ × ________)
= ________ + ________
= ________
Completa usando a propriedade distributiva:
5 × (13 + 6) = ________ × 13 + ________ × 6
Verificas que há um factor comum aos dois produtos. Este factor é o 5. Então, também podemos escrever:
5 × 13 + 5 × 6 = 5 × (13 + 6)
Põe em evidência o factor comum.
6×9+6×5
5,2 × 6 – 5,2 × 4
12 × 3 + 1,2 × 3
7 × 93 + 16 × 7
8×3+8×7
7,6 × 9 + 9 × 3
2,5 × 5 + 0,8 × 5
3 × 24 + 9 × 24
17 × 4 + 4 × 8
4,8 × 2 + 4,8 × 4
10 × 2,3 – 3 × 2,3
32 × 8 + 14 × 8
13
TEMA
1
Números primos e números compostos
Estudámos o conjunto de divisores de alguns números naturais.
Divisores de 3 = {1; 3}
Divisores de 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Divisores de 17 = {1; 17}
Divisores de 9 = {1; 3; 9}
Divisores de 8 = {1; 2; 4; 8}
Um número chama-se primo se admitir dois e só dois divisores, o número 1 e o próprio número.
Verificamos que os números 3 e 17 só têm dois divisores, o número 1 e o próprio
número. Esses números chamam-se números primos.
Os restantes números chamam-se compostos porque admitem mais de dois divisores.
O número 1 nem é primo nem é composto porque admite apenas um divisor: ele
próprio.
Indica todos os números primos compreendidos entre os seguintes números:
a) 10 e 20
c) 30 e 40
e) 40 e 50
b) 50 e 60
d) 0 e 20
f) 70 e 80
Qual é o maior número primo inferior a 20?
Diz o maior número primo compreendido entre 13 e 17.
Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência
Decomposição em factores primos
Repara:
30 = 2 × 15 ou 30
15
5
1
2×3×5
30 = 2 × 3 × 5
14
2
3
5
28 = 2 × 14 ou 28 2
14 2
7 7
1
2×2×7
28 = 2 × 2 × 7
NÚMEROS E OPERAÇÕES
O que verificaste?
Ao fazermos a decomposição de um número inteiro em factores de maneira que
todos os factores sejam números primos, efectuamos uma decomposição em factores primos.
Decompõe como no exemplo:
108 = 2 × 54
= 2 × 2 × 27
=2×2×3×9
=2×2×3×3×3
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
128 =
50 =
162 =
Decomposição sob a forma de potência
Observa o exemplo anterior.
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Nesta decomposição em factores primos, aparecem repetidos factores comuns que
podemos escrever sob a forma potencial.
2 × 2 = 22 (lê-se dois ao quadrado)
3 × 3 × 3 = 33 (lê-se três ao cubo)
Esta forma de escrever chama-se potência. Numa potência «an» em que «a» é a
base e «n» é o expoente, o expoente indica o número de factores iguais à base.
Escreve os números dos exercícios anteriores sob a forma de potência.
Critérios de divisibilidade por 2
Observa o quadro seguinte e completa.
Número
Resto da
divisão por 2
7
16
23
39
1
72
92
45
144
60
113
40
17
98
0
15
1
TEMA
Diz quais são os números que, ao serem divididos por 2, dão resto zero.
Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em 0, 2, 4, 6 e 8.
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades
é 0, 2, 4, 6 e 8, se o número for par. Os outros números não são
divisíveis por 2.
Critério de divisibilidade por 10 e 5
Observa e completa o quadro seguinte.
Número
25
96
10
15
30
105 600 810
Resto da
divisão por 10
Diz quais os números que, ao dividirmos por 10, dão resto zero.
Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em zero.
Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades for 0.
Tal como na divisão por 10, 30, 660 e 810, os números também dão resto zero.
Realizamos o mesmo raciocínio para encontramos um critério para a divisibilidade
por 5.
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Utilizando os critérios de divisibilidade, escreve quais dos seguintes números são
divisíveis por 2, por 5 ou por 10.
Número
924
96 500
4586
3670
265 300
16
2
5
10
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
Para conhecermos o m.d.c. e o m.m.c., podemos começar a organizar conjuntos de
divisores.
Observa:
Escreve o conjunto de divisores comuns de 9 e 15.
D 9 = {1; 3; 9}
D 15 = {1; 3; 5; 15}
{divisores comuns de 9 e 15} = {1; 3}
Certamente irás perguntar qual será o m.d.c.
Formamos, para cada um dos números dados, o conjunto dos respectivos divisores
e, com base neste, determina-se o conjunto dos divisores comuns, sendo o seu elemento máximo o m.d.c.
No exemplo precedente, 3 é o m.d.c. de 9 e 15.
Mas como calcular o máximo divisor comum?
Consideremos os números 18, 48 e 72.
1. Decompor em factores primos
18 = 2 × 3 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
2. Escrever os produtos sob a forma potencial
18 = 2 × 32
48 = 24 × 3
72 = 23 × 32
3. Seleccionar os factores primos comuns
(de menor expoente)
2e3
4. Formar o produto das potências
seleccionadas
2×3=6
m.d.c. (18, 48, 72) = 6
17
TEMA
1
O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números
é igual ao produto de factores comuns de menor expoente.
Consideremos agora os múltiplos comuns de 3 e 5.
Múltiplos de 3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; …; 30; …}
Múltiplos de 5 = {5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
Consideremos agora os múltiplos comuns dos números 3 e 5 = {15; 30; 45; …}
Entre todos os múltiplos de 3 e 5, existe o menor múltiplo comum, que é 15.
Assim, m.m.c. (3; 5) = 15
Como calcular o mínimo múltiplo comum?
Consideremos os números 27 e 40.
1. Decompor em factores primos
27 = 3 × 3 × 3
40 = 2 × 2 × 2 × 5
2. Escrever os produtos sob a forma potencial
27 = 33
40 = 24 × 5
3. Seleccionar os factores primos comuns
(de maior expoente) e não comuns
23; 33 e 5
4. Formar o produto das potências
23 × 33 × 5 = 1080
seleccionadas
m.d.c. (27, 40) = 1080
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números é
o produto de factores comuns e não comuns de maior expoente.
Exercícios
1.
Determina o m.d.c. dos seguintes números:
a) 4; 9; 24
2.
Determina por meio de decomposição em factores primos o m.m.c. dos seguintes números:
a) 8; 10; 12
18
b) 6; 34; 221
b) 44; 78; 143
c) 15; 18; 24
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Ampliação de fracções
Observa as seguintes fracções:
3 6 12 24
; ;
e
3 4 8 18
3 × 2 6 × 2 12 × 2 24
=
=
= …
2 × 2 4 × 2 8 × 2 16
As fracções
6 12 24
3
=
=
resultam da ampliação da fracção .
4 8 16
2
Essas fracções chamam-se fracções equivalentes.
Amplia as seguintes fracções por 2, 3 e 4:
a)
1
2
b)
2
6
c)
3
2
Se multiplicarmos os dois termos da fracção pelo mesmo
número, obteremos uma fracção ampliada.
Vamos representar as fracções seguintes na semi-recta numérica:
0
1
2
3 6 12 24
; ;
e
.
2 4 8 16
3
3 6 12 24
; ;
;
2 4 8 16
Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo ponto
da semi-recta numérica.
19
TEMA
1
Exercícios
1.
Amplia a fracção
3
sucessivamente pelos números seguintes.
4
a) 4
b) 2
c) 12
d) 7
2. Representa as fracções
1 3
7 6
; ; 0, 5; e na semi-recta numérica.
2 4
6 3
Simplificação de fracções
Observa as seguintes fracções:
24 12 6 3
;
; ;
16 8 4 2
24 2 12 2 6 2 3
÷ =
÷ = ÷ =
16 2 8 2 4 2 2
As fracções
12 6 3
24
; ;
resultam da simplificação da fracção
por 2.
8 4 2
16
Simplifica as seguintes fracções:
a)
2
4
b)
16
24
c)
36
48
d)
12
18
e)
60
90
f)
140
200
24 12 6
;
;
Se se efectuar a simplificação sucessiva às fracções
por 2, obteremos a
16 8 4
3
fracção .
2
20
NÚMEROS E OPERAÇÕES
A fracção
3
não pode mais ser simplificada, pois é uma fracção irredutível.
2
Uma fracção chama-se irredutível se os seus termos
forem primos entre si.
3 2 4 3
; ; ;
5 7 9 4
As fracções
24 12 6
3
;
;
representam o mesmo número , portanto, são chamadas
16 8 4
2
fracções equivalentes.
Vamos representar as fracções
0
24 12 6 3
;
; ; na semi-recta numérica.
16 8 4 2
1
2
3
24 12 6 3
;
; ;
16 8 4 2
Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo ponto
da semi-recta numérica.
1.
Representa as fracções
0
2.
1
12 1 4 56
; ; e
na semi-recta numérica.
8 2 3 8
2
3
4
5
6
7
Escreve algumas fracções equivalentes a:
a)
1
3
b)
4
5
c)
5
10
d)
2
9
f)
13
15
g)
3
9
h)
21
22
i)
14
15
e)
12
6
21
TEMA
3.
Demonstra por meio do desenho que:
a)
4.
e)
6.
1 3
=
3 9
b)
2 4
=
5 10
c)
1 3
=
4 12
Completa as equivalências.
a)
5.
1
2 8
=
3
16
=
8
2
b)
1
=
4 12
c)
2
=
5 40
f)
=
1
9
g)
15
=
14 28
99
d)
1
=
12
36
Simplifica.
a)
5
=
15
b)
12
=
48
c)
36
=
72
d)
16
=
18
e)
14
=
28
f)
48
=
96
g)
72
=
360
h)
90
=
900
Determina as fracções equivalentes a
7
cujos numeradores estão compreendi9
dos entre 34 e 95.
Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções
A simplificação de fracções cujos termos são muito grandes torna a divisão sucessiva dos termos mais fastidiosa. Vamos usar o máximo divisor comum para simplificar as fracções.
Exemplo: para simplificar a fracção
104
, decompomos em factores primos:
140
105 = 21 × 5 = 3 × 7 × 5 = 3 × 5 × 7
140 = 14 × 10 = 2 × 7 × 2 × 5 = 22 × 5 × 7
m.d.c. (105; 140) = 5 × 7 = 35
105
35
7
1
3
5
7
105 = 3 × 5 × 7
22
140
70
35
7
1
2
2
5
7
140 = 22 × 5 × 7
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Dividimos os termos da fracção pelo m.d.c. (105; 140 = 35)
105 35 3
÷
=
140 35 4
Simplifica as seguintes fracções (usando o m.d.c.):
a)
36
90
b)
153
432
c)
600
630
d)
300
180
Operações com números racionais
Adição e subtracção de fracções
Fracções com o mesmo denominador
A Isabel comprou uma tablete de chocolate
que dividiu em 5 partes iguais.
1
3
e no segundo dia . Qual é a parte de chocolate que a
5
5
Isabel comeu nos dois dias?
Para resolver este problema, vamos adicionar as duas fracções.
No primeiro dia comeu
1 3 1+ 3 4
+ =
=
5 5
5
5
Conhecendo a parte de chocolate que a Isabel comeu, podemos calcular a parte que
ficou.
5
Já se sabe que o chocolate foi dividido em 5 partes iguais ou .
5
A parte de chocolate que ficou é igual a
5 4 1
– = .
5 5 5
Para adicionar fracções de igual denominador, somam-se os numeradores, mantendo-se o denominador comum.
3 2 3+2 5
+ =
=
7 7
7
7
1 3 2 1+ 3 + 2 6
+ + =
=
8 8 8
8
8
Para subtrair fracções de igual denominador, subtraem-se os numeradores, mantendo-se o denominador comum.
4 2 4–2 2
– =
=
5 5
5
5
15 9 15 – 9 6
–
=
=
22 22
22
22
23
1
TEMA
Exercícios
1.
Calcula as somas ou diferenças das fracções seguintes.
A
2.
24
B
a)
2 1
–
4 4
g)
23 12
–
25 25
a)
13 2 4
+ +
5 5 5
b)
15 4
–
13 13
h)
29 20
–
53 53
b)
10 9 16
+ –
6 6 6
c)
15 4
+
13 13
i)
22 11 10
–
–
12 12 12
c)
205 150 90
+
–
120 120 120
d)
17 18
+
15 15
j)
101 99
–
344 344
c)
10 9 16
+ +
6 6 6
e)
8+2 4
+
15
15
l)
32 17
–
63 63
d)
697 45
28
–
+
173 173 173
f)
1 2 3
+ +
7 7 7
m)
138 102 14
–
–
19
19 19
Completa com a fracção que falta.
a)
9
+
7
d)
19
–
15
=
g)
6
+
15
+
=
15
7
b)
18
=
25
7
15
e)
4
–
9
2 15
=
15 15
h)
+
=
–
8
25
1
9
3 11
=
11 11
c)
13
–
9
f)
1
+
4
i)
+
=
+
5
9
1 4
=
4 4
9 22
=
29 29
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Fracções com denominadores diferentes
Como adicionar ou subtrair fracções com denominadores diferentes.
Exemplo:
3 5
+ =
2 7
;
8 2
– =
10 5
Já aprendeste a transformar as fracções noutras equivalentes.
Vamos transformar essas fracções em fracções equivalentes, ampliando-as, de
modo a obter fracções com denominadores iguais.
3 6 9 12 15 18 21
= = =
=
=
=
…
2 4 6 8 10 12 14
5 10
=
7 14
As fracções
3 21
e
são equivalentes.
2 14
De modo igual,
Assim,
5
10 21 10
;
e
é equivalente a
têm o mesmo denominador.
7
14 14 14
3 5 21 10 21 + 10
+ =
+
=
.
2 7 14 14
14
De modo igual,
8 2 8
4 8–4 4
– =
–
=
=
.
10 5 10 10
10
10
Para adicionar fracções com denominadores diferentes, deve-se:
– reduzir as fracções ao mesmo denominador;
– calcular a soma dos numeradores, mantendo o denominador comum.
De igual modo, para subtrair fracções com denominadores diferentes, deve-se:
– reduzir as fracções ao mesmo denominador;
– calcular a diferença dos numeradores, mantendo o denominador comum.
25
TEMA
1
Exercícios
1.
Calcula.
a)
2 1
+ =
3 2
b)
5 8
+
=
7 14
c)
3 1
– =
4 2
d)
1 5
+ =
4 6
e)
2 3 1
+ + =
5 4 2
f)
7 5
–
=
8 12
g)
5 3
– =
6 8
h)
10 6
– =
5 7
i)
3 2
– =
4 7
j)
15 6
+ =
8 9
Calcula a soma das seguintes fracções:
16 12
+
=
21 35
Se os denominadores tiverem grandes números, temos de achar o m.m.c. dos denominadores.
m.m.c. (21, 35) = 105
Assim:
16 80
12
36
=
e
=
21 105
35 105
(× 5)
(× 3)
36 116
16 12 80
+
=
+
=
21 35 105 105 105
De modo igual, para calcular
16 12
–
, procedemos como no caso anterior.
21 35
m.m.c. (21, 35) = 105, logo:
16 80
12
36
=
e
=
21 105
35 105
(× 5)
(× 3)
36
44
16 12 80
–
=
–
=
21 35 105 105 105
26
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercícios
Utilizando o m.m.c., calcula a soma ou a diferença dos dois números seguintes.
a)
5 13
+
12 8
b)
11 2
+
6 21
c)
4
5
–
27 36
d)
12 8
–
20 15
e)
35 25
–
91 65
f)
39 49
+
40 30
g)
11 17 7
+
+
24 36 81
h)
4 1 5 16 1 17
+ + + + +
7 6 14 21 3 8
i)
17 3
2
7
+
–
–
66 44 33 55
Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista
Exemplo:
1
3
a) 3 + 10 =
2
5
1 3
( 3 + 10) + + m.m.c. ( 2, 5) = 10
2 5
1
3
5
6
5+6
1
+
= 13 + +
= 13
= 14
13 +
2
5
10 10
10
10
( × 5)
c) 9
(× 2)
13
4
13 4
– 5 = ( 9 – 5) +
–
8
7
8 7
91 – 32
= 4+
56
59
=4
56
3
4
3 4
b) 7 + 5 = ( 7 + 5 ) + +
4
5
4 5
15 + 16
= 12 +
20
31
= 12
20
11
= 13
20
ou 9
13
4 85 39
–5 =
–
8
7 8
7
595 – 312
=
56
283
=
56
27
TEMA
1
Exercícios
1.
Calcula.
1
1
a) 5 + 2
3
7
e) 18
5
35
+ 20
75
210
i) 21 +
9
10
5
2
b) 6 – 7
9
7
f) 9 – 6
j) 7
3
5
1 1
c) 1 –
4 5
d) 10
6
12
+8
15
60
7
g) 4 – 3
4
1
1
h) 3 – 2
5
6
45
14
+5
50
28
Propriedades da adição de números fraccionários
Propriedade associativa
A soma
2 3 5
2 3 5 ⎛ 2 3⎞ 5
+ +
pode calcular-se da seguinte forma: + + = ⎜ + ⎟ + =
5 4 12
5 4 12 ⎝ 5 4 ⎠ 12
⎛ 8 + 15 ⎞ 5
=⎜
+
⎝ 20 ⎟⎠ 12
23 5
+
20 12
69 + 25 94
=
=
60
60
=
ou
2 3 5 2 ⎛3 5 ⎞
+ +
= +⎜ + ⎟
5 4 12 5 ⎝ 4 12 ⎠
2 ⎛ 9 + 5⎞
+⎜
⎟
5 ⎝ 12 ⎠
2 14
= +
5 14
24 + 70
=
60
94
=
60
=
28
NÚMEROS E OPERAÇÕES
⎛ 2 3⎞ 5 2 ⎛ 3 5 ⎞
Logo, ⎜ + ⎟ + = + ⎜ + ⎟ .
⎝ 5 4 ⎠ 12 5 ⎝ 4 12 ⎠
Esta igualdade traduz a propriedade associativa de adição dos números racionais.
De modo geral, se
a c e
; e
com b ≠ 0, d ≠ 0 e f ≠ 0 são números fraccionáb d f
rios, temos:
⎛ a c ⎞ e a ⎛ c e⎞
⎜⎝ + ⎟⎠ + = + ⎜⎝ + ⎟⎠
b d
f b
d f
Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é associativa.
Propriedade comutativa
2 5 5 2
+ = + Esta igualdade traduz a propriedade comutativa da adição dos nú7 8 8 7
meros fraccionários.
De modo geral, se
a c
e
com b ≠ 0 e d ≠ 0 são números fraccionários, temos:
b d
a c c a
+ = +
b d d b
Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é comutativa.
Existência de elemento neutro
7
7
7
+0= 0+
=
. 0 é o elemento neutro da adição dos números fraccionários.
10
10 10
Em geral, sendo
a
um número fraccionário qualquer, tem-se:
b
a
a a
+0= 0+ =
b
b b
29
TEMA
1
Problemas
1.
2.
O tio André comprou um terreno a prestações. Na primeira prestação, pagou
a quantia correspondente à metade do terreno. Na segunda prestação
1
. Que parte do terreno falta pagar?
3
3
Um bolo foi dividido em 15 partes iguais. O pai comeu
de bolo, a mãe
15
4
comeu
. Que parte de bolo ficou?
15
1
de exercícios de matemática de manhã. No perío3
1
do da tarde, resolveu . Que parte de exercícios fez no total? Que parte
5
de exercícios ficou por fazer?
3.
O senhor Dias resolveu
4.
Um auditório com 430 cadeiras está lotado com homens, mulheres e crianças. O número de mulheres é igual ao de crianças e o número de homens é
2
do número de mulheres. Quantas crianças estão no auditório?
5
5.
4
As turmas A e B da 6.a classe têm no total 105 alunos. A turma A tem
do
7
a
número de alunos da 6. B. Quantos alunos tem cada turma?
Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais
Adição de fracções decimais
José e Isabel estavam a pintar o pavimento
da sala, que se apresenta da seguinte forma:
J
J
J
I
I
I
I
No fim o pavimento ficou com este aspecto.
O José assinalou com J os quadrados que por ele foram pintados e com I os que
foram pintados pela Isabel.
Determina a parte pintada pelos dois.
30
NÚMEROS E OPERAÇÕES
O José pintou 0,3 ou 3/10 do pavimento e a Isabel pintou 0,4 ou 4/10.
3+ 4
10
7
=
10
= 0, 7
Os dois pintaram: 0,3 + 0,4 = 3/10 + 4/10 =
Outro exemplo de adição:
13, 005 + 2 , 346 + 0, 008 + 112 , 239
=
8
112239
13005 2346
+
+
+
1000
1000 1000 1000
=
13003 + 2346 + 8 + 112239
1000
=
127598
1000
= 127 , 598
Adição escrita dos números decimais
Com o mesmo número de casas decimais, pode ser efectuada a adição escrita dos
números naturais.
Colocam-se unidades por baixo de unidades, décimas por baixo de décimas, centésimas por baixo de centésimas de forma que as vírgulas fiquem no mesmo alinhamento.
0,3
13,005
+ 0,4
2,346
0,7
0,008
+ 112,239
127,598
Subtracção de fracções decimais
No exemplo precedente sobre o pavimento, pode calcular-se a parte da sala que
não foi pintada.
7
Já sabemos que a parte pintada representa os
de pavimento.
10
Que fracção representa a restante parte?
Sabemos que a sala foi dividida em 10 partes.
10
As 10 partes são representadas pela fracção
.
10
7
foram pintadas. É claro que podemos calcular a parte que resta.
10
31
1
TEMA
Assim, teremos:
10 7 10 – 7
–
=
10 10
10
=
3
10
Outro exemplo de subtracção:
15, 269 – 10, 385 =
15269 10385
–
1000
1000
=
15269 – 10385
1000
=
4884
1000
= 4, 884
A subtracção escrita dos números decimais com o mesmo número de casas decimais pode ser efectuada do mesmo modo que a adição escrita dos números naturais, respeitando as condições dadas na adição escrita.
1,0
– 0,7
15,269
– 10,385
0,3
4,884
Exercícios e Problemas
1.
32
Calcula sob a forma fraccionária.
1. a)
b)
c)
d)
3,5 + 2,18 + 21,009
5,19 + 4,2
6,4 + 10 + 1,38
12 + 3,106 + 0,004
e)
f)
g)
h)
0,7 + 0,25 + 4,008 + 1,572
3,5 + 6,01 + 0,8
0,008 + 0,014 + 1,006
6,4 + 1,25 + 0,425 + 1,4
2. a)
b)
c)
d)
13,5 – 11,06
9,86 – 5,998
0,8 – 0,567
3,2 – 1,289
e)
f)
g)
h)
5 – 0,03
1,4 – 0,76
2,412 – 1,367
0,763 – 0,397
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Exercícios e Problemas
2.
Calcula sob a forma de números decimais.
1. a) 5,7 +9,09 + 10,21
e) 18,23 – 7,615
b) 3,4 + 5,23
f) 12 – 0,09
c) 2,3 + 5,6 + 0,004
g) 3 – 0,003
d) 26,206 – 12,14
h) 75,2 – 68,54
3.
Um motorista percorreu no 1.° dia 15 km, no segundo dia 19 km e 7 m e no terceiro 25 km e 8 m. Calcula a distância percorrida pelo motorista durante os três
dias.
4.
A Ana preparou um bolo que comeu da seguinte forma:
5
5
No primeiro dia comeu
do bolo, no segundo dia comeu
e no terceiro dia
10
10
2
comeu
. Qual foi a parte do bolo que sobrou?
10
5.
Quanto tenho de juntar a 15,7 para obter 20,5?
6.
O José comprou 3,50 m de tecido para fazer duas calças, uma com 1,25 m e outra
com 1,75 m. Quantos metros de tecido sobraram?
Multiplicação de números fraccionários
A Cecília cultivou
2
5
de
da área do seu quintal. Qual é a área total destinada à
3
6
plantação?
Para responder, precisamos de calcular
Considera o rectângulo seguinte, que
representa a área total do quintal da
Cecília dividida em 3 partes iguais.
2
5
2 5
de , ou seja, × .
3
6
3 6
2
3
33
1
TEMA
Considera o mesmo rectângulo, dividido em 6 partes iguais.
5
6
Sobrepõe os dois rectângulos: obténs um rectângulo dividido em 18 partes iguais.
5
6
2
3
Assim,
Calcula:
2 5 10
2 5 2 × 5 10
× =
=
ou × =
.
3 6 18
3 6 3 × 6 18
1 5 1× 5 5
× =
=
2 3 2×3 6
Para multiplicar dois números representados por fracções, multiplicam-se os numeradores e os denominadores entre si.
34
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Multiplicação de uma fracção por um número inteiro
Exemplo 1:
2
×8=
5
Já sabes que todo o número inteiro pode escrever-se sob a forma de uma fracção
com denominador 1. Assim:
2
2 8
2 × 8 16
2
2 × 8 16
× 8 = × , logo,
=
ou × 8 =
=
5
5 1
5×1 5
5
5
5
Para multiplicar uma fracção por um número inteiro, multiplica-se o número pelo numerador, mantendo o denominador.
Exemplo 2:
1
× 1, 5 =
2
Usando a regra:
1
1 15 1 × 15 15 3
× 1, 5 = ×
=
=
=
2
2 10 1 × 10 20 4
Podes também calcular deste modo:
1
75
75 ÷ 25 3
× 1, 5 = 0, 5 × 1, 5 = 0, 75 ou
=
=
2
100 100 ÷ 25 4
Exercícios
1.
Calcula.
a)
5 1
×
7 9
b)
1 6
×
2 4
c)
25 4
×
30 14
d)
1
× 35
5
e)
1
×9
18
f)
3
× 0, 5
4
g)
2
× 1, 5
3
h)
1
× 0, 36
6
35
TEMA
1
Exercícios
2.
3.
4.
Faz os cálculos indicados e simplifica os resultados obtidos para expressões simples (fracções irredutíveis).
a)
4
×3
15
1
b) 2 × 6
3
e)
3
× 15
5
f) 5 ×
c) 12 ×
4
15
7
4
3
d) 3 × 8
4
1
g) 3 × 10
5
h) 15 × 3
1
5
Calcula.
a)
3 5 2
× ×
7 6 3
b)
5
4
×8×
8
15
c)
5 4 21
× ×
3 7 20
d)
5
4
×3×
12
5
e)
5
4
×3×
12
5
f)
1 2
× × 15
2 9
g)
15
8
× 12 ×
3
22
h)
15
16
×3×
12
3
Calcula.
a) 15,2 × 14,8 × 5,3
d) 1,2 × 1,5 × 3,9
b) 4,02 × 5,4 × 6
e) 3,02 × 1,51 × 3,1
c) 12,8 × 13,2 × 4,7
f) 1,6 × 4,1 × 5,07
Propriedades da multiplicação de números fraccionários
Completa a tabela seguinte.
Com base nos resultados obtidos
na tabela, completa e tira uma conclusão.
5
1, 5 × =
4
36
5
e × 1, 5 =
4
×
0
1
2
1,5
5
4
1
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1,5
0
5
4
0
1
0
4
5
0
6
7
0
NÚMEROS E OPERAÇÕES
A multiplicação dos números fraccionários é comutativa. Se a e b são números
fraccionários, temos a × b = b × a.
0×
6
=
7
e
6
×0=
7
0 é o elemento absorvente da multiplicação dos números fraccionários. Se a é um
número fraccionário, temos: a × 0 = 0 × a = 0
1
1
=
e ×1=
2
2
cionários.
1×
. 1 é o elemento neutro da multiplicação dos números frac-
Se a é um número fraccionário, temos: a × 1 = 1 × a = a.
Considera a seguinte expressão:
2 3 5
× ×
5 7 4
30
3
Calcula este produto. É óbvio que obténs
ou
. Calculamos esta expressão
140
14
da seguinte forma:
2 ⎛ 3 5⎞
⎛ 2 3⎞ 5
× ⎜ × ⎟ ou ⎜ × ⎟ ×
⎝ 5 7⎠ 4
5 ⎝ 7 4⎠
2 15 6 5
×
= ×
=
5 28 35 4
30
=
140
Podes concluir que:
2 ⎛ 3 3⎞ ⎛ 2 3⎞ 3
×⎜ × ⎟ =⎜ × ⎟ ×
5 ⎝ 7 4⎠ ⎝ 7 7 ⎠ 4
Já conheces esta propriedade: Propriedade Associativa.
Se a, b e c são números fraccionários, temos:
a × (b × c) = (a × b) × c
37
TEMA
1
O Pedro e o André estiveram a fazer o seguinte cálculo:
3 ⎛ 1 4⎞
×⎜ + ⎟
2 ⎝ 5 6⎠
Vejamos como os dois procederam:
Pedro
André
3 ⎛ 1 4⎞
×⎜ + ⎟
2 ⎝ 5 6⎠
3 6 + 20
= ×
2
30
3 26
= ×
2 30
3 × 26
=
2 × 30
78
=
60
78 ÷ 6 13
=
69 ÷ 6 10
3 ⎛ 1 4⎞
×⎜ + ⎟
2 ⎝ 5 6⎠
3 1 3 4
= × + ×
2 5 2 6
3 12
=
+
10 12
3
+1
=
10
3 10
=
+
10 10
3 + 10
=
10
13
=
10
Finalmente, os dois chegaram ao mesmo resultado.
O André utilizou um procedimento. Como se chama esta propriedade?
Logo, a propriedade que o André utilizou é a propriedade distributiva.
Tu também vais utilizar os dois procedimentos, procurando chegar ao mesmo
resultado.
4 ⎛ 5 1⎞
×⎜ – ⎟ =
5 ⎝ 3 2⎠
Com certeza que nos dois procedimentos chegaste ao mesmo resultado:
Podes concluir o seguinte:
A multiplicação dos números fraccionários é distributiva em
relação à adição e à subtracção.
Se a × (b ± c) = a × b ± a × c
38
28
14
ou
.
30
15
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Inverso de um número
A São e a Laura estavam a fazer perguntas em Matemática.
A Laura perguntou à São: Qual é o número que, multiplicado pelo número dado,
dá 1?
Exemplo: 7 × ? = 1
1
1
A São responde o seguinte: É , pois 7 × = 1 .
7
7
A São, por sua vez, fez a pergunta à Laura.
Se o número for a fracção
5
5
×
:
7
7
=1
A Laura respondeu que este número é
Assim, os números
7
5 7
, pois × = 1 .
5
7 5
1
7
5
e
são chamados inversos de 7 e .
7
5
7
O inverso de um número fraccionário é o número cujo produto com este é
igual a 1 ou o inverso de um número fraccionário é a fracção obtida, permutando os seus termos.
a
b
é
O recíproco de
.
b a
Se
a
é um número fraccionário diferente de zero, então temos:
b
a b
× = 1 ( a ≠ 0; b ≠ 0 ) . Todo o número tem inverso, excepto o 0.
b a
Exercícios
1.
Calcula, aplicando a propriedade distributiva.
⎛ 5 2⎞
a) 3 × ⎜ + ⎟
⎝ 2 5⎠
⎛ 3 2⎞ 5
b) ⎜ + ⎟ ×
⎝ 4 4⎠ 3
⎛ 7 3 ⎞ 15
c) ⎜ + ⎟ ×
⎝ 5 4 ⎠ 45
2 ⎞ 23
⎛ 7
d) ⎜ – ⎟ ×
⎝ 11 11 ⎠ 25
⎛ 8 2⎞ 3
e) ⎜ – ⎟ ×
⎝ 13 3 ⎠ 5
1
⎛ 5 7⎞
f) ⎜ – ⎟ × 5
⎝ 7 5⎠
4
39
TEMA
1
Exercícios
2.
3.
Calcula, aplicando a propriedade comutativa.
1
×5=
4
b)
7 9
× =
3 7
c) 6 ×
d)
3 6
× =
2 8
e)
12 2
× =
13 5
f)
b)
53
×
22
=1
c) 1 =
e)
3
×
14
=1
f)
15
×
10
11 3 1
× ×
13 2 3
1
×9=
5
Completa.
a)
16
×
9
d) 1 =
4.
4
=
3
a)
=1
1
×
3
×
9
16
=1
Aplica a propriedade associativa.
a)
1 2 1
× ×
5 7 2
b)
3 6
× ×4
2 10
c)
d)
2 1 4
× ×
3 5 9
e)
3 1 8
× ×
5 2 7
f) 3, 1 × 2 , 5 × 4
Divisão de números fraccionários
Determinação do quociente de dois números fraccionários
• Divisão de um número natural por uma fracção
O Diogo comprou 7 laranjas e quer dividir cada uma em três partes. Quantos
terços terá o Diogo?
O problema consiste em dividir as 7 laranjas em três partes iguais.
Seja 7 ÷
40
1
7×3
= 21 ou
= 21 .
3
1
NÚMEROS E OPERAÇÕES
• Divisão de uma fracção por um número natural
Se dividirmos um terço da laranja por dois alunos, cada um receberá:
1
1
1 1 1
÷ 2 = ou × = (um sexto da laranja)
3
6
3 2 6
• Divisão de dois números fraccionários
A divisão de
1
1
1 1 1 2 2
por é: ÷ = × =
3
2
3 2 3 1 3
Para dividir dois números fraccionários diferentes de zero, multiplica-se o
dividendo pelo inverso do divisor.
3 9 3 2 6
2
÷ = × =
ou
5 2 5 9 45
15
• Cálculo mental da divisão de números fraccionários
O quociente de dois número fraccionários iguais, diferentes de zero, é 1.
1 1
÷ =1
3 3
Sabes que 7 ÷
1
= 21 .
3
Qual é o valor de
3
÷1?
5
3
3
÷1=
5
5
Qualquer número dividido por 1 dá um resultado igual ao próprio número.
41
TEMA
1
Exercícios
1.
Calcula.
1
2
b)
1
÷5
4
c)
1 1
÷
7 15
2 1
÷
4 3
e)
1 1
÷
5 2
f)
3 1
÷
2 4
a) 3 ÷
d)
2.
3.
Faz o cálculo indicado e verifica o resultado.
a)
1 1
÷
4 3
b)
e)
81 18
÷
13 13
3 46
f) 4 ÷
5 15
c)
0 3
÷
58 8
3 22
g) 6 ÷
5 10
d)
45 9
÷
23 46
4 19
h) 5 ÷
3 9
Calcula mentalmente.
a)
2 2
÷
5 5
b)
1 1
÷
5 6
c) 1 ÷
1
7
f)
6
÷1
10
g)
e) 7 ÷
42
3 2
÷
4 5
1
4
1 1
÷
2 1
d) 3 ÷
h)
1
5
21
1
÷
9 100
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Multiplicação de números decimais
• Multiplicação de um número natural por um número decimal
Já aprendeste a multiplicar um número inteiro por uma fracção e também a transformar números decimais em fracções decimais. Utiliza esta transformação para
multiplicar o que se segue.
23 23 23 23 23
+
+
+
+
10 10 10 10 10
23 + 23 + 23 + 23 + 23
=
10
115
=
10
= 11, 5
5 × 2, 3 =
Mais simplificado:
23
10
115
=
10
= 11, 5
5 × 2, 3 = 5 ×
• Multiplicação de números naturais reduzidos a fracções decimais
Exemplo a)
4, 6 × 2 , 7 =
46 27 1242
×
=
= 12 , 42
10 10 100
Exemplo b)
0, 721 × 5, 1 =
721 51 36771
×
=
= 3, 6771
1000 10 10000
43
TEMA
1
Exercícios
1.
2.
3.
Escreve os seguintes produtos em fracções decimais e calcula.
a) 0,12 × 5
b) 0,125 × 8
c) 33,2 × 0,072
d) 0,24 × 0,25
e) 0,0084 × 13,7
f) 0,3 × 0,4 × 0,5
g) 33,2 × 0,072
h) 81,4 × 0,6 × 0,5
i) 0,01 × 0,01 × 0,01
Sabendo que 172 × 35 = 6020, escreve o valor dos seguintes produtos, sem efectuares cálculos.
a) 0,172 × 3,5
b) 1,72 × 0,35
c) 1,72 × 3,5
d) 17,2 × 3,5
e) 17,2 × 0,35
f) 0,172 × 0,35
Ordena os produtos seguintes do menor para o maior, sem efectuares os cálculos.
a) 2,5 × 3,36
b) 25 × 3,36
c) 0,25 × 0,336
d) 2,5 × 33,6
e) 0,025 × 0,336
f) 25 × 336
Divisão de números fraccionários representados por números decimais
• Divisão de fracção decimal por um número natural
A Mimi comprou 12,25 m de tecido, com os quais quer fazer 5 saias iguais para
vender.
Quantos metros utilizou a Mimi para cada saia?
Para saber quantos metros a Mimi utilizou, dividimos 12,25 por 5.
Transformamos 12,25 em fracção decimal.
1225
100
1225
1225 5
÷5=
÷
100
100 1
1225 1
=
×
100 5
245
=
100
= 2 , 45
12 , 25 =
44
NÚMEROS E OPERAÇÕES
• Divisão de dois números decimais
Exemplo 1: 122 , 5 ÷ 4, 9
Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.
1225 49
÷
10
10
1225 10
=
×
10
49
1225
=
49
= 25
122 , 5 ÷ 4, 9 =
525 15
÷
100 10
Transformamos os dois números decimais em fracções decimais.
Exemplo 2: 5, 25 ÷ 1, 5 =
525 10
×
100 15
525
=
10 × 15
35
=
10
= 3, 5
Exercícios
1.
Efectua as seguintes divisões, transformando os números decimais em fracções
decimais.
a) 15,03 : 6
b) 5 : 0,2
c) 3,5 : 1,7
d) 13,09 : 10,5
e) 0,5 : 0,001
f) 0,75 : 3,9
g) 98,6 : 0,6
h) 2,31 : 1,35
2.
A mãe da Amélia comprou uma caixa de morangos de 350 kg. A caixa contém
caixinhas de 0,25 kg. Quantas caixinhas contém a caixa?
3.
Com 1 kg de ouro, quantos anéis de 0,01 kg se podem fabricar?
4.
Quantas tabletes de chocolate de 0,020 kg se podem fabricar com 30 kg de chocolate?
45
• Triângulos
• Construção de triângulos particulares. Construção
de triângulos segundo os ângulos e os lados
• Quadriláteros
• Propriedade dos quadriláteros
• Propriedade dos paralelogramos
• Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo
• Área do paralelogramo
• Área do triângulo
• Volume do prisma
• Volume do cilindro
• Volume do prisma e volume do cone
Geometria
TEMA
2
TEMA
2
Triângulos
Construção de triângulos
Ó Bela, na 5.ª classe, aprendemos a classificar
os triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados.
Agora, vamos aprender a construção dos triângulos.
É mais
fácil!
Sim!
Construção de triângulos segundo os lados
1.° caso: Construção de um triângulo equilátero dado o comprimento
de um lado.
____
Vamos construir o triângulo [ABC], conhecendo a medida do lado AB.
____
Dado: AB = 3 cm
Construção
____
1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta AB de comprimento
3 cm.
A
B
____
2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento (AB = 3 cm).
A
48
B
GEOMETRIA
____
3.° Com o bico do compasso no ponto A do segmento de recta AB, traça o arco da
circunferência de raio 3 cm.
A
B
4.° Faz o mesmo na outra extremidade B. Assinala o ponto de intersecção C.
C
A
B
5.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].
C
A
B
2.° caso: Construção de um triângulo isósceles dado o comprimento de dois lados
iguais.
____ ____ ____
Vamos construir o triângulo [QRP], conhecendo as medidas dos lados PQ , PR e QR.
____
____
____
Dados: PQ = 4 cm; PR = 4 cm; QR = 2 cm.
Construção
____
1.° Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta QR de comprimento
2 cm.
Q
R
49
TEMA
2
____
2.° Com o compasso, mede o segmento traçado (QR = 2 cm).
Q
R
3.° Com o bico do compasso
no ponto
____
Q do segmento de recta QR, traça o
arco da circunferência de raio 4 cm.
Q
R
P
4.° Faz o mesmo na outra extremidade R.
Assinala o ponto de intersecção P.
Q
R
P
5.° Une os pontos Q, R e P e obténs o
triângulo [QRP].
Q
R
3.° caso: Construção de um triângulo escaleno, dado o comprimento de _____
três lados.
____
,
RA e
Vamos
construir
o
triângulo
[MRA],
conhecendo
as
medidas
dos
lados
MR
_____
MA.
_____
____
_____
Dados: MR = 4 cm; RA = 6 cm; MA = 8 cm.
50
GEOMETRIA
Construção
_____
1.° Começa por traçar o segmento de recta MR com 4 cm.
M
R
____
2.° Com o compasso, transporta a medida do segmento RA = 6 cm.
R
A
M
R
3.° Com o bico do compasso
no ponto
_____
R do segmento de recta MR, traça o
arco da circunferência de raio 6 cm.
M
R
A
4.° Faz o mesmo colocando o bico do
compasso no ponto M. Traça o
arco da circunferência de raio
8 cm e assinala o ponto de
intersecção por A.
M
R
51
2
TEMA
5.° Une os pontos A, M e R e obténs
o triângulo [MRA].
A
M
R
Exercícios
1.
Completa, indicando o nome dos triângulos com as seguintes medidas.
a
3 cm
4 cm
3 cm
5 cm
2.
b
5 cm
4 cm
2 cm
5 cm
c
2 cm
4 cm
3 cm
2 cm
Nome do triângulo
Com o auxílio da régua, mede, em centímetros, o comprimento dos lados do
triângulo [ABC] e completa.
A
____
AB =
________________________
____
BC =
________________________
____
AC =
________________________
B
C
O triângulo [ABC] é um triângulo __________________________________________________ .
52
GEOMETRIA
Construção de triângulo segundo os ângulos e lados
1.° caso: Construção de um triângulo acutângulo com os comprimentos de dois
lados e a amplitude do ângulo por eles formados.
____
Vamos construir um triângulo [ABC], conhecendo as medidas dos lados AB =
____
^
= 4 cm, AC = 3,5 cm e a amplitude do ângulo BAC = 60°.
Construção
____
1.° Traça o lado AB = 4 cm.
A
B
2.° Com o auxílio do transferidor, marca o ângulo de 60° com vértice em A.
A
60°
B
____
____
3.° Marca o ponto C, medindo o comprimento AC com a régua, AC = 3,5 cm.
C
A
60°
B
4.° Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC].
C
A
60°
B
53
TEMA
2
2.° caso: Construção de um triângulo obtusângulo [MRA], conhecendo
a medida
_____
de um lado e a amplitude dos ângulos adjacentes a esse lado MR = 4 cm.
^
^
RMA = 45° e MRA = 30°
Construção
_____
1.° Traça o segmento de recta MR = 4 cm.
M
R
^
^
2.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo RMA de modo que RMA = 45°.
M
45°
R
^
^
3.° Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo MRA de modo que MRA = 30°.
M
45°
30°
R
4.° Prolonga as semi-rectas, com origens em M e R, até que se encontrem. No ponto
de intersecção, escreve A.
A
M
54
45°
30°
R
GEOMETRIA
5.° Une os pontos M, R e A e obténs o triângulo [MRA].
A
45°
M
30°
R
3.° caso: Construção de um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida de
___
^
JK = 5 cm e a amplitude do ângulo LJK = 35°.
Vamos construir um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida do lado
___
^
JK = 5 cm e a amplitude do ângulo LJK = 35°.
Construção
___
1.° Marca o segmento de recta KJ = 5 cm.
K
J
2.° Com a ajuda do transferidor, ou com um
^
esquadro, marca o ângulo JKL de modo
^
que JKL = 90°.
90°
K
J
3.° A partir do ponto J, marca o ângulo
^
KJL = 35°.
90°
K
35°
J
55
2
TEMA
____
___
4.° Marca o ponto L, intersecção de KL e JL.
L
90°
35°
K
J
5.° O triângulo [JKL] é o triângulo procurado.
L
90°
K
35°
J
Exercícios
1.
Completa e indica o nome dos triângulos formados.
Tipo de ângulos
Ângulo recto
Ângulo obtuso
Ângulo agudo
56
Nome do triângulo
GEOMETRIA
Exercícios
^
^
2.
Sendo o ângulo CAB = 40° e CBA = 30°, com ____
ajuda da régua e do transferidor,
constrói e classifica o triângulo [ABC], sendo AB = 4 cm.
3.
Sendo um dos ângulos de um triângulo igual a 90° de amplitude:
a) Que tipo de triângulo se poderá construir?
b) Constrói-o.
____
4.
Dado o comprimento do lado EF = 6 cm, constrói o triângulo [EFG] tal que os
^
^
ângulos EFG e GEF meçam, respectivamente, 110° e 40°. Classifica-o.
5.
Constrói e classifica o triângulo [MNP]. MN = 3,5 cm; MP = 4 cm; PMN = 90°.
6.
Constrói e classifica quanto aos lados os seguintes triângulos.
_____
_____
^
a) O triângulo [ABC]
____
AB = 4 cm
^
BAC = 50°
^
ABC = 50°
b) O triângulo [MNP]
_____
MN = 4,5 cm
_____
MP = 5 cm
^
PMN = 90°
c) O triângulo [RST]
____
RT = 3 cm
^
SRT = 45°
^
ATR = 45°
d) O triângulo [XOP]
____
XP = 5 cm
____
XO = 3 cm
^
OXP = 45°
57
2
TEMA
Quadriláteros
Na 5.ª classe aprendemos
o que eram linhas paralelas
e linhas perpendiculares.
Agora vamos estudar
a classificação dos
quadriláteros.
E agora?
Propriedades dos quadriláteros
Observa as figuras.
C
B
D
A
E
F
G
Quantos lados têm as figuras A, B, C, D, E, F e G?
As figuras A, B, C, D, E, F e G têm 4 lados: são quadriláteros.
No conjunto dos quadriláteros, há diferenças.
Poderás «arrumar» os quadriláteros tendo em conta algumas características comuns.
58
GEOMETRIA
Observaste certamente que há quadriláteros que têm, pelo menos, dois lados paralelos. São trapézios.
C
B
Mas também há quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos. São paralelogramos.
E
D
F
G
No conjunto de paralelogramos, também há diferença.
Quais são os que não têm os ângulos rectos?
São os paralelogramos não rectângulos.
D
F
O paralelogramo F tem os seus lados geometricamente iguais, então, é um losango.
Os paralelogramos E e G têm os quatro ângulos rectos, são paralelogramos rectângulos.
E
G
No conjunto dos paralelogramos rectângulos, também há diferença.
Uns têm os quatro lados geometricamente iguais: são quadrados. É o caso do paralelogramo G.
Outros têm os seus lados paralelos geometricamente iguais, dois a dois: são rectângulos. É o caso do paralelogramo F.
59
TEMA
2
Propriedades dos paralelogramos
Paralelogramo
obliquângulo
Rectângulo
não
quadrado
Losango
não
quadrado
Quadrado
• lados opostos
• paralelos
dois a dois
• lados opostos
iguais dois
a dois
• ângulos opostos
iguais dois
a dois
60
• lados opostos
paralelos
dois a dois
• lados opostos
iguais dois
a dois
• quatro ângulos
rectos
• lados opostos
paralelos
dois a dois
• lados opostos
iguais dois
a dois
• ângulos opostos
iguais dois
a dois
• lados opostos
paralelos
dois a dois
• quatro lados iguais
• quatro ângulos
rectos
GEOMETRIA
Exercícios
1.
Completa o quadro, escrevendo o nome de cada paralelogramo na primeira coluna e «sim» ou «não» nas outras colunas, atendendo às propriedades.
Paralelogramos 4 lados
1 par de lados
paralelos
2 par de lados
4 ângulos 4 lados iguais
paralelos
61
TEMA
2
Exercícios
2.
Observa os polígonos.
A
B
C
D
Indica:
a) Os quadriláteros.
b) Os trapézios.
c) Os rectângulos.
d) Os paralelogramos rectângulos.
e) Os paralelogramos não rectângulos.
f) Os quadrados.
3.
Diz se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:
a) Os losangos têm lados iguais.
b) Os losangos são quadrados.
c) Os quadrados são rectângulos.
d) Todos os quadriláteros são trapézios.
e) Todos os trapézios são quadriláteros.
f) Todos os paralelogramos são quadriláteros.
g) Todos os quadriláteros são paralelogramos.
h) Os rectângulos são paralelos.
i) Os trapézios são paralelogramos.
j)
4.
Os rectângulos não são quadrados.
Com ajuda da régua e, esquadro, desenha:
a) Um paralelogramo.
b) Um quadrado.
c) Um rectângulo.
62
E
F
GEOMETRIA
Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo
Eixo de simetria
Despeja uma porção de tinta numa folha de papel.
Dobra a folha de modo que a tinta se espalhe do outro lado do vinco da dobra,
como mostra a imagem.
As duas figuras obtidas são
iguais.
O vinco da dobra representa
o eixo de simetria.
Exercícios
Reproduz as figuras simétricas, dando o eixo de simetria.
63
TEMA
2
Bissectriz de ângulo
Representa um ângulo numa folha de papel.
Mede a sua amplitude e regista-a.
A
O
B
Dobra a folha de papel, sobrepondo os lados de um ângulo, e assinala o eixo de
simetria.
A
C
O
B
Com um transferidor, mede a amplitude de dois ângulos.
^
Com certeza constataste que o ângulo AOB ficou dividido em dois ângulos com a
____
mesma amplitude; a semi-recta OC é o eixo de simetria.
O eixo de simetria de um ângulo chama-se bissectriz.
A bissectriz divide o ângulo em duas partes iguais.
Usa o transferidor para representar o eixo de simetria dos seguintes ângulos:
b)
a)
64
GEOMETRIA
c)
d)
Bissectrizes de um ângulo
Sabes que o triângulo tem três ângulos. Podes traçar a bissectriz de cada ângulo.
Verificaste que as bissectrizes se intersectam num ponto.
Este ponto chama-se unicentro.
65
TEMA
2
Exercícios
1.
Traça a bissectriz de cada ângulo dos triângulos seguintes.
2.
Traça o eixo de simetria das figuras seguintes.
Recorda: Os pontos e figuras do plano que coincidem quando se dobram pela
recta de dobragem estão situados simetricamente em relação a essa recta.
66
GEOMETRIA
Área do paralelogramo
Nas classes anteriores, já aprendeste a calcular a área do rectângulo.
Recordas também que as figuras equivalentes são as que têm a mesma área, embora tenham formas diferentes.
Vamos calcular a medida da área do paralelogramo, usando papel ponteado.
Constrói um rectângulo equivalente. Cortamos o triângulo à direita e juntamos à
esquerda, obtendo um rectângulo equivalente.
O rectângulo obtido e o paralelogramo têm a mesma base (b) e a mesma medida
da altura (h).
base
base
altura
altura
base
Como sabes, a medida da área do rectângulo é b × a. Portanto, a medida da área
do paralelogramo será também A = b × a. A área do paralelogramo é igual ao produto da base pela altura.
Exercícios
1.
Calcula a área dos paralelogramos seguintes.
5 cm
10 cm
2,5 cm
5 cm
2.
Se a área de um paralelogramo é igual a 17,68 cm2
e se a medida da altura é 3,4 cm, determina
a medida da base do paralelogramo.
3.
Traça a altura dos paralelogramos
apresentados à direita.
67
TEMA
2
Área do triângulo
Vais agora aprender como se obtém a área de um triângulo.
Conta o número de quadrículas do rectângulo.
Quantas quadrículas tem o triângulo colorido?
Observaste que há 180 quadrículas no rectângulo e 90 no triângulo. Como a área
do rectângulo é igual a b × a (b é a base e a é a altura), logo, a área do triângulo é
a× b
b×h
igual a A =
ou A =
(h é a altura).
2
2
Exercícios
1.
Calcula a área de cada uma das superfícies coloridas.
8 cm
3 cm
7 cm
5 cm
2.
68
2,5 cm
9 cm
Desenha no teu caderno vários triângulos de diferentes dimensões. Tira as dimensões e calcula a área de cada um.
GEOMETRIA
Área do círculo
Cálculo da medida da área do círculo
Traça um círculo numa cartolina e divide-o em 12 sectores idênticos. Recorta esses
sectores e coloca-os, como se vê na figura à direita, de modo a obteres aproximadamente um paralelogramo.
Raio
Metade da circunferência
Podes concluir que:
• o comprimento da figura é aproximadamente metade do perímetro do círculo;
• a sua altura é aproximadamente idêntica ao raio do círculo;
• a área da figura é aproximadamente idêntica à área do círculo.
A área do círculo = metade do perímetro × raio
Área do círculo =
=
P
×r
2
2Πr
×r
2
=Π×r×r
= Πr 2
A○ = Π × r 2
69
2
TEMA
Exercícios
1.
Calcula a área de um círculo cujo diâmetro mede 3 cm.
2.
Completa a tabela seguinte.
Raio em cm
5
Diâmetro em cm
Área em cm2
13
13
Perímetro
87,92
124
124
3.
Calcula a área da superfície colorida cujas circunferências que a limitam têm
como medida de raio 16 cm e 46 cm, respectivamente.
4.
De uma tábua de madeira com 32 cm de largura e 2 m de comprimento, foram
recortados discos com 16 cm de raio.
a) Qual é o número máximo de discos que foram recortados?
b) Qual é a área da tábua de madeira que foi desperdiçada?
5.
Determina a área da superfície colorida.
12 cm
18 cm
14 cm
70
GEOMETRIA
O volume do prisma
Prisma cuja base é um paralelogramo
Sabes que um paralelepípedo rectângulo é um prisma rectangular.
Sabes também calcular o volume de um paralelepípedo rectangular e de um cubo.
Podes aplicar a mesma fórmula para calcular o volume do prisma recto cuja base
é um paralelogramo.
a
c
a
b
a
a
V=a×a×a
V=a×b×c
área da base altura
área da base altura
O volume do prisma (cuja base é um paralelogramo) calcula-se multiplicando a
medida da área da base pela altura.
Volume dos prismas triangulares rectos
A figura mostra um paralelepípedo rectangular
(prisma quadrangular recto) decomposto em
dois prismas triangulares iguais. Ora, o volume do paralelepípedo = a × b × c.
c
a
b
Assim, o volume de cada prisma triangular é a medida de a × b × c, ou seja,
a× b×c
a× b
V=
e, como
é a medida da área da base (triângulo) do prisma trian2
2
gular, podemos escrever:
Volume do prisma triangular: V = A b × h
71
TEMA
2
Volume de prismas rectos não triangulares
Qualquer prisma recto pode ser considerado uma composição aditiva de prismas
triangulares rectos que têm a mesma altura que o prisma inicial e as bases cujas
áreas somam a área da base do mesmo prisma.
O volume de qualquer prisma recto calcula-se multiplicando a medida de área de
base pela altura.
Exercícios
1.
Calcula o volume de um prisma recto cujas bases são triângulos rectângulos e
cujos catetos medem, respectivamente, 4,2 cm e 3,8 cm. A altura do prisma é de
5 cm.
2.
Calcula o volume de um prisma quadrangular cuja área da base mede 25 cm2 e
a sua altura 8 cm.
Volume do cilindro
base
altura
base
72
GEOMETRIA
Vamos inscrever prismas nesses cilindros.
Observaste que, à medida que o número de lados do polígono da base aumenta, o
prisma inscrito se aproxima cada vez mais do cilindro.
Para calcular o volume do cilindro, aplica-se a fórmula do cálculo da medida do
volume do prisma. Como as bases do cilindro são círculos, o cálculo da medida do
volume do cilindro é dado por Vc = Π × r 2 × altura .
A medida do volume de um cilindro é igual ao produto da medida da área da base
pela medida da altura.
Vc = Π × r 2 × h
Exemplo: calcula o volume do cilindro seguinte.
6 cm
Vc = A b × h
2
A b = Π × r 2 = ⎡⎣ 3, 14 × (1, 5 ) ⎤⎦ cm 2
= 7 , 065 cm 2 = 0, 7065 cm 2
Vc = 0, 7065 cm 2 × 6 m = 4, 239 m 3
3 cm
Exercícios
1.
Calcula o volume de um cilindro que tem 10 cm de diâmetro e 10 cm de altura.
2.
Completa
no quadro
os dados
em falta.
Diâmetro
13 cm
Raio
Área
6 cm
Altura
3,5 cm
4 cm
7,85 cm2
2,1 cm
Volume
8,635 cm3
424,116 cm3
73
• Sucessões numéricas
• Sucessões numéricas proporcionais
• Proporcionalidade directa
• Sistema de coordenadas rectangulares
• Proporções
• Noções de proporção
• Propriedade fundamental das proporções
• Percentagens
• Percentagens e cálculo mental
• Conversão de fracções ordinárias em percentagens
• Gráficos circulares
• Escala
Proporcionalidade
TEMA
3
TEMA
3
Sucessões numéricas
Um camponês cultivou durante seis dias as seguintes áreas:
No 1.° dia cultivou 2,5 ha.
No 2.° dia cultivou 2 ha.
No 3.° dia cultivou 3 ha.
No 4.° dia cultivou 1 ha.
No 5.° dia cultivou 2,5 ha.
No 6.° dia cultivou 3 ha.
Representamos numa tábua os dias e as áreas cultivadas.
Dias
1
2
3
4
5
6
2,5; 2; 3; 1; 2,5; 3 é uma sucessão. Cada número natural 1, 2, 3, 4, 5, 6 corresponde
a um só número da sucessão. Cada número da sucessão chama-se termo.
1 é o quarto termo da sucessão.
Indica o 2.° e o 5.° termos da seguinte sucessão:
1 2 3 4 5 6 7
; ; ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3 3
Completa as sucessões seguintes:
a) 2, 4, 6, 8, …, …, 14, …, …, …, 22
b) 0, 5, 10, 15, …, …
Sucessões numéricas proporcionais
Comparemos as seguintes sucessões:
76
a) 1.a Sucessão
1
2
3
4
5
2.a Sucessão
3
5
6
7
10
b) 1.a Sucessão
1
2
3
4
5
2.a Sucessão
2
4
6
8
10
PROPORCIONALIDADE
Mediante comparação, verificamos:
• Nos dois exemplos, cada termo da segunda sucessão é maior do que o seu correspondente na primeira.
• No exemplo b), obtemos cada termo da segunda sucessão multiplicando por 2 o
termo correspondente da primeira ou, vice-versa, cada termo da primeira sucessão
1
obtém-se multiplicando por
o termo correspondente da segunda.
2
• Isto não se verifica nas sucessões do exemplo a).
A relação que existe entre as duas sucessões do exemplo b) tem o nome de proporcionalidade.
Definição: Duas sucessões numéricas são proporcionais, se cada termo de uma
sucessão se obtiver multiplicando por um factor constante o termo correspondente
da outra. Este factor denomina-se factor de proporcionalidade.
Para investigar se duas sucessões numéricas são proporcionais, formamos os quocientes de cada dois termos correspondentes. Se todos estes quocientes são iguais,
então as sucessões numéricas são proporcionais.
Proporcionalidade directa
Um automobilista percorre 30 km por dia. Quantos quilómetros percorre o automobilista em dois, quatro, cinco, oito e dez dias?
Colocamos os resultados numa tabela.
Dias
2
4
5
8
10
Obtemos assim duas sucessões: a sucessão representada pelo número de dias e a
distância correspondente percorrida.
a) 2
4
5
8
10
b) 60
120
150
240
300
77
3
TEMA
Repara que em dois dias o automobilista percorreu 60 km:
2 × 30 km = 60 km.
Em 4 dias, o automobilista percorreu 120 km:
4 × 30 = 120 km.
As duas sucessões são proporcionais.
Porque, para obter a sucessão b), terá de se multiplicar cada termo da primeira
sucessão por uma constante (neste caso por 30) e, vice-versa, para obter a primeira
sucessão, terá de se multiplicar cada termo da segunda sucessão por uma constante
1
(neste caso por
).
30
As duas sucessões são chamadas proporcionalidades directas.
Duas sucessões são ditas proporcionalidades directas se os quocientes entre os
termos correspondentes dessas sucessões forem iguais.
60 120 150 240 300
=
=
=
=
= 30
2
4
6
8
10
Exercícios
1.
78
Dos quadros seguintes, quais são proporcionalidades directas e porquê?
A
1
2
3
4
5
C
10
15
20
24
30
35
B
6
12
18
24
30
D
2
3
4
5
6
7
E
1
2
3
4
5
G
14
16
18
20
22
24
F
10
20
30
40
50
H
7
8
9
10
11
12
PROPORCIONALIDADE
Sistema de coordenadas rectangulares
Dois termos correspondentes de duas sucessões numéricas formam um par numérico.
Sejam as duas sucessões numéricas proporcionais.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
18
21
24
27
Se se determinar qual dos números de um par numérico se deve nomear primeiro,
então o par denomina-se par numérico ordenado.
Assim, os pares ordenados (x,y) são: (1,3); (2,6); (3,9); (4,12); (5,15); (6,18); (7,21);
(8,24); (9,27). E os pares ordenados (y,x) serão: (3,1); (6,2); (9,3); (12,4); (15,5); (18,6);
(21,7); (24,8); (27,9).
Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa
Sabes representar números fraccionários mediante pontos numa semi-recta numérica e podes representar graficamente pares numéricos ordenados numa parte de
plano. Para os representar,
y
traçam-se duas semi-rectas
27
numéricas perpendiculares entre si e de origem 0.
24
Estas duas semi-rectas numéricas formam o sistema
21
de coordenadas rectangulares (sistema cartesiano).
18
Cada uma delas chama-se
15
eixo de coordenadas. Os
eixos de coordenadas re12
presentam-se frequentemente por x e y. O eixo de
9
coordenadas representado
por x denomina-se eixo
6
das abcissas; o eixo representado por y designa-se
3
por eixo das ordenadas.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 x
79
TEMA
3
Representamos os pares ordenados das sucessões precedentes num sistema de
coordenadas.
Todos os pontos da representação gráfica desta proporcionalidade estão situados
numa mesma recta, que passa pela origem 0.
Se não existe proporcionalidade directa, então os pontos da representação gráfica
não estarão situadas numa recta.
Exemplo: o gráfico seguinte não representa o gráfico da proporcionalidade directa.
y
x
Exercícios
1.
A tabela seguinte refere-se a duas sucessões.
Tempo (h)
2
5
2,5
6
9
11
Distância (km)
120
300
150
360
540
660
a) Diz se nas duas sucessões há proporcionalidade directa.
b) No caso de serem proporcionalidades directas, calcula a constante de proporcionalidade.
2.
Nas duas sucessões numéricas dadas a seguir, indica os 5 primeiros termos.
a) A cada número natural faz-se corresponder o seu duplo.
b) A cada número natural faz-se corresponder o número que se obtém ao mul3
tiplicá-lo por .
2
c) A cada número natural faz-se corresponder o seu triplo, diminuído em 2,5.
d) A cada número natural faz-se corresponder o seu quadrado.
80
PROPORCIONALIDADE
Exercícios
3.
Investiga as sucessões numéricas (I) e (II) e verifica se são proporcionais. Fundamenta as tuas afirmações. Indica em cada caso a constante de proporcionalidade.
a) (I) 1; 2; 3; 4; 5; 6.
(II) 3; 6; 12; 15; 18.
b) (I) 2; 4; 6; 8; 10;12.
(II) 3; 5; 7; 9; 11; 13.
c) (I) 48; 42; 36; 30; 24; 18.
(II) 24; 21; 18; 15; 12; 9.
d) (I) 3; 5; 7; 9; 11
10 11
22
;
; 6;
(II) 2 ;
3 3
3
4.
Representa num sistema de coordenadas rectangulares a relação entre sucessões numéricas (I) e (II).
5.
Determina o factor (constante) de proporcionalidade para as sucessões numéricas proporcionais.
a) 1; 2; 3; 4; 5; 6
3; 6; 9; 12; 15; 18
b) 2; 3,5; 5; 6,5; 8
3; 5,25; 7,5; 9,75; 12
c) 2; 4; 6; 8; 10
18; 9; 6; 4,5; 3,6
Proporções
Noção de proporções
Numa turma da 6.a classe, há duas alunas para um total de 9 alunos, isto é, duas
2
alunas para cada 9 alunos ou ainda 2 para 9 ou 2 : 9 ou
ou (2 : 9). Representa um
9
quociente que permita comparar dois números.
O quociente indicado entre dois números a e b (em que b =
/ 0) chama-se razão entre
a
eles, a : b ou .
b
Na razão, a é o antecedente e b é o consequente.
81
TEMA
3
A Joana comprou 8 kg de carne a 80 kz num supermercado e a sua irmã comprou
5 kg no talho e pagou 50 kz.
Exprimimos esses dados sob a forma de quocientes e comparamos.
80
50
= 10 e
= 10
8
5
As fracções
80 50
e
são equivalentes porque as razões que apresentam são iguais.
8
5
Logo, podemos escrever
80 50
=
ou 80 : 8 = 50 : 5.
8
5
Esta igualdade lê-se: 80 está para 8 como 50 está para 5.
Uma igualdade entre duas razões a : b = c : d ou
a c
= chama-se proporção.
b d
Designação dos termos de uma proporção
Consideremos, por exemplo, a proporção.
a c
= ou a : b = c : d
b d
a, b, c e d são termos da proporção. O antecedente da primeira razão (a) e o consequente da segunda razão (d) são chamados extremos da proporção. O consequente
da primeira razão (b) e o antecedente da segunda razão (c) são chamados meios da
proporção.
extremos
a c
a c
=
=
ou
b d
b d
a:b=c:d
meios
Na proporção
extremos
5 10
=
, 5 e 6 são extremos, 3 e 10 são meios.
3 6
Propriedade fundamental das proporções
3 12
Seja a proporção =
.
5 20
Multiplicamos os meios: 5 × 12 = 60
Multiplicamos os extremos: 3 × 20 = 60
82
meios
PROPORCIONALIDADE
Assim, 5 × 12 = 3 × 20
Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Isto verifica-se para todas as proporções.
Se
a c
= (b, d =
/ 0), então b × c = a × d.
b d
Exercícios
1.
2.
3.
Forma duas razões iguais dos quatro números dados.
a) 14, 26, 28, 13
b) 4, 12, 6, 18
c) 5, 4, 10, 8
d) 5, 3, 25, 15
A partir da propriedade fundamental das proporções, resolve as seguintes equações.
a)
x
9
=
12 36
b)
x 72
=
15 4
c)
0, 4 3
=
0, 8 x
d)
8 24
=
x 3
e)
0, 6 x
=
3
6
f)
9 9
5
÷ =x÷
2 7
7
Comprova se as seguintes proporções são proposições verdadeiras.
a)
3
1
÷1= 1 ÷ 2
4
2
c) 10 ÷ 1, 2 = 25 ÷ 3
4.
b)
d)
2, 4 2, 1
=
1, 5 1, 4
2 3 1 3
÷ = ÷
3 2 5 10
Uma escola do ensino primário tem turmas da 5.a e 6.a classes. O número de
alunos da 5.a classe é dois terços do número de alunos da 6.a classe.
a) Escreve a razão entre os alunos da 5.a classe e os da 6.a classe.
b) Como estão matriculados 360 alunos na 6.a classe, quantos alunos tem a escola?
83
TEMA
3
Percentagens
Já certamente ouviste falar muitas vezes em percentagens.
Exemplos:
Aumento do salário de 10%; o preço da gasolina aumentou 3%; durante o mês de
Dezembro fizemos um desconto de 30% sobre os nossos preços.
Mas o que é que significa tudo isto?
10% de aumento de salário significa que em cada 100 kz aumentam 10 kz. 3% de
aumento do preço da gasolina significa que em cada 100 kz que se pagava devem
aumentar 3 kz.
30% de desconto significa que em cada 100 kz gastos há um desconto de 30 kz.
Uma percentagem é uma razão expressa em centésimas, isto é, uma razão cujo consequente (denominador) é 100.
Notação
10
ou 10% = 0,10 (lê-se dez por cento).
100
5
ou 5% = 0,05
100
Completa:
a) 56% =
b) 130% =
c) 19,6 =
196
d) 1,04 = _______ = _____%
Percentagens e cálculo mental
Exemplo:
Calcula 15% de 300.
Tu já sabes: 15% =
15
15
15
e
de 300 é o mesmo que
× 300 = 45,
100
100
100
ou seja, 0,15 × 300 = 45.
84
PROPORCIONALIDADE
Exercícios
Calcula:
a) 12% de 20
b) 5% de 8
c) 25% de 40
d) 70% de 1000
e) 85% de 50
Conversões de fracções ordinárias em percentagens
Exemplo:
Converte
2
em percentagem.
5
2
em fracção decimal. Para termos 100 no denominador, temos
5
de multiplicar os dois termos da fracção por 20.
Escreve a fracção
Assim,
2 2 × 20 40
40
=
=
, logo,
= 40%.
5 5 × 20 100
100
Converte
5
em percentagem.
8
Transformamos
5
5
em número decimal = 0,625.
8
8
Transformamos o número decimal em fracção decimal 0, 625 =
Reduzimos
Assim,
625
.
1000
625
a um denominador 100.
1000
625 62 , 5
=
ou 62 , 5%.
1000 100
85
3
TEMA
Exercícios
1.
Reduz as seguintes fracções ordinárias a percentagens.
a)
1
8
b)
1
2
c)
3
4
d)
1
5
e)
3
5
f)
2
3
g)
1
25
h)
5
6
2.
Numa turma de 30 alunos, 10% reprovaram em Matemática. Quantos alunos
passaram?
3.
Um livreiro comprou 50 cadernos a 75,00 kz. Se vendeu os 50 cadernos a
100,00 kz, calcula o lucro em percentagem.
4.
A Deolinda obteve uma redução de 20% no custo de uma calça que custava
350,00 kz. Quanto custou a calça?
5.
O Pedro obteve um desconto de 15% que corresponde a 30.000,00 kz na aquisição de 25 sacos de açúcar. Quanto pagou afinal?
Gráficos circulares
Percentagens
As percentagens podem ser representadas por gráficos circulares.
100
=1
Um círculo corresponde a 100%, ou seja,
100
Numa escola há 40% de alunos do sexo feminino.
Representa num gráfico circular os alunos de ambos os sexos.
60%
Meninos
40%
Meninas
Como se representa 40% num gráfico circular? Um círculo tem 360°, tal como um
ângulo giro.
86
PROPORCIONALIDADE
Calcula-se 40% de 360°:
40
× 360° = 144°
100
Traça um raio, por exemplo [OA], com vértice em 0 e com um lado sobre [OA].
desenha-se um ângulo de 144° de amplitude.
Um inquérito efectuado a 360 pessoas indicou que:
• 49% são assalariados;
• 35% têm profissões liberais;
• 15% são agricultores;
• 10% são desempregados.
a) Calcula o número de pessoas dentro de cada categoria.
b) Constrói um gráfico circular referente às percentagens indicadas em 1.
Escala
– Ó Mimi, podes desenhar a tua casa numa folha?
– Não posso, Sandra, pois as dimensões da minha casa são maiores do que as da
minha folha.
– Podes sim, reduzindo as dimensões.
Se a tua casa tem 9 m de comprimento e 7 de largura, podes representar essas
dimensões no desenho da seguinte maneira:
Dimensões reais
Dimensões do desenho
9 m de comprimento
9 cm de comprimento
7 m de largura
7 cm de largura
Assim, posso desenhar a minha casa numa folha.
1
, isto significa que, se no dese100
nho ela tem 10 cm, na realidade tem 100 cm ou 1 m.
A Mimi desenhou a sua casa numa escala de
Chama-se escala à razão entre as dimensões do desenho e as correspondentes
dimensões reais.
Dimensões no desenho
Escala =
Dimensão real
87
TEMA
3
Exercícios
1.
Um quarto tem as seguintes medidas: 6 m de comprimento e 4 m de largura.
No desenho, estas medidas estão representadas por 3 cm e 2 cm.
Calcula a escala em que foi feito o desenho.
2.
Um mapa está feito à escala de
3.
Duas cidades estão distanciadas 250 km.
1
.
500 000
A distância entre as duas cidades é de 60 km.
Qual é a distância que separa as duas cidades no mapa?
Qual é a distância entre estas duas cidades em mapas cujas escalas são de
1
1
e
?
1 000 000
5 000 000
4.
Observa a planta da casa do senhor Dias.
Quais as dimensões reais dos quartos, se foram feitos com a escala
88
1
?
500
PROPORCIONALIDADE
Exercícios
5.
Que comprimentos têm na realidade os seguintes segmentos com a escala de
1
, se no mapa têm:
1 000 000
a) 5 cm, 8 cm e 10 cm?
b) 1 mm, 4 mm e 8 mm?
6.
1
Traça a planta duma sala de aula na escala
. A sala tem forma rectangular,
100
com 9 m de comprimento e 6 m de largura.
7.
1
Que comprimento devem ter os segmentos que representam na escala
100 000
as distâncias 1 km, 5 km, 700 m, 5 km e 300 m?
8.
9.
Duas aldeias estão situadas a uma distância de 9 cm uma da outra num mapa
1
de escala
. Calcula a distância real entre as duas aldeias.
50 000
1
Calcula o comprimento num mapa de escala
cuja distância real é de
100 000
250 km.
10.
Um terreno é representado numa planta com 10 cm de comprimento e 7 cm
de largura.
Sabendo que as dimensões reais são na ordem de 50 km e 35 km, calcula a
escala em que foi representado o terreno.
89
• Noções elementares de estatística
• A moda
• A média aritmética
• A mediana
Estatística
TEMA
4
TEMA
4
Noções elementares de estatística
Medidas de tendência central
Na 5.a classe, aprendeste algumas noções elementares de estatística. Já sabes organizar os dados numa tabela de frequências e também apresentar os resultados no
gráfico de barras. Agora vais estudar a moda, a média e a mediana.
A moda
A Cátia estava a brincar no passeio da estrada Comandante Valódia. De repente,
mudou de ideias e começou a contar as marcas das viaturas que passavam nesta
rua. Como havia muitas marcas, conseguiu reter só as seguintes: Mazda, Hyundai,
Toyota, Mercedes e Volkswagen. Escrevia-as numa folha de cada vez que elas
apareciam. Mazda, Hyundai, Toyota, Toyota, Hyundai, Mercedes, Volkswagen,
Toyota, Mercedes, Toyota, Toyota, Toyota, Hyundai, Mercedes, Volkswagen, Mazda,
Toyota, Toyota, Hyundai, Hyundai, Mercedes, Mazda, Toyota, Toyota, Hyundai,
Toyota, Mazda, Toyota, Hyundai, Toyota e Mazda.
Ela queria saber qual é a marca da viatura que passou mais na rua.
Organizou a contagem do seguinte modo:
Mazda
Hyundai
Toyota
Mercedes
V. W.
IIII
IIII II
IIII IIII III
IIII
II
Ajuda a Cátia a completar a tabela.
Marca
Mazda
Hyundai
Toyota
Mercedes
V. W.
92
Número de vezes que ela passou na rua
7
13
ESTATÍSTICA
Agora a Cátia pode facilmente dizer que a marca Toyota é a marca da viatura que
passou mais na estrada neste dia e naquele momento. A viatura Toyota é a viatura
que passou mais vezes. A Toyota é a moda das marcas de viaturas que foram contadas pela Cátia.
A moda (Mo) é o acontecimento que, numa distribuição, se repete o maior
número de vezes.
A média aritmética
A Jamira teve as seguintes notas em Língua Portuguesa:
14, 13, 11, 15, 10, 16, 12, 15
A professora deve dar a nota média para decidir a sua passagem.
A nota média da Jamira em Língua Portuguesa é dada por:
14 + 13 + 11 + 15 + 10 + 16 + 12 + 15 106
=
= 13, 25
8
8
A média aritmética ( x ) é o quociente entre a soma do total dos valores
e o seu número x =
x1 + x 2 +……x n
n
Por vezes, os valores repetem-se, por exemplo. As notas da Laura em Matemática
foram as seguintes:
15, 14, 14, 16, 13, 17, 14, 15
Para calcular a média, podes simplificar os cálculos:
2 × 15 + 3 × 14 + 16 + 17 + 13 118
=
= 14, 75 ou 14, 8
8
8
O número de vezes que o valor se repete é designado por peso ou coeficiente de
ponderação, daí o nome de média ponderada ou média pesada.
93
TEMA
4
Mediana
Numa turma de 25 alunos, obtiveram-se as seguintes notas em Língua Francesa.
Não há lugares para os valores intermédios e as únicas classificações possíveis são
1, 2, 3, 4 e 5.
2, 1, 1, 3, 4, 5, 2, 1, 5, 4, 4, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 1, 4, 5, 5, 2, 3, 3, 2
Para calcular a mediana, devemos ordenar os dados.
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3 , 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5
A mediana (Md) é o valor que ocupa a posição central num conjunto de valores
dispostos por ordem crescente ou decrescente.
Se o número de dados for par, não há valores centrais. Neste caso, a mediana é a
média dos dois valores centrais.
Exemplo: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 , 3 , 4, 4, 4, 5, 5, 5
Neste caso, a mediana
2+3
= 2, 5
2
Exercícios
1.
Numa campanha de vacinação contra a poliomielite, foram vacinadas crianças
num bairro da capital, Luanda, com a idade seguinte:
2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 5, 1
a) Calcula a idade média das crianças que foram vacinadas.
b) Indica a moda.
c) Calcula a mediana.
94
ESTATÍSTICA
Exercícios
2.
O serviço meteorológico registou as seguintes temperaturas numa semana:
26°, 27°, 28°, 29°, 25°, 29°
Determina a média, a moda e a mediana das temperatura registadas.
3.
Para fazer as batas dos alunos duma turma da 6.a classe, mediu-se a altura de
alguns alunos e registou-se os seguintes em centímetros:
137, 138, 140, 140, 145, 120, 145, 141, 139, 151, 135, 154
a) Calcula a média aritmética das alturas destes alunos.
b) Qual é o valor que mais se afasta da média?
c) Determine a mediana.
d) Com os teus colegas de turma, procura saber qual é a altura média dos alunos da tua turma.
e) Faz um gráfico de barras para representar as alturas dos alunos da tua
turma.
95