OS DIFERENTES ESPAÇOS E FORMAS DA GEOMETRIA DO TAXISTA:
CONTRIBUINDO PARA O APRENDIZADO DAS CÔNICAS
Claudianny Amorim Noronha - UERN/UFRN 1
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RESUMO
A Geometria do Taxista se desenvolve em dois diferentes espaços, um
formado por quadrados e outro por triângulos eqüiláteros, que levam a
diferentes expressões de distâncias. Assim, buscamos aqui mostrar como
figuras como as cônicas se comportam nestes espaços e de como os
utilizamos nas aulas de Matemática a fim de proporcionar aos alunos uma
melhor compreensão desses gráficos que dependem da noção de distância.
Palavras-chave: cônicas - Geometria do Taxista - métrica.
1 Introdução
De modo geral concordamos que a distância entre dois pontos é a
menor separação existente entre estes. A ciência, buscando abstrair destas
considerações, expressa as noções intuitivas sobre o conceito de distância,
que será representada pela função d(x, y), através dos seguintes axiomas:
a) d(x, y) ≥ 0
b) d(x, y) = 0 se, e somente se x = y
c) d(x, y) = d(y, x)
d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Tais condições são usadas para estabelecer uma métrica, desde que um
espaço métrico M é um conjunto de pontos com uma função de distância
associada. Dessa forma, para todo x, y, z em M, em que esta função é exigida,
Professora da Faculdade de Educação da Universidade do Estado do Rio Grande do Norte.
Doutoranda do Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte (UFRN), linha de pesquisa Educação Matemática.
1
NORONHA, C.A. Os Diferentes Espaços e Formas da Geometria do Taxista: contribuindo para o aprendizado das
cônicas. In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação-Centro de Educação –
Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 11p
2
a distância entre pontos distintos é positiva, a distância de x para y é igual à
distância de y para x e ir primeiro de x para y, e então de y para z não pode ter
distância menor que ir diretamente de x para z. Na Geometria Euclidiana (GE)
isto é fácilmente verificado.
O espaço métrico euclidiano pode modelar percursos que representam a
distância entre dois pontos, a qual, como sabemos, é o menor comprimento
que percorremos entre estes. Tal percurso pode ser representado por uma
linha reta que liga estes pontos, a exemplo do caminho percorrido por um
pássaro, ou por nós através de estradas, ferrovias ou do mar quando viajamos
de navio, ou até mesmo quando, ao nos depararmos com um terreno baldio, o
percorremos na diagonal.
Porém, será que todas as situações de nossa realidade podem ser
modelados no espaço abstrato e homogêneo da ciência? Por exemplo, como
poderemos nos deslocar de um ponto para outro em uma cidade se não
podemos voar sobre seus edifícios? Assim, temos aqui o objetivo de fazer uma
breve apresentação de outras formas de modelar a noção de distância; de
como figuras como as cônicas se comportam quando estudadas em espaços
diferentes do euclidiano e de como buscamos utilizá-las nas aulas de
Matemática a fim de proporcionar aos alunos uma melhor compreensão desses
gráficos que dependem da noção de distância. O assunto tratado neste texto é
uma pequena amostra do estudo de pesquisa que fará parte da tese doutoral
da presente autora, que tem como orientador o Prof. Dr. John Andrew Fossa.
2 Os modelos matemáticos em termo do recobrimento do plano
Inicamos nosso estudo buscando encontrar outras formas de cobrir o
plano para representar distância. Há três polígonos regulares que podem cobrir
o plano, são eles: o triângulo eqüilátero, o quadrado e o hexágono regular.
Estes polígonos, como podemos observar nas figuras 1, 2 e 3, cobrem
totalmente o plano de forma a não deixar espaços vazios entre as figuras.
Observamos, porém, que o hexágono, pode ser decomposto em triângulos
eqüiláteros o que pode nos levar a considerar as duas primeiras malhas como
principais.
NORONHA, C.A. Os Diferentes Espaços e Formas da Geometria do Taxista: contribuindo para o aprendizado das
cônicas. In Anais do SIPEMAT. Recife, Programa de Pós-Graduação em Educação-Centro de Educação –
Universidade Federal de Pernambuco, 2006, 11p
¾ Figura 1
¾ Figura 2
3
¾ Figura 3
A geometria que trabalha com estes espaços, formados por quadrados e
triângulos eqüiláteros, e que nos mostra que a distância mais curta entre dois
pontos nem sempre é uma linha reta, é denominada Taxicab Geometry ou
Geometria do Taxista. Neste texto trataremos como Geometria dos
Quarteirões (GQ) ou Geometria Urbana (GU) a Geometria do Taxista que
utiliza a malha quadriculada e de Geometria do Triângulo (GTR) ou Geometria
Isoperimétrica (GI) aquela desenvolvida no espaço triangular.
A Geometria do Quarteirão usa a malha quadriculada, podendo modelar
uma cidade bem planejada com quarteirões perfeitos. Nesta, para irmos de um
ponto ao outro do plano, teremos que percorrer segmentos horizontais e
verticais o que pode ser feito através da contagem dos “quarteirões” ou lado de
um quadrado, como podemos observar na figura 4, em que a distância entre os
pontos A e B é de 6 quarteirões. Apesar da distância entre dois pontos ser
calculada de forma diferente da euclidiana, esta geometria não deixa de ser
reconhecida como uma métrica, como podemos verificar em Fossa (2003) e
Sowell (1989), pois satisfaz as quatro propriedades mencionadas no item 1
deste texto.
y
B
2
A
4
0
x
¾ Figura 4 - Distância entre pontos na GTQ
4
A forma utilizada para localizar pontos no plano desta geometria é o
mesmo usado na GE. Assim, podemos definir analiticamente a distância entre
dois pontos, em termos das coordenadas. Dessa forma, a distância horizontal
x entre quaisquer dois pontos é a diferença entre os valores das coordenadas
de x desses pontos. Semelhante, a distância vertical y é a diferença entre os
valores correspondentes de y. Para mais detalhes ver Noronha (2003).
B
Δy
A
¾
Δx
Figura 5 – dQ (x,y) =
Δx + Δy .
Assim, a distância entre os dois pontos na Geometria dos Quarteirões
(dQ) será Δx + Δy , onde Δ significa a diferença. Desta forma, sejam A=(x1,y1) e
B=(x2, y2), então dQ ( A, B) = x2 − x1 + y2 − y1 . O módulo, ou seja, o valor absoluto
das diferenças, é usado para garantir que a distância seja não-negativa. Dessa
forma dQ (A,B) ≥ 0.
Podemos agora encontrar a distância entre os pontos A(1, 1) e B(5, 3)
da figura 6, em termos de suas coordenadas, da seguinte forma:
d Q ( A, B) = x2 − x1 + y2 − y1
d Q ( A, B) = 5 − 1 + 3 − 1
d Q ( A, B) = 4 + 2
d Q ( A, B) = 6
No que se refere a Geometria Isoperimétrica, apesar do tipo de malha
que cobre o plano, é um equívoco pensar que há três eixos nesta geometria.
Há sim apenas dois eixos, como nas GE e GQ, que são o eixo x e o eixo y,
porém a GI possui um sub-eixo, o y’, que não será utilizado como um item a
mais na localização de pontos no plano. A presença do sub-eixo acarretará na
divisão do plano em seis partes, as quais chamamos de sextantes, numerados
em sentido anti-horário (figura 6), começando com a sextante onde as
coordenadas dos pontos são ambas positivas.
5
y’
y
II
III
I
x
IV
VI
V
¾ Figura 6
A forma euclidiana de encontrar as coordenadas de um ponto quaisquer,
é também a melhor alternativa para a localização de pontos na GI que, como já
mencionamos anteriormente, possui apenas dois eixos, no entanto, a presença
de um sub-eixo permite que possamos usar tanto x e y, como também y e y’,
ou x e y’ como eixos, esta decisão determinará o par ordenado que define cada
ponto.
Contudo, torna-se necessário o uso de três funções de distância para
esta geometria, as quais dependem da sextante e da orientação em que os
pontos estarão localizados, ou seja, a distância entre dois pontos dependerá da
orientação a que estes correspondem, que poderá ser de I-IV, de II-V ou de IIIVI, cada qual correspondendo a uma fórmula de distância diferente, as quais
segue:
1°) se os dois pontos têm orientação de I-IV (figura 7) então dI (A, B) = |x1 - x2|
+ |y1 - y2| 2 ;
2°) se os dois pontos têm uma orientação de II-V então dI (A, B) = |y1 - y2|;
3º) se os dois pontos têm uma orientação de III-VI então dI (A, B) = |x1 - x2|.
y’
y
II
III
P
A
B
Q
I
x
IV
VI
V
Reta paralela à reta que liga os pontos A
e B, passando pelas “hextants” I e IV,
portanto os pontos A e B têm orientação IIV. Assim, dI =|x2-x1| + |y2-y1|. Então dI
entre A(1,1) e B(3,4) é
d I ( A, B ) = x2 − x1 + y2 − y1
d I ( A, B) = 3 − 1 + 4 − 1
d I ( A, B) = 2 + 3 = 5
¾ Figura 7
2
Por falta de espaço, nos reteremos a exemplificar apenas um caso.
6
Podemos observar na figura 7 que a distância entre os pontos A e B
pode ser facilmente encontrada não apenas através da fórmula de distância,
como também através da contagem do número de unidades ao longo de dois
lados adjacentes do paralelogramo AQBP. Há outro meio de encontrarmos a
fórmula correta a ser aplicada, que independe do gráfico, mas, infelizmente, o
espaço cedido não nos permite tratar agora, portanto, deixaremos para outra
ocasião.
Como na GQ, a GI também é um espaço métrico, pois compreende todas
as propriedades exibidas no item 1.
O uso de um espaço diferente e, conseqüentemente, de uma fórmula de
distância diferente resultará em figuras com formas também diferentes, a
exemplo de um círculo que parece um quadrado (figura 8). No entanto, a
definição destas permanece as mesmas daquelas utilizadas pela GE.
Entre as figuras que sofrem alterações temos a circunferência, definida
como o conjunto de pontos eqüidistantes de um dado ponto, H, seu centro.
Podendo ser representada por C = {P/ d (P, H) = r}. Tal definição permanece a
mesma, tanto na GQ, quanto na GI, porém como podemos perceber nas figuras
8 e 9, respectivamente, suas formas não são iguais a tão conhecida
circunferência euclidiana.
Quando usamos a função de distância da GQ, por exemplo, obteremos
uma Q-circunferência (figura 8) e, se juntarmos a esta os pontos do seu
interior, o resultado será um Q-círculo. O mesmo ocorre quando se trata da Icircunferência (figura 9) e do I-círculo.
7
y
y’
H
x
y
H
x
Figura 8 – Q-Circunferência de raio 5
e centro H(1, 1)
Figura 9 – T-Circunferência de raio 5
e centro H(1, 1)
Partindo de sua definição de distância a Q-circunferência apresenta
como expressão analítica o seguinte: sejam P = (x, y) e H = (h, k). Então a Qcircunferência será dada por |x - h| + |h - k| = r
Devido GI possuir três expressões analíticas de dI a T-circunferência
também terá, as quais dependem da localização do ponto no plano triangular,
as quais segue: sejam P = (x, y) e H = (h, k). Então a I- circunferência será
dada por |x - h| + |y - k| = r; ou |y - k| = r; ou |x - h| = r.
Modificações semelhantes ocorrem com as cônicas de modo geral, as
quais se apresentam com diferentes e interessantes aspectos, quando
aplicadas na métrica do quarteirão ou na métrica do triângulo. Enfatizando que
suas definições permanecem as mesmas das já conhecidas na Geometria
Euclidiana. A seguir temos alguns exemplos das cônicas na Geometria do
Taxista.
A definição de uma Q-elipse (figura 10) pode ser expressa por {p/ dQ
(P,A) + dQ (P,B) = s}. Sejam os pontos A = (f, g) e B = (l, m), qualquer ponto
P=(x, y), que satisfaz a equação ⎢x - f⎢ + ⎢x - l ⎢ + ⎢y - g ⎢ + ⎢y - m ⎢= s,
pertencerá à elipse.
A I-elipse (figura 11) tem sua definição expressa por {p/ dI (P,A) + dI
(P,B) = s}. Considerando que os pontos desta figura poderão estar localizados
em diferentes posições do plano, não podemos esquecer que, dada a
expressão analítica que a define, para encontrarmos a dI entre os pontos e os
focos teremos que aplicar uma das três expressões de distância, já citadas,
para depois somarmos o resultado das distâncias encontradas.
8
y
y’
y
B
A
B
x
A
0
Figura 10 – Q-elipse com focos A (2,2)
e B(6,6) e com s = 12.
Figura 11 – I-elipse com focos A(-1, 0)
e B(1,0) e com s = 6.
A hipérbole também é uma cônica que sofre surpreendentes
modificações de forma quando aplicadas nos espaços da Geometria do Táxi. A
Q-hipérbole (figura 12) tem sua definição expressa por {P/ |dQ (P,A) – dQ (P,B)|
= s}. Na GI temos a I-hipérbole (figura 13), expressa por {P/| dI (P,A) – dI (P,B)|
= s}. Para encontrar os pontos de uma I-hipérbole, dada a expressão que a
define, também teremos que aplicar uma das três expressões de distância
dessa métrica.
y
y’
y
B
B
0
x
x
A
A
¾ Figura 12 – Q-hipérbole com focos
A (-3, -1) e B (2, 2) e com s = 4
¾ Figura 13 – T-hipérbole com focos
A(2,-1) e B(4, 0) e s=0
A Q-parábola, cuja expressão é dada por {P/ dQ (P, F) = dQ (P, D)},
também sofre alterações, como podemos perceber na figura 14. A expressão
que define a I-parábola (figura 15) é {P/ dI (P, F) = dI (P, D)}, que, como nas
outras figuras desta métrica, também deve considerar as três expressões de
distância que dependem da localização dos pontos no plano. As mudanças no
9
aspecto destas figuras dependem da inclinação da reta D (chamada diretriz) e
também são bastante diferentes das estudadas na Geometria Euclidiana.
D
F
F
D
¾ Figura 14 – Q-parábola
¾ Figura 15 – T-parábola.
As cônicas da Geometria Urbana apresentam muitas outras formas, no
entanto, não é nosso objetivo mostrar um estudo aprofundado destas, mas,
apenas basear o leitor a respeito das variações influenciadas pela mudança de
espaço e, conseqüentemente, da distância definida por estes 3 .
3 Conclusão
A Geometria Euclidiana é a geometria que temos acesso na maioria de
nossas classes e muitas vezes a única em todo o período escolar, desde o
ensino básico até o superior. No entanto, sabemos que outras geometrias são
igualmente importantes para o estudo científico, a exemplo da Geometria do
Taxista. Esta, por sua vez, como destaca Abreu e Barroso (1982, p. 32), tem
sua importância voltada para a análise de traçados das vias urbanas, como o
plano urbano de quadrícula 4 usado por egípcios, chineses, romanos e, na
atualidade, em cidades do porte de N. York, Chicago, São Francisco, Filadélfia,
Curitiba, Belo Horizonte etc.
Assim, a importância da Geometria do Taxista está em possibilitar a
explicação adequada de alguns problemas geográficos, como os ocorridos em
espaços urbanos. Pois, apesar de a percepção do espaço pela grande maioria
das pessoas ser euclidiana e a distância ser uma linha reta, nesta forma, por
exemplo, a verdade é que isto não se aplica, visto que o movimento normal é
3
Para um estudo mais aprofundado sobre estas figuras, ver Fossa (2003) e Noronha (2003).
O plano urbano de quadrícula consiste em ruas que se cruzam em ângulo reto, formando
quadrados ou retângulos. Para mais detalhes ver Abreu e Barroso (1982, p. 33) e Noronha
(2003, p.70-71).
4
10
andar na vertical ou horizontal e dobrar à esquerda ou à direita no final dos
quarteirões.
Devido ao uso de diferentes tipos de espaço, que não deixam de ser
reconhecidos como métricas, esta geometria apresenta definições de
distâncias também diferentes e mais condizentes com tais espaços. Assim,
como observamos anteriormente, ao realizarmos nesta o estudo de figuras que
derivam de um conceito de distância bem definido, tais como as cônicas,
obtemos como resultado figuras com aspectos diferentes dos encontrados na
usual Geometria Euclidiana, porém, com a mesma definição das encontradas
nesta última.
Em nossa dissertação de mestrado (NORONHA, 2003) partimos de um
estudo teórico-prático, baseado no uso da modelagem de um centro urbano
bem planejado e na teoria desenvolvida sobre a métrica do quarteirão, em que
alunos do 4º ciclo do Ensino Fundamental puderam, a partir do uso de sua
intuição, visto que trabalhamos com a modelagem de centros urbanos, não
apenas compreender melhor o que define as cônicas, mas também suas
variações de acordo com o espaço.
Dessa forma, estas observações e outras a respeito da teoria da
acomodação a partir do desequilíbrio, defendida por Piaget e seus
colaboradores, nos fez refletir a respeito da utilização das métricas da
Geometria do Taxista como ponto de partida para a compreensão, por parte
dos alunos, do que define as cônicas, para, posteriormente, nos direcionarmos
a análise de estudos estabelecidos historicamente, proporcionando ao
educando uma melhor acomodação do conhecimento proposto.
Sendo assim, faz parte de nosso projeto elaborar uma proposta de
ensino das cônicas que buscará atender a clientela do Ensino Médio e que,
baseada no uso destas métricas, possa contribuir, de forma a despertar no
sujeito cognoscente habilidades necessárias a sua formação.
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4 Referências
ABREU, J. F.; BARROSO, L. C. Alguns aspectos da “geometria do táxi” na
geografia. Revista Geografia e Ensino, Belo Horizonte, v. 1, n. 1, p. 31-46,
março, 1982.
FOSSA, John Andrew. Geometria urbana. João Pessoa: Editora Universitária
da UFPB, 2003.
NORONHA, Claudianny Amorim. A modelagem e a geometria urbana: uma
proposta para a construção dos conceitos das cônicas. 2003. 145 f.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós-Graduação em
Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal, 2003.
SOWELL, Katye O. Taxicab Geometry – A new slant. Mathematics Magazine,
v. 62 n. 4, p. 238-248, October, 1989.