Noções fundamentais sobre grácos no espaço hiperbólico H3
Este produto interno é denido-positivo para todos os pontos de H3 . Com ele denimos comprimento de arco da seguinte forma: se γ : I ⊂ R → H3
é uma curva regular diferenciável então o comprimento de γ é dado por:
Renato Sidnei Vieira Alves Filho1 e
Rosa Maria B. Chaves2 (orientadora)
Universidade de São Paulo (USP), Brasil
1 [email protected]
2 [email protected]
Z
L(γ) =
1. Introdução
kγ 0 (t)k dt,
I
A noção de gráco é de grande importância em todos
os níveis do ensino de Matemática, tem lugar de destaque no Cálculo Diferencial e é de grande interesse
para a Geometria.
No estudo clássico das superfícies na área de Geometria Diferencial, os grácos aparecem de modo
natural, tendo parametrizações e representações grácas mais simples, o que possibilita uma maior facilidade para seu estudo. Em Geometria, é bastante
comum a tentativa de generalizar resultados clássicos
para ambientes diferentes, o que justica este estudo
de grácos no ambiente hiperbólico tridimensional,
que apresentaremos neste trabalho.
Trataremos de algumas das possíveis formas de
denir grácos no espaço hiperbólico, ilustrando alguns exemplos no modelo do semi-espaço superior,
que é conhecido como modelo de Poincaré.
onde kγ 0 (t)k denota a norma hiperbólica.
2.2 Superfícies umbílicas
As superfícies umbílicas em H3 são os planos totalmente geodésicos, as superfícies equidistantes, as horoesferas e as esferas geodésicas.
• Os planos totalmente geodésicos são os semiplanos Euclidianos verticais, contidos em H3 ,
ortogonais ao plano do innito e são isométricos aos hemisférios, contidos em H3 ortogonais
ao plano do innito.
2. Preliminares
A seguir recordamos alguns conceitos básicos a respeito do modelo de Poincaré.
2.1 Métrica em H3
O espaço hiperbólico é denido pelo conjunto
(a)
H3 := {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0}.
Chamaremos de plano do innito a fronteira de H3 ,
denotada por ∂H3 .
Denotamos por Tp H3 o espaço tangente a H3 , no
ponto p = (x0 , y0 , z0 ) e denimos o produto interno
h , ip : Tp H3 × Tp H3 −→ R,
dado por:
hu, vip =
(b)
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
,
z02
Em (a) temos um plano totalmente geodésico vertical e em (b) temos um plano totalmente
geodésico, dado por um hemisfério.
Figura 1.
onde u = (x1 , y1 , z1 ), e v = (x2 , y2 , z2 ).
A norma hiperbólica
de um vetor u ∈ Tp H3 é dada
p
por kukp = hu, uip .
179
• Superfícies equidistantes são superfícies tal que
seus pontos estão a uma distância xa de um
plano totalmente geodésico.
No modelo do semi-espaço, elas são representadas por semi-planos inclinados em relação ao
∂H3 ou por calotas esféricas cujo bordo é uma
circunferência contida no ∂H3 .
Na Figura 2(a) vemos uma superfície equidistante ao plano x = 0 e, em 2(b) vemos uma
equidistante a um plano dado por um hemisfério.
(a)
(a)
(b)
Em (a) temos uma horoesfera dada por
um plano horizontal e em (b) ela está representada
por uma esfera tangente à ∂H3 .
Figura 3.
(b)
3. Grácos
Em (a) temos uma superfície equidistante
dada por um semi-plano e em (b) ela está representada por uma calota esférica.
Figura 2.
• As horoesferas de H3 são representadas por uma
esfera tangente à ∂H3 (contida em H3 ∪ ∂H3 )
ou por planos paralelos à ∂H3 , conforme Figura
3(a) e 3(b).
• As esferas geodésicas são esferas totalmente contidas em H3 . Elas são denidas da mesma forma
que no espaço Euclidiano, como os pontos que
equidistam de um ponto dado. No entanto, devido a métrica em H3 ser diferente da métrica
Euclidiana, o seu centro ca deslocado em relação ao centro Euclidiano. Podemos ver um
exemplo na Figura 4.
Para a obtenção de grácos no espaço hiperbólico
tomaremos funções u : Ω −→ R, denidas sobre subconjuntos simplesmente conexos contidos em superfícies umbílicas de H3 . Tomamos um ponto sobre
uma linha diretriz ortogonal ao domínio de u, que
corresponderá ao par constituido por um ponto do
domínio e pelo respectivo valor obtido por u. E as
possibilidades para linha diretriz são: geodésica, linha equidistante ou horociclo, conforme a forma de
denição que tomaremos para gráco. Conforme podemos ver na Figura 5, pegamos uma linha equidistante ortogonal a um plano dado por um emisfério
e, nesta linha nós marcaremos o ponto que denirá
o gráco.
Como existem várias formas de denir grácos em
H3 , neste trabalho vamos mostrar algumas delas.
180
Então denimos o gráco de u, como sendo o conjunto:
G(u) = {(x, y, z) + u(x, y, z) v : (x, y, z) ∈ Ω}.
Veja exemplo na Figura 6.
Figura 4.
Uma esfera geodésica.
Figura 6. Gráco horizontal de u(s, t) = cos(s + t), com
a parametrização padrão para um retângulo no plano
y = 0.
Linha diretriz tomada a partir de um ponto de
um subconjunto de uma superfície.
Figura 5.
3.1 Grácos horizontais
3.2 Grácos radiais sobre planos totalmente geodésicos
Grácos horizontais são grácos de funções denidas
sobre subconjuntos simplesmente conexos contidos
em planos totalmente geodésicos, representados por
semi-planos Euclidianos verticais, e que têm como
linha diretriz um horociclo horizontal ortogonal ao
plano domínio.
Para a sua representação, consideremos
Grácos radiais sobre planos totalmente geodésicos
são grácos de funções denidas sobre subconjuntos simplesmente conexos, contidos em planos totalmente geodésicos, que são representados por hemisférios ortogonais à ∂H3 , tendo como linha diretriz uma
curva equidistante, ortogonal ao domínio plano.
Para a sua representação procedemos da seguinte
forma. Seja
π := {(x, y, z) ∈ H3 : ax + by = c, sendo a, b, c ∈ R},
π := {(x, y, z) ∈ H3 : x2 + y 2 + z 2 = c, c ∈ R∗+ },
um plano totalmente geodésico em H3 , e Ω ⊂ π um
suconjunto simplesmente conexo de π . Denimos
uma função a valores reais
u : Ω ⊂ π −→ R,
(a, b, 0)
um vetor normal unitáa2 + b2
rio a π , no ponto (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω.
um plano totalmente geodésico em H3 e Ω ⊂ π um
suconjunto simplesmente conexo de π . Seja também
u : Ω ⊂ π −→ R,
uma função a valores reais. Denimos o gráco de u
como sendo o conjunto:
e escolhemos v = √
2
181
G(u) = {(x, y, z) eu(x,y,z) : (x, y, z) ∈ Ω}.
Veja exemplo na Figura 7.
Gráco radial de u(s, t) = sen((5s)2 + 5t),
denido em um sub-conjunto do plano dado pela esfera
de centro 0 e raio 1.
Figura 7.
3.3 Grácos geodésicos sobre horoesferas
Grácos geodésicos sobre horoesferas, representadas
por um plano horizontal, são grácos de funções denidas sobre subconjuntos simplesmente conexos de
uma horoesfera, tendo como linha diretriz uma geodésica vertical.
Para a sua representação procedemos da seguinte
forma. Seja
3
O := {(x, y, z) ∈ H : z = c, c ∈
Gráco geodésico de u(s, t) = s+t, denido sobre um retângulo contido na horoesfera dada pelo plano
z = 1.
Figura 8.
Referências
[1] João Lucas Barbosa and Ricardo Sá Earp, Geometric
Methods and Nonlinear Analysis in Hyperbolic Space,
UFMG, Belo Horizonte, 1998.
R∗+ },
[2] Javier Ordóñez Barrientos, Superfícies Helicoidais com
uma horoesfera horizontal em H , Ω ⊂ O um subconjunto simplesmente conexo. E seja
3
u : Ω ⊂ O −→ R,
Curvatura Constante no Espaço de Formas Tridimencional, Rio de Janeiro, 1995.
[3] Adriano Pedreira Cattai, Grácos Radiais com Curvatura
Média Constante no Espaço Hiperbólico, Salvador, 2006.
[4] Ricardo Sá Earp and Eric Toubiana, Cours de Geometrie
Hyperbolique et de Surfaces de Riemann, PUC-RJ, Rio de
Janeiro, 1982.
uma função a valores reais.
Denimos o gráco de u como sendo:
[5] Rafael López, Graphs of Constant Mean Curvature in Hyperbolic Space, Annals of Global Analysis and Geometry
20 (2001), 5975.
G(u) = {(x, y, c eu(x,y,z) ) : (x, y, z) ∈ Ω}.
Veja exemplo na Figura 8.
182