11º MatViseu
Conceitos de geometria….
Francisco Morgado
11º MatViseu
• Equação da recta e do plano… culinária
• Transição entre objectos, animações
• Bolzano suas implicações e suas limitações
• Determinação de zeros, porque falham alguns sistemas?,
em pontos isolados, em componentes sem variação de
sinal!!!!, …uma boa investigação!!!!
• Funções …
– Determinar o D’f (CDf), aritmética intervalar,etc.
– Reunião/intersecção de objectos
• Números complexos, aplicados na parte gráfica
• Várias dimensões….
Equação da recta
B
A
Recta 
X = A + t*(B-A) t
Segmento de recta  X = A + t*(B-A); t[0,1]
X = (1-t)*A + t*B; t[0,1]
X = (1-t^2)*A + t^2*B; t[0,1]
X = (1-t^0.5)*A + t^0.5*B; t[0,1]
1
1
Equação do plano
W(A,B,C)
Importância!?
v
P
u
Ax+By+Cz+D=0
Equação da recta
Qual a equação mais importante, para a programação ?
•Vectorial
•Paramétrica
•Cartesiana
•Reduzida
Como posso saber quais os pontos
que estão do mesmo lado?
Aplicação (culinária)
- Como fazer Arroz Doce !?
ArrozDoce(t) = (1-t)*Arroz + t*Doce; t[0,1]
Se t  1 =>
ArrozDoce(s,t) = Arroz + s*Leite + t*Açucar; s,t[0,1]
Leite
Arroz Açucar
Leite
Arroz Açucar
Leite
Arroz Açucar
Aplicação (“Estudo”, cores, curvas bezier,…)
- Aplicação ao estudo !?
VidaEstudante(t) = (1-t)*Estudo + t*Diversão; t[0,1]
Se t  1 ???; Se t = 0 (demasiado estudo)
VidaEstudante(s,t) = Alimentação + s*Estudo + t*Diversão;
- Aplicação nas cores !?
- Mais dimensões!?, como
representar ?
MisturaCor(t) = (1-t)*Verde + t*Azul; t[0,1]
Cor(s,t,u) = s*Vermelho+t*Verde + u*Azul;
- Aplicação nas curvas, … na renault (inicialmente “Bezier”, 1962)…
http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_de_B%C3%A9zier
Programa de Bezier….
Aplicação (transição entre objectos)
Objecto(t) = (1-t)*Obj_Inicial + t*Obj_Final; t[0,1]
t=0
t=0.2
t=0.3
t=0.4
t=0.75
t=1
Aplicação (transição entre objectos)
E se tivermos
Objecto(t) = (1-t^2)*Obj_Inicial + t^2*Obj_Final; t[0,1]
Qual o efeito, na animação? (em ter (t), (t^2), t^0.5)
t=0
t=0.2
t=0.3
t=0.4
t=0.75
t=1
Programa Deformação….
Teorema de Bolzano…
f(B)
Zeros com variação de sinal
A
B
X
f(A)
Normalmente os softwares de visualização utilizam o Corolário T. Bolzano,
para determinar os zeros de uma função!!!,
f(A)
f(B)
A
B
Mas nas situações onde não existe variação de sinal!!!!!
Teorema de Bolzano…
Zeros com e sem variação de sinal
F(t)=f o r(t)
+
+
[0,1]
Componente com variação de sinal de f
Componente sem variação de sinal de f
(y-x).((x-2.2)2+(y-2.2)2).((x+2.8)2+(y-2.2)2-0.3)2=0
Trabalhando com outras forças!!!!
Funções…
Como poderemos contribuir para melhorar os sistemas gráficos?
F(t)=f o r(t)
- Não basear o cálculo dos zeros na variação de sinal
- Aritmética intervalar ?
- Aritmética Afim ?
- D’f como determina?
Y
a
b
X
…
“Se é verdade que as funções com derivada são as mais simples, as mais
fáceis de tratar, também é verdade que elas são as excepções, e não a
regra. Ou, se se preferir uma linguagem geométrica, as curvas que não
possuem tangente são a regra, enquanto as curvas regulares, como a
circunferência, são casos, apesar de interessantes, muito particulares.”
Repare-se nesta fotografia: onde os ovos com cascas lisas são os mais
raros! No entanto são os mais conhecidos pela sociedade em geral!
http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/fmo
rgado/Implicitas/ImplicitasModelacao.htm
Cálculo com intervalos…
Aritmética intervalar:
foi introduzida por R. Moore em 1966 no contexto de
investigação matemática, sendo aplicada na representação de curvas,
determinação de zeros,… A aritmética intervalar consiste num conjunto de
operações simples sobre intervalos, nomeadamente:
Adição: [a,b]+[c,d] = [a+c,b+d]
Subtração: [a,b]-[c,d] = [a-d,b-c]
Produto: [a,b]*[c,d] = [min(ac,ad,bc,bd), max(ac,ad,bc,bd)]
Divisão: [a,b]/[c,d] = [a,b]*[1/d,1/c]
- Considerar a função f(x,y) = x*y+y <=> f(x,y) = y(x+1)
Subdivisão regular…
“Dividir para conquistar”
Desafio, encontrar uma função que dê a:
Reunião de duas ou mais funções
Intersecção de duas ou mais funções
Outro tipo de partição…
• “Se A,B  C então existe grande probabilidade de existirem mais
pontos pontos da curva (C ) entre A e B.”
Ω
Ω
(a) Subespaço inicial e a árvore
l2
l4
l1
l6
l1
(d) Terceira partição
l5
Ω+
l1
l4
l1 Ω
l7
Ω-
Ω+
Ω-
l1
l1
l3
l3
l5
l6
l3
(b) Primeira partição
l2
l2
(c) Segunda partição
l2
l3
l7
Exemplos
(2x2+y2+z2-1)3-(1/10)x2z3-y2z3 = 0
Números complexos…
Uma possível aplicação dos complexos,
pode ser nas transformações
geométricas….
Usadas nos jogos de computadores,
onde o utilizador têm de rodar,
ampliar, movimentar-se
Z = ρcis(φ)
Zα = 1cis(α)
Zβ = 1cis(β)
Z’ = Z*Zα*Zβ = ρcis(φ + α + β) ; Rotação
Z = ρcis(φ)  Conjugado(Z) = ρcis(-φ) Simetria XX
Z = ρcis(φ)  Z^n = Z; Quantas rotações preciso de fazer para voltar ao estado inicial ?
Alguns desafios
Encontrar uma “teoria” que permita determinar todos os zeros de uma função,
sem usar “pré-requisitos”.
Representar várias dimensões…(x,y,z,estado emocional, altura pessoa, etc)
Propor um modelo de reformas que seja sustentável…, talvez usar eq. vectorial
da recta???