Translação e Rotação
Energia cinética de rotação
Momentum de Inércia
Torque
ROTAÇÃO
Fı́sica Geral I (1108030) - Capı́tulo 07
I. Paulino*
*UAF/CCT/UFCG - Brasil
2012.2
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Translação e Rotação
Energia cinética de rotação
Momentum de Inércia
Torque
Sumário
Translação e Rotação
Definições, variáveis da rotação e notação vetorial
Rotação com aceleração angular constante e relações entre grandezas angulares e
lineares
Energia cinética de rotação
Conceitos e determinação
Momentum de Inércia
Definição, determinação e teorema do eixo paralelo
Torque
Torque e 2a lei de Newton para a rotação
Trabalho e Potência
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Translação e Rotação
Energia cinética de rotação
Momentum de Inércia
Torque
Translação e Rotação
Pode-se entender TRANSLAÇÃO como um movimento no qual o
centro de massa do sistema desloca-se de uma região para outra.
A ROTAÇÃO compreende o movimento em cı́rculos como rodas,
engrenagens, ponteiros de relógio, etc.
VÍDEO
Neste curso serão estudados apenas corpos rı́gidos girando em
torno de eixos fixos.
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Energia cinética de rotação
Momentum de Inércia
Torque
Corpo rı́gido e eixo de rotação
Um CORPO RÍGIDO é um objeto que pode girar com todas as
suas partes mantidas juntas e sem qualquer mudança de forma.
Dizer que uma rotação se dá em torno de um EIXO FIXO, significa
dizer que esse eixo não se move.
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Energia cinética de rotação
Momentum de Inércia
Torque
Posição angular
A figura ao lado mostra uma linha de referência arbitrária,
perpendicular ao eixo de rotação, que se move
acompanhando a rotação do corpo.
A POSIÇÃO ANGULAR desta linha é o ângulo que ela faz
com o eixo fixo do sistema de coordenadas. Analisando
geometricamente, a posição angular pode ser escrita por:
θ=
s
.
r
(1)
Nesta equação, s é o comprimento do arco ao longo da
circunferência entre o eixo x e a linha de referência e r é o
raio do cı́rculo.
O ângulo é uma grandeza adimensional que
convencionalmente é atribuı́do a unidade de RADIANOS
(rad).
1 volta = 360o =
2πr
= 2π rad
r
portanto,
1 rad ∼
= 57, 3o ∼
= 0, 159 voltas .
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Energia cinética de rotação
Momentum de Inércia
Torque
Deslocamento angular
Se o corpo da figura do slide anterior variar sua posição angular de
θi até θf , este sofrerá um deslocamento angular ∆θ dado por:
∆θ = θf − θi ,
(2)
este deslocamento não vale apenas para o corpo rı́gido como um
todo, mas também para todas as partı́culas no interior desse corpo,
porque as distâncias se mantêm inalteradas.
Por convenção, se o deslocamento angular for no sentido
HORÁRIO, este será NEGATIVO.
Será POSITIVO, se o deslocamento for no sentido
ANTI-HORÁRIO.
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Momentum de Inércia
Torque
Velocidade angular
Suponha que no tempo ti , a linha de referência do corpo esteja em
θi e no tempo tf , a linha esteja em θf . A velocidade angular média
do corpo no intervalo de tempo ∆t será:
ωmed =
θf − θ i
∆θ
=
.
tf − ti
∆t
(3)
Tomando o limite em que ∆t → 0, pode-se encontrar a velocidade
angular instantânea, ou seja:
∆θ
dθ
=
.
∆t→0 ∆t
dt
ω = lim
(4)
Se for conhecido θ(t), pode-se achar a velocidade angular
derivando esta função com respeito ao tempo. A unidade da
velocidade angular, no SI é rad/s. A velocidade angular será
positiva ou negativa dependendo do sentido da revolução.
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Momentum de Inércia
Torque
Aceleração angular
Se a velocidade angular de um corpo em rotação não for
constante, este corpo possui aceleração angular. Sejam ωi e ωf as
velocidades angulares nos instantes ti e tf , respectivamente, assim
a aceleração angular média vale:
αmed =
ωf − ωi
∆ω
=
.
tf − ti
∆t
(5)
Da mesma forma que a velocidade angular instantânea foi definida,
pode-se definir a aceleração angular instantânea, i.e.,
∆ω
dω
=
,
∆t→0 ∆t
dt
α = lim
(6)
que tem unidades de rad/s 2 no SI.
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Momentum de Inércia
Torque
Grandezas escalares como vetores
A velocidade angular pode ser entendida com um vetor de módulo ω e sentido
na direção paralela ao eixo de rotação conforme ilustra a figura acima. O
sentido pode ser encontrado utilizando a regra da mão direita em que os dedos
giram na mesma direção do movimento e o polegar aponta para o sentido do
vetor.
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Momentum de Inércia
Torque
Grandezas angulares como vetores
Por sua vez, a deslocamento angular só pode ser tratado com vetor para
pequenos deslocamentos. Um tı́pico exemplo é mostrado na figura abaixo.
Neste caso, a propriedade comutativa violada e esta propriedade é um exigência
para um grandeza ser considerada vetorial.
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Momentum de Inércia
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Rotação com aceleração angular constante
Da mesma forma que foram deduzidas as equações lineares para o
movimento de translação com aceleração constante, pode se obter um
conjunto de equações similares para um modelo de aceleração angular
constante.
Em analogia, pode-se escrever:
ω = ω0 + αt ,
(7)
1
θ = θ0 + ω0 t + αt 2 ,
2
(8)
ω 2 = ω02 + 2α∆θ ,
(9)
que são similares às equações lineares para o movimento de translação.
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Momentum de Inércia
Torque
Relações entre grandezas angulares e lineares
A deslocamento linear ao longo do arco da
circunferência está relacionado com o deslocamento
angular pela seguinte expressão:
s = rθ .
(10)
Tomando a derivada do deslocamanto com relação ao
tempo, pode-se achar a velocidade linear, ou seja,
d(r θ)
dθ
ds
=
=r
.
dt
dt
dt
v = rω .
(11)
A figura ao lado, no painel superior, mostra a direção
da velocidade linear.
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Momentum de Inércia
Torque
Relações entre grandezas angulares e lineares
A componente tangencial da aceleração pode ser
calculada por:
dω
dv
=
r = rα .
(12)
dt
dt
Já a componente radial pode ser escrita por:
at =
ar =
v2
= ω2 r .
r
(13)
Às vezes, é conveniente relacionar o tempo total
de uma volta (perı́odo T ) com as grandezas
lineares e angulares, o que nos dá:
T =
2πr
2π
=
.
v
ω
(14)
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Momentum de Inércia
Torque
Energia cinética de rotação
Um objeto girando certamente possui energia cinética associada à
rotação. porém, não é possı́vel expressar essa energia cinética
simplesmente por 12 mv 2 . Em vez disso, pode-se tratar o objeto
com um sistemas de várias partı́culas, desta forma:
1
1
1
1
K = m1 v12 + m2 v22 + m3 v32 + · · · + mn vn2
2
2
2
2
K=
n
X
1
i=0
2
mi vi2 .
(15)
Nesta equação, a velocidade não é a mesma para todas as
partı́culas do objeto. Contudo pode-se escrever:
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Momentum de Inércia
Torque
Energia cinética de rotação
K=
n
X
1
i=0
1
mi (ωri ) =
2
2
2
n
X
!
mi ri2
ω2 .
(16)
i=0
A grandeza entre parênteses é chamada de momentum de inércia
ou inércia à rotação que será denotada por:
I =
n
X
mi ri2 .
(17)
i=0
no SI, o momentum de inércia tem unidades de kgm2 .
Desta maneira, a energia cinética de rotação pode ser escrita por
1
K = I ω2 ,
(18)
2
que tem um forma bastante similar à energia cinética de translação.
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Momentum de Inércia
Torque
Cálculo do momentum de inércia
Sabe-se que o momentum de inércia pode ser calculado por:
I =
n
X
mi ri2
i=0
Para uma distribuição contı́nua de massa, pode-se tomar
elementos de massa infinitesimais e a expressão acima pode ser
transformada numa soma contı́nua, isto é,
Z
I = r 2 dm .
(19)
Resolver esta integral nem sempre pode ser possı́vel. existem
métodos alternativos para calcular o momentum de inércia. Um
deles é o teorema do eixo paralelo que será discutido a seguir.
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Momentum de Inércia
Torque
Teorema do eixo paralelo
O teorema do eixo paralelo pode ser
enunciado da seguite forma:
Para um corpo de massa M que possui
momentum de inércia Icm associado a um
eixo que passa pelo seu centro de massa, é
sempre possı́vel determinar o momentum
de inércia de um eixo paralelo ao eixo que
passa pelo cenntro de massa
conhecendo-se apenas a distância entre
esses dois eixos.
Para demonstrar esse teorema, considere o
esquema da figura ao lado, em que
pretende-se calcular o momentum de
inércia de um eixo que passa por um
ponto P que é paralelo a um eixo que
passa pelo centro de massa do sistema.
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Momentum de Inércia
Torque
Teorema do eixo paralelo
O momentum de inércia é dado por:
Z
I =
r 2 dm =
Z h
i
(x − a)2 + (y − b)2 dm
R
R
I = (xR2 + y 2 )dm
R −2 2a 2 xdm+
+2b ydm + (a + b )dm
O segundo e o terceiro termos do lado
direito são as coordenadas x e y ,
respectivamente, do centro de massa
multiplicadas por uma constante que são
iguais a zero.
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Momentum de Inércia
Torque
Teorema do eixo paralelo
Logo,
Z
I =
R 2 dm +
Z
h2 dm ⇒
I = Icm + h2 M ,
(20)
que é a forma matemática do
teorema do eixo paralelo.
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Momentum de Inércia
Torque
Torque
A figura acima ilustra a ação de uma força sobre um objeto qualquer aplicada
num ponto P que está a uma distância r de um eixo de rotação.
O TORQUE é uma grandeza fı́sica que mede a capacidade desta força em fazer
o sistema girar, desta maneira o torque pode ser escrito por:
τ = (r )(F sin φ) .
(21)
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Momentum de Inércia
Torque
Torque
Analisando a figura acima ainda pode-se escrever o torque da seguinte forma:
τ = rF ⊥ ,
(22)
τ = r ⊥F ,
(23)
ou,
a distância r é geralmente chamada de braço da alavanca. A unidade do torque no SI
é N • m e jamais em joule.
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Torque
2a lei de Newton para a rotação
O módulo da força que produz a aceleração do sistema em rotação
na direção tangente pode ser dada por
Ft = mat .
O módulo do torque que atua sobre a partı́cula é dado por
τ = Ft r = mat r .
Agora, at = αr , substituindo na expressão acima,tem-se
τ = Ft r = m(αr )r = mr 2 α .
Só que mr 2 = I é o momentum de inércia em torno do eixo de
rotação.
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Momentum de Inércia
Torque
2a lei de Newton para a rotação
Sendo assim, o torque pode ser escrito por
τ = Iα .
Para uma situação na qual mais de uma força atua sobre o
sistema, pode-se generalizar a equação acima e escrever que
τres = I α .
Esta expressão é uma maneira de se escrever a segunda lei de
newton para um sistema girando em torno de um eixo fixo.
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Momentum de Inércia
Torque
Trabalho e Potência
O teorema do trabalho e energia cinética também é válido para o
movimento de rotação, desta maneira,
1 2 1 2
I ω − I ωi = W .
2 f
2
Note que, se ω = constante e o momentum de inércia não mudar,
W = 0. Por outro lado,
∆K = Kf − Ki =
Z
(24)
θf
τ dθ ,
W =
(25)
θi
em que é o torque (será discutido a seguir), para o caso que
τ = constante, tem-se
W = τ (θf − θi ) .
(26)
A potência instantânea do movimento pode ser dado por
P=
dW
= τω .
dt
(27)
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Momentum de Inércia
Torque
Exercı́cios
LIVRO: Fundamentos de Fı́sica
AUTORES: Halliday e Resnick
8a Edição. Volume 1 - Mecânica
CAPÍTULO 10 - ROTAÇÃO - Pág. 284-290.
Problemas
04, 07, 16, 25, 29, 30, 39, 44, 55, 66.
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