Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Trabalho, Potência e Energia

Quando a matéria tem energia, ela pode ser usada para realizar trabalho. Um fluido pode ter
várias formas de energia. Por exemplo: em um jato - energia cinética, em uma represa - energia
potencial, vapor aquecido – energia térmica. Trabalho é força atuando ao longo de uma
distância, quando a força é paralela à direção do movimento.
Trabalho = força x distância

Trabalho é realizado quando o dedo pressiona a alavanca e esta se move.

Trabalho é realizado quando o pistão exerce uma força de pressão no líquido ao longo de uma
distância.
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Trabalho, Potência e Energia

Outro exemplo de execução de trabalho: O vento exerce uma força nas pás, esta força produz
um torque e o trabalho é dado por:
Trabalho = Torque x velocidade angular
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Trabalho, Potência e Energia

Uma turbina é uma máquina usada para extrair energia de um fluido em movimento:

Além da máquina do slide anterior temos outros tipos de turbina:
Turbinas Kaplan
Usada para baixas alturas de carga e altas vazões de água. A água entra radialmente no compartimento do rotor por todos
os lados, mudando a direção para o fluxo axial. Isto causa uma força de reação que movimenta a turbina.
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Trabalho, Potência e Energia
Turbina Francis
É usada para baixas e médias alturas de carga. Consiste de um anel externo com pás estacionárias fixas e um anel
interno com as pás que giram formando o rotor. As pás fixas controlam o fluxo de água para o rotor. A água escoa
radialmente para dentro da turbina e muda de direção enquanto passa pelo rotor. Quando passa pelas pás do rotor a
água perde pressão e velocidade . Isto causa uma força de reação que gira a turbina.
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Trabalho, Potência e Energia
Turbinas Pelton
As rodas Pelton são as preferidas quando a fonte de água tem grande altura de carga e baixa vazão. Consta de um ou
mais jatos descarregando dentro de pequenas bacias colocadas no perímetro do rotor. Usam a velocidade da água e
por este motivo são chamadas de turbinas de impulso. As turbinas Kaplan e Francis são turbinas de reação.
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Trabalho, Potência e Energia
Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.
Bomba de diafragma:
Ar é direcionado para a parte inferior do cilindro, levantando o pistão
e junto o diafragma. Quando o diafragma sobe, a válvula de retenção
no lado da entrada é aberta e o líquido flui para o interior da bomba.
Quando o pistão chega ao topo a cavidade da bomba é preenchida e a
bomba está pronta para a descarga.
Ar comprimido é então forçado para a parte superior da câmara do
diafragma., empurrando o diafragma para baixo e evacuando a cavidade
da bomba. Durante este movimento a válvula de retenção do lado da
saída é aberta e a bomba está pronta para outro ciclo.
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Trabalho, Potência e Energia
Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.
Bomba centrífuga
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Trabalho, Potência e Energia
Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.
Bomba de engrenagens
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Trabalho, Potência e Energia
Trabalho e energia têm as mesmas dimensões primárias, e mesmas unidades.
Potência, que expressa uma taxa de trabalho ou energia, é definida por:
trabalho
W
 lim
 W
t 0 t
tempo
P
Se considerarmos a quantidade de trabalho obtida pelo produto da força pelo deslocamento, temos:
P
trabalho
Fx
 lim
 FV
t 0 t
tempo
Onde V é a velocidade do corpo em movimento.
Quando um eixo gira, a quantidade de trabalho é obtida pelo produto do torque pelo deslocamento angular:
P
trabalho
T
 lim
 Tw
t 0 t
tempo
Onde w é a velocidade angular.
Uma lâmpada de 60W utiliza 60 J/s de energia elétrica.
Um atleta bem condicionado pode manter uma potência de cerca de 300W = 0,4 hp por uma hora.
Um fusca 1970 tem um motor que alcança 50 hp.
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Equação da Energia
A equação da Energia para um sistema é:
dE
Q  W 
dt
Também conhecida por Primeira Lei da Termodinâmica ou Lei da Conservação de Energia. E diz o seguinte:
Taxa líquida de
energia térmica
que entra no
sistema
Taxa líquida em que
o sistema executa
trabalho na
vizinhança
Taxa de variação
da energia interna
do sistema
A energia térmica é positiva quando é adicionada ao sistema (Calor que entra no sistema) e é negativa quando é
removida do sistema (Calor que sai do sistema). Já o trabalho é positivo quando é executado pelo sistema na
vizinhança e negativo quando trabalho é feito sobre o sistema.
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Equação da Energia
dN
dt
 

 d  V  dA
t VC
sistema
SC
Para aplicar a equação da conservação de energia a um Volume de Controle, utilizamos o Teorema do Transporte de
Reynolds. Considerando a propriedade extensiva N como sendo a Energia (N = E) e a propriedade intensiva
 = E/m = e, obtemos:
 
d


Q W 
 ed  SC eV  dA
dt VC
e = (energia cinética + energia potencial + energia interna) / (por unidade de massa).
V2
e  ec  e p  u 
 gz  u
2

V 2
  
d V 2


Q W 
  2  gz  u d  SC  2  gz  u V  dA
dt VC
(1)
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Equação da Energia
Guardaremos a equação anterior ( I ) e faremos agora algumas considerações sobre trabalho.
TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:
O trabalho é classificado nestas duas categorias. Como sabemos, trabalho envolve força atuando ao longo de uma
distância. Quando esta força está associada a distribuição de pressão então trata-se de trabalho de escoamento. Por
outro lado, trabalho de eixo é qualquer trabalho que não está associado a distribuição de pressão. Este segundo tipo
é normalmente realizado por (ou sobre) um eixo e é comumente associado a uma bomba ou turbina. Segundo a
convenção de sinais, trabalho da bomba é negativo e trabalho da turbina é positivo, então:
Weixo  Wturbina  Wbomba  Wt  Wb
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Equação da Energia
TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:
Devemos ter sempre em mente que trabalho é força vezes distância. Na figura abaixo, na seção 2, o fluido que está
dentro do Volume de Controle irá empurrar o fluido que se encontra fora do VC, na direção do escoamento. A
magnitude da força é P2A2. Durante um intervalo de tempo t, o deslocamento do fluido na seção 2 será:
x2 =V2t. Então, o trabalho realizado será:
W2  F2 x2   P2 A2 V2 t 
P 
P 
W2
W2  lim
 P2 A2V2   2 A2V2   m  2 
t 0 t


Este trabalho, na seção 2, é positivo porque o fluido dentro do VC está realizando trabalho na vizinhança. Da mesma
forma, na seção 1:
P 
W1  m  1 

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Equação da Energia
.
TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:
O trabalho de escoamento líquido para a situação da figura é dado por:
P 
P 
Wescoamento  W2  W1  m  2   m  1 


Generalizando para uma superfície de controle qualquer:
P  
Wescoamento    V  dA

SC
E, finalmente:
  P   
W  Wescoamento  Weixo      V  dA   Weixo
 SC  

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Equação da Energia
Recuperando a equação ( I ):

V 2
  
d V 2



 V  dA
Q  W 

gz

u

d



gz

u
  2


 2
dt VC


SC
  P   
W  Wescoamento  Weixo      V  dA   Weixo
 SC  

Q  Weixo 
  d V 2

V 2
  



 V  dA

V

d
A


gz

u

d



gz

u

  2
 2

dt VC


SC
SC
P

V 2
d V 2
P  





 V  dA
Q  Weixo 

gz

u

d



gz

u

  2


 2
dt VC



SC
Sabendo que (u + p/) corresponde à propriedade do fluido denominada entalpia específica (h), chegamos à forma
integral da equação da conservação de energia, aplicada a um volume de controle.

V 2
  
d V 2





 V  dA
Q  Weixo 

gz

u

d



gz

h
  2


 2
dt VC


SC
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)
Partindo da forma integral da equação da conservação de energia, considerando:
a) Escoamento permanente;
b) Tubulação com uma entrada e uma saída;
c) Fluido incompressível.

V 2
d V 2
P  



 V  dA
Q  Weixo 

gz

u

d



gz

u

  2


 2
dt VC



SC
V 2 V 2 
P P 
Q  WT  W B   m  2  1   m g z2  z1   m u2  u1   m  2  1 
2 
 
 2
 P1 V
 P V

m u2  u1   Q
 
 z1    2 
 z2   hB  hT 
m g
  2g
   2g

2
1
(dividindo por m g )
2
2
 P1 V12
 P V2

 
 z1    2  2  z2   hB  hT  hL
  2g
   2g

Os fatores que envolvem energia térmica são agrupados em um termo que representa as perdas por atrito. hL.
O trabalho de eixo, proporcionado por bomba e turbina contribuem para o fornecimento para as alturas de carga, hT
e hB. No caso da figura, hT = 0, pois não há turbina.
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)
 P1 V12
  P2 V22

 
 z1    
 z2   hB  hT  hL
  2g
   2g

Os termos desta equação representam uma Altura de carga (head), têm dimensão primária de comprimento, e
representam um conceito de energia.
Altura de carga = (Energia ou trabalho) / (mg)
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)
 P1 V12
  P2 V22

 
 z1    
 z2   hB  hT  hL
  2g
   2g

Diferença de energia
mecânica entre as
seções 1 e 2
Altura de carga
fornecida por
bombas
Altura de carga
extraída por
turbinas
Perdas de carga
devido aos efeitos
viscosos
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)
São introduzidas duas constantes 1 e 2 na equação da energia. São os fatores de correção da energia cinética.
 P1
  P2

V12
V22
  1
 z1      2
 z2   hB  hT  hL
2g
2g

 

Na figura abaixo, energia cinética é transportada através da SC nas seções 1 e 2. Para chegarmos a uma equação
para esta energia cinética, comecemos pela vazão em massa:
m  VA   VdA
A
Para converter esta integral em taxa de energia cinética multipliquemos por (V2/2).
V 2 
V 3dA

Ec   V  dA  
2
 2 
A
A
O fator de correção da energia cinética é dado por:
=
(Energia cinética real) / (unidade de tempo)
(Energia cinética) / (tempo) {considerando uma distribuição uniforme de velocidades}


V 3 dA
2
V 3 A
2
A
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)
 P1
  P2

V12
V22
  1
 z1      2
 z2   hB  hT  hL
2g
2g

 



V 3 dA
A
2
V 3 A
Se a densidade do fluido for constante:
3
1 V 
     dA
A AV 
2
Quando o perfil de velocidades é uniformemente distribuído,  = 1.
Quando o escoamento é laminar, o perfil de velocidades é parabólico e  = 2.
Quando o escoamento é turbulento o perfil de velocidades é achatado e
  1 (na prática  =1).
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)
RELEMBRANDO O CÁLCULO DA MÉDIA DE UMA FUNÇÃO
CONTÍNUA:
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de
igual amplitude Δ:

ba
n
Para cada um destes subintervalos tomamos o
valor da função (X1, X2,...Xn) em seus pontos
médios (t1, t2...tn).
A área de cada coluna de altura Xj é (Xj x Δ). E a
soma de todas as áreas dá um valor aproximado
da área abaixo da curva:
n
b
j 1
a
   X j   X t dt
Então, a velocidade média em uma seção de área A é
dada por:
V 
b
ba n
  X j   X t dt
a
n j 1
1 n
1 b
 X j 
X t dt
n j 1
b  a a
Média das n observações.
1
VdA
A A
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CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA
CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:
A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo
circular é dada por:
 r2 
V  VMAX 1  2 
 r0 
Velocidade média:
V 



 r2 
1
1  r0


VdA

V
1

2

rdr


MAX
 r2 
A A
r02  0
0 


2VMAX  r0  r 2   2VMAX  r0 
r3  
V 
 1  rdr  
  r  2 dr 
r02  0  r02  
r02  0 
r0  
2V
V  MAX
r02
 r 2 r 4  r0  2V
  2    MAX
r02
 2 4r0  0 


 r02 r02  VMAX
  
2
2 4
Ou seja, para escoamento laminar em um tubo circular a velocidade
média é a metade da velocidade na linha central (máxima).
3
1 V 
     dA
A AV 
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CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA
CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:
A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo
circular é dada por:
 r2 
V  VMAX 1  2 
 r0 
Cálculo do fator de correção:
3

r0
1  V 
1
      dA  2 3   V 3 2rdr 
0

A  A  V 
 r0 V 

1
r02 VMAX
3
 r0 

 r 2 




V
1

2

rdr
 MAX 

3
r02 
2   0 




3

16  r0  r 2 
  2   1  2  rdr 
r0  0  r0 


Para resolver a integral, adota-se a troca de variáveis:
(e também dos limites de integração: u = 1 p/ r = 0
e u = 0 p/ r = r0)
 16  r02  0 3   1 3 
   2     u du   8  u du 
  0

 r0  2  1
 u4
  8
 4

 1
  8   2
 4
0
1
 r2 
u  1  2 
 r0 
du 
 2r
dr
r02
3
1 V 
     dA
A AV 
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Potência
 P1
  P2

V12
V22
  1
 z1      2
 z2   hB  hT  hL
2g
2g

 

A altura de carga da bomba (e da turbina) na equação da energia é definida como sendo a razão entre a taxa de
trabalho sendo realizada e a vazão em massa multiplicada por g:
hB 
W B
m g
hT 
WT
m g
Então:
 ghB  VAhB  QhB
W B  m
 ghT  VAhT  QhT
WT  m
Bombas (ou turbinas) não transmitem (ou absorvem) toda energia ao (do) escoamento devido a atrito mecânico,
dissipação viscosa e vazamentos. Estas perdas são contabilizadas no cálculo da eficiência, η, que é definida pela razão
entre a potência de saída do dispositivo e a potência que lhe foi fornecida:
B 
Psaida
W B

Pentrada Wentrada
Onde o termo no numerador corresponde à potencia fornecida pela bomba ao escoamento, e o termo no
denominador é a potência que foi fornecida à bomba (normalmente por meio de um eixo ligado a um motor).
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Potência
EXEMPLO:
Um tubo de diâmetro constante de 50 cm transporta água (10º C) a uma vazão de 0,5 m3/s. Uma bomba é usada
para elevar a água de uma posição de 30m para 40m. A pressão na seção 1 é 70 kPa manométrica e a pressão na
seção 2 é de 350 kPa também manométrica. Que potência deve ser fornecida ao escoamento pela bomba? Assuma
que hL = 3 m de água e que α1 = α2 = 1.
 P1
 P

V2
V2
  1 1  z1    2   2 2  z2   hB  hT  hL
2g
2g

 

V1 = V2
hT = 0 (não há turbina no sistema)
P P 
hB   2 1   z 2  z1   hL
  
 350000  70000 
hB  
  40  30  3  41,5m
9810


A altura de carga fornecida pela bomba compensa o aumento da carga de pressão, o aumento na elevação e as
perdas na tubulação.
 ghB  VAhB  QhB
W B  m
W B  QhB  9810  0,5  41,5  204kW
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Potência
EXEMPLO:
Na taxa máxima de geração de eletricidade, uma pequena central hidrelétrica apresenta uma vazão de 14,1 m3/s.,
para uma diferença de cota de 61 m. A perda de carga através da entrada, tubulação e saída totaliza 1,5 m. A
eficiência combinada da turbina e do gerador é de 87%. Qual é a potência elétrica que está sendo gerada?
 P1
 P

V2
V2
  1 1  z1    2   2 2  z2   hB  hT  hL
2g
2g

 

V1 = V2 = 0
P1 = P2 = 0
hB = 0 (não há bomba no sistema)
hT  z1  hL
hT  61  1,5  59,5m
A altura de carga fornecida à turbina é igual à diferença de elevação da barragem menos a altura correspondente às
perdas viscosas.
Potência fornecida à turbina (Potência de entrada):
 m3 
N
Pentrada  QhT  9810 3  14,1   59,5m  8,23MW
m 
 s 
Potência elétrica gerada:
Psaída  Pentrada  0,87  8,23  7,16MW