ASPECTOS DO
RACIOCÍNIO
MATEMÁTICO
SEGUNDO
FISCHBEIN
Raciocínio matemático
Para Efraim Fischbein (1978) a atividade
matemática
humana
envolve
três
componentes :
 a formal,
 a algorítmica e
 a intuitiva.
1. A componente algorítmica
Parte
fundamental
no
raciocínio
matemático que é adquirida através da
prática, permitindo adaptar um conjunto
de
procedimentos-tipo,
guiões,
a
situações problemáticas.
1. A componente algorítmica
Exemplo 1 : Resolução de equação do 1º grau
Geralmente, não mencionamos o contexto
- a equação usa uma e uma só letra, no
final obtemos uma expressão com a letra
à esquerda do sinal de igual e um número à
direita, etc.. - e ensinamos assim :
1. A componente algorítmica
a) isolar no 1º membro todos os termos em
x e no 2º todos os restantes;
b) dividir o 2º membro pelo coeficiente de
x.
Este guião se aplica na situação em que
é pedido a resolução da equação. Quando o
aluno tenta aplicar fora da situação-tipo
muitas vezes não sabe como sair dela.
1. A componente algorítmica
Exemplo 2 : A altura de um triângulo
Um estudo realizado por Vinner e
Herskowitz (1983) mostra um algoritmo
prático seguido pelos alunos. Estes ao
observarem
triângulos
isósceles,
implicitamente desenvolveram a seguinte
regra :
1. A componente algorítmica
Para obter a altura de um triângulo,
basta traçar a perpendicular do vértice
mais acima para o meio da base.
1. A componente algorítmica
Ao verem outros tipos de triângulos,
desenharam a altura assim :
2. Componente Formal
Envolve
axiomas,
definições,
teoremas,demonstrações,
proposições
adaptáveis à todas as circunstâncias.
Antigamente achava-se que só em conhecer
os axiomas e definições claras, as
restantes
propriedades
seguiam-se
logicamente, assim haveria aprendizagem.
2. Componente Formal
Mas sabemos que não
é
assim.
A componente formal não é senão a
condensação de múltiplas
experiências
matemáticas anteriores, mais ou menos
formais.
2. Componente Formal
Exemplo : Será que f(x) é uma função ?
f (x) = 10sen(x) + rnd(x) , onde x é real e
rnd(x) é uma função aleatória que para cada valor
de x produz um valor real aleatório entre 0 e 1.
Podemos definir uma função como sendo
uma correspondência especial entre dois
conjuntos.
2. Componente Formal
Na função acima, para cada valor real de x,
existe
apenas
uma
imagem,
mas
a
correspondência altera-se de cada vez que f(x) é
calculado. A definição acima foi desenvolvida num
contexto que não previa fenômenos aleatórios.
O que é uma definição clara de um conceito
matemático transforma-se pois numa imprecisão
quando o contexto, que não está em parte alguma
da definição, se modifica.
3. Componente Intuitiva
Psicólogos, sociólogos e matemáticos tem vindo
a chamar a atenção para o modo como o
raciocínio matemático faz uso da imaginação, da
visualização, de todas as nossas vivências e
mesmo das nossas características biológicas.
3. Componente Intuitiva
É recorrendo à intuição que somos capazes
interpretar os conceitos matemáticos e falar
funções que crescem, ou de progressões,
sucessões que tendem, de limites,
convergência, de altura de triângulo, etc..
de
de
de
de
LINGUAGEM
NA AULA
DE
MATEMÁTICA
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA
Sabemos que não há nenhum grupo de
pessoas para o qual a matemática seja a sua
primeira língua, portanto, neste sentido, não é
uma linguagem natural.
Uma das principais funções da linguagem
é o de transmitir significado, e um dos
principais problemas da linguagem em
matemática é que os significados a veicular
são muitas vezes complexos.
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA
Então acabamos criando termos anfíbios
(Nilso Machado – 1991), isto é, usamos
termos com origem na linguagem natural na
matemática e vice-versa :
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA








Chegar a um denominador comum
A esfera do poder
Aparar as arestas
Possibilidades infinitas
Sair pela tangente
Numa fração de segundo
Ver de outro ângulo
No meio do caminho
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA
O aspecto simbólico da escrita matemática
é uma das suas principais características:
ilustram a estrutura, permitem manipulações de
rotina, automatizam e tornam a reflexão
possível, ao exteriorizar os pensamentos com
alguma estabilidade, firmeza e permanência,
como objetos que podem ser examinados.
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA
Mas a presença constante dos símbolos e
a ausência de objetos matemáticos óbvios para
atuarem como referentes podem conduzir
muitos a acreditar que os símbolos são os
objetos matemáticos :
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA
a) Um número inteiro é par se termina em 0, 2, 4,
6 ou 8 - apenas está em causa o símbolo;
b) Um número inteiro é par se pode ser dividido
exatamente em dois números inteiros iguais trata-se de uma característica do próprio
número.
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA
A matemática quando escrita faz uso de um
sistema complexo, regulado por regras,
separado da linguagem natural. Os princípios de
escrita matemática incluem a ordem dos
símbolos, a posição, o tamanho relativo e a
orientação.
LINGUAGEM NA AULA DE
MATEMÁTICA
Quando dizemos : ‘junta 5 e 3’, junta 3 a 5’,
‘acha a soma de 5 e 3’, ‘calcula o número que é
mais 3 que 5’, estamos a usar uma linguagem
diferente, mas sempre a exigir a mesma
operação matemática.
Os alunos tem de entender todas estas
formas de dizer e em última análise perceber
que correspondem todas à expressão simbólica
5+3.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Triângulo, retângulo, trapézio e paralelogramo
possuem altura e base. Losango e quadrado
possuem lados.
A razão para utilização desta terminologia, é
que ela facilita a compreensão do conceito pelos
alunos. Termos desconhecidos (polígonos) ou
nos quais o significado matemático diverge do
natural (ou) são muito mais difíceis de
compreender.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Metáfora é tratar X como se ele fosse, em
alguns casos Y.
A escolha de Y é baseada num ponto, ou
pontos, de semelhança entre X e Y, embora a
expressão formada seja normalmente sem
significado se tomada literalmente.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
 Uma função é uma máquina
 Uma equação é uma balança
 Os números primos são cores primárias
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
A metáfora é uma característica básica da
comunicação humana. Torna as pessoas capazes
de lidar com experiências novas, descrevendo
alguma coisa que eles nunca tinham encontrado
antes, ou procurando compreender uma idéia
nova.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Frases de alunos :
 “Este gráfico tem a forma de U” e “é uma
ponte muito abaulada” ( sobre o mesmo gráfico)
 “É retângulo esticado” ( descrição de um
paralelogramo )
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
A metáfora foi utilizada pelos alunos como
termo de comparação, ajudando o aluno a
descrever uma nova idéia matemática em
termos de alguma coisa mais familiar.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Os professores utilizam as metáforas
pedagógicas, com o intuito de facilitar a
compreensão dos alunos dos conceitos
matemáticos.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Por exemplo, a equação é uma balança, o
professor
está,
consciente
ou
inconscientemente, a oferecer aos alunos
qualquer coisa concreta e familiar para os
ajudar a compreender uma idéia abstrata e não
familiar. Ao mesmo tempo o professor está a
ligar um novo conceito à experiência passada do
aluno.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Algumas características
acentuadas :
da
balança
são
a)Uma balança tem dois pratos e um braço;
b) Põem-se pesos nos pratos;
c) Para equilibrar, o peso de um prato deve ser
igual ao peso do outro
d) Se acrescentas/retiras pesos de um lado,
deves acrescentar/retirar pesos do outro, para
manter o equilíbrio.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Comparando com a equação, temos :
a) Uma equação tem dois lados separados por um
sinal de =;
b) Põem-se números e/ou letras de ambos os
lados;
c) Para a igualdade, o valor dos números e/ou
letras de ambos os lados deve ser o mesmo;
d) O que se adiciona/subtrai de um lado deve
adicionar-se/subtrair-se do outro para manter
a igualdade.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Vantagens das metáforas:
 Descreve fenômenos que de outro modo seria
impossível;
 Torna possível que outros conceitos sejam
sistematicamente relacionados com coisas já
compreendidas;
 Alarga o pensamento;
 Exige atenção.
A linguagem matemática e o uso
de metáforas
Desvantagens das metáforas:
 Podem desviar ou distorcer a percepção;
 Algumas metáforas elementares não são
aplicáveis em contextos mais avançados. ‘A
multiplicação torna maior’ gera problemas nas
frações;
 Não estrutura um conceito adequadamente;
 O uso de metáforas pode ser feito além de sua
utilidade
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