Mecânica dos Fluidos – Formulário
Forma Integral
Fluxo mássico
através da superfície
Fluxo volúmétrico
através da superfície
⃗
∫
⃗
̇
⃗
∫
Forças exercidas por fluidos sobre corpos rígidos
⃗⃗⃗⃗
forças mássicas
⃗⃗⃗
forças de superfície
⃗
∑⃗
Teorema do transporte de Reynolds
Seja
⁄ uma dada propriedade intensiva (qtd
de por unidade de massa) e
uma dada
∫
propriedade extensiva:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
∫
∫
As forças de superfície podem-se dividir em:
̇
∫
⃗ ⃗
∫
⃗⃗⃗
∫
∫
∫
⃗
⃗ ⃗⃗⃗
∫
Dividindo
em
que
nas aberturas:
⃗
⃗
⃗
∫
⃗
∫
⃗
M. Linear
⃗⃗⃗
M. Angular
⃗
⃗
Momento angular: ⃗
⃗
⃗
∫
⃗
⃗
∫
⃗
∫
⃗ ) ⃗⃗⃗
(
⃗
∫
∫
̇
⃗
⃗
̂
̂
̇
̇
̇
̇
̇
⃗
Força total aplicada no
∫
⃗
∫
⃗
⃗ ⃗⃗⃗
∫
massa no interior do
De fluido
⃗
, descontando a massa
Momentos de força (relativamente a um dado ponto)
que o fluido exerce sobre as paredes do
⃗⃗
∫
∫
(
∫
⃗)
̇
trabalho fornecido directamente ao , pela
fronteira, através de shafts
trabalho causado pelas forças de pressão na
superfície do
trabalho originado devido às tensões de corte
de origem viscosa na superfície do
⃗ ⃗⃗⃗
∫
∫
energia interna específica
̇
quando o
∫
⃗
∫
1ª Lei da Termodinâmica para
̇
⃗
∫
⃗
∫
(paredes) e
(aberturas), tal
(e desprezando tensões de corte
Força que o fluido exerce sobre o
atravessa
⃗
velocidade do fluido observada no mesmo
referencial (inercial) em que a velocidade do
é observada
⃗⃗⃗
velocidade relativa do fluido à superfície
do

∫
pressão
tensão de corte
Balanço de:
 Massa

⃗
⃗ ) ⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗
∑ ⃗⃗⃗
Máquinas rotativas:
∫
⃗⃗⃗
∫
∫
⃗⃗⃗
⃗
⃗
̇
⃗
∫
̇
⃗
⃗
∫
Assim:
̇
̇
̇
∫
⃗
⃗
∫ (
̇
̇
∫
⃗)
∫
(̂
)
(̂
) (⃗
Para sistemas abertos, com entradas e saídas:
̇
̇
̇
∫
(̂
Velocidade média
∑ [( ̂
)
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli para um escoamento não estacionário de
um fluído invíscido (sem viscosidade),
ao longo de uma linha de corrente:
)
̅
]
∫ ⃗
⃗
Factor Correctivo para o balanço de:
 Qtd de Movimento:

∫
⃗)
∫
∫
( )
̅
∫
( )
̅
Energia:
Análise de Tensões
No caso do escoamento ser estacionário e incompressível:
1º índice: face onde está aplicada a força
2º índice: componente da força
matriz das tensões simétrica
tensão normal
O balanço de energia pode ser usado para generalizar a Lei de
Bernoulli:
(
)
No caso de um
uma saída:
̂
(
)
⃗
unidimensional, com apenas uma entrada e
(
̂
)
Pressão Total
⃗⃗
aceleração
total do fluido
aceleração da
gravidade
Estática de Fluídos
Com o fluído em repouso:
Válido apenas para um fluído
invíscido e incompressível!
∫
Fluido incompressível
Nunca usar
para um
escoamento compressível!

A pressão de um fluido em repouso
depende apenas da cota vertical
(a pressão é a mesma em todos os
pontos no mesmo plano horizontal)
Forma Diferencial
Linha de corrente: curva tangente
em todos os ptos ao vector
velocidade, num dado instante
(não existe escoamento na
direcção perpendicuar a uma linha
de corrente)
Trajectória: lugar geométrico dos pontos
ocupados previamente por uma dada
partícula
Derivada material
⃗
⃗⃗
Equação da Continuidade
Equação da Continuidade
(coordenadas cartesianas)
(coordenadas cilíndricas)
( ⃗)

Escoamento estacionário:
(

⃗⃗
⃗ )⃗⃗
(
⁄

Escoamento estacionário:

Escoamento incompressível:
⁄
)
Escoamento incompressível:
Equações de Navier-Stokes
(para fluidos Newtonianos)
⃗
Em coordenadas cartesianas:
⃗
⃗⃗
Fluido Newtoniano
(
[
]
[
]
)
[
]
Em coordenadas cilíndricas:
[
(
[
[
(
)
(
)
)
parede impermeável:
⃗
⃗


Parede impermeável imóvel:
Escoamento estacionário: derivadas temporais
nulas
Condição de não escorregamento:
junto à parede



Hipótese de fluído completamente
desenvolvido: o perfil de velocidades não varia
na direcção do escoamento
⃗
Fluido invíscido: ⃗
]
]
Interface líquido/gás
Condições de fronteira e hipóteses simplificativas:

]
equação da sup. Livre
(


)
(
Se
for desprezável:
Trocas de calor:
(

)
)
(
)
Escoamento axissimétrico (em relação ao eixo
(por esta condição,
):
não é necessáriamente nula)
Campo de acelerações de um fluido
Equações de Euler
⃗
Fluidos não-Newtonianos
⃗
⃗⃗
Para um fluído invíscido:
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
(
(
⃗ )⃗
⃗ )⃗
Equação da energia
̂
[ (
Para um fluído com ̂
)
(
,
)
,
(
(
⃗)
(
)
(
,
)
e
(
)
(
) ]
:
)
Função de Corrente
Quando apenas temos dois termos na eq. da
continuidade, podemos aplicar o conceito de Função de
Corrente.
Curvatura das linhas de corrente
Escoamento bidimensional, estacionário de um fluído
incompressível:

⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗

Vorticidade
⃗
⃗⃗⃗
(
) ⃗⃗⃗
Tensão de corte
em coordenadas cilíndricas
[ (
(
)
Velocidade angular
em coordenadas cilíndricas
)
(
(
Não há curvatura das linhas de corrente
(secção A-B): a pressão estática em A é igual
à pressão estática em B, pelo que as linhas de
corrente são paralelas emas às outras.
Há curvatura das linhas de corrrente (secção
D-E): a pressão estática em E é menor que a
pressão estática em D, pelo que as linhas de
corrente são curvadas.
]
)
)
[
]
Análise Dimensional
Equação da Continuidade
adimensionalizada
Quantidades físicas caracterísiticas do escoamento:
 Velocidade de referência:
 Comprimento de referência:
(
)
[(
)
(
)
(
)]
Nota:
Raio:
(
)
(
)
Equação de Navier-Stokes
adimensionalizada
(
(
(
)
[
(
)
(
)
(
)]
)
[
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
)]
)
[
(
(
(
)
[(
)
[(
)
[(
)
)
)
(
(
(
)
(
)
)
(
(
)]
)]
)]
Tabela de quantidades adimensionais
Tabela de Unidades
Condição de Semelhança
entre o Protótipo e o Modelo
Condição de semelhança completa: o modelo e
o protótipo são completamente semelhantes se
tiverem todos os números adimensionais
relevantes para o problema iguais
Condição de semelhança cinemática:
 Escoamento invíscido com uma
superfície livre:
Condição de semelhança dinâmica:
 Escoamento compressível:

Escoamento incompressível
sem superfície livre:

Escoamento incompressível
com superfície livre:
e, se
necessário
Escoamento Potencial / de Fluido Perfeito
Fluido Perfeito:
Viscosidade nula
Escoamento Irrotacional
ou Potencial
A condição de fronteira
não pode ser usada em fluido
perfeito!

⃗
⃗
Equação de Bernoulli
para escoamento de um fluido perfeito
em regime estacionário / permanente

para escoamento isentrópico
(ao longo de uma linha de corrente):

para escoamento incompressível
(ao longo de uma linha de corrente):
potencial de velocidade
Se o escoamento, além de
irrotacional for incompressível:
Qualquer escoamento
irrotacional manter-se-á
irrotacional (excepto se for
modificado por efeitos de
viscosidade)
Nota: a constante pode ser diferente de
linha de corrente para linha de corrente
Escoamento Irrotacional e Incompressível a 2D
Potencial complexo
Escoamentos Elementares a 2D
Fonte e Poço
função de corrente
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
Caudal por unidade de
comprimento:
Coordenadas cartesianas
Coordenadas polares
Fonte / Poço centrado em
Velocidade do escoamento
| |
Velocidade
complexa
̅
̅
Vórtice
complexo conjugado
da velocidade complexa
Escoamento em torno de um diedro
,
constantes
ângulo do diedro
Vórtice centrado em
Velocidade do escoamento
| |
Velocidade do
escoamento
| |
Velocidade na origem do
referêncial (canto do diedro)
Diedro côncavo
:
| |
Diedro convexo
:
| |
Para um escoamento em torno de um
diedro convexo, em fluido perfeito, a
velocidade no canto é infinita!
Dipolo
ângulo do dipolo
distância entre a
fonte e o poço
Escoamento uniforme com | |
e ângulo
Equações De Euler
Como fluido perfeito
(viscosidade nula), este tipo de
escoamento obdece às equações de Euler:
Método de Rankine
Os ângulos de
intersecção entre duas ou
mais linhas de corrente
têm que ser todos iguais!
Pontos de Estagnação
{
{
Linha de Estagnação
(3) Se o cilindro tiver raio
Camada Limite
Equação de Von-kárman
Simplificações de camada limite:

Gradiente de pressão nulo
(BLASIUS):
√
Nunca usar a Lei de Bernoulli
dentro de uma camada límite!
(viscosidade não nula)
Lei de Bernoulli (fora da camada limite):
Tensão de corte na parede:
|

Solução de BLASIUS
Das equações de Navier Stokes:
(camada limite laminar + gradiente de pressão nulo)
Condições de fronteira:


Caudal para escoamento
invíscido
Caudal para escoamento
real
∫
∫
Hipótese de Blasius (hipótese de semelhança):
Altura adimensional
(
Velocidade adimensional
Caudal de qtd. de
movimento para
escoamento real
Caudal de qtd. de movimento
para escoamento invíscido
)
̇
̇
Tensão de corte na parede
(
)
|
Força de resistência aerodinâmica
|
|
|
∫
√
|
Défice de caudal
∫
Caudal de qtd. de movimento numa secção da
camada limite
∫
∫ (
∫
)
∫(
Força de resistência aerodinamica devido às tensões
de corte na parede
)
Défice de quantidade de movimento
̇
∫
̇
̇
∫
∫
(
)
espessura da placa
∫
(
)
Factor de forma
⁄
⁄
Espessura da camada
limite
∫
Perfil de Velocidades da
Solução de Blasius
Coeficiente de
resistência de atrito
Coeficiente de
resistência
aerodinâmica
Gradiente de pressão
Favorável
Condições de fronteira da camada limite

|
|

|
|


|
|
No ponto de separação da camada limite:
Desfavorável
Escoamento Compressível
Unidimensional Permanente
1ª Lei da Termodinâmica
̂
Estado Termodinâmico
Para se definir o estado de equilíbrio de um
sistem atermodinâmico simples (uma só
fase), só precisamos de saber o valor de
duas variáveis de estado (pressão e
temperatura, p.ex.).
2ª Lei da Termodinâmica
Equação de Estado (Gás Perfeito)
Processo:
 adiabático:
 reversível:
 adiabático+reversível =
= isentrópico:
Gás Perfeito
Energia interna específica:
̂
Entalpia específica:
Entropia (se
̅
̅
e
forem
( )
( )
Velocidade do som
Processo isentrópico
( )
( )
( )
( )
√
Escoamento estacionário:
 adiabático:
Temperatura de
Estagnação
Entropia de Estagnação
̂
̂
̂
Para gás perfeito:
̂
Definição – Entalpia que se obtém após
uma desaceleração isentrópica do fluido até
ao estado de repouso
√

√
isentrópico:
( )
[
]
( )
[
]
Ponto Crítico
Valores para os quais o escomanento
se realiza em condições sónicas
.
(
√ ̂
Escoamento isentrópico
com variação de área
√
(
)
√

Garganta
Condições sónicas
apenas podem ocorrer
numa garganta!
(mas não é necessário
que aconteçam)
√
√
)
Relações Isentrópicas
[
Caudal Mássico em função do nº de Mach
(
[
)]
(
̇
(
√
)
)]
̇
√
√
(
̇|
(
)
)
√
[
(
)
]
√
Ondas de Choque Normais
Para ocorrer uma
onda de choque é
necessário termos
condições sónicas na
garganta!
Nunca usar
para um escoamento compressível!
Equação de Rankine-Hugoniot
̂
̂
√
(
)
̂
( ⁄ )
⁄
Variação de entropia numa onda de
choque
[
Através de uma onda de choque:
[
]
( ) ]
Relação entre os nºs de Mach
Numa onda de choque tem-se
sempre um aumento de pressão!
[
[
]
]
[
[
Equação de Prandtl
[
]
]
Antes de uma onda de choque temos sempre
escoamento supersónico
Depois de uma onda de choque temos sempre
escoamento subsónico
]
Caudal mássico
̇
̇
√
√ (
)
√
Localização da onda de choque
̇
(
√
)
√
(
)
√
Funcionamento de uma tubeira
convergente
̇
[
]
Regime subsónico
[
]
Regime sónico
[
]
⁄
Funcionamento de uma tubeira
Convergente/Divergente
⁄
[
]
[
]
Finalmente:
[
]
Em escoamento
isentrópico, a pressão de
estagnação permanece
constante ao longo do
escoamento
(só podendo diminuir
através de uma onda de
choque)
área da secção imediatamente antes da onda
de choque
Escoamento
supersónico à saída:


condições críticas
na garganta
(
)
̇
̇
Matemática
Gradiente de um campo
escalar
Divergência de um campo
vectorial
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianas
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Coordenadas cartesianas
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
||
Circulação da velocidade ao longo de
uma curva fechada:
⃗⃗⃗
||
(permite passar de um integral duplo
para um integral triplo e vice-versa)
⃗)
Coordenadas cartesianas
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
Teorema da Divergência
∯ (
∭
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
|
|
∮⃗
Se a curva
raio :
for uma circunferência de
Teorema de Stokes
(permite passar de um integral duplo
para um integral de circulação e viceversa)
∬
(
⃗)
∮
Funções Trigonométricas
Propriedades
⃗⃗⃗
Circulação
Rotacional de um campo vectorial
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
Coordenadas cilíndricas
⃗⃗
⃗⃗
Coordenadas cilíndricas
⃗⃗⃗
Diferencial exacto
Propriedades