Comunicação Científica
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE TRATAM DE NÚMEROS INTEIROS
RELATIVOS POR ALUNOS DA EJA
GT 01 – Educação Matemática no Ensino Fundamental: Anos Iniciais e Anos Finais
Evanilson Landim Alves, Mestrando da UFPE, [email protected]
Andréa Paula Monteiro de Lima, Mestranda da UFPE, [email protected]
Dayse Bivar da Silva, Mestranda da UFPE, [email protected]
Resumo: O presente estudo investigou o desempenho e as estratégias utilizadas por 35 alunos da
4ª fase da Educação de Jovens e Adultos (equivalente ao 8º e 9º ano do Ensino Fundamental)
oriundos da rede pública de ensino de Pernambuco, ao resolverem 3 problemas envolvendo
números inteiros. Para fundamentar essa pesquisa, discorremos sobre a história dos números
inteiros e o seu ensino, os obstáculos epistemológicos de Brousseau, as características dos alunos
da EJA e a aprendizagem de matemática, além do diferentes significados dos números inteiros. Os
dados apresentados nos protocolos apontam que semelhante ao que ocorre com crianças e
adolescentes, os adultos também têm dificuldade em compreender o conceito de números inteiros.
Com relação às estratégias utilizadas, percebemos que os números naturais apresentam-se como um
obstáculo para a resolução de problemas com números inteiros, pois a ideia de que “do menor não
se pode tirar o maior” ainda é presente nesses sujeitos.
Palavras chave: problemas, números inteiros, EJA, obstáculos epistemológicos.
1. Introdução
A motivação para esse estudo surgiu da observação de alguns obstáculos que
crianças do 5º e 7º ano apresentam em compreender os diferentes tipos de relações
envolvidas nos problemas com números relativos, bem como na resolução de cálculo
numérico envolvendo o campo dos inteiros. Ao analisarmos as respostas apresentados em
um teste piloto, constatamos que os erros apresentados pelos estudantes resultavam de
conhecimentos válidos em outro campo numérico. A partir da análise de algumas
pesquisas, como por exemplo, o estudo realizado por Borba (2009) ampliamos a nossa
compreensão sobre alguns obstáculos apresentados por crianças e adolescentes na
compreensão dos números inteiros. Porém, como não encontramos nenhum estudo que
tratasse dos obstáculos epistemológicos observados nos alunos da Educação de Jovens e
Adultos (EJA) ao lidarem com situações que abordem esse campo numérico, sentimo-nos
instigados a investigá-los.
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O texto discorre sobre a análise do desempenho dos alunos da 4ª fase da EJA na
resolução de problemas que tratam de números inteiros e das estratégias e conhecimentos
que eles mobilizam para a resolução das situações propostas. Pensamos com isso, ser
possível identificar algumas relações entre os conhecimentos que esses alunos dispõem
sobre conceitos e propriedades do conjunto dos números naturais e as estratégias que eles
utilizam na resolução de problemas que tratam de números inteiros, por isso, recorremos à
teoria dos obstáculos epistemológicos.
2. Fundamentação Teórica
Para dá suporte a compreensão dos dados obtidos nessa investigação, discutiremos
sobre: desenvolvimento histórico dos números inteiros e algumas pesquisas que tratam do
seu ensino, a teoria dos obstáculos epistemológicos e algumas das especificidades do
ensino de matemática na Educação de Jovens e Adultos (EJA).
2.1. Números inteiros relativos: breve percurso histórico e o seu ensino
Tudo indica ter sido os chineses os primeiros a conceberem a ideia de números
negativos, isso há cerca de dois mil anos. Os números eram representados pelos chineses
por meio de barras de bambu. As barras vermelhas representavam os números positivos e
as barras pretas eram utilizadas pelos chineses para indicar os números negativos.
Os hindus, no século VII também já admitiam a existência de situações do tipo 5 –
9. Para eles situações como essa, que extrapolam o domínio do conjunto dos números
naturais eram tratadas como dívidas. Os hindus não consideravam as quantidades negativas
como números e diferenciavam essas quantidades dos números naturais marcando um
ponto sobre as medidas negativas.
Apesar de alguns povos utilizarem a ideia de quantidades negativas, matemáticos
como Descartes e Fermat, no século VII deixaram de ampliar estudos geométricos por
ignorarem os números negativos. Bháskara, matemático hindu que viveu no século XII,
afirmava que um número positivo possui duas raízes quadradas, uma positiva e uma
negativa e já reconhecia que um número negativo não possui raiz quadrada, ele
desconsiderava a raiz negativa. Thomas Harriot pensou ter demonstrado na sua obra “Artes
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Analíticas Aplicadas” que as raízes negativas eram impossíveis. Apenas no século XIX
com Haenkel é que as quantidades negativas ganham uma explicação mais definitiva.
Na sala de aula a compreensão dos números inteiros relativos passa por
dificuldades semelhantes ao desenvolvimento histórico do conjunto numérico constituído
por esses números.
Pelo menos uma das dificuldades que os alunos encontram no
aprendizado do conceito de número negativo guarda um paralelo muito
forte com uma dificuldade encontrada pelos matemáticos no
desenvolvimento histórico do conceito. (ASSIS NETO, 1995, p. 3)
Para Teixeira (1993) os números positivos e negativos não são caracterizados como
números inteiros pelo seu valor absoluto, mas sim, pela posição que ocupam em relação ao
ponto de origem, por isso, esses números são tratados como relativos, ou seja, amplia-se a
ideia construída no conjunto dos números naturais de que um número sempre representa
uma quantidade. Nascimento (2002) aponta esse conflito entre a ideia de número associada
a uma quantidade como um dos possíveis obstáculos epistemológicos para a compreensão
do conceito de números inteiros. Por isso, pensamos ser pertinente uma breve discussão
sobre os principais obstáculos epistemológicos que a literatura aponta para a compreensão
do conceito dos números inteiros relativos.
2.2. Obstáculos Epistemológicos na compreensão dos números inteiros relativos
Antes de levantarmos os principais obstáculos apontados nas pesquisas para a
compreensão dos números inteiros relativos e a sua tipologia, faremos algumas referências
sobre a teoria dos obstáculos epistemológicos, a fim de melhor situarmos o leitor a respeito
dessa teoria.
Recorremos nesse estudo às contribuições apresentadas em 1938 pelo epistemólogo
francês Gaston Bachelard ao propor que o conhecimento científico se desenvolve a partir
de obstáculos que podem ser observados no desenvolvimento histórico do conhecimento
ou na análise da prática educacional. O conhecimento antes de adquirir a sua forma
existencial passa por estágios de perturbações e incompreensões, onde se percebem
resistências e estagnações do “novo conhecimento”. Essa resistência, ao desenvolvimento
do pensamento científico, em determinado momento, Bachelard chama de obstáculo
epistemológico.
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Brousseau (1976) é o responsável pela inclusão da noção de obstáculos
epistemológicos1 na Educação Matemática. Para ele, um obstáculo epistemológico à
aprendizagem da Matemática constitui-se como um saber mal adaptado, isto é, o erro deixa
de ser visto como efeito da ignorância e do acaso e passa a ser analisado como
consequência de um conhecimento anterior, que tinha validade em certo campo e que
continua a ser considerado pelo indivíduo em outras situações, onde o seu domínio de
validade não mais se verifica.
Como exemplo da generalização de conhecimentos para outros campos que
extrapolam a sua abrangência de validade, o que Artigue (1990) chama de generalização
abusiva, temos as dificuldades e obstáculos encontrados na construção histórica do
conceito de números inteiros (TEIXEIRA, 1993) e que se verifica também na
aprendizagem desse conceito (NASCIMENTO, 2002).
Estudo realizado por Nunes & Bryant (1997) evidencia que a aprendizagem do
conjunto dos números naturais é facilitada quando se utilizam situações que dão
significado ao número. Essa facilidade na compreensão de situações que associa número
ao seu significado pode está relacionada ao desenvolvimento histórico da representação do
número que, segundo Boyer (1974) deu-se em diferentes civilizações (Maias, Egípcios,
Hindus, Romanos, Babilônios, Chineses entre outras) por meio da percepção de
características entre as quantidades de objetos ou animais e as representações que faziam
para representar essas quantidades.
No caso dos números relativos, a sua compreensão exige diferentes significados.
Outros obstáculos para a compreensão do conceito de números inteiros são apontados por
Glaeser (1985): inaptidão para manipular as quantidades negativas isoladas; dificuldade de
dar um sentido às quantidades negativas isoladas; dificuldade de homogeneização da reta
numérica; a ambiguidade dos dois zeros (zero absoluto e zero origem); a estagnação no
estágio das operações concretas (como também foi apontado por Nunes & Bryant); desejo
de um modelo unificante.
1
Brousseau também é o responsável pela tipificação da noção de obstáculo no processo didático. Segundo
ele, além dos obstáculos epistemológicos que são aqueles constituídos pelo próprio conhecimento dos quais
não se pode nem se deve evitar, como por exemplo, a ideia de que do “menor não se pode tirar o maior”, ele
ainda apresenta os obstáculos ontogenéticos, que estão relacionados ao desenvolvimento neurofisiológico do
sujeito e os obstáculos didáticos que relacionam-se com as escolhas didáticas realizadas por um sistema
educativo.
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Essa discussão de que o conjunto dos números naturais é um obstáculo para a
aprendizagem dos números inteiros não é compartilha por Radford (1997 apud IGLIORI,
2008, p. 134) que associa as dificuldades de compreensão dos números relativos a questões
culturais e apresenta como exemplo, a utilização de bastões coloridos pelos matemáticos
chineses, o que segundo ele, tem evitado dificuldades na aprendizagem dos números
negativos pelos alunos daquele país.
Pensamos ser pertinente analisar as estratégias e dificuldades apresentadas pelos
sujeitos desse estudo a partir da ótica da teoria dos obstáculos epistemológicos, por
considerarmos que as discussões levantadas por essa teoria, como as já mencionadas
acima, oferece os recursos dos quais necessitamos para a compreensão das respostas
fornecidas por esses alunos da EJA ao resolver problemas envolvendo números inteiros
relativos. Mas, antes de começarmos as análises, consideramos importante fazer uma
rápida reflexão sobre algumas especificidades observadas nos alunos da EJA.
2.3. Especificidades da EJA e a aprendizagem de matemática
Os alunos que frequentam a Educação de Jovens e Adultos no Brasil além das
especificidades relacionadas a idade que reúne numa mesma sala de aula, estudantes de
diferentes faixas etárias, têm nas questões socioculturais a sua principal característica
(FONSECA, 2002). Como diz Hadadd,
A Educação de Adultos no Brasil se constitui muito mais como produto
da miséria social do que do desenvolvimento. É conseqüência dos males
do sistema público regular de ensino e das precárias condições de vida da
maioria da população [...]. É uma educação para pobres, para jovens e
adultos das camadas populares, para aqueles que são maioria na
sociedade do Terceiro Mundo. (HADADD, 1994, p. 86)
Nos últimos 80 anos muitas propostas e programas de alfabetização foram lançados
no Brasil com o objetivo de reduzir a taxa de analfabetismo que é mais elevada nas regiões
mais pobres do país. Como efeito dessas propostas de alfabetização a taxa de
analfabetismo caiu de 56% em 1930 para 10% em 2007. Mas, a alfabetização de jovens e
adultos não pode se limitar a oferecer uma educação momentânea, deve ser uma (nova)
oportunidade para que esses alunos entrem em contato com o processo formal de educação
e deem continuidade aos seus estudos.
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essas propostas devem imprimir em seu horizonte a perspectiva de uma
alfabetização que não se restrinja a alguns meses de inserção no ambiente
de escola, mas que se coloque, antes, como um convite enfático, e um
momento de acolhida, para que jovens e adultos se integrem ou se reintegrem ao cenário escolar, e que sinalize a disposição da instituição
proponente, dos realizadores e dos mantenedores em resgatar a dívida
com aqueles que dele foram excluídos. (FONSECA, 2002, p. 43)
A motivação dos alunos da EJA para retornarem a escola dá-se pelos seguintes
aspectos: necessidade, desejo e direito. Um aspecto que gera necessidade dos alunos da
EJA voltarem a escola é justamente o desejo de dominar conceitos matemáticos. Por isso, é
preciso insistir na utilização de conceitos matemáticos para a resolução de problemas
ligados também a realidade dos alunos da EJA, como situações que considerem aspectos
da vida profissional desses alunos. (Ibidem, ibidem).
É preciso considerar também que esses alunos não vêm a escola apenas para
dominar situações de uso imediato na vida cotidiana, mesmo sabendo que eles tem
interesse de ampliar esses conhecimentos, não se pode perder de vista a sistematização dos
conceitos matemáticos com o desenvolvimento de habilidades e técnicas (CARRAHER et
al, 1988) que permitam aos alunos da EJA a continuidade dos estudos. Outro aspecto
fundamental da Educação Matemática na EJA (e também no Ensino Fundamental da
Educação Regular) é colaborar com as práticas de leitura, para isso, deve-se considerar os
conceitos que permitam aos estudantes entender o mundo em que vivemos. (CARDOSO,
2000).
2.4. Diferentes significados para os números inteiros
Do mesmo modo que os problemas envolvendo números naturais possuem
diferentes significados, os problemas que envolvem números inteiros também apresentam
diferentes tipos, entre eles: medida, relação e transformação. Por exemplo, se alguém
possui R$ 5,00 na sua conta bancária e retira R$ 7,00, o seu saldo passa a ser uma dívida
de R$ 2,00. Assim, o 5 é uma medida positiva, o 2 final uma medida negativa e o 7
representa uma transformação negativa (se fosse o caso de um depósito de R$ 7,00
teríamos uma transformação positiva). Do mesmo modo, o 7 pode ser entendido como uma
relação, pois independente do que a pessoa possuía antes ela tem 7 a menos do que tinha
antes, o que caracteriza uma relação negativa. (BORBA, 2009).
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3. Objetivos
•
Verificar o desempenho dos alunos da 4ª fase da EJA na resolução de problemas
que tratam de números inteiros.
•
Analisar as estratégias utilizada pelos alunos da EJA ao resolverem problemas com
números inteiros.
4. Procedimentos Metodológicos
Esta pesquisa foi realizada com 35 alunos da 4ª fase da EJA, que equivale ao 8º e 9º
ano do ensino fundamental, no turno noturno de uma escola da rede estadual de
Pernambuco. As idades desses sujeitos variam entre 15 a 60 anos, sendo 15 homens e 20
mulheres.
Como instrumento de coleta de dados, utilizamos um teste com três problemas
envolvendo os números inteiros, classificados assim: o primeiro de medida, o segundo de
transformação e o terceiro de relação. Os problemas são apresentados a seguir:
1) Maria Eduarda tinha um saldo bancário de R$ 85,00 e pagou com débito em conta a prestação da
sua casa no valor de R$ 260,00. Após a realização desse pagamento qual é o saldo da conta de
Maria Eduarda?
2) O quadro abaixo mostra, segundo o Jornal do Tempo, a temperatura mínima e máxima esperada
para o Cabo de Santo Agostinho em 08/11/2010.
Previsão da Temperatura para o Cabo de Santo Agostinho em – 18 /11/2010.
Temperatura mínima
24° C
Temperatura máxima
30° C
Caso a previsão se confirme, ou seja, a temperatura mínima da cidade seja 24º C e a
máxima 30º C, qual a variação de temperatura ocorrida na cidade nesse dia?
3) A conta bancária de Davi estava negativa (ele devia ao banco). Hoje ele fez um depósito de R$
35,00 e a sua conta ficou positiva em R$ 23,00. Em relação ao saldo de ontem, quanto a mais é o
seu saldo hoje?
Os testes foram aplicados coletivamente e com a presença da professora regente da
turma. Para responderem aos três problemas, os estudantes levaram aproximadamente uma
hora.
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De modo geral, pela experiência como professores de matemática da educação
básica e pelas
estratégias
apresentadas
pelos
sujeitos
de algumas
pesquisas
(NASCIMENTO, 2002; BORBA, 2009), esperávamos que os alunos da EJA resolvessem
as questões propostas de modo análogo ao que faziam no conjunto dos números naturais,
ou seja, organizando os dados do problema de modo que o algoritmo fique semelhante ao
utilizado no conjunto N.
5. Discussão dos Resultados
Ao analisar os resultados dos testes, podemos perceber que os sujeitos investigados
apresentam dificuldades na resolução de problemas com números inteiros, principalmente
nos do tipo relação. A tabela abaixo mostra os dados dos desempenhos desses alunos nos
testes.
Tabela 1: Desempenho dos alunos nos problemas propostos
Branco
Acerto
Outros erros
Erro com módulo correto
Problema 1
0
14
7
14
Problema 2
1
19
11
4
Problema 3
1
0
34
0
Total
2
33
49
18
Observando os índices da tabela acima, constatamos que nenhum aluno conseguiu
resolver o problema 3, Segundo Borba(2009) os alunos erram esse tipo de situação, porque
não compreendem que no significado de relação não é necessário saber quanto se tinha
antes para determinar que no final se tem mais ou menos que anteriormente. Outra razão
para que os alunos tenham tido um desempenho tão insatisfatório neste problema, pode
residir na quebra do contrato didático2 apresentado na questão, já que nesta situação os
alunos não precisariam montar e nem resolver nenhum algoritmo, o que possivelmente
poderá ter ido de encontro com o que é habitualmente trabalhado em sala de aula, tendo em
vista que o contrato didático pressupõe que o aluno para resolver um problema precisa
2
Brousseau (1986) entende como contrato didático o conjunto de comportamentos do professor que são
esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor.
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identificar o cálculo relacional3 e o cálculo numérico para que possa encontrar a solução da
questão apresentada pelo professor. O estudo realizado por Chevallard (1988) mostra que
ao apresentar um problema4 com dados que não permitiam encontrar a solução percebeu
que cerca de 80% das crianças (entre 7 e 8 anos de idade) apresentavam mesmo assim uma
resposta numérica. O mesmo problema foi aplicado por Medeiros e Correia (2010) para 44
alunos de uma turma de ensino médio da EJA, também nesse estudo o percentual de
estudantes que apresentaram uma resposta numérica para o problema foi elevado,
chegando a cerca de 66%.
Em relação aos erros verificamos que uma quantidade expressiva de alunos (18),
apresentaram o mesmo tipo de procedimento, o qual categorizamos como “erro com
módulo correto”. Segue abaixo um protocolo que esclarece melhor essa situação.
Figura 1: Resolução do problema 1 apresentada pelo sujeito 26
Avaliamos que o aluno errou o problema por não apresentar o sinal resultante certo,
ou seja, indicar que a resposta era um número negativo sinal negativo, porém acertou o
módulo do problema, por ter obtido o valor numérico correto.
Outros tipos de erros foram apresentados pelos alunos, abaixo apresentaremos um
protocolo com um exemplo peculiar.
Figura 2: Resolução do problema 2 apresentada pelo sujeito 24
Neste caso o aluno justifica seu raciocínio para resolver a questão, porém equivocase ao apresentar uma variação com elevação de 6ºC positivo e uma baixa de 6ºC negativo,
3
Cálculo relacional é a referência que se faz as operações do pensamento necessárias para identificar as
relações envolvidas na resolução da situação proposta. Cálculo numérico é a aplicação das operações (adição,
subtração, multiplicação etc) na resolução do item proposto.
4
O problema proposto no referido estudo foi: num navio há 26 carneiros e 10 cabras. Qual a idade do
capitão?
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ficando assim sem uma posição definitiva em relação à solução do problema, como se
apenas descrevesse a posição simétrica de valores na reta numérica dos inteiros.
Em relação aos tipos de respostas apresentadas pelos sujeitos, percebemos nos três
tipos de problemas, que a maioria recorreu à estratégia tirar o menor do maior.
Consideramos que o uso desse tipo de estratégia, caracteriza um obstáculo epistemológico
causado pelos números naturais, visto que a ideia de que “do menor não se pode tirar o
maior”, ainda está enraizada nesses sujeitos o que gera dificuldades na resolução de adição
e subtração com números inteiros. Abaixo segue um gráfico com as estratégias usadas
pelos alunos para resolver os problemas.
Gráfico1: Percentual dos tipos de estratégias por problemas
Analisando o gráfico acima, notamos que outra estratégia bastante utilizada pelos
alunos foi a de adicionar medidas, que correspondeu ao dobro do percentual da estratégia
do menor tirar o maior. Consideramos que nesta situação muitos alunos não interpretaram
o problema e simplesmente somaram os valores informados no enunciado. Mostraremos a
seguir um protocolo com um exemplo relativo a “adicionar medidas”.
Figura 3: Resolução do problema 3 apresentada pelo sujeito 17
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Percebemos uma tendência ao cumprimento de um contrato didático implícito, que
é o de utilizar os dados do problema para montar um algoritmo, independente da pergunta
apresentada na questão, os alunos parecem sentir a necessidade de realizar algum tipo de
cálculo numérico e acabam optando pela adição, por ser uma operação de mais fácil
resolução.
De um modo geral observamos que os alunos utilizam vários tipos de estratégias.
Entretanto, não foi possível organizá-las em categorias, pois verificamos pouca incidência
em cada caso. Segue a baixo um exemplo de protocolo que consta na categoria “outras”.
Figura 4: Resolução do problema 3 apresentada pelo sujeito 34
Esse é apenas um exemplo, entre os vários encontrados e que incluímos nessa
categoria, não apenas por serem tão singular, mas por não encontrarmos, ainda, subsídios
para fazermos as análises consistentes que essas estratégias de resolução necessitam.
6. Considerações Finais
Os resultados das análises dos protocolos apontam que do mesmo modo que ocorre
com crianças e adolescentes (BORBA, 2009; NASCIMENTO, 2002; TEIXEIRA, 1993) os
adultos têm dificuldades de compreender o conceito de números inteiros o que provoca
erros na resolução de adição e subtração. As estratégias utilizadas pelos alunos na
resolução dos problemas mostraram que os números naturais parecem apresenta um
obstáculo epistemológico para a compreensão do conceito de número inteiro, visto que a
maioria dos alunos adaptam os dados do problema a ideia construída no conjunto dos
números naturais de que “do menor não se pode tirar o maior”.
Percebemos que quando o problema trata de relação entre números inteiros os
alunos desse estudo não conseguiram resolvê-lo. Comparando os nossos resultados com o
estudo realizado por Borba (2009) verificamos que o baixo desempenho dos estudantes,
nesse tipo de problema, também se mostrou presente. Vale destacar ainda que a situação
que propomos quebra o contrato didático, uma vez que fornecemos dados desnecessários
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no enunciado do problema. No entanto, isso só foi percebido nas análises dos resultados.
Assim, passamos a nos questionar se o motivo dos alunos não terem acertado a questão
proposta deu-se pelas dificuldades enfrentadas, nesse tipo de problema, ou pela quebra do
contrato didático, o que pode ser investigado por outros estudos.
7. Referências
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