Calculo e Instrumentos
Financeiros
Parte 2
Faculdade de Economia da
Universidade do Porto
2012/2013
1
Risco e sua diversificação
2
Introdução
• Quando alguém empresta um capital, tem
como objectivo receber mais tarde esse
capital que emprestou acrescido dos juros
• Mas existe sempre uma probabilidade de
não receber nem uma coisa nem outra (no
todo ou em parte).
3
Introdução
• Na análise de um investimento, porque é
baseada em previsões quanto ao
desempenho futuro do negócio
– preços dos inputs, preços e quantidades dos
outputs, depreciação do capital, falhas e
descobertas tecnológicas
• A medida calculada a priori na avaliação
pode, a posteriori, vir a concretizar-se de
forma menos favorável.
4
Introdução
• No sentido de compreendermos o risco,
controlá-lo e utilizá-lo na tomada de
decisão, vamos neste capítulo apresentar
a modelização estatística do risco.
5
Exemplo: seguro de vida
• Se a seguradora soubesse a priori
quantos anos faltavam para o segurado
morrer e a taxa de juro, calculava
facilmente o prémio do seguro que lhe
permitiria capitalizar a indemnização e ter
algum lucro
• Mas na data de assinatura do contrato
essas grandezas não são conhecidas
6
Exemplo: seguro de vida
• Ex.2.1- Num seguro de vida em que é
paga a indemnização na data da morte.
• A seguradora capitaliza os prémios pagos
pelo segurado de forma a ter reservas
para pagar a indemnização.
• A seguradora tem uma margem de 10%
• Qual o prémio anual por cada 1000€ de
indemnização?
7
Exemplo: seguro de vida
• Se a duração fosse N e a taxa de juro r
tínhamos
I  (1  r )
P
N


P
N
  1  (1  r )  (1  r ) 
r
I r
1  (1  r )   (1  r )
N
N 1
8
Exemplo: seguro de vida
• Se N=40 e r = 2% resultava:
P
1000 0.02
1 1.02  1.02
 40
41
 16.23€
• Mais os 10%, seriam 17.86€/ano/1000€
= 1.786%/ano
9
Exemplo: seguro de vida
• Mas sem conhecermos N nem r o melhor
que pode ser feito é a construção de
alguns cenários
• Dividimos cada variável em cenários
Como exemplo, fazemos os cenários
M.Mau, Mau, Médio, Bom, M.Bom
M.Mau, Mau, Médio- , Médio+, Bom, M.Bom
10
Exemplo: seguro de vida
• Cada cenário é uma combinação de
valores possíveis para as variáveis
relevantes
• No caso de variáveis contínuas, esse
valor é o representante de um intervalo,
e.g., o valor do meio.
11
Exemplo: seguro de vida
F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)
Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.86)
12
Introdução
• Os cenários conseguem dar uma ideia
dos potenciais perdas e ganhos mas não
nos ajudam quantitativamente na decisão
• Vamos necessitar de alguns conceitos
estatísticos que permitam agregar a
informação.
13
Conceitos estatísticos básicos
14
Conceitos estatísticos básicos
• A Estatística descreve, organiza e
relaciona objectos e fenómenos
demasiado difíceis de apreender com as
ferramentas conceptuais da matemática
clássica (i.e., funções reais de variáveis
reais).
15
Conceitos estatísticos básicos
• A estatística reduz a dimensão do
fenómeno considerando
• Poucas variáveis (as mais relevantes) e
• Conhecimento parcial dessas variáveis
16
Conceitos estatísticos básicos
• Por exemplo, quando se constrói um
avião, é necessário colocar bancos
adequados para acomodar Pessoas com
Necessidades Especiais (PNE).
• Com é impossível saber as necessidades
nos voos futuros,
• Vamos
medir,
na
população,
a
percentagem de PNE,
• Vamos supor que 3% são PNE.
17
Conceitos estatísticos básicos
• Partindo
desta
pormenorizada
informação
pouco
– Calculada com os passageiros do passado
• podemos calcular, com a ajuda
estatística,
estimativas
para
necessidades das viagens futuras
da
as
– Supomos a estabilidade das características
da população
18
Conceitos estatísticos básicos
Probabilidade
15%
10%
5%
0%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14PNE
15
Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras
(com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares
19
Noção de variável estatística
20
Noção de variável estatística
• Depois de construirmos um modelo que
nos permite quantificar o impacto da
nossa decisão em função das variáveis
relevantes (e.g., taxa de juro, taxa de
crescimento as vendas)
• O risco resulta de não conhecermos os
valores concretos que as variáveis vão
assumir no futuro.
21
Noção de variável estatística
• Por exemplo, na construção de um
automóvel não sei a altura nem o peso do
futuro condutor.
– Será um valor “sorteado” da população
• Substituir a falta de informação assumindo
que será um valor retirado aleatoriamente
da população da qual conheço estatísticas
– e.g., o valor médio e a dispersão
22
Noção de variável estatística
• Numa extracção aleatória os indivíduos
são obtidos sem ter em atenção nenhuma
das suas características
– e.g., a extracção de uma bola no Euromilhões
não tem em atenção o número.
23
Probabilidade
• A cada um dos valores possíveis (i.e.,
cada
cenário)
é
atribuído
uma
probabilidade
e.g., atirando uma moeda ao
probabilidade de sair cara é 50%.
ar,
a
24
Interpretações de probabilidade
• Probabilidade de se concretizar o valor x
• Clássica: é a proporção de vezes em que
observo o valor x se repetir a experiência de
forma independente e muitas vezes
• Bayesiana: é uma conjectura construída por
peritos sobre o fenómeno ainda desconhecido
se concretizar com o valor x
• Em termos práticos, a perspectiva bayesiana é
mais flexível mas não tem tanto suporte teórico
25
Probabilidade
• A probabilidade não garante qual o valor
que se vai obter no concreto
e.g., sabe-se que a probabilidade de numa
viagem haver 6 PNE é de 15.8%
• mas contém um certo grau de informação
que me ajuda a avaliar a importância
relativa dos cenários construídos
26
Probabilidade
• Ex.2.4. Foram identificados 8 cenários
possíveis quanto ao comportamento do
preço do Brent em dólares daqui a 10
anos e inquirida a opinião de 100 peritos,
numa escala de 0 a 10, sobre a
viabilidade relativa de ocorrência de cada
cenário.
27
Probabilidade
• Com base na soma dos pontos atribuídos
por todas as pessoas, determine a
probabilidade assumida para que cada um
dos cenários possa vir a acontecer.
28
B5: =B4/$J4
J4: =Soma(B4:I4)
29
2ª Aula
30
• Concluindo,
• 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das
implicações financeiras da minha decisão
onde me falta a informação sobre o
cenário concreto que se vai realizar
31
Tenho um modelo com os valores para
as variáveis conhecidos
32
• 2 - o melhor que posso fazer para
ultrapassar a minha ignorância é substituir
o valor desconhecido por uma variável
aleatória de que eu tenho informação
quanto à probabilidade de cada cenário se
vir a concretizar.
33
Substituo o valor desconhecido por uma
variável aleatória
34
• Uso uma variável aleatória como modelo
do risco
• Esta substituição (do cenário futuro
desconhecido pela variável aleatória)
implica que tenha como resultado não um
valor mas também uma variável aleatória
(como se fosse toda uma população de
resultados).
35
Exemplo
• Ex.2.5. Conhecida a probabilidade de o
individuo durar determinados anos
• retome o Ex.2.1 e calcule a probabilidade
da seguradora ter uma margem das
vendas abaixo dos 10% pretendidos
36
Caracterização da v.e.
• População dividida em cenários
– Intervalos
• Pego nos indivíduos todos da população e
calculo a proporção que cai dentro de
cada classe
• e.g., divido a longevidade de uma pessoa
nos intervalos [0, 30]; ]30,60]; ]60,90] e
]90, 120]
37
Caracterização da v.e.
• Não podendo medir toda a população,
utilizo uma amostra no cálculo da
probabilidade
38
Exemplo
• a probabilidade de cada cenário é
determinada com informação passada e
pela opinião de um painel de peritos
39
40
Exemplo
• R. Como tenho informação quanto à
probabilidade de cada um dos cenários poder
ocorrer, olhando para o resultado de cada
cenário (apresentado no Ex. 2.1) somo a
probabilidade dos cenários em que o prémio
deveria ser maior que o adoptado (1.786%/ano)
• A probabilidade da margem das vendas ficar
abaixo dos 10% pretendidos é 57.78%.
41
Tabelas de sobrevivência
• As seguradoras têm tabelas que dão a
probabilidade de uma pessoa estar viva
decorridos x anos.
• Quantificado em partes por 100000
• Por exemplo, o INE estima que a
probabilidade de um individuo nascido em
2007 estar vivo em 2040 é 98439/100000
42
Tabela de sobrevivência
43
Exercício
• Ex.2.6. Uma empresa contrata um
financiamento de 10M€ com 3 anos de
diferimento e amortizado nos restantes 7
anos, pagamentos trimestrais
postecipados.
• TAE é a EURIBOR mais 2.5 p.p.
• Usando um quadro de probabilidades
conhecido, determine P(prest>750k€)
500 mil€
44
D6: =(A6+B6)/2; E6: =D6+E$1; F6: =(1+E6)^(1/4)-1
G6: =B$3*F6/(1-(1+F6)^-E$2); E3=Soma(C12:C18)
45
Exercício
• Ex.2.7. Uma família adquire um imóvel a
crédito
• 150k€ a 40 anos
• Prestação mensal iguais em termos reais
• Antecipada
46
Exercício
• Vamos fazer a análise a preços
constantes e calcular a prestação anual
paga no meio do ano da renda cujo valor
actual é 150k€:
– que evita saber a taxa de inflação


P
 40
0.5
150000  1  (1  r )  (1  r )
r
150000 r
P
 40
0.5
1  (1  r )  (1  r )


47
Exercício
• Podíamos fazer mensal mas a ideia é
visualizar o efeito do pagamento ser a
meio do período.
rm  (1  r )^ (1 / 12)  1
150000 rm
Pm 
 480
1  (1  rm)
 (1  rm)


48
Dados
49
J5: =$B$1*$D5/(1-(1+$D5)^-$B$2)/(1+$D5)^0,5/E$4
O5: =IF(J5>$P$2;E5;0)
P3: =SUM(O5:S9)
50
Valor médio
• Na tomada de decisão é conveniente
agregar todos os cenários em apenas
algumas medidas.
• Em termos económicos, o valor médio é a
medida que contém mais informação
• é a “componente sem risco” do fenómeno
que estamos a analisar.
51
Valor médio
• Havendo n cenários caracterizado cada
um por xn, com determinada probabilidade
de ocorrência, pn, o valor médio será
x1. p1  x2 . p2  ...  xn . pn

p1  p2  ...  pn
 x1. p1  x2 . p2  ...  xn . pn
– Porque as probabilidades somam 1
52
Valor médio
• O valor médio já nos permite um critério
quantitativo que nos ajuda a decidir numa
situação com risco.
• Mas é muito limitado porque não tem em
atenção o risco (a variabilidade)
53
• Ex.2.8. Um empresa fornece refeições a
aviões.
• Que confecciona durante a noite para
responder às solicitações do dia seguinte
que são incertas.
• Por cada refeição que fornecer recebe
15€ (com um custo de produção de 5€) e
tem uma penalização de 15€ por cada
refeição que seja pedida e não possa ser
fornecida.
• As refeições que sobram são destruídas
no fim do dia.
54
• i) Determine, em média, a rentabilidade do
fornecimento em função do número de
refeições confeccionadas.
• ii) Determine o número de refeições que
maximiza a rentabilidade média.
55
• A empresa constrói cenários em que a
variável desconhecida é o número de
refeições encomendadas
• Calcula, para cada dia e com base na sua
experiência, a probabilidade de cada um
dos cenários se verificar.
• Com essas probabilidades, a empresa
determina o resultado médio do dia em
função
do
número
de
refeições
confeccionadas (que é a variável de
decisão).
56
E6: =MÍNIMO(C6;$D$1)
F6: =C6-E6
G6: =E6*E$4-D$1*D$2+F6*F$4
H6: =D6*G6
H15: =SOMA(H6:H14)
57
• Alterando o valor da variável de decisão,
D1, determino qual o número de refeições
que maximiza o resultado médio, H15
58
Optimização
• O Excel tem a ferramenta Solver que permite
maximizar ou minimizar o resultado de um
modelo. No Excel 2007:
• Office Button+ Excel Options + Add-ins category
+no Manage clickar em Go…,
•
+Solver Add In
• Depois, aparece no Analysis
59
3ª Aula
60
Desvio padrão
• Ao agregarmos os cenários no valor
médio ficamos sem uma medida de
risco
• o desvio padrão, , é uma boa medida
do risco de assumirmos o valor médio
dos cenários possíveis como o valor
do cenário que vai acontecer (e que é
desconhecido)
61
Desvio padrão
• Algebricamente é a raiz quadrada da
• Média dos desvios ao quadrado

x1    .P1  ...  xn    .PN
2
2
P1  ...  .PN
62
Desvio padrão
• O desvio padrão é uma expressão
derivável e que tem interpretação
geométrica.
– Se, e.g., uma população se agrega no
valor médio 25€/dia e desvio padrão
5€/dia, é equivalente a ter metade dos
indivíduos em 20€/dia e outra metade
em 30€/dia.
63
Desvio padrão
• Ex.2.9
Uma
empresa
pretende
internacionalizar-se
e
traçou
vários
cenários possíveis
• Determine o valor médio e o desvio padrão
do resultado financeiro que resulta da
internacionalização.
64
D2: =$B2*C2
E2: =(C2-$D$10)^2
F10: =SUM(D2:D9)
D10: =SUM(D2:D9)
F2: =$B2*E2
F11: =F10^0,5
65
• Ex.2.10. Supondo que nos baralhos de 52
cartas uma figura vale 10 pontos.
• Determine o valor médio e o desvio padrão
dos pontos de uma carta retirada
aleatoriamente.
• Nesta população teórica eu posso calcular
os valores da população
66
•
•
•
•
•
4 cartas valem 1 ponto,
4 cartas valem 2 pontos
….
4 cartas valem 9 pontos
16 cartas valem 10 pontos
4 1  4  2  ...  4  9  4  4 10

4 13
1  2  ...  9  4 10 85


 6.538
13
13
67
• O desvio padrão será

4  (1  6.538)  ...4  4  (10  6.538)
4 13
2
(1  6.538)  ...  4  (10  6.538)

13
 3.153
2
2
2
68
• Ex.2.11. Relativamente ao Ex. 2.8,
determine o desvio padrão dos resultados.
• Determine o número de refeições que
maximiza o valor médio do resultado
menos o seu desvio padrão.
69
I6: =(G6-$H$15)^2
J6: =I6*D6
J15: =SOMA(J6:J14)
J16: =J15^0,5
70
Função de distribuição
• Quando a variável é contínua podemos
partir o domínio em intervalos, cenários, e
apontar uma probabilidade de o
acontecimento vir a pertencer a cada um
dos cenários.
• Em cada cenário adoptamos como valor
representativo o meio do intervalo
71
Função de distribuição
• É aceitável pensar que os cenários
vizinhos devem ter associadas
probabilidade semelhantes.
• A Estatística propõe o uso de uma função
F(x) que quantifica a probabilidade de ser
observado um valor menor que ou igual a
dado valor x.
72
Função de distribuição
• A função de distribuição é caracterizada
por alguns parâmetros
• No ex.2.1 usei a Distribuição de Poisson
que se caracteriza por 1 parâmetro
Valor médio = Desvio Padrão
73
Distribuição Normal
• É caracterizada por dois parâmetros
– O valor médio
– O desvio padrão (ou a variância)
• Variância = desvio padrão ao quadrado
• Resulta como “distribuição limite” da soma
de acontecimentos estatisticamente pouco
dependentes
74
Distribuição Normal
• A probabilidade de acontecer o cenário
] –;  + ] é de 68.3%  2/3;
] – 2;  +2] é de 95.5%  19/20
] – 3;  +3] é de 99.7%  997/1000.
75
Distribuição Normal
Ex. o QI -coeficiente de inteligência é uma
variável aleatória com distribuição normal
com média 100 e desvio padrão 15
A probabilidade de encontrar aleatoriamente
um indivíduo com QI > 145 é 0.13% (i.e.,
uma em cada 740 pessoas)
=1-DIST.NORM(145;100;15;VERDADEIRO)
Inglês: NORMDIST
76
Distribuição Normal
A
Distribuição Normal concentra a maior
probabilidade nos cenários em torno do valor
médio
20%= k )
P(x
15%
10%
5%
0%
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3k
77
Exercício
• Ex.2.12. Comprei obrigações a 25 anos à
taxa de juro nominal fixa de 3%/ano, sem
possibilidade de mobilização antecipada.
• A taxa de inflação média prevê-se seguir
distribuição N(0.02, 0.01)/ano
• Determine o valor real a receber no fim do
prazo de aplicar 10000€ e a probabilidade
de esse valor ser menor que a quantia
aplicada.
78
Exercício
• 1) Vou dividir o domínio da taxa de
inflação em cenários e calcular o valor
capitalizado para cada cenário
• 2) Calculo o valor médio e o desvio
padrão do V.F. em termos reais e a
probabilidade de vir a ser recebido uma
quantia menor que a aplicada.
79
Exercício
80
A7: =G1-4,25*G2
B7: =A7+$G$2/2
A8: =B7D7: =(A7+B7)/2
C7: =DIST.NORM(B7;G$1;G$2;true)-DIST.NORM(A7;G$1;G$2;true)
E7: =(1+C$1)/(1+D7)-1 F7: =C$2*(1+E7)^C$3
G7: =F7*C7
H7: =(F7-G$25)
I7: =H7^2*C7 C24: =SOMA(C7:C23) G25: =SOMA(G7:G22)/C24
I24: =SOMA(I7:I22)/C24I25: =I24^0,5
I26: =DIST.NORM(C2;G25;I25;true)
81
4ª Aula
82
Distribuição Uniforme
• Na F.D. Uniforme os valores no domínio
são todos igualmente prováveis.
• Pode se caracterizada pelos extremos
– valores mínimo e máximo
• Pelo valor médio e amplitude
• Pelo valor médio e desvio padrão
83
Distribuição Uniforme
• Sendo dados
 = valor médio
 = desvio padrão
O Valor mínimo =  - 1.732 
O Valor máximo =  + 1.732 
84
Distribuição Uniforme
• Sendo dados
Mx = valor máximo
Mn = valor mínimo
Valor médio = (Mn + Mx)/2
Desv. padrão = 0.2887(Mx - Mn)
85
Distribuição Uniforme
• A probabilidade de um cenário é a sua
proporção no domínio possível.
• Ex., com a distribuição uniforme
U(Min,Mx) = U(5; 10)
A probabilidade do cenário [5;6] é 1/5
86
Escolha da F.Distribuição
• A função distribuição não é conhecida
sendo uma proposta da Teoria.
• No entanto, em termos de decisão
económica, a função distribuição não é
um factor crítico (ver ex.2.13).
• e.g., considerar uma função distribuição
normal é idêntico a considerar uma função
de distribuição uniforme.
87
Distribuição não simétrica
• No entanto, quando o fenómeno é caracterizado
por uma função muito assimétrica,
– Existe uma probabilidade mais elevada de alguns
acontecimentos catastróficos
– Mede-se com
3
3
m
 P  x   
i
i
– m é zero nas F.D. simétricas
• não posso utilizar uma função simétrica
88
Distribuição não simétrica
• Exemplo de uma distribuição assimétrica
é o caudal de um rio
• É normal ter
–m/>5
– 80% dos dias um caudal  ao valor médio
– 1 dia em cada 100 anos haver um caudal 30
vezes superior ao caudal médio
89
Distribuição não simétrica
• Os caudais muito elevados (e.g., que
ocorrem com a probabilidade de 1 dia em
100 anos) têm muito poder destrutivo
• Os seguros contra danos de cheias têm
que quantificar com rigor a probabilidade
destes acontecimentos extremos
– As barragens e pontes têm que ser feitos de
forma a resistir a estes caudais extremos.
90
Distribuição não simétrica
• O caudal médio do rio Douro no Porto é
714m3/s
• A ponte de Entre-os-Rios caiu com o
caudal no Porto de ~13500m3/s
– A maior cheia conhecida no Porto ocorreu em
23 de Dezembro de 1909 (e 6 Dez. de 1739)
com >20000m3/s
– A barragem de Lever-Crestuma está
dimensionada para 26000m3/s
http://www.wikienergia.pt/~edp/index.php?title=Central_de_Crestuma_-_Lever
91
Ribeira, 1962/01/03 10:00, ~17000m3/s, 1909 foi > em 68cm
92
Operações algébricas com uma
variável aleatória
93
Operações algébricas simples
• Se somarmos uma constante a uma variável
aleatória
– O valor médio vem aumentado
– O desvio padrão mantêm-se
 (a  X )  a   ( X )
 (a  X )   ( X )
94
Operações algébricas simples
Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15)
Supondo-as em cima de uma cadeira com 0.5m,
a altura total será N(2.25, 0.15)
95
Operações algébricas simples
n
n
i 1
i 1
 (a  X )   pi  (a  xi )   ( pi  a  pi  xi )
n
n
i 1
i 1
  pi  a   pi  xi  a   ( X )
96
Operações algébricas simples
n
 p  (a  x )  (a   ( X ))
 (a  X ) 
i 1

n
2
i
i
 p  x   ( X ) 
i 1
2
i
i
  ( x)
97
Operações algébricas simples
• Se multiplicarmos uma constante por uma
variável aleatória
– O valor médio vem multiplicado
– O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto
da constante
 (a  X )  a   ( X )
 (a  X )  a   ( X )
98
Operações algébricas simples
n
n
i 1
i 1
 (a  X )   pi  (a  xi )   ( pi  a  xi )
n
 a   pi  xi  a   ( X )
i 1
99
Operações algébricas simples
 (a  X ) 
n
 p  (a  x )  (a   ( X ))
i 1
n
2
i
i
 a   pi  xi   ( X )   a   ( x)
2
2
i 1
100
Operações algébricas simples
• Ex.2.14. Um marceneiro tem 1000€/mês de
despesas fixas e tem de margem das vendas,
em média, 15€ por cada móvel que produz.
Supondo que projecta produzir este mês 100
móveis, qual será a sua remuneração em
termos médios?
• R. Atendendo às propriedades, teremos
100  – 1000 = 100 15 – 1000 = 500€
101
Ex.2.15
• Um empresário está a avaliar o aluguer de um
barco de pesca pelo qual paga 3mil€/dia.
• Demora um dia de viagem para cada lado e
pesca, durante 5 dias, 2500kg/dia
• O preço de venda segue distribuição N(2,1)€/kg
• Quanto será o lucro?
• Qual a probabilidade de ter prejuízo?
102
Ex.2.15
• O lucro será
52500N(2; 1) – 30007
=12500N(2; 1) – 21000
= N(25000; 12500) – 21000
= N(4000; 12500)
• Em média 4mil€ com desvio padrão de 12.5mil€
• A probabilidade de ter prejuízo será 37.45%,
=NORMDIST(0;4000;12500;TRUE).
103
Exercício
• Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo
transporte e o preço de venda é desconhecido
tendo distribuição N(0.60; 0.15)€/kg.
• i) Determine qual vai ser o meu lucro de
intermediar 1000kg de legumes.
• ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.
104
Exercício
i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte
= 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75
Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)
ii) No Excel teríamos
A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro)  43.38%
105
Exercício
• Ex.2.16. O empresário A fez uma descoberta
que lhe permite desenvolver um negócio cujo q
de Tobin é N(1.5, 0.25) e onde é necessário
investir 1M€.
• Sendo que o empresário A vendeu ao
empresário B metade do negócio por 625k€,
• qual será o q de Tobin de A e de B?
106
Exercício
• R. A investe 375k€ que terá
RECEB .
0.5
q

 N (1.5,0.25)  N (2,0.333)
INVEST . 0.375
• B investe 625k€ que terá
0.5
q
 N (1.5,0.25)  N (1.2,0.2)
0.625
107
Acções - obrigações
• O Ex.2.16 ilustra porque é vantajoso o
empreendedor emitir acções da sua empresa.
• Uma acção é uma parte do capital próprio da
empresa tendo, em termos contabilísticos, um
certo valor nominal, normalmente 1€.
108
5ª Aula
109
Acções - obrigações
• Por exemplo, uma empresa com um capital
social de 10M€ divide-se em 10M de acções com
valor nominal de 1€ cada.
• A acção dá direitos de voto na condução dos
destinos da empresa e é remunerada com uma
parte dos lucros, o dividendo, que é incerto.
110
Acções - obrigações
• As acções têm maior risco que as obrigações
porque, em caso de insolvência, os activos da
empresa pagam primeiro as obrigações e
apenas o que sobrar (i.e., nada) é que é dividido
pelas acções.
• Além disso, no contrato de emissão o resultado
das obrigações é conhecido (o cupão e o valor
de remissão) enquanto que o lucro da empresa é
variável.
111
Acções - obrigações
• Interessa ao empresário dispersar o capital da
empresa porque, normalmente, a empresa emite
as acções, numa operação denominada por OPV
(mercado primário), a um preço superior ao valor
contabilístico.
• As acções são depois transaccionadas entre
investidores (mercado secundário) sendo o seu
preço, denominado por cotação, determinado
pela expectativa que os agentes económicos têm
da evolução futura do negócio (i.e., dos
dividendos e da cotação).
112
Operações algébricas não
simples
• Se quisermos calcular um prémio de um seguro
de vida em que a duração do individuo é uma
variável aleatória, as operações algébrica não
são simples:
V  (1  r )
L
P
 (1  (1  r )  L )(1  r )
r
V r
P
L
L 1
(1  (1  r ) )(1  r )
113
Operações algébricas não
simples
• Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x),
obtemos um valor aproximado da distribuição
usando os dois pontos notáveis
x1 =  -  e x 2 =  + 
• Calculamos y1 = g(-) e y2 = g(+)
• Valor médio = (y1 + y2)/2
• Desv. padrão = |y2 - y1|/2
114
Operações algébricas não
simples
• Nas distribuições simétrica é indiferente usar
• Valor médio = (g(-) + g(+))/2  g()
• Nas distribuições assimétricas é melhor usar
• Valor médio = (g(-) + g(+))/2
115
Exercício
• Ex.2.17. O prémio de um seguro de vida com
r = 2%/ano, L ~ N(50, 10)
• i) Determine qual devem ser as reservas
Y/1000€ de forma a ter Y = (P) + (P).
• ii) Se a seguradora propõe um prémio
antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual
será o seu lucro?
116
Exercício
L
V  (1  i)  r
P
L
1
(1  (1  r ) )(1  r )
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.
• a seguradora precisará reservas com média
(16.23+8.60)/2 = 12.42€/ano e desvio padrão
(16.23-8.60)/2 = 3.82€/ano aconselhando a
prudência a que as reservas sejam 12.42+3.82 =
16.23€/ano.
117
Exercício
• P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.
•
Lucro(40) = 15–16.23 = –1.23€/ano;
•
Lucro (60) = 15–8.60 = 6.40€/ano.
• Para uma longevidade genérica, o lucro do
seguro terá
• valor médio = (–1.23 + 6.40)/2 = 2.59€/ano
• desvio padrão = (6.40+1.23)/2 = 3.82€/ano.
118
Operações algébricas não
simples
• Divisão em cenários. Já utilizamos esta
abordagem (ex.2.8 + ex.2.11).
• Divide-se o domínio da variável em cenários
sendo conveniente utilizar a folha de cálculo.
• Ao considerarmos intervalos mais pequenos,
estamos a diminuir o “erro de cálculo”.
119
Operações algébricas não
simples
120
Operações algébricas não
simples
• C7: =NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE)
• D7: =(A7+B7)/2+0,5
• E7: =F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1)
• F7: =C7*E7
• G7: =E7-F$40
• H7: =G7^2*C7
• C39: =SUM(C7:C38)
• F40: =SUM(F7:F38)/$C39
• H39: =SUM(H7:H38)/$C39
• H40: =H39^0,5
121
Método de Monte Carlo
• Método de Monte Carlo.
• 1) Sorteamos vários valores para a variável de
acordo com a sua função distribuição.
• 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determinase uma população de resultados possíveis.
• Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, fazse um histograma, etc., dos resultados.
Tools + Data Analyses + Random Number
Generation **
122
Método de Monte Carlo
**Excel 2007
Instalamos o Data Analyses
Office Button + Excel Options
+ Add Ins + Excel Add Ins Go…
Depois, aparece em Data o Data Analysis
123
Método de Monte Carlo
124
Método de Monte Carlo
2.69
125
Método de Monte Carlo
• O Método de Monte Carlo é de simples
implementação
• É muito flexível e poderoso
• Permite determinar o “erro de cálculo”
126
Comparação dos métodos
• O método expedito, por usar apenas dois pontos
notáveis, será o de menor grau de confiança
• A divisão em cenários está dependente do
detalhe dos cenários
• O método de monte carlo está dependente do
número de elementos extraídos
127
Comparação dos métodos
• No caso do Ex.2.17
128
Diversificação do risco
129
Diversificação do risco
• O modelo estatístico ajuda a decidir num
problema com risco
• Podemos diminuir o risco
actividades – diversificando
juntando
• Em termos estatísticos, são operações de
soma de variáveis aleatórias.
130
Diversificação do risco
• Em termos económicos trata-se de
construir uma carteira de activos
• “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto”
• Uma concretização negativa de um activo
será estatisticamente compensada por
uma concretização positiva de outro activo
131
Diversificação do risco
• Por exemplo, na praia podemos vender
gelados e gabardines.
• Quando faz calor, a venda de gabardines
dá prejuízo e a de gelados dá lucro
• Quando chove, a venda de gabardines dá
lucro e a de gelados dá prejuízo
• Vender de ambos diminui o risco
132
Diversificação do risco
Faz Calor
Chove
+200
-100
Gabardines -100
+200
Total do
negócio
+100
Gelados
+100
133
Duas variáveis
• Divisão das variáveis em cenários
– Probabilidades cruzadas
• Já utilizamos no ex.2.5
• O método é semelhante à situação em
que temos uma variável estatística, mas
agora serão cenários que envolvem a
concretização de vários contingências.
134
Exercício
• Ex.2.18. Um pescador precisa decidir se
vai pescar ou não.
• Não sabe a quantidade que vai pescar
nem o preço a que vai vender.
• A intuição permite-lhe construir cenários e
atribuir-lhes probabilidades.
• De, em simultâneo, se verificar uma
quantidade pescada (em kg) e um preço
(em €/kg).
135
Exercício
Pesca \ preço
[1; 2]€/k ]2; 3]€/k
]3; 4]€/k
[0; 100]kg
0%
4%
10%
[100; 250]kg
1%
35%
15%
]250; 400]kg
5%
10%
10%
]400; 500]kg
9%
1%
0%
136
Exercício
• O pescador pode agora calcular a receita
(em termos médios e desvio padrão)
multiplicando a quantidade (do meio do
intervalo) pelo preço (do meio do
intervalo) e decidir ir pescar se, e.g., a
receita média menos o desvio padrão for
maior que os custos fixos
137
Exercício
138
Exercício
•
•
•
•
•
•
B8: =$A2*B$1
F2: =B8*B2
H6: =SUM(F2:H5)
F8: =(B8-$H$6)^2*B2
H12: =SUM(F8:H11)
H13: =H12^0,5
139
Decisão
• Depende agora dos custos fixos
necessários para poder pescar. Se
fossem, por exemplo, 500€ ficaria
• Lucro médio = 61,50€
• Des.Pa.lucro = 270,76€
• Se a função objectivo fosse LM-DP =
61.50-270.76, não ia pescar por ser <0.
140
6ª Aula
141
Exercício
• Ex.2.19. Uma empresa com 1000
trabalhadores pretende contratar um
seguro de trabalho que dura 5 anos
• O seguro, em caso de morte, paga 60
meses de salário à viúva.
• Quanto deve ser o prémio mensal,
antecipado?
142
Exercício
• R. Temos 3 variáveis desconhecidas,
• a taxa de juro, a longevidade e o salário
• Vamos supor que a seguradora assumiu
45 cenários, calculou as probabilidades de
cada um e construiu um modelo no Excel.
• Assume-se que a probabilidade de nos 5
anos o trabalhador morrer é 0,140%
143
Exercício
144
Exercício
145
Exercício
•
•
•
•
•
•
K3: =I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3)
L3: =K3*J3
M3: =(K3-$L$52)^2*J3
L51: =SOMA(L3:L49)
M50: =SOMA(M3:M49)
M51: =M50^0,5
146
Exercício
• As reservas médias são de 4.91€ pelo que
a seguradora tem lucro médio positivo
com um prémio baixo, 6€/mês
• Mas, este negócio tem um risco tão
elevado (d.p.=166.85€/mês) para a
seguradora que é inviável.
• Apenas será possível se a seguradora
conseguir diversificar este seguro.
– Segurar os 1000 trabalhadores?
147
Associação entre variáveis - FD
• No caso de termos duas variáveis
aleatórias, além da F. Distribuição e
dos parâmetros (valor médio e desvio
padrão) que caracterizam cada uma
das variáveis,
• haverá um parâmetro para quantificar o
grau de associação estatística entre as
variáveis.
148
Associação entre variáveis - FD
• Por
exemplo,
nas
calças
são
importantes a largura da cintura e a
altura de perna do cliente que, na hora
de fabrico, são desconhecidas.
• Mas, num cliente aleatório, em média,
quanto maior for a sua cintura, maior
será a sua altura de perna.
•  As calças de número maior são mais
compridas
149
Associação entre variáveis -FD
• Covariância: é um parâmetro que condensa a
associação entre duas variáveis estatísticas.
N
 ( x, y ) 
 x
i 1
i
  x  yi   y 
N
150
Associação entre variáveis
• t1A covariância pode ser negativa, zero ou
positiva.
• É crescente com os desvios padrão das
variáveis
• A variância é um caso particular da
covariância
151
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear de
Pearson, (x, y)
• Retira à covariância o efeito dos desvios
padrão
 ( x, y)
 ( x, y) 
 ( x)   ( y )
  ( x, y)   ( x, y)   ( x)   ( y)
152
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear está no
intervalo [–1; 1]
• Se for zero, as variáveis não estão
associadas (linearmente).
• Se for –1 ou 1, estão perfeitamente
associados em sentido contrário ou no
mesmo sentido, respectivamente.
153
Associação entre variáveis
• Propriedades da covariância e do
coeficiente de correlação linear
i) A covariância (e o coeficiente de
correlação linear) entre duas constantes
ou entre uma variável e uma constante é
zero
 (a, b) = 0; (a,X) = 0
154
Associação entre variáveis
ii) Somando uma constante a uma das
variáveis, a covariância e o coeficiente de
correlação linear mantêm-se:
 (a+X,Y) = (X,Y);
(a+X,Y) = (X,Y)
155
Associação entre variáveis
iii) Multiplicando uma das variáveis por uma
constante, a covariância vem multiplicada
e o coeficiente de correlação linear
mantém-se (a menos do sinal e de ser
zero):
 (a.X,Y) = a.(X,Y);
(a.X,Y) = sig(a). (X,Y)
156
Associação entre variáveis
iv) A covariância e o coeficiente
correlação são comutativos:
 (X,Y) = (Y,X);
(X,Y) = (Y,X)
de
157
Exercício
X~N(10;5), Y~N(-1;3), (X; Y) = 0.7
Determine
a)  (3X; 2Y) e (3X;2Y)
b)  (-X; 2Y) e (-X;2Y)
c)  (5-5X;-2-Y) e (5-5X;-2-Y)
158
Exercício
 (X; Y) = 0.7*5*3 = 10.5
a)  (3X; 2Y)=3*2*10.5 = 63, (3X;2Y)=0.7
b)  (-X; 2Y)= -1*2*10.5 = -21, (-X;2Y)=-0.7
c)(5-5X;-2-Y) = -5*-1*10.5 = 52.5,
(5-5X;-2-Y) = -1*-1*0.7=0.7
159
Soma de variáveis estatísticas
diversificação do risco
160
Soma de variáveis estatísticas
• Até agora apenas somamos constantes com
variáveis
• É muito relevante no contexto da M.F. porque
modeliza o comportamento estatístico das
carteiras de activos partindo-se das
propriedades individuais dos activos que a
constituem.
161
Soma de variáveis estatísticas
• Distribuição da soma de duas V.A.
• Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a
soma também terá distribuição normal.
• Se não tiverem, a soma será mais próxima da
distribuição normal que as distribuições das parcelas.
• A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição
desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode
assumir-se que tem distribuição normal.
162
Soma de variáveis estatísticas
• Média da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como valor médio a
soma dos valores médios de cada variável
estatística.
163
Soma de variáveis estatísticas
• Variância e desvio padrão da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como variância a soma
das variâncias de cada variável mais duas
vezes a covariância.
 ( z)   ( x)  2 ( x, y)   ( y)
2
2
2
164
Nota sobre o planeamento do tempo lectivo
• Faltou-me esta matéria que obrigou a usar
a aula 7.
• Para o ano será necessário reduzir um
pouco a exposição para caber tudo nas 6
aulas
165
Exercício
• t2 Ex.2.22. Um intermediário de legumes, quando
encomenda desconhece o preço de aquisição e de
venda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg).
• PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg).
• Tem que pagar 75€ pelo transporte.
• A correlação linear entre o preço de compra e de
venda é de 0.5
• i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar
1000kg de legumes.
• ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo.
166
Exercício
• Trata-se de operações algébricas com variáveis
aleatórias.
• Lucro = 1000(PV – PC) –75.
PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10)
= N(0.10, (0.152+2(– 0.5)0.150.10+0.102))
= N(0.10, 0.1323)
Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1)
167
Exercício
• 1000 N(0.10, 0.132) = N(100, 132.3)
N(100, 132.3) –75 = N(25, 132.3)
No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132.3;TRUE)
Tem 42.5% de probabilidade de ter prejuízo
168
Exercício
• Ex.2.23. Duas acções, com rentabilidades
X ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/ano
e com correlação linear de 0.25.
• Determine a rentabilidade de uma carteira
com a proporção 0.5 de X e 0.5 de Y.
169
Exercício
• Z = 0.5X+0.5Y
• (Z) = (0.5X)+ (0.5Y)
= 0.5(X)+ 0.5(Y)
= 0.5x5%+ 0.5x10%
= 7.5%/ano
170
Exercício
• Z = 0.5X + 0.5Y
• 2(Z) = 2(0.5X)
+ 2 (0.5X, 0.5Y)
+ 2(0.5Y)
= (0.5x5%)2
+ 2x0.25x0.5x(0.5x5%)x(0.5x7%)
+ (0.5x7%)2
=0,0022875  (Z) = 4.78%
171
Extensão à soma de N variáveis
•
•
•
•
Se eu somar três variáveis, posso fazer
X+(Y+Z)
E retiro que
2(X+Y+Z) =
= 2(X)+ 2(Y)+ 2(Z)
+ 2(X,Y)+2(X,Z) +2(Y,Z)
Facilmente estendo para N
172
Extensão à soma de N variáveis
• Ex.2.24. Uma empresa pretende lançar o seu
produto em novos mercados.
• Moscovo tem custo Cm  N(3, 0.5) e resultado
actualizado das vendas Vm  N(7, 1)
• São Petersburgo tem custo Csp  N(2, 0.6) e
resultado actualizado das vendas Vsp  N(6, 2).
• O lucro resulta de subtrair os custos ao resultado
actualizado das vendas,
173
Extensão à soma de N variáveis
• Os coeficiente de correlação linear são

Cm
Csp
Vm
Vsp
Cm
1
0
0.5
0
Csp
0
1
0
0.5
Vm
0.5
0
1
0.7
Vsp
0
0.5
0.7
1
174
Extensão à soma de N variáveis
• i) Determine o lucro da representação de
Moscovo e de São Petersburgo
(separadas).
• ii) Determine o lucro de abertura das duas
representações (em conjunto).
175
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro da representação (separadas).
Lm = Vm – Cm = N(7; 1) – N(3; 0.5)
= N(4, (12 +210.5(-0.5) + 0.52))
= N(4, 0.866)
Lsp = Vsp–Csp = N(6; 2) – N(2; 0.6)
= N(4, (22 +220.6(-0.5) + 0.62))
= N(4, 1.778)
176
Extensão à soma de N variáveis
• i) Lucro das representações juntas.
Lm = Vm – Cm + Vsp–Csp
= N(7; 1) – N(3; 0.5) + N(6; 2) – N(2; 0.6)
= N(8, (12 + 0.52 + 22 + 0.62 +
210.5-0.5+ 220.6-0.5 + 21 20.60.7))
= N(8, 2.59)
Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero.
177
Exercício
• Ex.2.25. Um seguro de trabalho cobra um
prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a
constituir como reservas
F(4.91; 166.65)€/ano.
• i) Supondo que os acidentes não estão
correlacionados, determine o lucro por
trabalhador de segurar 1, 100
trabalhadores e 1000trabalhadores.
178
Exercício
• L1 = P-R = 6- F(4.91; 166.65)
= F(1.09; 166.65)€/ano
• L100 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/100 =
= N(109;  (100*166.652))/100
= N(1.09;16,67) €/ano
• L1000 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/1000 =
= N(1090;  (1000*166.652))/1000
= N(1.09;5,27) €/ano
179
Exercício
• ii) Supondo que quando há um acidente é
provável que morra mais que um
trabalhador. Assim, recalcule o lucro por
trabalhador com a correlação entre as
fatalidades assumida como 0.1
180
Exercício
L100  F (1.09; 166.65)  ...  F (1.09; 166.65)  / 100


100 99
2
 N 109; 100 166.65  2 
 0.1  166.65  166.65  / 100
2


 N 1.09; 55.02


L1000  N 1090; 1000 166.652  1000* 999* 0,1 * 166,652 / 1000
 N 1.09; 16.74
181
Exercício
• Quanto menos correlacionados estiverem
os acontecimentos e maior número de
acontecimentos misturarmos,
• maior será a diminuição do risco e
• mais a função distribuição resultante se
aproxima da função distribuição normal.
182
Exercício
• Ex.2.26. O “Seguro de Invalidez”, ex.2.21,
obriga a F(7.27, 351.65)€/mês de reservas
por cada 500€/mês de indemnização. O
prémio será o valor médio das reservas
mais o desvio padrão.
• Supondo
que
a
invalidez
dos
trabalhadores não está correlacionada,
determine o prémio em função do tamanho
da carteira de seguros.
183
Exercício
Re  F (n  7.27; n  351.65 ) / n
2
 N (7.27; 351.65 / n )
P  7.27  351.65 / n
n = 100  P = 42.44€/mês;
n = 1000  P = 18.39€/mês;
n = 10000  P = 10.79€/mês.
184
Diversificação do risco e avaliação
de projectos
• A diversificação do risco pode tornar
aceitáveis investimentos que avaliados de
forma independente não seriam rentáveis
(e.g., terem um VAL negativo).
• Isso acontece quando o investimento tem
uma correlação negativa com outros
investimentos o que permite diminuir o
risco do conjunto dos investimentos.
185
Diversificação do risco e avaliação
de projectos
• Ex.2.27.
Uma
investidora
tem
a
possibilidade de adquirir uma participação
1. C. de golfe com q =N(1.2; 0.2)
2. Emp. agrícola com q = N(0.9; 0.45).
Dá prejuízo
• A correlação entre os negócios é de –0.9
• Qual a proporção do investimento que
minimiza a probabilidade de ter prejuízo.
186
Exercício
• D2: =DIST.NORM(1; B2; C2; VERDADEIRO)
• E3: =1-E2
• C5: =(E2*C2)^2+2*C2*E2*C3*E3*C4+(C3*E3)^2
• B6: =E2*B2+E3*B3
C6: =C5^0,5
187
Diversificação do risco e avaliação
de projectos
• Fiz um modelo no Excel e utilizei o solver
para minimizar o risco.
• Contra a lógica da análise individual,
aplicando 27% do investimento na
empresa não rentável e com risco elevado
o meu risco de ter prejuízo diminui de
18.87% para 3.22%.
• Reparar nas duas restrições do solver.
188
Alavancagem
• Em termos patrimoniais, uma empresa
pode ser dividida num
• conjunto de destinos financeiros (os activos
da empresa que têm determinada
rentabilidade e podem ser recuperados) e
• um conjugo de origens financeiras (os
passivos da empresa que têm que ser
remunerados e devolvidos).
189
Alavancagem
• Em termos contabilísticos, o valor de cada
unidade de participação (i.e., cada acção
ou cota) será a soma dos activos menos a
soma dos passivos alheios (o capital
alheio) a dividir pelo número de acções ou
cotas que representam a empresa.
190
Alavancagem
191
Alavancagem
• A diversificação do risco trata da gestão do
risco na parte do activo (e.g., das
aplicações financeiras)
• A alavancagem trata da gestão do risco na
parte do passivo (i.e., das origens dos
recursos financeiros).
– A proporção entre capitais próprios e alheios.
192
Alavancagem
• Os capitais próprios têm voto na condução da
empresa enquanto que os capitais alheios
não.
• Em tese, as obrigações não têm risco porque,
na liquidação, são pagas antes dos capitais
próprios
• Se a proporção de capitais próprios for
pequena, as obrigações vêm o risco
aumentado, exigindo o “mercado” uma taxa
de juro maior.
193
Exercício
• Um projecto de investimento a 10 anos necessita
de 10M€ de financiamento num projecto com
uma rentabilidade R ~ N(15%, 15%)/ano.
• Para uma relação de alavancagem de 4 para 1
(i.e., detém 2.5M€ de acções e emite 7.5M€ de
obrigações a uma taxa de juro fixa de 10%/ano)
• Determine o efeito da alavancagem na
rentabilidade e risco dos capitais próprios.
194
Exercício
2.5CP  7.5CA  10C
 CP  4C  3CA
 4 N (15%, 15%)  3N (10%, 0)
RCP  N (30%, 60%)
A rentabilidade média e o risco dos capitais
próprios aumentam.
195