Estatística Multivariada Revisões de Estatística A) Independência estatística B) Var. aleatórias C) Distribuição normal D) Dist. conjuntas e correlação E) Inferência estatística 18-02-2010 José Filipe Rafael 1 Estatística Multivariada Revisões de Estatística Distribuição Normal ou de Gauss 18-02-2010 Revisões de Estatística: Distribuição Normal José Filipe Rafael 2 1 Estatística Multivariada Revisões de Estatística Distribuição normal Notação: X ∩ N ( µ , σ2 ) Parâmetros: µ → média; σ2 → variância; f(x) Funções: f(X) = 1 2πσ2 − e 1 X −µ 2 σ 2 µ x F(X) : não tem expressão algébrica ⇒ tabelas 18-02-2010 José Filipe Rafael 3 Estatística Multivariada Revisões de Estatística Distribuição normal (cont.) Padronização: X − µ x1 − µ F(X1 ) = P [ X ≤ x1 ] = P ≤ σ σ x −µ = P Z ≤ 1 σ x − µ =Φ 1 σ onde Z ∩ N ( 0 , 1 ) é a Normal Padrão e Φ a distribuição da Normal Padrão 18-02-2010 Revisões de Estatística: Distribuição Normal José Filipe Rafael 4 2 Estatística Multivariada Revisões de Estatística Distribuição normal (cont.) Z ∩ N ( 0 ,1) P [Z < − 2] -2 0 z -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 z 18-02-2010 P[Z ≤ z] 0,0223 0,0668 0,1587 0,3085 0,5000 0,6915 0,8413 0,9332 0,9772 P[Z > z] 0,9772 0,9332 0,8413 0,6915 0,5000 0,3085 0,1587 0,0668 0,0223 José Filipe Rafael 5 Estatística Multivariada Revisões de Estatística Distribuição normal (cont.) Operações com a Normal: Sendo X e Y duas variáveis aleatórias com distribuição Normal independentes: X ∩ N ( µ X , σX ) 2 Y ∩ N ( µ Y , σY ) 2 (X ± Y) ∩ N ( µ X ± µ Y , σ X + σ Y ) 2 2 a sua soma (ou diferença) segue ainda uma lei Normal com média igual à soma (ou diferença) das médias e variância igual à soma das variâncias. 18-02-2010 Revisões de Estatística: Distribuição Normal José Filipe Rafael 6 3 Estatística Multivariada Revisões de Estatística Distribuição normal (cont.) Operações com a Normal: Se tivermos uma família de variáveis Xi com distribuições normais e independentes : Xi ∩ N ( µi , σi2 ) , i = 1, ... , m m m m ∑ X ∩ N ( ∑µ , ∑σ i =1 i i =1 i i=1 2 i ) m m m i =1 i =1 i =1 ∑ ai Xi ∩ N ( ∑ ai µi , ∑ ai2σi2 ) 18-02-2010 Revisões de Estatística: Distribuição Normal José Filipe Rafael 7 4