CAP4: Distribuições Contínuas – Parte 1 – Distribuição Normal
Quando a variável sendo medida é expressa em uma escala contínua, sua distribuição de probabilidade é
chamada distribuição contínua.
Exemplo 4.1
Suponha que X seja uma variável aleatória representando o conteúdo real em kg de um pacote de café de 1kg.
Assume-se que a distribuição de X seja
Essa é uma distribuição contínua uma vez que o domínio de x é o intervalo [0.8; 1.1].
É chamada de distribuição uniforme e seu gráfico é representado por uma reta paralela ao eixo x:
A probabilidade para variáveis contínuas assumirem valores num intervalo corresponde à área sobre a curva da
função f(x) que é obtida pelo cálculo da integral definida no intervalo de valores que se deseja.
Exemplo 4.2
Considerando a variável do exemplo 4.1, a probabilidade de um pacote de café conter menos de 1 kg é:
=
Interpretação:
Assim, um processo de enchimento de pacotes de café com a distribuição de probabilidade descrita acima
produzirá em torno de 67% dos pacotes com peso menor ou igual a 1kg.
Neste capítulo veremos as seguintes distribuições contínuas: Normal, Exponencial e Weibull
Distribuição Normal
A média e variância da distribuição são:
A notação usada para indicar que uma variável aleatória tem essa distribuição é:
O gráfico desta distribuição é simétrico em forma de sino com eixo de simetria em x=μ.
Gráfico4.1 Distribuição normal
A probabilidade acumulada num ponto a qualquer é:
Para a distribuição normal não há uma forma analítica de se obter esta integral, assim utilizamos uma tabela
(veja tabela da distribuição normal acumulada) para obter as probabilidades desta distribuição.
Para utilizar a tabela é necessária fazer uma mudança de variável:
Exemplo 4.3
Considere X a força de tensão do papel usada na confecção de sacos para supermercados. Sabe-se que
Um comprador dos sacos exige que eles tenham pelo menos 35 lb/in2.
A probabilidade de que um saco confeccionado com este papel atenda tal especificação é:
Para obter
fazemos a mudança de variável:
Assim,
Graficamente isso representa a área hachurada:
0.2
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
P(Z>-2.5) - Z~N(mi=0, sigma=1)
-4
-2
0
2
4
x
Gráfico 4.2: Área correspondente à probabilidade P(Z>-2.5)
O valor da probabilidade é obtido consultando a tabela. Entretanto a tabela fornece valores de probabilidade
acumulada, muitas vezes precisamos observar a simetria da curva para obtermos o valor adequado na tabela.
Assim, observe sob a ótica da simetria que a área correspondente a Z>-2.5 é a mesma de Z<2.5.
0.2
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
P(Z<2.5) - Z~N(mi=0, sigma=1)
-4
-2
0
2
4
x
Gráfico 4.3: Área correspondente à probabilidade P(Z<2.5)
Logo, P(Z>-2.5) = P(Z<2.5) que é uma probabilidade acumulada no ponto 2.5. Consultando este valor (2.50) na
tabela, obtemos:
Logo, P(X>35) = 0.993790 ou 99,38%
Exemplo 4.4
O diâmetro de uma haste de metal usada em uma unidade de disco é normalmente distribuída com média
0.2508 in e desvio padrão 0.0005 in. As especificações sobre a haste foram estabelecidas como
. Deseja-se saber qual a fração das hastes produzidas que satisfazem as especificações.
X = diâmetro da haste
Probabilidade a ser calculada:
Padronizando os valores:
e
Assim,
que corresponde a probabilidade acumulada em 1.4
menos a probabilidade acumulada em -4.60
Graficamente:
0.2
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
P(-4.6<Z<1.4) - Z~N(mi=0, sigma=1)
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Gráfico 4.4: Probabilidade entre dois valores
Consultamos a tabela para os valores 1.4 e 4.6 (opa, temos um problema de sinal!)
Para 1.4 obtemos 0.919243 e para 4.6 obtemos ...não tem na tabela, pegue o último valor que é 0.999998.
Agora resolvemos a questão do sinal.
Queremos a P(Z<-4.6) e na tabela obtivemos P(Z<4.6). Por simetria sabemos que P(Z>4.6) = P(Z<-4.6). Além disso
temos que a área total é igual a 1. Logo P(Z<-4.6) = 1 – P(Z<4.6) = 1 – 0.999998 = 0.000002
Logo
Interpretação:
Podemos esperar que o aproveitamento do processo seja de aproximadamente 91.92%; isto é, cerca de 91.92%
das hastes são produzidas de acordo com as especificações.
Se a média do processo fosse modificada de 0.2508 para 0.2500, qual seria o percentual de aproveitamento do
processo?
Refaça os cálculos anteriores modificando μ para 0.2500.
Se você entendeu tudo até agora, deverá obter
.
Assim, com a modificação no processo, o aproveitamento aumentaria para aproximadamente 99.73%.
Exemplo 4.5
Algumas vezes, em vez de calcular a probabilidade associada a um determinado valor, é necessário fazer o
oposto – achar um valor particular de uma variável aleatória que resulta em uma dada probabilidade.
Suponha que
. Queremos achar o valor de a, tal que P(X>a) = 0.05.
De modo equivalente, podemos reescrever
Agora, devemos procurar no interior da tabela o valor 0.95 (que corresponde a uma probabilidade acumulada;
observe sempre este fato, por isso reescrevemos a informação inicial!)
No interior da tabela encontramos 0.950529 que corresponde ao valor de z = 1,65 (1,60 +0.05)
Também, encontramos 0.949497 que corresponde ao valor de z = 1,64.
Como 0.95 fica entre estes dois valores, o valor de z procurado fica entre 1.64 e 1.65; nesta situação podemos
assumir que o valor procurado é o ponto médio entre estes dois: 1.645 (faça assim sempre que encontrar
situação semelhante!)
O valor de a fica assim determinado:
ou seja
Exemplo 4.6:
Certo tipo de lâmpada tem um resultado que é normalmente distribuído com média de 26900 lux e desvio
padrão de 807 lux. Qual deve ser o limite inferior de especificação deste tipo de lâmpada para que não mais que
2.5% das produzidas fiquem abaixo deste limite?
O que se deseja é determinar a, o limite inferior, tal que
ou de modo equivalente
.
Consultando o valor 0.975 na tabela, obtemos:
z=1.96 (1.90+0.06). Entretanto, devemos lembrar que o valor de a deve ser inferior ao valor da média 26900,
logo o valor de z deve ser o simétrico de 1.96, ou seja, -1.96. Ao consultar a tabela em situações semelhantes,
tenha sempre em mente se o valor que se deseja está acima ou abaixo da média, pois isso interfere no sinal de z
devido à simetria da curva. Se tiver dúvida faça um esboço gráfico, marcando a área sob a curva:
Gráfico 4.5: Ilustração dado a área determinar o valor de z
O valor de a fica assim determinado:
ou seja
Portanto o limite inferior de especificação deve ser 25318.28 lux
Exercícios Parte1:
Treinando o uso da Tabela: obtenha as probabilidades que se pede:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) Obtenha a tal que
sendo
11) A vida de determinado tipo de bateria de cela seca é distribuída normalmente com média de 600 dias e
desvio padrão de 60 dias. Que fração dessas baterias espera-se que sobreviva acima de 680 dias?
12) A dureza de Rockwell de uma liga particular é distribuída normalmente com média de 70 e desvio padrão de
4. Se o intervalo aceitável para a dureza fosse (70 – c, 70 + c), para que valor de c teríamos 95% de todos os
espécimes com dureza aceitável?
13) Um processo de fabricação de certo produto precisa de ajustes sempre que o pH do produto final ficar acima
de 7.20 ou abaixo de 6.80. O pH da amostra é distribuído normalmente com média μ e desvio padrão 0.10.
Qual a probabilidade de ajuste do processo quando a média do processo está muito ácido, ou seja, com
μ=6.75?
Respostas:
1) 0.977250
2) 0.995339
3) 1-0.977250
4) 1-0.995339
5) 1-0.977250
6) 1-0.996319
7) 0.978822-(1-0.922196) = 0.901018
8) 0.922196-(1-0.579260) = 0.501456
9) Equivale a
= 0.598706 - (1-0.598706)= 0.197412
10) Z=-0.845 (atenção ao sinal, a deve ser inferior à média!). Logo a=2.324.
11) P(X>680) = P(Z>1.33) = 1 – 0.908241 = 0.091759
12) P(70-c<X<70+c) = 0.95 equivale a P(-c/4<Z<c/4)=0.95. Equivale ainda a P(X<70-c)=0.025. Este problema foi
resolvido no exemplo 4.6. Assim c/4 = 1.96; logo c=7.84
13) P(6.8<X<7.2) = P(0.5<Z<4.5) = 0.999997 – (0.691462) = 0.308535
Parte 2: Distribuição Exponencial e Weibull
A distribuição exponencial é definida por
é uma constante.
A média e a variância desta distribuição são:
Veja o gráfico desta distribuição:
Gráfico 4.6: Distribuição Exponencial com média 1/λ
A distribuição exponencial é amplamente utilizada na área de engenharia de confiabilidade como modelo do
tempo de falha de um componente ou sistema. Em tais aplicações o parâmetro λ é denominado taxa de falha do
sistema e a média da distribuição 1/ λ é chamada tempo médio de falha.
Exemplo 4.7: Suponha que um componente eletrônico em um sistema de radar de aeronave tenha vida útil
descrita por uma distribuição exponencial com taxa de falha de 10-4/h, isto é, λ = 10-4. O tempo médio de falha
para este componente é 1/ λ = 104 = 10.000h.
A probabilidade de o componente falhar antes do seu tempo esperado de vida é:
Este resultado vale independente do valor de .
Note que a distribuição acumulada no ponto a para esta distribuição é:
Exemplo 4.8 Suponha que um processo de fabricação de certo componente apresente distribuição exponencial
para o tempo de falha, com taxa de falha de λ = 200-1 falhas por hora. Logo a vida média é de 200 horas. Por
causa de uma clausula de garantia, o fabricante deve pagar uma multa de k dólares se um componente durar
menos do que 400 horas. Qual a probabilidade do fabricante pagar a multa sobre um componente qualquer
produzido?
Deseja-se obter
0.864665
A distribuição de Weibull é definida por
é o parâmetro de escala e
A média desta distribuição é:
é o parâmetro de forma.
é chamada de função Gama. Se n é um inteiro positivo então:
Veja o gráfico da distribuição de Weibull:
Gráfico 4.7: Distribuição de Weibull, variando o parâmetro de forma.
A distribuição de Weibull se reduz à exponencial quando β=1. Trata-se de um distribuição bastante flexível, pois
pode assumir diversas formas com valores apropriados dos seus parâmetros.
A distribuição acumulada da Weibull é:
Exemplo 4.9 O tempo de falha de uma submontagem eletrônica usada em uma estação de trabalho RISK é
satisfatoriamente modelado por uma distribuição de Weibull com β=0.5 e θ = 1000. Obtenha o tempo médio de
falha de uma submontagem.
O tempo médio de falha é dado por
Qual a probabilidade da submontagem sobreviver mais de 4000h
Espera-se que 13,53% das submontagens falharão após 4000 h de funcionamento.
Exercícios Parte 2:
1- Sabe-se que o tempo de falha de certo transistor tem distribuição de Weibull com parâmetros β=1/3 e θ =
400. Ache a fração de transistor que sobrevive a 600 horas de uso.
2- Sabe-se que o tempo de falha de certo transistor tem distribuição de Weibull com parâmetros β=1/3 e θ =
400. Qual o tempo médio de falha do transistor.
3- Sabe-se que o tempo de falha de um pequeno sistema de computador tem distribuição de Weibull com
parâmetros β=1/4 e θ = 200. Que fração dessas unidades de sistema sobreviverá a 1000 horas de uso.
4- Sabe-se que o tempo de falha de um pequeno sistema de computador tem distribuição de Weibull com
parâmetros β=1/4 e θ = 200. Qual o tempo médio de falha de uma unidade do sistema.
5- Um fabricante de um monitor de televisão comercial garante o tubo de imagem por um ano (8760 h). Os
monitores são usados em terminais de aeroportos para tabelas de voos, e estão ligados continuamente. A
vida média dos tubos é de 20.000 h e o tempo de falha segue uma distribuição exponencial. Que proporção
de tubos durará menos do que a garantia de 8760 h?
6- Estima-se que o tempo de falha de um tubo de televisão seja distribuído exponencialmente, com uma média
de três anos. Uma companhia oferece seguro para esses tubos no primeiro ano de uso. Qual a porcentagem
de apólices que terão que pagar?
Repostas:
1- P(X>600) =
0.3183
23- P(X>1000) =
=0.2242
45- P(X<8760) =
6- P(X<1) =
0.3547
0.2835
Após estes exercícios você deverá realizar o teste 4.