HISTÓRIA DOS NÚMEROS A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática. A LINGUAGEM DOS NÚMEROS Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado. O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três. O corvo assassinado Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocavase vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida. As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado. Limitações vêm de longe Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro. Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens europeias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito). Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica. Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade. O número sem contagem Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas. Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra. A ideia de correspondência A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3... A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4... A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles. Do relativo ao absoluto Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil. Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado. Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos. É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita. Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa. Sistema de numeração Romano A utilização dos números romanos. Esse Sistema de numeração é o mais usado nas escolas, depois do sistema de numeração decimal. E também na representação de: • designação de séculos e datas; • indicação de capítulos e volumes de livros; • mostradores de alguns relógios, etc. No Sistema de Numeração Romano é utilizado sete letras (símbolos) que representam os seguintes números: 1 I 5 V 10 X 50 L 100 C 500 D 1000 M Para formar outros números romanos utiliza-se as letras acima repetindo-as uma, duas ou três vezes (nunca mais de três). Sendo que as letras V, L e D não podem ser repetidas. 2 II 3 III 20 XX 30 XXX 200 CC 300 CCC 2000 MM 3000 MMM Para formar números diferentes dos citados até agora, devemos saber que as letras I, X e C, colocam-se à esquerda de outras de maior valor para representar a diferença deles, obedecendo às seguintes regras: ♦ I coloca-se à esquerda de V ou X ♦ X coloca-se à esquerda de L ou C ♦ C coloca-se à esquerda de D ou M Se colocarmos um símbolo de maior valor primeiro que o de menor valor, somamos os números assim: VI ( 5 + 1) 6 XIII (10 + 3) 13 LIV (50 + 4) 54 CX (100 + 10) 110 Se colocarmos um símbolo de menor valor primeiro que o de maior valor, diminuímos os números assim: IV (5 - 1) 4 IX (10 - 1) 9 XL (50 – 10) 40 XC (100 – 10) 90 CD (500 – 100) 400 CM (1000 – 100) 900 Sistema de Numeração Egípcios Símbolos Egípcios. Os egípcios da Antigüidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseando em agrupamentos. Essa idéia de agrupar foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração. Cada unidade era representada por : 1 2 I 3 II III 4 5 6 7 8 9 II II II II I III III III III I IIII IIII IIII IIII I Ao chegar às dezenas os foram substituídos por ∩: 10 11 12 13 14 15 ∩IIII ∩III II ∩II ∩ ∩I ∩III 16 ∩III III 17 18 19 ∩III IIII ∩IIII IIII ∩IIII IIIII Para representar a centena os ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩ foram substituídos por escreviam o 200, o 300, o 400 e assim até 900. 20 21 ∩∩ ∩∩I , juntando vários símbolos de 100 Dez marcas de 100 eram trocadas pelo símbolo , assim a cada marca de dez mudamos o símbolo. Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significa cada marca. Exemplo: O número 5068 para os egípcios seria escrito assim: ∩∩∩∩∩∩ IIIIIIII ou seja 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 10+ 10+ 10+ 10+ 10+ 10 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1 Sistema de Numeração Babilônico Todos os números babilônicos representados simbologicamente. Quem pensa que não utilizamos o sistema babilônico, está enganado, pois a divisão das 24 horas, uma hora em 60 minutos e os minutos em 60 segundos, é uma herança dos babilônicos. O sistema babilônico utiliza a base 60 para a formação de seus numerais. O sistema sexagesimal, também conhecido como sistema de numeração babilônico, necessita de 60 algarismos diferentes de 0 a 59. Para compor esses números eles usam a base 10 (utilizada no sistema de numeração decimal, o utilizado atualmente), para associar símbolos que correspondiam aos 60 “algarismos” necessários. Veja figuras abaixo: Símbolos que representam os números de 1 a 10. Agora para escrever os números de 2 a 9 utiliza-se os mesmos símbolos, mas dispostos de uma forma diferente: Para representar os números 10, 20, 30, 40 e 50 utiliza-se o símbolo do numeral 10, mas dispostos de forma diferentes: Exemplo: Como ficaria o número 45? O zero? Os babilônios já tinham o conceito do zero e, como esse não era nenhuma quantidade, indicavam-no com um espaço vazio. O Sistema de Numeração Maia No sistema de numeração maia os algarismos são representados por símbolos, os símbolos utilizados são pontos e barras horizontais. O sistema de numeração Maia era baseado em símbolos No decorrer da história existem relatos de vários sistemas de numeração elaborados pelas grandes civilizações. Os mais conhecidos são: egípcio, babilônico, romano, chinês, o nosso atual sistema denominado decimal ou indo-arábico, e o dos povos Maias. Este último foi adotado pela civilização précolombiana e consiste num sistema de numeração vigesimal, isto é, de base vinte. De acordo com relatos históricos, o sistema é vigesimal porque possui como base a soma dos números de dedos das mãos e dos pés. No sistema de numeração Maia, os algarismos são baseados em símbolos. Os símbolos utilizados são o ponto e a barra horizontal, e no caso do zero, uma forma oval parecida com uma concha. A soma de cinco pontos constitui uma barra, dessa forma, se usarmos os símbolos maias para escrever o numeral oito, utilizaremos três pontos sobre uma barra horizontal. Os números 4, 5 e 20 eram importantes para os Maias, pois eles tinham a ideia de que o 5 formava uma unidade (a mão) e o número 4 estava ligado à soma de quatro unidades de 5, formando uma pessoa (20 dedos). De acordo com a história, os cálculos maias foram os primeiros a utilizar a simbologia do zero no intuito de demonstrar um valor nulo. Também é atribuído ao sistema de numeração Maia a organização dos números em casas numéricas. Sistema de Numeração Decimal Como escrever um numeral no Sistema Decimal. O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o sistema de numeração decimal, pois os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades. Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar unidades, dezenas e centenas. Esses algarismos são chamados de indo-arábico porque tiveram origem nos trabalhos iniciados pelos hindus e pelos árabes. Com os algarismos formamos numerais (Numeral é o nome dado a qualquer representação de um número). Veja um exemplo de como contar o conjunto de bolinhas a seguir, agrupando-as de 10 em 10: Igual a 35 bolinhas. 23 grupos de 5 mais 10 bolinhas bolinhas 3 x 10 + 5 30 + 5 A Partir do agrupamento de 10 em 10 surgiu a primeira definição: o grupo de dez unidades recebe o nome de dezena. Assim cada grupo de 10 dezenas forma uma centena. Os grupos de 1, 10, 100 elementos são chamados de ordens. Cada ordem forma um novo grupo denominado classe. Exemplos: • O número 352 possui 3 ordens e uma classe. 352 cdu • O número 2 698 possui duas classes e quatro ordens. 2 698 Classe dos milhares Classe das unidades 2 → Ordem das unidades de milhar 6 → Ordem das centenas 9 → Ordem das dezenas 8 → Ordem das unidades Toda classe tem a ordem da centena (c), dezena (d) e unidade (u), observe o quadro a seguir: A partir daí fica mais fácil a leitura dos números: • 2 351: dois mil trezentos e cinqüenta e um. • 30 423 048: Trinta milhões, quatrocentos e vinte e três mil e quarenta e oito. • 246 102 025: Duzentos e quarenta e seis milhões cento e dois mil e vinte e cinco. CLASSES E ORDENS: a tabela a seguir mostra as classes e ordens dos números. Depois da classe dos bilhões temos: classes dos trilhões, classes dos Quatrilhões, classes dos quintilhões, e assim por diante. Leitura e escrita dos números inteiros Na leitura de um número com vários algarismos, fazem-se grupos de três algarismos, da direita para a esquerda. O último grupo da esquerda pode ficar com um, dois ou três algarismos. Cada grupo de algarismos representa uma classe. Da direita para a esquerda: - A primeira classe é a das unidades. - A segunda classe é a dos milhares. - A terceira classe é a dos milhões. centenas dezenas unidades cent. de milhar dez. de milhar unid. de milhar centenas dezenas unidades 5 3 2 6 9 3 4 1 7 classe dos milhões classe dos milhares classe das unidades 532 milhões, 693 milhares, 417 unidades Em cada classe há três ordens, unidades, dezenas e centenas. Em todos os números inteiros, o primeiro algarismo da direita representa a ordem das unidades. As classes têm de ser formadas por três algarismos, excepto a última, a da esquerda, que pode ter só dois ou um algarismos. Exemplos de leitura e escrita de números a) 275: duzentos e setenta e cinco. b) 1.246: Um mil, duzentos e quarenta e seis. c) 14.809: catorze mil, oitocentos e nove. d) 77.777: setenta e sete mil, setecentos e setenta e sete. d) 245.709: duzentos e quarenta e cinco mil, setecentos e nove. e) 889.626: oitocentos e oitenta e nove mil, seiscentos e vinte seis. f) 2.505.812: dois milhões, quinhentos e cinco mil, oitocentos e doze. g) 68.909.531: sessenta e oito milhões, novecentos e nove mil, quinhentos e trinta e um. h) 489.645.789: quatrocentos e oitenta e nove milhões, seiscentos e quarenta e cinco mil, setecentos e oitenta e nove. i) 2.506.000.485: dois bilhões, quinhentos e seis milhões, quatrocentos e oitenta e cinco. j) 156.451.489.056.489: cento e cinquenta e seis trilhões, quatrocentos e cinquenta e um bilhões, quatrocentos e oitenta nove milhões, cinquenta e seis mil e quatrocentos e oitenta e nove. Pratique: Escreva por extenso os números a seguir: a) 125: b) 2.222: c) 45.601: d) 89.999: e) 415.203: f) 789.654: g) 15.415.852: h) 222.222.222: i) 845.603.007: j) 3.802.615.023: k) 77.506.321.815: l) 111.045.333.789: m) 32.758: n) 489.652: o) 47.984: p) 305.745: q) 788.654: r) 2.784.523: s) 23.745.899: t) 156.856.987: u) 222.222.222: v) 456.456.485.896: w) 1.026.159.753.489: x) 22.022.022.022.022: y) 159.456.852.489.623: z) 487.856.963.852.741: Escreva 30 números diferentes, desde pequenos valores até valores “gigantes” e treine a escrita dos números. Determine o valor posicional do algarismo 5, em relação ao exercício anterior. (exemplo: na letra e, o algarismo 5 vale 5.000, e assim por diante) Exemplos de escrita aditiva (Escrita Aditiva: cada número possui algarismos com valores posicionais distintos. Através destes valores posicionais podemos escrever qualquer número através de uma soma). a)1210 2 b)48 408 c)148100 408 d)876 800 70 6 e)45.875 40.0005.00080070 5 f )489.621 400.00080.0009.000 600 201 g)841.596 800.000 40.0001.00050090 6 h)2.058.785 2.000.00050.0008.000700805 i)78.005.623 70.000.0008.000.000 5.000 600 20 3 j)123.123.123100.000.000 20.000.0003.000.000100.000 20.000 3.000100 20 3 k)41.748.256.123 40.000.000.0001.000.000.000 700.000.000 40.000.0008.000.000 200.00050.000 6.000100 20 3 Determine a escrita aditiva dos números a seguir: a) 65 b) 189 c) 2.452 d) 33.333 e) 75.341 f) 88.705 g) 874.856 h) 999.999 i) 2.541.623 j) 33.259.475 k) 888.888.888 l) 222.745.602.333 m) 3.505.606.859.444 n) 125.000.689.845.125 o) 159.156.152.157.623 p) 48.652 q) 63.127.236 r) 152.152.158 s) 748.863.945.623 Escrita Aditiva e Multiplicativa: Como vimos todo número pode ser transformado em uma escrita aditiva. Através desta escrita aditiva podemos transformar cada parcela obtida na soma em multiplicação de números múltiplos de 10. Exemplos: a )12 10 2 1 10 2 1 b) 48 40 8 4 10 8 1 c)148 100 40 8 1 100 4 10 8 d )876 800 70 6 8 100 7 10 6 1 e) 45.875 40.000 5.000 800 70 5 4 10.000 5 1.000 8 100 7 10 5 1 f )489.621 400.00080.0009.000600 201 4100.000810.00091.000610021011 g)841.596 800.000 40.0001.000500906 8100.000410.00011.000510091061 h)2.058.785 2.000.00050.0008.000700805 21.00.000510.00081.000710081051 i)78.005.623 70.000.0008.000.0005.000600 203 710.000.00081.000.00051.000610021031 j)123.123.123100.000.000 20.000.0003.000.000100.000 20.0003.000100203 1100.000.000 220.000.00031.000.000210.00031.000110021031 k)41.748.256.123 40.000.000.0001.000.000.000 700.000.000 40.000.0008.000.000 200.00050.0006.000100 203 41.000.000.0007100.000.000 410.000.00081.000.0002100.000510.00061.0001100 21031 Determine a escrita aditiva e multiplicativa em relação aos números do exercício anterior. a) 49 b) 152 c) 666 d) 2.689 e) 148.652 f) 3.859.623 g) 41.062.58 h) 88.859.652 i) 79.651.489 j) 812.406.203 k) 436.849.452 l) 888.063.123 m) 1.258.149.631 n) 33.333.333.333 o) 148.652.485.901 p) 22. 444.555.666.777 q) 145.514415.852.953 Escrita Polinomial ou Escrita Decomposta de um número Escrita Polinomial de um número é baseada na escrita aditiva e multiplicativa. A diferença básica é que números como 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, e assim por diante, são trocados por potências de 10. Potências de 10 a )100 1 h)107 10.000.000 b)101 10 i)108 100.000.000 c)10 2 100 j )109 1.000.000.000 d )103 1.000 k )1010 10.000.000.000 e)10 4 10.000 l )1011 100.000.000.000 f )105 100.000 m)1012 1.000.000.000.000.000 g )10 6 1.000.000 n)1013 10.000.000.000.000.000 Perceba que o expoente da potência de 10 determina a quantidade de zeros que aparecem nos números à direita. Exemplos: a)135 1 100 3 10 5 1 1 10 2 3 101 5 10 0 b)982 9 100 8 10 2 1 9 10 2 8 101 2 10 0 c)12.758 1 10.000 2 1.000 7 100 5 10 8 1 1 10 4 2 103 7 10 2 5 101 8 100 d )333.333 3 100.000 3 10.000 3 1.000 3 100 3 10 3 1 3 105 3 10 4 3 10 3 3 10 2 3 101 3 10 0 Os quatros primeiros exemplos acima mostram primeiramente a escrita aditiva e multiplicativa, e posteriormente a escrita polinomial. Quando o aluno possuir dúvidas é ACONSELHÁVEL que escreva todo o processo, assim o fará de forma correta. Os próximos exemplos mostram a escrita polinomial direta, sem a forma aditiva e multiplicativa. Tal situação somente é ACONSELHÁVEL para os alunos que dominam a técnica e sabem o que fazer: e)2.505.623 2 106 5 105 5 103 6 102 2 101 3100 f )17.526.358 1107 7 106 5 105 2 104 6 103 3 102 5 101 8 100 g )222.222.222 2 108 2 107 2 106 2 105 2 104 2 103 2 102 2 101 2 100 h)845.666.523.147 8 1011 4 1010 5 109 6 108 6 107 6 106 5 105 2 104 3103 1102 4 101 7 100 i)451.689.523.145.859 4 1014 5 1013 11012 6 1011 8 1010 9 109 5 108 2 107 3 106 1105 4 104 5 103 102 5 101 9 100 (OBSERVAÇÃO: os exercícios a seguir são referente a escrita polinomial. Faça primeiramente a escrita aditiva e multiplicativa. Posteriormente faça a escrita polinomial. Quando tiver dúvidas observe os exemplos ou exercícios resolvidos na apostila). Exercício: Determine a escrita polinomial em relação aos números do exercício anterior. Exercício: Determine a escrita polinomial dos números a seguir: a) 88 b) 145 c) 806 d) 859 e) 748 f) 1.253 g) 22.351 h) 15.856 i) 412.809 j) 888.888 k) 987.523 l) 1.452.585 m) 41.512.658 n) 487.956.123 o) 1.526.987.451 p) 45.526.123.859 q) 415.875.999.651 r) 33.415.873.853.459 s) 777.777.777.777.777 POTENCIAÇÃO Esta operação abaixo é chamada de potenciação: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 Neste caso o número 2 é a base, e o número 3 é o expoente, e o número 8 é a potência O expoente é o número de vezes que a base irá se repetir, a potência é o resultado. Observe estas potências: 52 = 5 . 5 = 25 → Cinco elevado à segunda potência. 43 = 4 . 4 . 4 = 64 → Quatro elevado a terceira potência. Propriedades da Potenciação * Toda potência de base 1 e expoente natural é igual a 1, ou seja sempre que a base for 1 a potência será igual a 1. Exemplos: 16 = 1 . 1. 1 . 1 . 1 . 1 = 1 14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 * Todo número natural não-nulo elevado à zero é igual a 1. Exemplo: 30 = 1 90 = 1 * Todo numero natural elevado a 1 é igual a ele mesmo. Exemplo: 41 = 4 . 1 = 4 61 = 6 . 1 = 6 81 = 8 . 1 = 8 * Toda potência de base 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do expoente. Exemplo: 103 = 10 . 10 . 10 = 1000 105 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100.000 Exemplos de cálculos de potências: Para determinarmos o cálculo de uma potência corretamente temos que efetuar a primeira multiplicação entre as duas primeiras bases. Com o resultado obtido iremos multiplicá-lo com a próxima base, e assim por diante. LEMBRE-SE: POTENCIAÇÃO não é conta de multiplicação normal. Utilizamos nossos conhecimentos de multiplicação para efetuarmos cálculos para a determinação do resultado da potência. 3 a) 2 2 2 2 8 (2 2 4 4 2 8) 3 b)10 10 10 10 1.000 (10 10 100 100 10 1.000) 4 c) 5 5 5 5 5 625 (5 5 25 25 5 125 125 5 625) 2 d ) 8 8 8 64 3 e) 6 6 6 6 216 (6 6 36 36 6 216) 5 f ) 2 2 2 2 2 2 32 (2 2 4 4 2 8 8 2 16 16 2 32) Outros EXEMPLOS PRÁTICOS: a) 30 = 1 b) 50 = 1 c) 20 = 1 d) 560 = 1 e) 51 = 5 f) 31 = 3 g) 52 = 5.5 = 25 h) 53 = 5.5.5 = 125 i) 54 = 5.5.5.5 = 625 j) 55 = 5.5.5.5.5= 3125 k) 32 = 9 l) 190 = 1 m) 191 = 19 n) 192 = 361 o) 01 = 0 p) 02 = 0.0 = 0 q) 03 = 0.0.0= 0 r) 04 = 0.0.0.0 = 0 s) 05 = 0.0.0.0.0 = 0 t) 1511 = 151 u) 17 = 1.1.1.1.1.1.1=1 Exercícios: 1) Escreva as multiplicações de fatores iguais em uma potência: a) 2×2×2×2= b) 10 ×10× 10× 10× 10× 10× 10 ×10 = c) 1x1x1x1x1x1x1x1x1= d) 10x10x10x10x10x10x10x10x10= e) 8x8x8x8x8= f) 15x15x15= g) 30x30= h) 14x14x14x14x14= i) 7x7x7x7= j) 35x35x35= k) 9x9x9x9x9x9x9= l) 13x13= m) 19x19x19x19x19= n) 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2= o) 11x11x11x11= p) 31x31x3x31= 2) Escreva cada potência como uma multiplicação de fatores iguais: 5 a) 2 3 b)11 4 c)10 3 d )9 7 e) 2 4 f )3 7 g) 4 6 h) 5 3 i) 7 2 j )12 2 k ) 30 1 l )14 3 m) 6 500 n)1 4 o) 5 7 p) 2 3) Determine o resultado das potências a seguir: 4 a) 2 0 i) 7 2 j )12 2 k ) 30 b)11 c )10 2 3 3 l )14 9 m) 6 5 n )1 4 o ) 25 d )9 e) 2 f )3 g)4 5 h) 5 2 4 50 2 2 p ) 32 4) Crie você 15 potências com números diferentes dos exercícios anteriores e calcule o resultado de cada uma. Expressões Numéricas com potências e as operações de adição e subtração. Para a resolução deste tipo de conta teremos que adotar o seguinte procedimento: - primeiramente efetuamos as contas de potências; - posteriormente efetuamos as contas de adição ou subtração, conforme o caso. Exemplos Resolvidos: 4 3 a ) 2 2 16 8 24 2 2 2 2 16 2 2 2 8 b)7 3 5 2 343 25 318 7 7 7 343 5 5 25 c)103 10 2 101 1.000 100 10 1.110 10 10 10 1.000 10 10 100 d )33 53 43 27 125 64 88 3 3 3 27 5 5 5 125 4 4 4 64 e)8 2 7 2 64 49 113 8 8 64 7 7 49 f )152 132 14 2 225 169 196 252 15 15 225 13 13 169 14 14 196 g )212 182 15 2 441 324 225 342 21 21 441 18 18 324 15 15 225 h)1100 180 148 1200 1 1 1 1 2 i)10 4 103 10 2 10 2 10.000 1.000 100 100 10.800 Exercício: Resolva as expressões numéricas a seguir: a ) 2 2 2 2 32 b)53 63 7 2 c)103 122 14 2 d )30 2 252 12 2 e)93 7 3 51 f )212 202 152 g )312 30 2 292 h)82 52 4 3 i)452 352 5 2 j )182 17 2 16 2 k )122 132 14 2 l )252 242 232 Exemplos Resolvidos similares ao da apostila: 1) Com os algarismos 2, 3 , 4 e 5, escreva todos os números de 3 dígitos distintos possíveis que começam com 2 e com 3: Começando com 2: 234, 235, 243, 245, 253, 254 Começando com 3: 324, 325, 342, 352, 345, 354 2) Com os algarismos 5, 6 , 7, 8 e 9, determine: a) o maior número de 04 algarismos distintos que conseguimos escrever: 9.876 b) o menor número de 04 algarismos distintos que conseguimos escrever: 5.678 3) Escreva todos os números possíveis de 02 dígitos distintos que conseguimos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e 4. 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. 4) Determine a soma entre o maior e menor número de 4 dígitos distintos que podemos escrever com os algarismos 5, 7, 6 e 3. Maior número: 7.653 Soma: 7.653 3.567 11.220 Menor número: 3.567 5) Calcule a diferença entre o maior e o número de 5 dígitos distintos que conseguimos escrever com os algarismo 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Maior número: 98.765 Diferença: 98.765 45.678 53.087 Menor número: 45.678 Exercícios 1) Com os algarismos 4, 5 e 7, escreva todos os números de 2 dígitos distintos. 2) Com os algarismos 4, 5 e 7, escreva todos os números de 3 dígitos distintos. 3) Com os algarismos 5, 6, 8 e 9, escreva todos os números pares de 2 dígitos distintos que podemos escrever. 4) Com os algarismo 2, 3, 4, 5 e 6, escreva o maior número de 4 dígitos distintos que podemos escrever. 5) Com os algarismo 2, 3, 4, 5 e 6, escreva o menor número de 4 dígitos distintos que podemos escrever. 6) Com os algarismo 2, 3, 4, 5 e 6, escreva o maior e o menor número de 5 dígitos distintos que podemos escrever. 7) Determine a soma entre o maior e o menor número de 3 dígitos distintos que podemos escrever com os algarismos 6, 7, 8 e 9. 8) Determine a soma entre o maior e o menor número de 5 dígitos distintos que podemos escrever com os algarismos 3, 4,6, 7, 8 e 9. 9) Determine a diferença entre o maior e o menor número de 3 dígitos distintos que podemos escrever com os algarismos 6, 7, 8 e 9. 10) Determine a diferença entre o maior e o menor número de 5 dígitos distintos que podemos escrever com os algarismos 3, 4,6, 7, 8 e 9. 11) Com base nos algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9, escreva: a) o maior número par de 4 algarismos distintos; b) o menor número par de 4 algarismos distintos; c) o maior e o menor número de 03 algarismos distintos; d) o maior e o menor número de 5 algarismos distintos; e) a soma entre o maior e o menor número de 6 dígitos distintos; f) a diferença entre o maior e o menor número de 4 dígitos distintos.
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