VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e da Educação
Curso de Licenciatura em Matemática
Rafael Sodré do Vale
O Ensino dos Números Relativos:
Atividades a partir da opinião de estudantes
BELÉM-PA
2009
1
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Rafael Sodré do Vale
O Ensino de Números Relativos:
Atividades a partir da opinião de estudantes
Trabalho de conclusão de curso apresentado
como requisito para obtenção do título de
Licenciado em Matemática, Universidade do
Estado do Pará. Orientador Prof. Dr. Pedro Franco
de Sá.
BELÉM – PA
2009
2
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
FICHA CATALOGRÁFICA
3
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Rafael Sodré do Vale
O Ensino de Números Relativos:
Atividades a partir da opinião de estudantes
Trabalho de conclusão de curso apresentado
como requisito para obtenção do título de
Licenciado em Matemática, Universidade do
Estado do Pará. Orientador Prof. Dr. Pedro Franco
de Sá.
Data da aprovação: 05/02/2009
Banca Examinadora
_______________________________ - Orientador
Prof. Pedro Franco de Sá
Doutor em Educação Matemática
UEPA – UNAMA
_____________________________________
Prof. Miguel Chaquiam
Mestre em Matemática
UEPA - UNAMA
_____________________________________
Prof. Rosineide de Sousa Jucá
Mestre em Educação
Universidade do Estado do Pará - UEPA
4
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5
Dedico este trabalho àquelas pessoas que, de uma forma ou
outra, foram fundamentais nesse processo. Minha família e, em
especial a minha mãe, pela compreensão, confiança e
estrutura constante não deixando que o desânimo me tomasse
conta e, é claro, ao meu filho RUAN que é a principal pessoa
em minha vida. Ele me fornece muita luz, amor e força para
passar pelos obstáculos.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
AGRADECIMENTOS
Agradeço a misericórdia de Deus, que me deu essa oportunidade de
estudar um curso que gostei bastante.
Agradeço a Universidade do Estado do Pará pela oportunidade
profissional.
Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, que, não
somente é um orientador excepcional, mas também um ser iluminado.
Agradeço a professora prof. M.Sc. Acylena Coelho pela motivação de
estudar e pela forma especial que ministrava as suas disciplinas contribuindo de
forma incomensurável em minha formação.
Agradeço a Prof. M.Sc. Eliane de Oliveira, por mostrar-me uma outra
visão sobre o estudo e ensino do curso de Matemática e a importância do
profissionalismo em nossa vida.
Agradeço aos amigos da turma que sempre me acolheram bem, mas em
especial a duas pessoas: ao Cássio Garcia que sempre me dava força dizendo que
eu não ia passar e, é claro, ao Mauricio Lima pela palavra amiga e o
companheirismo de sempre, um amigo muito especial, sobrinho do magnífico Rajoli
que respondi tudo só fechando os olhos.
Agradeço a uma amiga especial Tatiane Brito pelo apoio e as palavras
amigas em momentos difíceis.
6
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
RESUMO
VALE, R.S. O Ensino dos números relativos: Atividades a partir da opinião de estudantes. 2009.
110f. Trabalho de conclusão de curso (graduação) – Centro de Ciências Sociais e Educação,
Universidade do Estado do Pará. Belém, 2009.
Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo
analisar o processo de ensino-aprendizagem dos números relativos. A produção das
informações foi realizada por meio de uma consulta a 100 (cem) estudantes da 7°
série de duas escolas públicas estaduais de Belém, a consulta foi realizada por meio
da aplicação de um questionário contendo questões sobre dados pessoais, processo
de ensino-aprendizagem dos números relativos e questões sobre as operações com
os referidos números. Os resultados indicam que maioria dos alunos gostam um
pouco de matemática, são do sexo masculinho, têm 17 anos de idade, não estão em
dependência em matemática, recorrem a professores particulares, estudam somente
em vésperas de prova, estudaram números relativos em escolas públicas estaduais,
os seus professores ensinam o conteúdo de forma tradicional e utilizavam livros
didáticos para fixar o conteúdo. Como contribuição para a superação das
dificuldades apresentadas são propostas 35 atividades para o ensino do assunto.
Palavras-chaves: Educação, números inteiros, ensino e aprendizagem, atividades.
7
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
ABSTRACT
VALE, R.S. O Ensino dos números relativos: Atividades a partir da opinião de estudantes. 2009.
110f. Trabalho de conclusão de curso (graduação) – Centro de Ciências Sociais e Educação,
Universidade do Estado do Pará. Belém, 2009.
This paper presents the results of a survey that aimed to examine the process of
teaching and learning of the figures. The production of information was done through
a consultation with 100 (one hundred) students of the 7th series of two elementary
public schools in Belém, consultation was carried out by the application of a
questionnaire containing questions on personal data, the teaching - learning of
figures and issues on the operations with these numbers. The results indicate that
most students like a bit of mathematics, are the sex masculinho have 17 years of
age, are not dependent on mathematics, use of private teachers, students only on
the eve of evidence, studied figures in state public schools , their teachers teach the
traditional form and content of textbooks used to determine the content. As a
contribution to overcoming the difficulties presented are proposed 35 activities for
teaching the subject.
Keywords:Education, Whole numbers; teaching and learning; activities
8
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
9
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO
10
1.1. OBJETIVOS
12
1.1.1. Objetivo Geral
12
1.1.2. Objetivos Específicos
12
2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS RELATIVOS E A
COLABORAÇÃO DE ALGUNS MATEMÁTICOS.
13
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
25
4. RELATO DA PESQUISA
29
4.1. ANÁLISE DOS DADOS PESSOAIS
52
4.2. ANÁLISE DAS QUESTÕES PROPOSTAS
53
5. SUGESTÕES DE ATIVIDADES
63
6. CONCLUSÃO
102
REFERÊNCIAS
103
Apêndice A - Questionário de Pesquisa
105
Apêndice B – Classificação de dificuldade para aprender Números
Inteiros
108
Apêndice C – Cartas do baralho de números inteiros
109
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
1. INTRODUÇÃO
O ensino dos números relativos tem sido um alvo de muitas discussões e
reclamações por parte dos professores e alunos em qualquer etapa e nível escolar.
Os trabalhos referentes aos números relativos vêm se destacando, principalmente
os de caráter histórico – epistemológicos como os de: Glaeser (1981) e Baldino
(1996) e didático, sendo este último tem apresentado, pesquisas interessantes e
importantes no estudo dos números relativos, como os dos seguintes autores
Passoni (2002), Todesco (2006), Santos (2005), Zeni (2005) e Sá (2008), por
exemplo.
Inicialmente, serão discutidos alguns aspectos que influenciam na
aprendizagem dos alunos referente ao estudo dos números relativos com o auxilio
da história da evolução dos números relativos no decorrer do desenvolvimento da
humanidade. Nesse contexto, mostraremos que as mesmas dúvidas que aparecem
hoje no contato dos alunos com números relativos, já instigavam questionamentos e
discussões de célebres matemáticos como: D’ Alembert, Stieffel, Cauchy e outros.
Diante do exposto, torna-se relevante realizar um estudo que possa
investigar a compreensão dos alunos em relação ao estudo dos números relativos
referente ao que eles entendem, à exemplo, um estudo a cerca da famosa “regra de
sinais”, das operações próprias de números relativos e de seu significado em
diversos contextos
Após este período de investigação, apresentaremos algumas sugestões
de atividades com vista a facilitar o processo de ensino-aprendizagem dos alunos.
Daremos aqui um destaque especial para os jogos, uma vez que o jogo é um
recurso didático de ensino de caráter lúdico e representa uma valiosa ferramenta
no processo de ensino e aprendizagem dos alunos. Diversos autores como: Baldino
(1996), Zeni (2005) entre outros, levantam a eficácia deste tipo de atividade,
evidenciando as vantagens de utilizá-la em sala de aula.
10
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
11
Para Santos (2005), a questão dos jogos para o ensino de matemática
foca um segundo ponto de destaque bastante interessante, pois sua intervenção
pedagógica instiga o raciocínio lógico dos alunos, melhorando o conhecimento
lógico-matemático, o lúdico e a sistematização da estrutura matemática em seu
cognitivo.
“Os jogos podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes enfrentar desafios, lançar-se à busca de soluções, desenvolvimento da
crítica, da intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las
quando o resultado não é satisfatório - necessárias para aprendizagem da
Matemática.” (ZENI, 2005).
Este trabalho de números inteiros e o processo de ensino-aprendizagem
foi organizado da seguinte forma:
Na
secção
2,
apresentaremos
o
processo
de
aceitação
e
desenvolvimento dos números relativos através dos tempos entre as civilizações e a
colaborações de alguns matemáticos
no processo de superação de alguns
obstáculos epistemológicos.
Na secção 3, apresentaremos alguns autores que contribuíram no
processo de ensino e aprendizagem dos números relativos.
Na secção 4, apresentaremos os dados da pesquisa e os seus
respectivos resultados.
Na secção 5, apresentaremos algumas sugestões atividades como
contribuição no processo de ensino – aprendizagem dos alunos.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
1.1. OBJETIVOS
1.1.1. OBJETIVO GERAL
Identificar as dificuldades dos alunos em relacionar os números relativos
com situações do cotidiano visando à criação de uma alternativa de ensino que
facilite o processo de aprendizagens dos mesmos nas dificuldades diagnosticadas.
1.1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Verificar se os alunos conseguem relacionar os números relativos nas
suas práticas do cotidiano.
Observar que estratégias de resolução são utilizadas nas situações
problemas propostas.
Analisar a compreensão dos alunos no que se refere à regra de sinais e
às operações encontradas no estudo dos números relativos
12
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS RELATIVOS E A COLABORAÇÃO
DE ALGUNS MATEMÁTICOS.
Neste capitulo iremos abordar a aceitação e o desenvolvimento dos
números (inteiros) em determinados momentos históricos.
A origem dos números inteiros é incerta. Ela vem surgindo e se
desenvolvendo através dos tempos entre as civilizações.
No decorrer dos tempos a humanidade viveu com um tipo de contagem,
trabalhando apenas com um tipo de numeração que era o essencial para suprir suas
necessidades na época, onde essa numeração era o conjunto referente aos
números naturais. Porém, a partir do desenvolvimento da sociedade, a humanidade
evoluiu e a matemática, grande responsável por essa evolução, teve que adquirir
subsídios que justificassem algumas indagações que começaram a surgir entre os
matemáticos da época.
Segundo Passoni (2002), os matemáticos não admitiam a idéia de
valores negativos, as quais utilizamos hoje para representar uma série de situações
do nosso cotidiano como: representar temperaturas abaixo de zero, um saldo
devedor numa conta bancária e etc. Algumas grandes civilizações que contribuíram
para o desenvolvimento da matemática como: egípcios, babilônicos e gregos, não
levaram em conta a idéia de cálculos com obtenção de resultados com números
negativos, ou seja, menores que zero.
Por muito tempo, Passoni (2002) a diferença entre dois números (x-y), só
era definida em N, se x > y, mas, a humanidade evoluiu e a matemática, grande
responsável por essa evolução precisou também de subsídios que representassem
valores que estivessem na forma x – y quando x < y, resultando em um valor
negativo e, esses valores tivessem uma representação.
Para Jahn (apud TODESCO, 2006), na China antiga, os números inteiros
surgiram acerca de 2000 anos, onde eles utilizavam nas execuções de seus cálculos
barras de bambus em tabuleiros representando por cores os números, sendo o
número positivo representado pela cor vermelha e o número negativo pela cor preta,
13
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
14
respectivamente, onde, segundo Boyer (apud, PEREIRA et al, 2006), os chineses
não aceitava ainda a idéia de número negativo como solução de equação. Mas
coube aos hindus a introdução dos números negativos na matemática com o
objetivo de representar débitos.
A
aconteceu
aparição
dos
China
acerca
na
números
de
negativos
dois
milénios.
grande dificuldade de comunicação, em épocas
diversos
povos,
essa contribuição
na
matemática
Mas devido
remotas,
entre
a
os
em especial entre a China e o restante do mundo,
dos
chineses
influenciou
desenvolvimento da matemática no Ocidente,
pouco
o
(lEZZI, apud PEREIRA et
al, 2006).
Os
gregos
foram
grandes
pensadores
e
colaboradores
no
desenvolvimento da matemática, principalmente, a geometria, mas rejeitavam a
idéia dos números negativos, já que não conseguiam uma aplicação pratica para tais
valores em uma aplicação geométrica, sendo que eles não conseguiam adequar em
sua geometria (PASSONI, 2002).
Mais tarde outro relato sobre os números negativos, segundo Soares
(2008), o povo grego, tinha o objetivo de abreviar cálculos, uma vez que uma das
conseqüências foi desenvolvimento da regra do jogo dos sinais, pois, apesar de tais
regras não estarem claramente condicionadas as tentativas de abreviações, vendo
aparecer, mas tarde na obra de um dos grandes matemáticos , Diofanto de
Alexandria (FIGURA 1) ( 250 d. C), precursor da regra dos sinais, não fez qualquer
referencia aos números negativos. Sendo encontrando no seu livro I da “Aritmética”
fazendo alusão ao produto de duas diferenças, onde escreveu:
“O que esta em falta multiplicado pelo que esta em falta dá o que é positivo;
enquanto o que está em falta multiplicado pelo que é positivo, dá o que está
em falta”. (GLAESER, apud PASSONI, 2002).
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
15
FIGURA 1- Diofanto
Fonte:http://portalsaofrancisco.com.br/alfa/bibliotecaalexandria/imagens/nova-11.gif
Os primeiros registros que temos dos números negativos segundo Boyer
(apud, PEREIRA, 2006), foi do matemático e astrônomo hindu Brahmagupta (598-?),
conhecedor das regras para as quatros operações com números negativos,
apresentando a seguinte regra:
“[...] Uma divida subtraída de zero torna-se um bem, e um bem subtraído de
zero torna-se uma divida”. (GAUD e GUICHARD, apud, PEREIRA et al,
2006).
Um
matemático
hindu
de
nome
Báskara,
justificava
nas
suas
interpretações sobre números inteiros com a idéia de perda ou divida, visto que
como Brahmagupta a idéia dos números inteiros era objetivada em débitos.
Entretanto, os hindus eram intolerantes em aceitar que quantidades negativas
fossem escritas através de números (PASSONI, apud, PEREIRA, 2006).
Segundo Todesco (2006), os árabes dominaram militarmente algumas
etnias como os hindus promovendo um estreitamento cultural a partir de um
intercâmbio em seu vasto espaço, contando também com a península ibérica que foi
dominada militarmente por eles. Dessa troca cultural surgiu, por exemplo, o nosso
sistema de numeração incluindo os números negativos, vindo a ser assimilado e
denominado sistema de numeração indu-arábico, mesmo que tenha sido
desenvolvido pelos hindus. Entretanto os árabes não trouxeram nenhuma
contribuição para essa questão.
Para Boyer (apud, PEREIRA, 2006), foi somente a partir de meados do
século VII, os árabes continuadores e divulgadores da cultura matemática dos
hindus, Segundo Howard Eves (apud, PEREIRA, 2006), o processo de divulgação
provavelmente os símbolos (números) foram levados para Europa por comerciantes
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
16
e viajantes pela costa do Mediterrâneo, Contudo tais símbolos foram encontrados
num manuscrito espanhol do século X sendo possível que tenha sido introduzido na
Espanha pelos árabes que invadiram a península ibérica no ano de 711 d.C. Mas foi
uma tradução latina do tratado de Al-khowârizmî (descreveu de maneira completa o
sistema hindu num livro do ano de 825 d.C.) que foi produzida no século XII,
acompanhada de alguns trabalhos europeus sobre o assunto, o que fez com que o
sistema se disseminasse mais amplamente.
Por volta do século XIII, o italiano Leonardo de Pisa, conhecido como
Fibonacci, em uma obra sobre álgebra, interpretava um resultado negativo de um
problema como número, onde tal problema pedia o lucro de um comerciante. Sendo
que Fibonacci afirmou que “Este problema não tem solução, a menos que
interpretemos a divida como um número negativo” (PASSONI, apud, PEREIRA,
2006).
Fibonacci ressalta que: (c. 1170 - 1240), o maior matemático europeu da
Idade Média, nada inclui sobre os números negativos em sua mais
importante obra, Líber abaci (1202) em que se tratando de uma obra de
aritmética, álgebra e geométrica esse fato é realmente surpreendente. Já no
século XV o francês N. Chuquet (1445 - 1500) e no século XVI o alemão M.
Stifel (1486 - 1567) se referem a eles como números absurdos. O maior
matemático do século XVI, F. Viète (1540-1603) descartava completamente
os números negativos. ( lEZZI, apud PEREIRA et al, 2006).
Aos poucos os números inteiros foram aceitos como número até que, em 1659
(século XVII), onde as letras foram usadas pela primeira vez para representar tanto
os números negativos quanto os números negativos.
Segundo
Passoni
(2002),
a
grande
influência
dos
árabes
no
desenvolvimento da matemática na Europa contribui para o retardamento da
aceitação dos números negativos no ocidente, assim os números negativos foram
deixados de lado, ou seja, foram evitados pelos matemáticos até por volta do século
XVIII.
O conhecimento matemático na Europa estava estagnado e em baixa, ou
seja, sem muitas descobertas e inovações, desde a antiguidade. Porém monges
copistas que se encontravam na época eram os únicos instruídos, pois copiavam e
estudavam obras matemáticas. Mas foi a partir da criação dos primeiros centros de
ensino e das universidades européias nos séculos XVII e século XVIII tais como
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
17
Bolonha e Oxford, Paris e outras, a matemática começou a ser desenvolver como,
por exemplo, a descoberta do zero valendo como uma invenção genial, que de
acordo com a regra do jogo de sinais determinava os números positivos e números
relativos e a eles a atribuição de seu oposto em relação ao zero, outra idéia é que o
zero indicava ausência representando um avanço a outras épocas e povos,
ganhando um status de número pelos hindus. Outra contribuição do zero foi no
desenvolvimento da álgebra moderna e outros ramos da matemática e em outras
ciências modernas (PASSONI, apud, PEREIRA, 2006).
A álgebra não teria conhecido tal avanço se esta generalização do
número
não
tivesse
sido
acompanhada
por
uma
descoberta
igualmente
fundamental, realizada em 1591 por François Viète e aperfeiçoada em 1637 por
René Descartes, (IFRAH, apud PEREIRA et al, 2006)
Para Todesco (2006), em pleno período do renascimento os matemáticos
detinham o domínio de técnicas e de resoluções de equações algébricas, mas
ficavam embaraçados quando em suas resoluções se deparavam com raízes
negativas devido a idéia de número negativo ainda não esta formalizada. Mas o que
veio a fortalecer a necessidade da formação de outro número foi o desenvolvimento
de outras ciências já que os numerais usados na época não atendiam mais suas
necessidades na sua plenitude.
Mas o marco das representações dos nossos sinais (+) e (-), começaram
a ser usados inicialmente nos armazéns para indicar excessos e faltas. Esse período
foi marcado pelo desenvolvimento das relações comerciais entre os povos, onde
nessa relação a matemática foi de vital importância, pois esta permitia as
comerciantes efetuar contas com precisão e rapidez. (TODESCO, apud, PEREIRA,
2006).
Os símbolos + e – são atribuídos a um outro matemático alemão,
Widman, em 1489, publicou um livro de aritmética, utilizando pela primeira vez tal
representação. (TODESCO, 2006).
É nesse contexto que a matemática começou a ser desenvolver, pois ela
seguia o mesmo desenvolvimento do comércio já que ambos estão diretamente
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
ligados. Dessa prática comerciaria que começou a se representar sinais nas
operações matemáticas.
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão
com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia
o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não
se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão. Mas se ele resolvesse despejar
no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados
(semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia
2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial (ORIGEM DOS NÚMEROS
INTEIROS, 2008).
Segundo Todesco (2006), na época os matemáticos gostaram tanto da
solução encontrada pelos comerciantes usarem números com sinais, que
começaram a utilizá-los mais em diversas soluções de problemas.
No desenvolvimento da matemática, em relação aos números inteiros,
muitos matemáticos se confrontam com problemas, onde uns aceitavam e outros
não aceitavam soluções com números negativos, vejamos alguns celebres
matemáticos.
O matemático francês Nicolás Chuquet (FIGURA 2) considerava possíveis
raízes negativas para solução de
equações quadráticas, sendo que no
Renascimento que apareceu um número negativo ligado à uma equação algébrica,
na sua obra "Triparty", escrita em 1484, que poderíamos dizer hoje 4x = -2 . Sendo
que não existia os símbolos "x", "=", "-". (TALAVERA, 2003).
FIGURA 2- Nicolás Chuquet
Fonte:http://www.malhatlantica.pt/mathis/Europa/tamblyon2.jpg
18
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
No século XVI, o grande matemático Stieffel (FIGURA 3) considerava os
números negativos como “números absurdos”, ou seja, números de difícil
compreensão, onde a principal consideração do estudo do número negativo esta
relacionada à idéia de débito. (TODESCO, apud ARAÚJO, 2006).
FIGURA 03- Stieffel
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&ndsp=20&hl
=ptBR&q=matematico+stieffel&start=40&sa=N
Em relação ao matemático Cardano (FIGURA 4) no século XVI havia a
aceitação dos negativos como solução de raízes de equações, sendo que Cardano
os denominava de números falsos em oposição aos positivos que considerado como
o verdadeiro(TODESCO, apud ARAÚJO, 2006).
FIGURA 04- Cardano
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=
matematico+cardano&btnG=Pesquisar+imagens
Tartaglia (FIGURA 5) relatava os números negativos de "termo chamado
menos". Já o Tycho Brahe (astrónomo) chamava-os de "privativos". Napier em
19
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
meados do século XVI chamava os positivos de "abundantes" e os negativos de
"defectivi. (TODESCO, apud ARAÚJO, 2006).
FIGURA 05-Tartáglia
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=
matematico+tartaglia&btnG=Pesquisar+imagens
Descartes(FIGURA 6) no séc.XVII classificava os negativos de " números
ficticios". Foi Descartes quem pela primeira vez associou os negativos a números
"menores do que nada”.
FIGURA 06- Descartes
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=
matematico+descartes&btnG=Pesquisar+imagens
O francês Descartes (séc. XVI) não achava que os negativos
fossem números verdadeiros. Assim, inventou sistema de localização de
pontos no plano (o que hoje chamamos de eixo cartesiano), mas,em seu
sistema, os eixos de referencia tinham apena números positivos,
diferentemente de hoje.Naquela época, as pessoas não acreditavam que
algo poderia ser menor do que nada e, por isso, achavam que não faziam
sentido os números que indicavam quantidades menores do que
nada.(TODESCO, 2006).
20
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Para Glaeser (1981), D’Alembert (figura 07) no final do século XVIII, um
dos textos mais reveladores das questões que apareciam sobre os números
negativos, é certamente, o artigo “Artigo Negativo”, que D’ Alembert escreveu para a
enciclopédia Diderot. Neste artigo, percebeu-se a dificuldade na assimilação dos
números relativos: “Dizer que as quantidades negativas estão abaixo do nada, é
afirmar uma coisa que não se pode cancelar”.
FIGURA 07-D’Alembert
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=
matematico+d%27+alembert&btnG=Pesquisar+imagens
Laplace (FIGURA 8), professor da Escola normal, Laplace também
demonstrava o mesmo embaraço de seu antecessores. Chegando a declarar que “a
regra de sinais é um assunto que levantaria dificuldades, principalmente em se
tratando do produto (-) x (-)”. Não evoluiu nestas questões (GLAESER, 1981).
FIGURA 08 - Laplace
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=
matematico+laplace&btnG=Pesquisar+imagens
August Cauchy (FIGURA 9), foi o responsável pelo ínicio de uma
confusão entre (+ e -) operatórios e predicativos.
21
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Figura 09 - Cauchy
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&
q=matematico+cauchy&btnG=Pesquisar+imagens
Após a infrutífera de que quantidades negativas são grandezas que
diminuem representadas por um número precedidas pelo sinal (-), Cauchy adota um
novo ponto de vista, apresentando a multiplicação de um modo formal (GLAESER,
1981).
Segundo Glaeser (1981), é atribuido a Herman Hankel (FIGURA 10) a
resolução de todas as questões referentes aos números relativos. Interessante é
notar que este passo tão importante para a matemática ocorreu “ao acaso”.
FIGURA 10 - Hankel
Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=
matematico+hankel&btnG=Pesquisar+imagens
Isto porque porque a solução a solução foi dada mediante o livro “Teoria
dos sistemas complexos”, que tinha o propósito de definir a teoria sobre números
complexos e foi apenas de passagem, em algumas de suas demonstrações, que
Hankel desvendou por completo todas as dúvidas que pairavam sobre os números
relativos (GLAESER, 1981).
22
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
23
Hankel não buscou a justificativa dos numeros negativos em situações
reais “expliquem” seu comportamento, mas em leis formais, concretamente no
“princípio da permanência” que teria sido introduzido por George Peacock (1791 1858), alguns anos antes, afim de fundamentar as operações com expressões
literais e o estudo da Álgebra (GONZÁLES, apud PASSONI, 2002).
Hankel, retomando a iniciativa de Peacock, formulou o princípio de
permanência das leis formais que estabelece o critério geral de algumas ampliações
do conceito de número.
Segundo Gonzales (apud PASSONI, 2002) :

A palavra número responderá a símbolos ou agregados de símbolos
que não representam necessariamente números do campo númerico
previamante dado ou conhecido, posto que seu significado possa ser
qualquer.

Definir-se-ão para o novo campo númerico as operações fundamentais
da Aritmética (Adição e Multiplicação) e o conceito de igualdade, de
maneira que se conservem as definições no campo menos amplo, como
no caso particular das novas definições, e que subsistam as leis formais
de uniformidade, associativa, comutativa, distributiva e conservação do
elemento neutro.
A partir desse momento, os negativos foram completamente admitidos e
ocuparam um lugar reconhecido dentro da Matemática; não obstante, careciam de
uma definição rigorosa e explícita. Até então eram apenas símbolos, com os quais
se operava seguindo determinadas leis (GONZÁLES, apud PASSONI, 2002).
Observamos que no decorrer do estudo e do desenvolvimento dos
números relativos, os matemáticos avançaram no sentido
de aceitarem esse
número e na compreensão de algumas lacunas que esse número gerava entre os
matemáticos. Como podemos observar no quadro abaixo:
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
24
OBSTACULOS
Alguns
matemáticos
1
2
3
4
5
6
Diofante
I
Descartes
+
?
I
?
Euler
+
+
+
?
+
+
D’ Alembert
+
-
I
I
I
I
Laplace
+
+
+
?
I
?
Cauchy
+
+
I
I
+
?
Hankel
+
+
+
+
+
+
QUADRO 1- Obstáculos epistemologicos de matemáticos em números relativos.
Fonte: Oliveira Junior et al.
I: Obstáculo não – assimilado.
?: Obstáculo cuja situação é indefinida, por falta de informações
suficientes nos textos pesquisados.
+: Obstáculo ultrapassado.
- : Obstáculo não ultrapassado, apesar de pesquisado pelo autor.
Portanto, uma vez que, a partir do estudo de Cauchy sobre os números
relativos, este desperta o interesse de Herman Hankel , que foi quem finalmente
desvendou toda a questão em torno dos números negativos, como por exemplo, a
formalização da regra dos sinais. A partir da compreensão dessas lacunas o estudo
dos números relativos teve uma grande evolução, uma vez que esse número,
começou a ser usado como um advento em outras áreas da matemática e de outras
ciências.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
25
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O estudo do processo de aprendizagem dos alunos decorrente da
análise realizada neste trabalho fundamenta-se em algumas vertentes que tentam
exemplificar algumas discussões referentes ao processo de ensino e aprendizagem.
A natureza desse estudo envolve toda uma análise do conteúdo de
números relativos em seu caráter abstrativo e operatório. A aprendizagem operatória
dos números inteiros pressupõe que o aluno compreenda o significado e domine, de
forma gradual, as propriedades que regem esses números.
Como observamos na perspectiva histórica e na evolução da humanidade
os números inteiros encontraram uma série de dificuldades e obstáculos em sua
aceitação, devido as suas características não comuns ao nosso dia-dia, e no
seguimento de nossas vidas acadêmicas e até na vida social, pois não encontramos
de forma explícita em nossas necessidades do cotidiano.
Segundo Piaget (apud, REIS et al, 2006) desde a formação, observamos
que o conjunto dos números naturais, representado pela letra N, é o conjunto
numérico mais utilizado em nossas necessidades do dia-a-dia. Utilizamos esses
números para enumerar uma certa coleção de objetos, animais, pessoas e etc. Daí
nossa mente sempre realizar interconexões com ações que produzimos com esses
números em nosso cotidiano, visto que esse é o primeiro número que nos é
apresentado e que estudamos por cerca de 5 anos em nossa formação acadêmica.
A partir disso, todas as relações que construímos está estreitamente relacionada aos
números
naturais,
como
por
exemplo,
ordenação
composição,
fazer
correspondências e de pensar.
Mas segundo Piaget ( apud, CASTRO et al, 2006) não podemos descartar
que até antes do nível de 6° serie, os alunos espontaneamente podem ter realizado
operações inerentes aos números inteiros em jogos de diversão de perda e ganho e
etc.
Nesse processo de construção do conceito desse conjunto se supõe que
devemos dominar em diferentes níveis de compreensão, desde o simples
reconhecimento até as tematizações que esse número constrói referente, claro, ao
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
sistema de numeração que esse número está incluso na forma de elemento. Assim,
temos a necessidades de compreender a linguagem que se é aplicada nesse
contexto, assim como as propriedades subjacentes às operações de adição,
multiplicação, divisão e potenciação.
A partir do estudo na 6° série, os números naturais não são mais
suficientes para os estudos de alguns conteúdos matemáticos, daí o advento da
apresentação de um conjunto que do ponto de vista matemático é uma ampliação
dos números naturais, com suas propriedades e seu rigor matemático.
Para Piaget (apud CASTRO et al, 2006), menciona que os números
inteiros são números que apresentam uma estrutura matemática de difícil
compreensão e uma complexidade alta, uma vez que não há muitas opções de se
fazer relações de alguns desses números com a realidade vivenciada pelos alunos,
gerando grandes dificuldades entres os alunos.
Segundo Glaeser (apud CASTRO et al, 2006), a construção formal dos
números inteiros sofreu substancialmente uma evolução a partir das transformações
da humanidade para atender suas necessidades, sendo que no século XIX, Hankel
deixou de extrair situações do plano real para explicar os números relativos,
propondo uma explicação formal para o mesmo. E segundo Bachelard (apud,
CASTRO et al, 2006), o desenvolvimento dos números inteiros no decorrer de seu
percurso teve uma série de paradoxos e confrontos, onde este identifica vários
obstáculos de natureza epistemológica devido à má adaptação desses números.
Para Glaeser, (apud CASTRO et al, 2006) enumera esses obstáculos da
seguinte ordem: (1) Inaptidão para manipular quantidades isoladas; (2)dificuldades
em dar um sentido a quantidades negativas isoladas; (3)dificuldades em unificar a
reta numérica manifestada pela diferenciação qualitativa entre quantidades positivas
e negativas, pela concepção da reta como mera justa posição de duas semi-retas
opostas, ou ainda por desconsideração do caráter simultaneamente dinâmico e
estático dos números; (4) ambiguidade dos dois zeros: Zero absoluto e Zero como
origem; (5) dificuldades de afastar-se de um sentido "concreto" atribuído aos seres
numéricos: fixação no estágio das operações concretas por oposição ao formal; (6)
26
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
27
desejo de um modelo unificador: utilização de um modelo aditivo para o campo
multiplicativo, ao qual não se aplica.
É fácil perceber o quão dificil é para os alunos da 6º série do ensino
fundamental o trabalho com os números inteiro, uma vez que, além de entender e
aceitar as propriedades desses números relacionadas às operações, é necessário
fazer conexões com situações cotidianas.
Uma pertubação que os alunos se deparam na introdução do estudo de
números relativos é aquela famosa situação (x-y), com y>x, gerando resultados até
em então inexistentes na vivencia dos alunos , mostrando que as operações se
delinhiam , a partir da geração de um novo conteúdo, satisfazendo a necessidade
que vão se apresentando. Uma vez que , a partir dessa situação observaremos a
introdução de uma nova categoria de número o “número negativo”, com suas
peculiaridade e propriedade.
Assim,
observaremos
que
os
números
inteiros
vão
surgindo,
apresentando abstrações e generalizações, uma vez que na medida que o aluno
tem o contato com número negativo,vai descobrindo que este será sempre menor
que um número positivo, com um ponto em comum suas origens. Com isso há uma
necessidades de ampliarmos esse estudo, já que o zero (origem) utilizado nos
números naturais representa a idéia de “ausencia” de quantidade já nos números
inteiros essa origem (marco zero), representará uma nova concepção, consistindo
em um isolamento por oposição entre números positivos e negativos, integrando-os
em um sistema no qual essa oposição determinará regras. Segundo Skemp (apud
CASTRO et al, 2006), essa junção entre positivos e negativos resulta num novo
sistema o “sistema dos inteiros”, que ao passo representará um novo significado ao
número, quebrando a idéia que o número consiste em apenas uma representação
de uma contagem, dando agora valores reversiveis ao número quanto à sua
natureza do sinal.
Entretanto, na construção desse novo conjunto númerico,
os valores
absolutos dos números (positivos e negativos) permaneceram o mesmo,
caracterizando como inteiro a posição que ele ocupa em relação a origem na reta
númerica.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Posteriormente, apresentaremos as propriedades desse novo sistema,
observando as operações realizas com seus elementos e, os seus novos significado
e simbolos em diversas situações do cotidiano. Uma vez que nos números naturais
foi verificado que a ideia da operação de adição indica somente o ato de acrescentar
algo. No entanto, no campo dos números inteiros a operação de adição representa
uma ampliação dos naturais, já que indicará casos que podemos obter um
acréscimo, outros casos devemos diminuir, bem como resultados que resultarão em
zero (NETO, apud CASTRO, 2006).
O caso da operação de multiplicação deve ser observado com bastante
atenção, pois no sistema dos inteiros a operação multiplicativa indica significados e
resultados diferentes. Nos números naturais, a operação multiplicativa representa a
ideia de um conjunto que se repete, ou seja, uma adição de parcelas iguais (Ex:. 5 x
3= 5 + 5 + 5).
Em se tratando do conjunto dos números inteiros, essa operação se
mostrará bem mais complexa, uma vez que além da adição propriamente dita, os
sinais desses números e seus significados também poderão trazer grandes
dificuldades.
“[...] um ganho será representado por um número positivo e a perda por um
número negativo. Igualmente, o tempo no futuro será representado por um
número positivo e no passado por um número negativo. Se perde 5 dólares
por dia, então daqui a 3 dias terá perdido 15 dólares... (-5) . (+3) = -15 ...se
perde 5 dólares por dia, então há 3 dias atrás estava 15 dólares mais
rico...(-5)(-3) = +15”. (LIMA, apud ANGELO, 2008).
Segundo Baldino (apud CASTRO et al, 2006), as dificuldades e
obstáculos encontradas pelos alunos atualmente, eram as mesmas dos pensadores
matemáticas na antiguidade, ou seja, em outros termos observarmos que as
dificuldades e erros cometidos na aprendizagem dos números inteiros esta ligado a
esses obstáculos.Porém dos obstáculos colocado por Glaeser apenas alguns deles
são vistos como obstáculos de relevância como: Dificuldades em unificar a reta
numérica manifestada pela diferenciação qualitativa entre quantidades positivas e
negativas, pela concepção da reta como mera justa posição de duas semi-retas
opostas, ou ainda por desconsideração do caráter simultaneamente dinâmico e
estático dos números; Ambiguidade dos dois zeros: Zero absoluto e Zero como
28
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
origem; Dificuldades de afastar-se de um sentido "concreto" atribuído aos seres
numéricos: fixação no estágio das operações concretas por oposição ao formal;
desejo de um modelo unificador: utilização de um modelo aditivo para o campo
multiplicativo, ao qual não se aplica, são as principais fontes dos erros dos alunos.
Mas Brousseau coloca que outros obstaculos a ser analisado, como obstaculos de
cunho didatico no estudo dos números inteiros.
Entretanto, Baldino (apud CASTRO et al, 2006), coloca que uma
importante alternativa metodológica para que os alunos possam entender os
números inteiros, os jogos, esse instrumento de ensino se torna uma alternativa
muito interessante ,pois constroi de forma sistematico o conceito dos números
inteiros e minima os obstaculos que os alunos possuem no estudo dos numeros
inteiros.
É partindo da importancia dos numeros inteiros que decidimos fazer um
estudo sistematico verificado as dificuldades e obstáculos que os alunos possuem,
sugerindo alternativas de ensino que possam contribuir em sua aprendizagem.
4. RELATO DA PESQUISA: ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS OBTIDOS
A pesquisa tem como finalidade investigarmos o nível de conhecimento
dos alunos acerca do conhecimento de números inteiros relativos, onde houve a
necessidade de aplicarmos um protocolo de pesquisa (apêndice A) que contém
dados de caráter pessoais e questões relacionadas ao conteúdo de números inteiros
relativos.
É importante ressaltarmos que a pesquisa foi realizada num período
que coincidiu com o processo avaliativo dos alunos, sendo que a maioria destes não
se comprometeu em preencher os campos e resolver as situações propostas, já que
a pesquisa não representaria nenhum um acréscimo quantitativo, não influenciando
em suas avaliações (idéia de ganhar ponto). Por conta disso, alguns alunos se
recusaram a preencher e fazer as questões do protocolo e, outros, mostraram
desinteresse em desenvolver o trabalho, daí se inviável verificarmos algumas das
29
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
principais dificuldades que eles apresentam no estudo dos números inteiros
relativos.
Na realização da pesquisa verificamos que a maioria dos alunos está
em defasagem em relação à idéia posicional de idade-série, sendo que 70% dos
alunos estão com idade superior para cursarem a 7° serie do ensino fundamental, e
que 17% destes já ficaram em dependência em matemática.
Observamos que 56% dos alunos classificaram que gostam de matemática
pelo menos um pouco, porém verificaremos mais adiante que nos protocolos de
questões essa afirmativa se torna uma contradição. É importante também
ressaltarmos que a maioria das famílias (pai e mãe) desses alunos possui apenas o
ensino básico, precisamente o ensino médio incompleto, e exercem profissões
como: pedreiro, doméstica, faxineira, pintor e etc.
Os dados obtidos na sondagem com os alunos se desenvolveram em sala
de aula com a supervisão do professor. Os protocolos foram aplicados em duas
escolas públicas estaduais da região metropolitana de Belém, localizado nos
conjuntos Promorar e Marex em turmas da 7° série do ensino fundamental dos
turnos da manhã e da tarde.
A escolha da 7º série do ensino fundamental para a aplicação dos
protocolos foi motivada pelo fato de que todos esses alunos já terem tido contato
com o conjunto dos números inteiros relativos.
Neste momento apresentamos as tabelas e gráficos com os principais
resultados obtidos.
Com relação às idades dos alunos verificamos que a idade
predominante no grupo de estudo é de 17 anos seguido dos alunos com 16 anos
(TABELA 1).
30
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
31
TABELA 1- Idades dos alunos pesquisados
Idade
Nº de Alunos
12
14
13
15
14
16
15
17
16
18
17
20
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
Idade dos alunos
Idade
12
14%
Idade
17
20%
Idade
13
15%
Idade
16
18%
Idade
15
17%
GRAFICO 01: Idade dos alunos pesquisados
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
Idade
14
16%
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
TABELA 2- Sexo dos alunos pesquisados
Sexo
Nº de Alunos
Masculino
56
Feminino
44
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 02: Sexo dos alunos pesquisados
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
Foi verificado que a maioria dos alunos (56%) pertencia ao sexo
masculino e, com percentual menor de 44%, ao sexo oposto.
32
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
33
TABELA 3- gosto dos alunos entrevistados pela matemática
Você gosta de matemática
N° de alunos
Nenhum pouco
9
Muito pouco
13
Um pouco
56
Muito
22
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 3: Gosto dos alunos entrevistados pela matemática.
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
Observamos nesse gráfico que a maioria gosta um pouco de Matemática,
fato este incomum, pois a maioria dos alunos não gostam de matemática devido sua
abstração e os cálculos que ela apresenta.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
34
TABELA 4- Você está em dependência em matemática?
Você está em dependência em Matemática?
N° de Alunos
Sim
17
Não
83
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 4: Você está em dependência em Matemática?
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
Observamos (GRÁFICO 4) outro fator importante é que a maioria dos
alunos entrevistados não estarem em dependência, já que a disciplina de
matemática é a que mais favorece para o aumento do número de repetência e
evasão nas escolas.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
35
TABELA 5 - Período que os alunos costumam estudar fora da escola
Você costuma estudar matemática. Fora da escola
N° de alunos
Só no período de prova
30
Só no fim de semana
26
Todo dia
8
Só na véspera da prova
36
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
GRAFICO 5: Período que os alunos entrevistados estudam
matemática.
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
No (GRÁFICO 5) é mostrada uma realidade no processo educacional dos
alunos que a grande maioria estuda somente em vésperas ou em semanas de
prova.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
36
TABELA 6 - Quem ajudava os alunos entrevistados no estudo de números inteiros
Quem lhe ajudava nas tarefas de matemática na 6° série?
N° de alunos
Professor particular
27
Pai
6
Mãe
23
Irmão
15
Amigo
11
Outros
18
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 6: Quem lhe ajudava nas tarefas de matemática na 6° série?
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
Esse gráfico mostra a participação ativa e abrangente de profissionais no
aprendizado dos alunos, uma vez que a maioria dos pais desses alunos não tem de
uma participação ativa nos estudos de seus filhos devidos fatores como trabalho, por
exemplo.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
37
TABELA 7 - Você costuma fazer compras?
Você costuma fazer compras?
N° de
alunos
Sim
47
Não
5
Às vezes
48
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 7: Você costuma fazer compras?
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
No GRÁFICO 7, que quase todos os alunos entrevistados, realizam a
pratica de fazer compras constantemente nas suas vidas diárias.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
38
TABELA 8 - Em que tipo de escola os alunos entrevistados estudaram números relativos.
Em que tipo de escola você estudou os números relativos
N° de alunos
Pública Estadual
77
Pública Municipal
13
Pública Federal
2
Privada
3
Outro
5
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
GRAFICO 8: Em que tipo de escola os alunos entrevistados estudaram
números relativos.
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
O GRÁFICO 8 mostra que a maioria dos alunos teve o primeiro contato
com os números inteiros nas unidades da rede pública.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
39
TABELA 9 - Quando você estudou números inteiros relativos a maioria das aulas foi:
Quando você estudou números inteiros relativos a maioria das aulas foi:
Nº de alunos
Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios
69
Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto
18
Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
11
Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
2
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 9- Como os professores ensinam números inteiros.
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
Esse gráfico indica de que a maioria dos alunos entrevistados estudou
esse assunto da maneira tradicional de ensino.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
40
TABELA 10 - Para fixar o conteúdo estudado de Números Inteiros Relativos o seu professor:
Para fixar o conteúdo estudado de Números Inteiros Relativos o seu professor
Nº de alunos
Apresentava jogos envolvendo o assunto
8
Mandava resolver os exercícios do livro didática
78
Não propunha questões de fixação
4
Mandava que você procurasse questões sobre o assunto para resolver
9
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 10: Como os professores exercitam os conteúdos de números relativos.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
O GRÁFICO 10 reafirma o que foi colocado no GRÁFICO 9, que o
assunto de números relativos foi ensinado e conseqüente fixado através de
exercícios dos seus livros didáticos, reafirmando a forma tradicional de ensino.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
41
Tópicos do conteúdo de números inteiros relativos:
TABELA 11 - Idéia de número inteiro Relativos
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
17
Fácil
25
Regular
49
Difícil
13
Muito difícil
2
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 11: Idéia de número inteiro Relativos.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
Nesse gráfico (GRÁFICO 11), os alunos entrevistados classificaram como
fácil a idéia de números relativos.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
42
TABELA 12 - Adição de mesmo Sinal.
Grau de dificuldade para aprender
N° de
alunos
Muito fácil
30
Fácil
42
Regular
24
Difícil
4
Muito difícil
0
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 12: Adição de mesmo Sinal.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.
No GRÁFICO 12 mostra que os alunos entrevistados, sua maioria,
classificam o estudo da adição de mesmo sinal como fácil.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
43
TABELA 13 - Adição de Sinais Diferente.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
22
Fácil
40
Regular
29
Difícil
8
Muito difícil
1
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 13: Adição de Sinais Diferente.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
O GRÁFICO 13 reforça a classificação dos alunos entrevistados sobre o
estudo da adição dos números inteiros, visto pela maioria como fácil.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
44
TABELA 14 - Multiplicação de mesmo Sinal.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
27
Fácil
33
Regular
30
Difícil
9
Muito difícil
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
1
GRAFICO 14: Multiplicação de mesmo Sinal.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
A análise observada no GRÁFICO 14 constata que os alunos
entrevistados têm certa dificuldade com a operação de multiplicação sendo que
entre 27% e 33% classificam de fácil a regular.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
45
TABELA 15 - Multiplicação de Sinais diferente.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
11
Fácil
32
Regular
46
Difícil
7
Muito difícil
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
4
GRAFICO 15: Multiplicação de Sinais diferente.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.
No GRÁFICO 15, observamos que a multiplicação com sinais distintos
eleva o nível de dificuldade dos alunos entrevistados, devido, principalmente, a
presença do jogo da regras de sinais.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
46
TABELA 16 - Divisão de mesmo Sinal.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
9
Fácil
35
Regular
42
Difícil
11
Muito difícil
3
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
GRAFICO 16: Divisão de mesmo Sinal.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
No GRÁFICO 16, a maioria dos alunos entrevistados classifica como
regular o nível de dificuldade no estudo da divisão, podendo ser justificada, a partir
da analogia que há no estudo da regra do jogo de sinais, com a operação de
multiplicação.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
47
TABELA 17 - Divisão de Sinais diferente.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
10
Fácil
20
Regular
49
Difícil
19
Muito difícil
2
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 17: Divisão de Sinais diferente.
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
De acordo com o GRÁFICO 17, os alunos têm uma dificuldade
significativa nesse estudo em relação com a operação de adição devido à regra dos
sinais.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
48
TABELA 18 - Potenciação com expoente positivo par.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
10
Fácil
24
Regular
35
Difícil
24
Muito difícil
7
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
GRAFICO 18- Potenciação com expoente positivo par.
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
Um número relativamente pequeno de alunos classificou como fácil essa
operação, visto que nessa operação será utilizada a operação de multiplicação e sua
regra no jogo se sinais.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
49
TABELA 19 - Potenciação com expoente positivo ímpar.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
11
Fácil
21
Regular
44
Difícil
16
Muito difícil
8
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 19: Potenciação com expoente positivo impar.
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
Nesse gráfico (GRÁFICO 19), observamos o contrario do que foi analisado
no GRÁFICO 18, de que a potenciação representa uma operação de grande
dificuldade.
TABELA 20 - Potenciação com expoente negativo.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
50
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
8
Fácil
21
Regular
43
Difícil
21
Muito difícil
7
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
GRAFICO 20: Potenciação com expoente negativo.
Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.
Nesse gráfico (GRÁFICO 20) há uma oposição interessante, já que os
alunos entrevistados classificam com mesmo valor a potenciação de expoente
negativo como fácil e difícil.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
51
TABELA 21 - Situações Problemas com Números Inteiros Relativo.
Grau de dificuldade para aprender
N° de alunos
Muito fácil
9
Fácil
10
Regular
36
Difícil
27
Muito difícil
18
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
GRAFICO 21: Situações Problemas com Números Inteiros Relativo
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
O GRÁFICO 21 representa uma situação que gera uma serie de
pesquisa, que é o estudo de números inteiros a partir de uma situação-problema,
uma vez que os alunos têm muitas dificuldades quando os estudos são
apresentados dessa forma.
Os resultados obtidos referentes aos tópicos dos conteúdos de números
relativos podem ser vistos de forma quantitativa em APÊNDICE B.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
52
4.1. ANÁLISE DOS DADOS PESSOAIS.
Os dados das tabelas e gráficos supracitados, observamos que os
sujeitos da pesquisa estudaram números relativos em escolas publicas, sendo que
69% dos alunos colocaram que seus professores utilizavam na maioria das vezes
uma metodologia
para ensinar números inteiros na forma tradicional (definição-
exemplos e exercícios ) e aplicando exercícios dos livros didáticos como completo e
fixação do conteúdo.
Em
relação
a
isso
observaremos
que
os
alunos
se
sentem
desestimulados e com uma série de dificuldades, pois dessa maneira de ensino os
alunos ficam apenas como expectadores, já que os professores não utilizam
alternativas que desenvolvam o cognitivo e o lúdico essencial no estudo dos
números inteiros relativos, visto que esse conteúdo é muito abstrato, isolado e de
difícil compreensão entre eles. Com isso, a maioria dos alunos entrevistados recorre
a professores particulares, que muitas vezes se torna uma ação inválida, já que
esses profissionais se preocupam mais com o processo de fixação dos alunos, a
partir de resoluções de exercícios.
Com esses fatores os alunos ficam sem vontade de estudar gerando um
grave problema em suas vidas acadêmicas, principalmente no estudo da
matemática que é uma ciência que requer uma atenção e estudo sistemático, pois
trabalha bastante com o raciocínio lógico- dedutivo. Outro agravante é o fato de que
a maioria dos alunos estuda somente um dia antes das provas ou no decorrer da
semana que a prova será realizada ocasionado uma série de problemas em suas
jornadas acadêmicas, pois o estudo dos números inteiros é pré-requisito nos
estudos de outros conteúdos matemáticos a serem vistos na frente.
Os alunos, apesar de afirmarem gostar um pouco de matemática e
considerarem o conteúdo de números inteiros como fácil, não obtiveram êxito nas
questões propostas nos protocolos de pesquisa, nos levando a crer que o que
acontece de fato é uma memorização do conteúdo e não o seu aprendizado. Uma
vez que, observamos que os alunos não estudam o suficiente para compreenderem
o conteúdo e, sim esporadicamente em semana de prova ou em véspera para
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
53
somente obter uma nota que possa lhe dar a condição de aprovado no fim do ano
letivo.
Nossa maior dificuldade do transcorrer do desenvolvimento da pesquisa
foi o período das aplicações, pois coincidiu com o período de avaliações dos alunos
e, além disso, houve o problema da greve nas escolas públicas estaduais levando
uma dificuldade na aplicação dos protocolos e, quanto foi aplicado o professor
forneceu pouco tempo para nos aplicarmos, justificando que não poderia ceder
muito tempo, já que estava bem atrasado em seu cronograma de ensino devido a
greve.
Com relação às questões elaboradas podemos analisar que grande parte
dos alunos resolveu as questões e, além disso, observamos que houve um pequeno
desenvolvimento em relação a compreensão e
resolução de questões que
apresentam situações- problemas que abrangeram
diversas aspectos de seu
cotidiano.
Além de analisarmos questões que abrangessem situações-problemas do
cotidiano do aluno enfocamos também questões de caráter operatório no intuito de
observamos se os alunos compreenderam as definições de números relativos e a
regra do jogo de sinais para as operações propostas.
4.2. ANÁLISE DAS QUESTÕES PROPOSTAS.
A partir dessas observações no item (4.1), apresentaremos algumas
situações sobre números relativos e sua respectiva análise.
Questão 01. Resolva as questões abaixo:
a) 3 – 5 =
g) (-2).(+4) =
b) 5 – 2 =
h) (+2).(+5) =
c) - 3 – 5 =
i) (+10)÷(+2) =
d) + 4 + 2 =
j) (-10)÷(-2) =
e) 2 .(-3) =
l) (-10)÷(+2) =
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
54
f) (-2). (-5) =
m) (+15)÷(-3) =
n) (-3)² =
o) (-3)² =
p) -3² =
q) (-4)º =
r) 2-1 =
s) 3-2 =
Comentários da questão 01:
TABELA 22 – Resultado dos itens da questão 01
a) 3 - 5 =
Itens da questão 01
Acerto
36
Erro
57
Branco
7
b) 5 - 2 =
86
8
6
c) - 3 - 5 =
28
63
9
d) + 4 + 2 =
73
19
8
e) 2 .(-3) =
47
37
16
f) (-2). (-5) =
54
28
18
g) (-2).(+4) =
53
28
19
h) (+2).(+5) =
63
19
18
i) (+10)÷(+2) =
61
19
20
j) (-10)÷(-2) =
51
29
20
l) (-10)÷(+2) =
56
24
20
m) (+15)÷(-3) =
45
35
20
n) (+3)² =
11
71
18
o) (-3)² =
19
60
21
p) -3² =
19
64
17
q) (-4) =
0
5
76
19
r) 2 =
-1
1
73
26
-2
1
69
30
s) 3 =
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
A questão 01 tem o objetivo de verificar se os alunos entrevistados sabem efetuar
operações aritméticas e se os mesmos compreendem a regra de sinais em
problemas sem contextualização.
Na primeira questão observamos que o nível de acerto pode ser
classificado como insuficiente, uma vez os alunos tiveram contato com o conteúdo
no ano anterior e o utilizam em estudos na sétima série, dentre vários conteúdos
matemáticos, pois o estudo de números relativos é pré- requisito no assunto, por
exemplo, de equações do 1° grau e entre outros. Observamos que na maioria dos
casos os alunos entrevistados não operam com competência as quatro operações
fundamentais da aritmética, sendo que também em muitos casos como nos itens f,
g, h, i, j, l, m, respectivamente, verificamos que os alunos entrevistados não
calculam as operações de forma correta, invertendo as operações ou mostrando até
mesmo o desconhecimento da mesma. Porém é importante ressaltarmos que as
dificuldades dos mesmos podem está sendo gerada, por não compreenderem a
regra do jogo de sinais, já que a maioria dos alunos trabalha essa regra de forma
isolada, como por exemplo:
I) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.
II) Sinais diferentes: Diminui-se e dá-se o sinal do maior.
III) Multiplicação e Divisão: Aplica-se a regra dos sinais
( + ) ( + ) = ( +)
(+)(-)=(-)
(-)(+)=(-)
(-)(-)=(+)
Nos itens h, i, j, l e m os alunos em grande parte fizeram confusão com a
regra do jogo de sinais, aplicando nesses itens a regra da adição e não a que
deveria ser aplicada (multiplicação e divisão) sendo que ambas possuem a regra do
jogo de sinais análogo:
A partir disso o rendimento dos alunos em relação ao número de acertos
ficou em 55% justificando a classificação dos alunos referente esse tópico como
regular em seus estudos. Mas já em relação aos itens b,d,h e i, respectivamente, o
55
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
desenvolvimento da competência dos alunos na resolução destas foi elevado para
um número de acertos superior a 70%.
Em se tratando dos itens n, o, p, q, r e s verificamos que cerca de 90%
erraram as questões, uma vez que a maioria deixou esses itens em branco,
mostrando que não possuem compreensão ou que não dominam o conteúdo dos
números relativos, pois os mesmos classificaram esses tópicos com nível de
dificuldades na faixa entre fácil e regular.
Como por exemplo:
FIGURA 11: Exemplo de resolução a questão 1 de algoritmos dos
números inteiros
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
56
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
57
Questão 02
Em um campeonato de futebol jogaram 6
times. Complete a tabela,
sabendo que cada vitória vale 3 pontos positivos, cada derrota 3 pontos negativos e
cada empate vale 1 ponto positivo.
TABELA 23 – Questão 02
Clube
Vitória
Derrota
Empate
Remo
4
2
4
Paysandu
4
4
2
Tuna luso
2
6
2
Águia
6
4
0
Castanhal
7
2
1
Ananindeua
5
4
1
Total de pontos
+10
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
a) Qual é o time que está em primeiro lugar?
b) Qual é o time que está em último lugar?
c) Coloque os times em ordem decrescentes de pontos
Comentário da questão 02:
O objetivo da questão 02 era verificarmos se os alunos conhecem e
sabem relacionar os significados dos sinais em uma situação vivenciada por eles e
também a questão sonda o se os alunos entendem a idéia de valor posicional dos
números inteiros e se sabem classificá-los.
TABELA 24 – Resultado dos itens da questão 02
Itens das questão 03
Acerto
Erro
Branco
Item a
51
31
18
Item b
52
28
20
Item c
14
46
40
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Em relação aos itens a e c verificamos que o número de acertos ficou em
média de 52% significando que um pouco mais da metade dos alunos detém a idéia
do significado do sinal em uma situação proposta, porém 43% em média dos alunos
erraram ou deixaram em branco o item c, mostrando uma realizada que a grande
maioria destes não sabem ou tem dificuldades de compreensão sobre a idéia de
valor posicional dos inteiros e na distinção de qual o número inteiro é maior ou
menor (> ou <) em relação a um outro número inteiro, já que a maioria classificou a
seqüência de times de futebol na ordem crescente ou simplesmente organizou a
posição dos times de futebol de qualquer maneira (FIGURA 12 e 13).
FIGURA 12: Exemplo 1 de resolução da questão 02
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
FIGURA 13: Exemplo 2 de resolução da questão 02
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
58
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Questão 03
A cidade de Belém, no estado do Pará, amanheceu com uma temperatura
de 25°C. Durante o dia, a temperatura subiu 8°C, mas à noite desceu 10°C. Qual foi
a temperatura mínima atingida durante a noite?
Comentário da questão 03:
TABELA 25 – Resultados da questão 03
Resultado
N° de alunos
Acerto
48
Erro
35
Em branco
17
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
A Questão 03 aborda uma situação pouca trabalhada pelos professores
em exercícios e em situações-problema.Todavia observamos que 35% dos alunos
não acertaram a questão e não se utilizaram de nenhum método de resolução para
questão, mostrando não ter compreensão da situação e sem orientação no processo
de resolução, uma vez que, 17% deixaram em branco a questão. Talvez tal
resultado já pudesse ser relativamente esperado, baseando-se em alguns autores
referenciados.
“O contexto de temperatura não parece ser muito inçado para auxiliar a
compreensão de números relativos num país tropical como o nosso, onde
as variações de temperatura não são muito grandes e onde raramente, e
em apenas algumas regiões, chegam a valores abaixo de zero. Além disso
de não familiares, as situações nesse contexto não são de fenômenos
fisicamente observáveis (........)”. (SCHLIEMANN, CARRAHER, 2003).
59
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Questão 04
O elevador do prédio onde moro indica os andares acima do térreo com
sinal positivo, e abaixo, com sinal negativo. Se o elevador descer do térreo ao 2°.
subsolo e depois subir 7 andares, em que andar ele pára?
Comentário da questão 04:
TABELA 04 – Resultados da questão 04
Resultado
N° de alunos
Acerto
35
Erro
44
Em branco
21
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.
A questão 04 foi proposta uma situação onde o aluno teria que analisar o
significado que o sinal representa na questão e efetuar a operação de adição sem
esquecer-se do “jogo de sinais”, mas observamos que 44% dos sujeitos da pesquisa
erraram a questão tendo o mesmo problema visto na questão anterior, apresentando
a mesma deficiência de compreensão.
60
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
61
Questão 05
O Sr. Roberto, para saldar a sua dívida cm o Banco A, deposita R$
700,00.Como ele deve $500,00, ficará com um crédito de R$ 200,00 no Banco A. Ao
Banco B, ele deve $700,00. Se ele depositar R$ 300,00, saldará sua dívida com o
Banco B?
Comentário da questão 05:
TABELA 5 - Resultados dos alunos entrevistados que responderam de forma
correta a questão.
Resultado
N° de alunos
Acerto
26
Erro
31
Em branco
43
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.
TABELA 6 - Resultados dos alunos que responderam de forma incompleta a
questão.
Resultado
N° de alunos
Acerto
23
Erro
34
Em branco
43
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
Essa questão 05 representa uma situação clássica do estudo e aplicação
dos números inteiros no processo de ensino- aprendizagem dos alunos, mas assim
como nas questões anteriores com contexto os alunos apresentaram a mesma
dificuldade na interpretação e no desenvolvimento de resolução da questão.
É importante ressaltar nessa questão que um certo número de alunos
chegaram a compreender de maneira genérica que a questão proposta representava
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
um
débito onde “o Sr. Roberto ficaria devendo R$ 400,00” , sendo que 23%
responderam somente “não” como solução da questão (FIGURA 4).
FIGURA 14: Exemplo 1 de resolução da questão 05
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
No entanto, 46% dos alunos entrevistados compreenderam a situação e
aplicaram o formalismo e o rigor matemático adequado a questão (FIGURA 5).
FIGURA 15: Exemplo 1 de resolução da questão 05
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
Questão 06
Quem nasceu no ano -14, ou seja, no ano 14 antes de Cristo, e viveu 75
anos, em que ano morreu?
Comentário da questão 06:
TABELA 06 - Resultados da questão 06
Resultado
N° de alunos
Acerto
26
Erro
35
Em branco
39
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.
Nessa questão é interessante observamos que maioria dos alunos
chegaram muito próximo da compreensão da questão e,conseqüentemente no
62
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
acerto da mesma, porém os alunos esbarraram na falta de atenção ou em uma
análise mais criteriosa e aguda da mesma, pois um grande número de alunos
assinalou como solução da questão “89 d.C”( FIGURA 6) visto que estes tiveram o
raciocínio de somar (14 + 75) , não se atentando que o valor 14 antes de Cristo
representa uma temporalidade. Com isso, a questão teve um número de acerto de
somente 26%.
FIGURA 16: Exemplo de resolução da questão 06
Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008
Portanto, a partir da análise dos resultados obtidos podemos identificar
que os alunos entrevistados sofrem uma série de dificuldades no processo de
compreensão dos números relativos, devido principalmente a maneira que os
professores ensinam esse conteúdo (modelo tradicional). A partir disso o trabalho
sugerirá o uso de coleção de atividades como alternativa metodológica de ensino
para os números relativos.
5. SUGESTÕES DE ATIVIDADES
Nessa seção apresentaremos algumas atividades de caráter pedagógico
e didático de ensino de números relativos, uma vez que essas atividades contribuem
de forma significativa no desenvolvimento dedutivo, no raciocínio-lógico matemático
e lúdico dos alunos criando uma ambiente que trará uma maior interação com o
estudo.
Ressaltaremos também nessa seção, atividades que abrangeram uma
diversidade de situações que podem ser colocadas em salas de aula, de forma que
esse tipo de metodologia contribui na amenização de obstáculos. Assim
apresentaremos algumas alternativas que vão desde jogos a algumas situações
problemas.
63
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Os jogos no ensino da matemática é uma ferramenta interessante e
eficaz, visto que desenvolvi e estimula o cognitivo do aluno e também é um
instrumento pedagógico que retém a concentração dos alunos e estimula uma maior
participação e interação destes. (BORIN, 2004).
A atividade de jogar desempenha papel importante no desenvolvimento:
de habilidades de raciocínio lógico, dedutivo e indutivo; da linguagem; da
criatividade; da atenção e da concentração. Habilidades estas, essenciais para o
aprendizado em Matemática (BORIN, 2004). A justificativa dada por Schwartz pode
ser vista em um material “Três Jogos para o Ensino e Aprendizagem de Números e
Operações no Ensino Fundamental” apud Zeni (2008):
...a noção de jogo aplicado à educação desenvolveu-se com lentidão e
penetrou, tardiamente, no universo escolar, sendo sistematizada com
atraso. No entanto, introduziu transformações decisivas... materializando a
idéia de aprender divertindo-se... (ZENI, 2008).
E segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino da
Matemática (BRASIL, 1997):
“os jogos podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes –
enfrentar desafios, lançar-se a busca de soluções , desenvolvimento da
crítica, da intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las
quando o resultado não é satisfatório – necessárias para a aprendizagem
Matemática”.
Apresentamos as atividades:
5.1. Atividade 01
Jogo da Adição extraída de (BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998).
Objetivos: Construção progressiva da noção de adição de números
relativos.
Recursos: O computador
Descrição do Jogo
64
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Após as telas iniciais de apresentação do jogo, são explicados o objetivo
do jogo e suas regras (Figura A).
FIGURA A: Como jogar
Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998
Após as explicações sobre o funcionamento do jogo, o usuário deverá
escolher com qual personagem irá jogar, selecionando, com o auxílio do mouse, o
escolhido. Desta forma, inicia-se o jogo com o personagem escolhido posicionado
na casa zero (FIGURA B). Caso necessário, é possível retornar à tela do
personagem e fazer uma nova escolha.
FIGURA B: Tela do Jogo com sua Trilha Numérica
Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998
Para iniciar o jogo deve-se pressionar o cursor do mouse sobre os dados,
o vermelho primeiro, em seguida o dado azul e aguardar até que eles parem de
rodar e forneçam os números. A criança deverá colocar seu personagem na casa
correspondente ao resultado da operação a seguir.
Casa onde está o personagem + Valor do dado vermelho - Valor do
65
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
dado azul = Posição atual.
Esquema de Deslocamento
Para posicionar seu personagem, a criança deverá selecionar a casa
correspondente da trilha (soará um aviso, que indicará se a casa escolhida está
correta), considerando sua posição inicial e os valores dados para subir e descer,
respectivamente. Esta nova posição é denominada Posição Atual. Caso coloque o
personagem na casa errada, ele deverá observar o quadro de status (ao lado do
jogo), que exibirá informações sobre a jogada.
Ao longo do jogo são apresentadas mensagens de orientação e/ou
reforço, exibidas no quadro de status ou através de avisos sonoros, a fim de que o
aluno saiba a sua situação com relação ao andamento do jogo. Caso o personagem
chegue na casa –10, o usuário deverá iniciar novamente o jogo ou não, conforme
sua vontade.
Sempre que necessário o usuário poderá optar por obter um auxílio por
parte do jogo (ao selecionar a opção AJUDA). Nesta opção é mostrada uma tela,
com a reta numérica, marcando a última posição e os assistentes da montanha (um
menino e uma menina, personagens que tem a função de auxiliar o usuário durante
o jogo) retomarão os valores sorteados e o significado destes valores (FIGURA C).
FIGURA C: Tela de Ajuda com Explicações Auxiliares
Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998
Após esta retomada, retornar-se-á à tela do jogo com o personagem
colocado na posição correta (retificada pela AJUDA).
A menina-assistente também deverá aparecer quando o personagem,
durante o jogo, cair nas casas –2 e 3, onde o aluno deverá realizar uma tarefa
66
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
específica. A idéia de associar tarefas a estas casas é trabalhar com o dado que
representa valores positivos (vermelho) e o dado que representa os valores
negativos (azul), onde serão operados apenas números positivos ou negativos, e
observar a posição resultante na reta O jogo terminará quando o personagem
chegar na casa 10. Alcançando assim o topo da montanha, o jogo será encerrado
com a aparição de animações na tela. Após o usuário ter conhecimento das regras
de funcionamento do jogo, lhe poderão ser oferecidos desafios (Figura 5). O objetivo
desta parte do jogo é criar situações mais complexas onde o aluno estará sendo
desafiado, ficando assim incentivado a prolongar mais a sua sessão de estudos no
jogo. Nesta tela, haverá uma suposta jogada onde o aluno deverá colocar a posição
em que ficou o personagem. Após este registro, ele poderá continuar respondendo
novas questões, pressionando o botão do mouse sobre o botão QUESTÕES.
FIGURA C: Tela de desafios
Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998
Ao escolher o botão QUESTÕES, serão exibidas novas perguntas
sorteadas aleatoriamente (FIGURA D).
FIGURA C: Tela com Perguntas a Responder
Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998
67
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Alguns exemplos de questões implementadas são as seguintes:
· Uma jogada foi registrada assim: 4 + 4 - 6 = 2. Que número saiu no dado
azul?
· Na 1ª rodada, é possível alguém cair fora da brincadeira?
· Veja: - 5 + 2 – 6 = ? Nessa jogada, em que casa foi parar o
personagem?
· É possível alguém, na 1ª rodada, já vencer o jogo?
Estas questões também poderão ser criadas pelo professor, através de
um módulo de autoria (um arquivo de texto). É fundamental controlar a exatidão das
respostas recebidas pelo usuário, onde e como armazená-las e o possível feedback
ao aluno que deverá receber uma pontuação. Por isto, o sistema está protegido
contra atitudes e respostas inadequadas pois estas provocariam erros na execução
do jogo.
O professor deve ter presente que para introduzir um novo conceito não
deve desprezar o conhecimento anterior do aluno, uma vez que o novo
conhecimento pode ser construído a partir do existente. A nova ação deve ajudar a
estabelecer a complementação ou a negação do conhecimento anterior, em direção
ao mais elaborado. De acordo com a abordagem cognitivista, o ponto principal para
a aprendizagem é o processo e este deverá ser conduzido ao longo das diferentes
atividades realizadas pelo aluno. O Subindo e Escorregando deverá ser utilizado
como um recurso inicial, cabendo ao professor, ao término deste, criar várias
situações desequilibradoras (desafiadoras) para o aluno, a fim de que ele construa
progressivamente a noção de adição de números inteiros.
O aluno deve ter a oportunidade de defrontar com o objeto do
conhecimento para sentir a possibilidade de compreensão dos problemas. Uma
importante tarefa para o professor é extrair do conteúdo a ser trabalhado, suas
perguntas básicas, geradoras a fim de resgatar as situações que deram origem ao
conceito. Com este objetivo, serão apresentadas algumas questões para serem
exploradas e conseqüentemente, desencadear, de forma significativa e participativa
a ação do aluno sobre o objeto do conhecimento: · quais os símbolos matemáticos
que poderíamos adotar para indicar a subida e a descida do personagem na
montanha?
· vamos supor que pudéssemos jogar apenas o dado vermelho, o que
aconteceria com o seu personagem? · e se pudéssemos jogar apenas o dado azul?
· o que acontece com o personagem se os valores obtidos nos dois dados
forem iguais?
68
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
· quando o valor obtido no dado vermelho é maior que o valor obtido no
dado azul, o que acontece com seu personagem?
· e se o dado azul possui o maior valor, o que acontece com seu
personagem?
· como chegamos a posição correta mais rapidamente, no caso em que
os dois dados estejam liberados?
É importante que sejam dadas condições para que os alunos discutam e
elaborem as suas regras para a adição de números inteiros. Segundo a abordagem
cognitivista, as atividades em grupo devem ser incentivadas, propiciando uma maior
reflexão sobre o objeto do conhecimento.
Os alunos, ao elaborarem as regras, estarão levantando hipóteses,
fazendo comparação entre as jogadas, utilizando a imaginação. Além disso, deverão
avaliar se as regras estabelecidas pelo grupo satisfazem todas as situações do jogo
e superar a contradição existente entre as suas representações e a realidade, caso
esta ocorra. Esta avaliação poderá ser feita em um novo momento no computador.
5.2. Atividade 02
Jogo da Potenciação extraída de (GRASSECHI, ANDRETTA e SILVA
apud REIS et al, 2006).
Número de participantes: 4 a 6
Recursos: Dado comum e dado com somente os sinais + e -.
Objetivos: Exercitar o cálculo da potenciação de números relativos e a
regra de sinais.
Descrição:
 Cada componente do grupo, na sua vez, joga ao mesmo tempo o dado
comum e o de sinais, obtendo a base da potência. Depois joga uma segunda vez só
o dado comum, obtendo expoente.
 O jogador que obtiver o maior resultado em cada rodada ganhará um
ponto.
 Colocar em uma tabela os resultados das jogadas.
 Vence quem, primeiro, completar 15 pontos.
69
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.3. Atividade 03
Trilha do Azul e Vermelha extraída de (SOUZA; SPINELLI, apud
SANTOS, 2005).
Objetivos: É atingir em primeiro lugar a chegada da trilha.
Recursos: Serão necessárias peças pequenas para servirem de peão
como borracha, apontador, etc.
Descrição:
Este jogo é composto por uma trilha de números positivos e negativos,
indicando multiplicações e um dado. O primeiro jogador sorteia um número com o
dado e andam quantas casas o dado indicar. Se cair em alguma casa vermelha com
uma multiplicação por um número negativo, deve voltar tantas casas quantas o
resultado da multiplicação indicar, mas, se cair em uma casa azul, na qual o valor do
número sorteado é multiplicado por número positivo, deve andar tantas casas
quantas forem os pontos resultantes da multiplicação. Aquelas casas em que não há
multiplicação, o jogador deve passar de vez.
5.4. Atividade 04
Trilha da Cara ou Coroa extraída de (SOUZA; SPINELLI, apud SANTOS,
2005).
Objetivos: É percorrer a trilha a partir do inicio, que está situado no meio
da trilha, exatamente no número zero, tentando sair em qualquer uma das laterais
da cartela.
Recursos: Serão necessárias peças pequenas para servirem de peão
como borracha, apontador, etc.
70
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Descrição:
Este jogo é composto de uma trilha, um dado e uma moeda. Esta trilha
contempla números positivos e negativos, sendo que o número zero fica no meio da
trilha. Cada jogador coloca seu peão na posição inicio. Na sua vez, o jogador lança o
dado e a moeda. O dado indica número de quadrados que seu peão vai andar. A
moeda indica a direção do movimento. Se der cara, o peão anda para frente, na
direção dos números positivos, se der coroa, anda na direção dos negativos. Por
exemplo: se o aluno tirar coroa e um 5 na sua primeira vez, ele move seu peão para
trás cinco casas, do início até a casa -5. Se o aluno tirar cara e um 3 no próximo
lance, moverá o peão para frente três casas, parando em -2. A instrução na casa -2
diz para você somar 4, e então você moveu seu peão quatro casas até 2 positivos.
O primeiro jogador que atingir a saída é o vencedor. Se um peão termina em uma
casa ocupada, o peão que estiver lá volta para o inicio.
5.5. Atividade 05
Jogo da trilha I extraída de (SOUZA; SPINELLI, apud SANTOS, 2005).
Objetivos: É percorrer a trilha, do início ao fim para vencer o jogo.
Recursos: Serão necessárias peças pequenas para servirem de peão
como borracha, apontador, etc.
Descrição:
Este jogo é composto de uma trilha com números positivos e, negativos e
um dado. Cada jogador lança o dado e verifica o número de casas que irá pular. A
casa em que parar, o jogador deverá efetuar a conta mentalmente, utilizando-se do
número do dado e do número da casa da cartela, e verbalizar ao grupo. O grupo
verificará se a resposta está correta, e só assim o jogador terá o direito de
71
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
permanecer nesta casa da cartela. Caso contrário, ele deverá voltar ao ponto de
partida. Vence quem chegar no final da trilha primeiro.
5.6. Atividade 06
Jogo da trilha II extraída de (SOUZA; SPINELLI, apud SANTOS, 2005).
Objetivos: É percorrer a trilha, a partir da saída, evitando cair na casa dos
símbolos, pois nelas o aluno tem que efetuar uma divisão ou uma multiplicação com
o valor do dado lançado.
Recursos: Serão necessárias peças pequenas para servirem de peão
como borracha, apontador, etc.
Descrição:
Este jogo é composto de uma trilha com símbolos de estrela, círculos e
corações e um dado. Cada conta feita deverá ser falada em voz alta para que todos
do grupo possam verificar se está correta ou não. Caso não esteja, o jogador perde
a vez e a sua casa no tabuleiro. Vence quem chegar ao final da trilha primeiro.
72
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.7. Atividade 07
Jogo Regra de sinais extraída de (SANTOS, 2005)
Público alvo: alunos de 6ª série.
Recursos: 15 fichas em PVC, identificadas com os sinais
(+) e (-).
Conteúdos envolvidos: regras de sinais; operação de adição e subtração.
N° de participantes: individual ou em grupo.
Objetivo do jogo: o objetivo do jogo é explicar as regras de sinais através
das fichas, usando a correspondência entre si.
Descrição:
Foram construídas várias fichas nas cores cinza e azul. Nas fichas de
cores cinza identificamos os sinais de “negativo” () em um lado da face e nas
fichas de cores azuis identificamos um lado da face com os sinais de “positivo” (+).
Ao iniciarmos este jogo, coloquei na lousa várias expressões com
números positivos e negativos para que os alunos efetuassem as operações.
Observei que apresentavam muita dificuldade. Parti para a utilização das fichas,
inicialmente não mostrando a forma de relacioná-las.
Deixei os alunos em contato com os materiais, na tentativa de descobrir a
relação e pensar nas possibilidades de utilizá-las. Surgiram perguntas de alunos
(A1, A2, e A3) como:
A1: - O que faço com essas fichas professora?
73
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
A2:- Como elas poderão trazer o resultado?
A3:- Professora, eu não consigo ver como tirar a resposta daqui dessas
fichas?
5.8. Atividade 08
Reflexão- Atividade extraída (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI, apud
REIS et al, 2006).
Objetivos: Trabalhar a idéia de repartir na divisão e exercita a regra de
sinais.
Recursos: papel A4, lápis e borracha.
Descrição:
Comentar com os alunos o seguinte: Quando alguém recebe um
presente, pode aceitar ou recusar. Podemos combinar várias possibilidades de
entrega e recepção. Pode-se algo de positivo ou de negativo para alguém, assim
como esse alguém pode aceitar ou recusar. Pedir aos alunos que escrevam a
sentença matemática de cada questão abaixo.
 Distribuir 10 reais para 5 crianças que aceitam.
Sentença matemática: (+ 10) ÷ (+ 5) = + 2
Distribuir 10 reais para 5 crianças que Sentença matemática deverá ser:
(+ 10) ÷ (- 5) = -2
 Não aceitam.
Sentença matemática deverá ser: (+ 10) ÷ (- 5) = - 2
 Distribuir uma dívida de 10 reais para 5 crianças que aceitam.
Sentença matemática deverá ser: (- 10) ÷ (+ 2) = - 5
Dívida individual
Dívida
Não aceitam
 Distribuir uma dívida de 10 reais para 5 crianças que não aceitam.
Sentença matemática esperada: (- 10) ÷ (- 5) = + 2.
74
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.9. Atividade 09
Atividade: Calcule
Este trabalho foi extraído de (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR,
apud REIS et al, 2006).
Objetivos: Praticar as operações com números relativos e a regra de
sinais.
Recursos: Papel, lápis e borracha.
Descrição:
 Qual o número inteiro que divide por – 8 resulta em + 12?
 Nicolas pensou em um número que multiplicado por (- 25) tem como
resultado (+ 150). Qual foi o número que Nicolas pensou?
 Adicionando – 846 a um número inteiro e multiplicando a soma por – 3,
obtém-se + 324. Que número é esse?
 Adivinhe quanto dá? Pense em um número. Multiplique-o por (- 2).
Some a 10. Divida o resultado da soma por (- 2). Subtraia do quociente o número
que.
5.10. Atividade 10
Título: Exercício da divisão
Extraída de (JAKUBO, LELLIS, CENTURIÓN, apud REIS et al, 2006).
Objetivo: Prática a divisão, a regra de sinais da divisão e exercita a idéia
de módulo de um número relativo.
Recursos: papel, lápis e borracha.
Descrição:
Diga qual é o quociente da divisão de:
 Um inteiro positivo por si mesmo.
 Um inteiro negativo por si mesmo.
 Um inteiro negativo pelo seu módulo.
 Um inteiro positivo pelo seu oposto.
75
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5. 11. Atividade 11
Jogo vai-e-vem extraída de (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR,
apud REIS et al, 2006).
Objetivos: Prática a adição de números relativos e a regra de sinais.
Recursos: tabuleiro, fichas coloridas, dado convencional.
Participantes: Grupo de 3 a 5 alunos.
Descrição:
 Todos iniciam o jogo com suas fichas coloridas na flecha de partida.
 Cada jogador, na sua vez, lança o dado.
 No primeiro lançamento avança o número de casas obtidas. Nos
demais lançamentos das rodadas, se a ficha estiver numa casa branca, o jogador
avança tantas casas quanto os pontos obtidos; caso esteja com a ficha numa casa
azul, deverá recuar o número de casas de acordo com os pontos obtidos.
 Vencerá o jogador que atingir a chegada exatamente em primeiro
lugar, podendo haver empate se outros atingirem a chegada na mesma rodada.
 Caso obtenha em sua jogada um valor superior ao necessário para
atingir a casa de chegada, deverá andar até a chegada e retornar o número de
casas de acordo com o valor obtido no dado.
O registro dos pontos obtidos em cada rodada durante a partida é um
bom meio de exercitar o cálculo de soma algébrica, explorando também tabelas. Os
pontos obtidos pelos jogadores são distribuídos do seguinte modo:
1° lugar = 5 pontos ganhos
2° lugar = 3 pontos ganhos
3° lugar = 1 ponto ganho
4° lugar = 3 pontos perdidos
5° lugar = 2 pontos perdidos.
76
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
77
Colocar as tabelas no quadro, um com pontos ganhos e outra com pontos
perdidos. Os alunos deverão preencher a tabela durante e no final do jogo.
TABULEIRO
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
26
25
2
24
15
1
23
16
P
22
20
19
14
18
17
PARTIDA
21
27
CHEGADA
3
5.12. Atividade 12
Jogo atingindo o alvo
Este trabalho foi extraído de (GRASSESCHI, ANDRETTA, SILVA, apud
REIS, 2006).
Objetivo: Exercitar o significado dos sinais e prática a adição de números
relativos.
Número de participantes: 4
Recursos: Alvo, fichas, feijões ou outros objetos, como botões. O alvo
deverá ter uma borda assumindo a forma de uma caixa, para que os feijões não
caiam fora do alvo.
Descrição:
1° - Cada aluno, na sua vez joga 15 feijões dentro do alvo. Cada feijão
que cair numa faixa com o sinal + corresponderá a um ponto ganho. Cada feijão que
cair na faixa com o sinal – corresponderá a um ponto perdido.
2° - Os alunos construirão uma tabela com os nomes dos jogadores para
anotar os pontos.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
3° - Em cada rodada, quem tiver o maior número de pontos recebe uma
ficha.
4° - Ganha o jogo quem tiver mais fichas ao final de 10 rodadas.




FICHAS
5.13. Atividade 13
Jogo do “Perde e Ganha”
Atividade extraída de (GRASSESCHI, ANDRETTA, SILVA, apud REIS,
2006).
Objetivo: Montar uma caixinha de sorteio, tendo do fundo o tabuleiro com
números, exercita a adição de números relativos e trabalha a compreensão dos
sinais na operação de adição.
Número de participantes: 2
Recursos: caixinha de sorteio e feijões.
Descrição:
1° - Cada aluno, na sua vez, joga 6 feijões dentro da caixinha. Os feijões
que caírem nas casas cor-de-rosa serão pontos perdidos, e nas casas azuis, serão
pontos ganhos.
2° - Registre os pontos ganhos em cada rodada, informando se são
pontos perdidos ou ganhos, e o resultado da rodada.
78
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
3° - Ao final de 5 rodadas, ganha que tiver mais pontos ganhos.
12
401
87
302
2
54
30
509
54
74
127
405
45
11
1
59
65
9
69
84
159
254
26
148
102
91
47
10
52
609
329
513
98
107
504
271
5.14. Atividade 14
As bolinhas da “Adição”
Atividade extraída de (JAKUBO, LELIS, CENTURIÓN, apud REIS et al,
2006).
Objetivos: Exercita a operação de adição de números relativos e estudar
a idéia de opostos ou simétricos de números relativos.
Recursos: Papel, lápis de cor, lápis comum e borracha.
Descrição:
A bolinha verde ( ), representa uma unidade positiva, e a bolinha amarela
( ), uma unidade negativa. Uma bolinha verde e uma amarela sempre se anulam.
Com estas regras, escreva a adição de inteiros (e o seu resultado) que corresponde
a:
 Juntar
com
 Juntar
com
 Juntar
com
 Juntar
 Juntar
com
com
79
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.15. Atividade 15
A trilha dos inteiros
Extraída de (GRASSESCH,apud REIS et al, 2006).
Objetivos: Exercita a reta numérica dos inteiros e o ordenamento dos
números relativos na reta.
Recursos: Lápis, borracha e cartolina.
Descrição:
Cada aluno, dentro dos pequenos grupos nos quais a turma havia sido
dividida, deveria percorrer o caminho desde a ENTRADA até a SAÍDA, sempre no
sentido crescente dos números. O vencedor seria aquele que chegasse primeiro no
final, provavelmente aquele que percorresse o caminho mais curto.
5.16. Atividade 16
Atividade extraída de (SANTOS, 2005)
Baralho dos Números Inteiros
Recursos: 21 cartas, com números entre -10 e +10.
Objetivo: A reconstrução do conceito de reta numérica.
Descrição:
A atividade consiste em organizar as cartas do baralho de (APÊNDICE C)
acordo com a ordem na reta numérica.
80
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.17. Atividade 17
Pirâmide Mágica
Extraída de (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR, 2002)
Qual é o segredo da Pirâmide?
Objetivo: Prática a operação de adição de números inteiros e exercitar o
significado do sinal nessa operação.
Recursos: Lápis, caderno, borracha.
Descrição:
-92
-41 -51
-19 -22 -29
-9 -10 -12 -17
-3 -6 -4 -8 -9
A pirâmide a seguir tem o mesmo segredo. Reproduza-a no caderno e
descubra os números que faltam.
??
?? ??
?? ?? ??
?? -4 ?? +12
-8 -4 ?? +4 ??
5.18. Atividade 18
Dominó da Subtração
Extraída de (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR, 2002)
Objetivo: Praticar a adição de números relativos de sinais diferentes e de
mesmo sinal.
Recursos: Jogo de dominó no qual uma extremidade da peça terá a
subtração de dois números, e a outra apenas um número.
81
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
82
Descrição:
Divididos em duplas, os participantes recebem, cada um, dez peças do
dominó. As outras ficando colocadas viradas para baixo, em separado, e uma no
meio da mesa, virada para cima, para se poder dar início ao jogo. Os participantes
devem encaixar as subtrações com seus respectivos resultados. No caso de não
terem nenhuma peça para encaixar em alguma das extremidades, devem pegar
uma das que estão viradas para baixo, e assim sucessivamente, até conseguirem
pegar uma que encaixe corretamente.
1
1
+1
2
1
3+2
3
2-15
3
7+1
5.19. Atividade 19
Jogo de Tabuleiro
Extraída de (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR, 2002).
Objetivos: Praticar a adição de números relativos de sinais diferentes e
estudar o significado dos sinais.
Recursos: Tabuleiro previamente criado para o jogo, dados e pinos
Descrição:
Criar um tabuleiro para o jogo: o tabuleiro deve conter uma trilha dividida
em quadrados, e em cada quadrado deve conter soma de números, por exemplo,
+4, -5. Também deixando quadrados vazios. Dividir os participantes em duplas, cada
dupla joga uma vez o dado, se cair, por exemplo, em uma casa que contenha o +2
ela deve avançar duas casas. E assim vai o jogo até a primeira dupla completar o
trajeto.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
83
5.20. Atividade 20
Jogo dos Produtos (Ou Divisões)
Atividade extraída de (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR, 2002).
Objetivos: Praticar a multiplicação de números relativos e o significado
dos sinais nessa operação.
Recursos: Papel quadriculado, lápis de cor, lápis comum e borracha.
Descrição:
Primeiro reproduza os dados duas vezes cada um e monte-os:
-
+
3
3
+
1
+
2
+
6
-
+
1
5
2
6
5
-
+
4
4
Depois, reproduza os tabuleiros em papel quadriculado, sem pintá-los:
1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
X
2
+
2
+
4
+
6
+
8
+
10
+
12
+
3
+
3
+
6
+
9
+
12
+
15
+
18
+
4
+
4
+
8
+
12
+
16
+
20
+
24
+
5
+
5
+
10
+
15
+
20
+
25
+
30
+
6
+
6
+
12
+
18
+
4
+
30
+
36
+
+
+
+
1
+
1
+
2
+
+
+
+
1
3
4
5
6
2
+
2
+
+
3
4
5
6
X
2
+
2
+
4
+
6
+
8
+
10
+
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
5
6
X
2
2
4
6
8
10
12
-
3
+
3
+
6
+
9
+
12
+
15
+
18
-
4
+
4
+
8
+
12
+
16
+
20
+
24
-
5
+
5
+
10
+
15
+
20
+
25
+
30
-
6
+
6
+
12
+
18
+
4
+
30
+
36
-
-
+
+
+
+
+
+
+
2
+
+
+
+
Agora é só seguir as regras:
1. Os jogadores escolhem cada um, uma cor diferente de lápis, um mesmo tipo de
tabuleiro e dois dados.
· Para o tabuleiro I, use dados com números positivos.
· Para o tabuleiro II, use um dado com números positivos e outro com números
negativos.
· Para o tabuleiro III, use dados com números negativos.
2. Cada jogador, na sua vez, joga os dados, calcula o produto das faces superiores
e pinta o quadriculado que contém o número obtido.
3. Ganha aquele que primeiro pintar um linha, uma coluna ou uma diagonal.
5.21. Atividade 21
Contando com o Jogo de Vareta
Extraída de ( SANTOS, 2005).
Objetivos: Praticar as operações de multiplicação e adição de números
relativos e o significado do sinal nessas operações.
Recursos: Lápis de cor, lápis comum, borracha e papel.
84
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
85
• Descrição:
Montar uma tabela com atribuição de valores para cada cor das varetas (a
tabela deve ser alterada em cada rodada).
Exemplo de montagem da tabela para uma rodada:
Cor
Verde
Vermelha
Preta
Amarela
Azul
Pontuação
-7
2
-10
0
5
Obs.: O aluno não tem acesso à tabela, até que termine a rodada.
2. O professor deverá estabelecer um critério para o vencedor da rodada.
Exemplo: Vence o participante cujo total de pontos é o menor número
inteiro dentre as pontuações obtidas (o critério pode ser dito apenas ao final da
rodada).
3. Formar grupos com no mínimo dois e no máximo quatro alunos.
4. Definida a ordem de participação de cada jogador e lançadas às
varetas sobre a mesa, cada participante (por vez) deverá pegar quantas varetas
conseguir, até que uma das demais se movimente.
5. Os grupos, de posse das varetas que conseguiram pegar ao final da
rodada, devem contabilizar o total de pontos obtidos, conforme a tabela que, nesse
momento, lhes é apresentada.
Com o exemplo da tabela acima, um jogador que tenha conseguido pegar
3 varetas de cor verde, 2 azuis e 1 vermelha teria a seguinte pontuação:
3 x (-7) + 2 x 5 + 2 = -21 + 10 + 2 = -21 + 12 = -9
6. O grupo vencedor será aquele que atendeu ao critério estabelecido
pelo professor para aquela rodada.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.22. Atividade 22
Extraída de (SÁ et al, 2008)
TÍTULO: Adição de números inteiros relativos com mesmo sinal.
OBJETIVO: descobrir uma maneira prática de calcular adições de
números inteiros relativos com o mesmo sinal.
RECURSOS: máquina calculadora, folhas de papel.
PROCEDIMENTO: calcule as adições com o auxílio da calculadora:
1) + 4+ 7 =
2) -3 – 5 =
3) + 7+ 5 =
4) -8 – 3 =
5) +9 + 1 =
6) -5 – 5 =
7) 3 + 3 =
8) -8 – 6 =
9) 9 + 7 =
10) -6 – 9 =
Descubra uma maneira de obter os resultados das operações, sem o
auxílio da calculadora.
Conclusão:
86
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.23. Atividade 23
Extraída de (SÁ et al, 2008).
TÍTULO: Adição de números inteiros relativos com sinais diferentes.
OBJETIVO: Descobrir uma maneira prática de calcular adição de
números relativos com sinais diferentes.
RECURSOS: máquina calculadora, folhas de papel e lápis ou caneta.
PROCEDIMENTO: Calcule as adições com o auxílio da calculadora:
1) + 7 - 4 =
2) +9 -7 =
3) +6 -8 =
4) +5 -9 =
5) -9 + 1 =
6) -8 + 5 =
7) -4 + 6 =
8) -3 + 7 =
9) - 12 + 7 =
10) 10 - 6 =
Descubra uma maneira de obter os resultados das operações, sem o
auxílio da calculadora.
Conclusão:
87
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.24. Atividade 24
Extraída de (SÁ et al, 2008).
TÍTULO: Adição de números inteiros simétricos.
OBJETIVO: Descobrir uma relação entre adição de números simétricos.
RECURSO: máquina calculadora.
PROCEDIMENTO: calcule as adições com o auxilio da calculadora.
1) +4 - 4 =
2) -3 +3 =
3) -7 + 7 =
4) +8 - 8 =
5) 9 - 9 =
6) +5 -5 =
7) -3 + 3 =
8) -8 + 8 =
9) 7 - 7 =
10) -6 + 6 =
Descubra uma maneira de obter os resultados das operações sem o
auxílio da calculadora.
Conclusão:
88
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.25. Atividade 25
Extraída de (SÁ et al, 2008).
Titulo: Dominó da adição de relativos
Participantes: de 2 a 4
Recursos: 28 pedras contendo adições e resultados de adições
Descrição:
 As pedras eram embaralhadas e cada jogador escolhia 7 pedras para
jogar;
 Os jogadores decidiam entre si quem iniciaria o jogo e qual seria a
ordem seqüencial dos jogadores;
 O 1º jogador deveria colocar a primeira pedra na mesa, o 2º jogador
só poderia jogar se possuísse uma pedra que tivesse ou o resultado da adição na
mesa ou a adição que originou o resultado da pedra na mesa, caso contrário, ele
deveria passar a vez para o próximo jogador;
 O jogo termina quando um dos jogadores não possuísse mais
nenhuma pedra;
 Ganha o jogo quem tivesse colocado corretamente todas as pedras na
mesa.
 Conclusão:
89
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.26. Atividade 26
Extraída de (SÁ et al, 2008).
TÍTULO: Multiplicação números inteiros de sinais iguais
Objetivo: descobrir uma maneira prática de calcular a divisão de números
relativos com sinais iguais.
Recurso: máquina calculadora.
Procedimento: calcule as divisões com o auxílio da calculadora.
1) (+4) . (+6) =
2) (+ 8) . (+5) =
3) (-10). (-3) =
4) (-5). (-8) =
5) (-2). (-6) =
6) (+3). 0 =
7) 0.(+7)=
8) (-5). 0 =
9) 0.(+7) =
10) (+10). (+2)=
Descubra uma maneira de obter os resultados das operações sem o
auxílio da calculadora.
Conclusão:
5.27. Atividade 27
Extraída de (SÁ et al, 2008).
Multiplicação de números inteiros de sinais diferentes
Objetivo: Descobrir uma maneira de calcular multiplicação de números de
sinais diferentes
Recursos: Máquina de calcular.
Descrição:
Usando a máquina de calcular, calcule:
1) (+6) . (- 3) =
2) ( 5 ) . (- 4) =
3) (+ 2) . (- 8) =
4) ( 3 ) . (- 6) =
5) (- 8) . (+ 2) =
6) (- 5) . ( 3) =
7) (- 7) . (+ 9) =
8) (- 6) . ( 7) =
90
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
9) (+4) . 0 =
10)
91
0 . (+2) =
Descubra uma maneira de obter os resultados sem usar a máquina de
calcular.
Conclusão:
5.28. Atividade 28
Extraída de (SÁ et al, 2008).
Titulo: Bingo da multiplicação de relativos
Participantes: de 1 a 2
Recursos: 16 cartelas, lápis ou grãos
Descrição:
 Cada aluno recebeu uma cartela que deveria ser marcada com lápis
ou com grãos;
 O professor “cantava” uma pedra contendo uma multiplicação e o
aluno que possui a resposta deveria marcar em sua cartela;
 O jogo terminava quando um dos jogadores tivesse marcado todos os
números em sua cartela;
 Ganhava o jogo a dupla de alunos que tivesse marcado corretamente
todos os números em suas cartela, que era conferida pelo professor.
Uma variação interessante é jogar marcando uma trinca na horizontal
ou na vertical.
Conclusão:
5.29. Atividade 29
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
92
Atividade extraída de (FRANÇA et al, 2006).
TÍTULO: A Pirâmide dos inteiros
OBJETIVO: Desenvolver a capacidade de operacionar com números inteiros.
RECURSOS:
- Flanelógrafo;
- Cartões com números inteiros.
PROCEDIMENTOS:
 Dividir a turma em grupos;
 Apresentação do flanelógrafo;
 Apresentação das primeiras peças que darão início à formação da pirâmide;
 Distribuição dos cartões entre os grupos;
 O professor ficará com alguns cartões que dará prosseguimento a atividade;
 Orientar os grupos na montagem da pirâmide;
 Para iniciar a atividade, os grupos têm como referência dois números inteiros,
por exemplo: + 18, – 36.
 Cada um desses números representa a soma dos dois números que estão
logo abaixo dele;
 A equipe que tiver o valor correspondente deverá encaixar a peça na
pirâmide;
 A atividade terminará quando todas as peças forem encaixadas.
Demonstração da pirâmide
 As peças de cor preta ficam com o professor;
 As peças de cor vermelha serão distribuídas para os alunos
+18
+54
+114
+210
+360

-150
-36
-60
-96
+24
+36
+54
-12
-18
+6
A atividade trabalha o raciocínio lógico do aluno oferecendo condições para a
compreensão para a regra de sinais operatórios.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.30. Atividade 30
Atividade extraída de (FRANÇA et al, 2006).
Título: Trilha só de Negativos
OBJETIVO: Ampliar o conceito de números inteiros, brincando com a trilha de
números negativos.
RECURSOS:
- Papel cartão;
- Dado;
- Régua;
- Lápis;
PPROCEDIMENTOS:
 Dividir a turma em grupos.
 Construção da trilha por grupo.
 Pedir que cada grupo formule uma expressão matemática.
 Em cada jogada, o participante deve resolver uma expressão.
 Não intervir no processo, apenas observar e avaliar o desempenho de cada
um.
 Se o participante acertar, jogar o dado e avançar as casas.
 Se errar, jogar o dado e voltar às casas.
 É vencedor quem percorrer primeiro todo o tabuleiro
SUGESTÃO DA TRILHA
(-2) . (-20 + 9)
 Continuar a trilha à sua maneira.
93
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
 A atividade proporcionará a compreensão do conhecimento do aluno, sendo
que o mesmo é participante ativo da construção dessa trilha.
5.31. Atividade 31
Atividade extraída de (FRANÇA et al, 2006).
Título: Argolas que somam ou subtraem
OBJETIVO: Calcular valores envolvendo números inteiros.
RECURSOS:
- Argolas coloridas;
- Material alternativo.
PROCEDIMENTOS:
 Esclarecer para os alunos que numa quermesse, o objetivo desse jogo é
atingir os pinos com as argolas;
 Na classe, a atenção aos sinais é a principal habilidade desenvolvida neste
jogo de argolas;
 Montar o tabuleiro com material alternativo;
 Cada pino deverá ser identificado com um número negativo ou positivo;
 Discriminar as cores das argolas:
– As azuis indicam que o valor do pino deve ser somado.
– As vermelhas indicam subtração
 Estimular o aluno a ficar atento ao sinal do número de cada pino, por
exemplo, de argola vermelha em um
pino negativo, o valor deverá ser
somado.
Depois das tentativas, o jogador deve efetuar as operações conforme
acertar os pinos,
 Efetuando o resultado, seja positivo ou negativo, será a pontuação
conseguida naquela jogada;
 Ao final, uma argola branca, que será um bônus, poderá ser arremessada;
94
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
95
 Caindo em um número (positivo ou negativo), seu valor será sempre somado
aos pontos conseguidos.
IDÉIA DO TABULEIRO
+
-

-
+
+
-
-
+
+
A atividade dará oportunidade de trabalhar material alternativo
proporcionando ao aluno uma maneira dinâmica de operacionar adição e
subtração com números inteiros.
5.32. Atividade 32
Atividade extraída de (FRANÇA et al, 2006).
Título: Mergulhando na piscina com os números inteiros
OBJEVIVOS:
- Identificar os números inteiros positivos e negativos no plano cartesiano;
-Compreender a utilização do plano cartesiano, como referência para o
reconhecimento do eixo de X e de Y.
RECURSOS:
- Caixa de papelão;
- Tesoura;
- Canetas coloridas;
- Um boneco.
PROCEDIMENTOS:
 Pedir aos alunos: o material para confecção da simulação da piscina, com
eixo X e Y;
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
96
 Criar uma situação para esclarecimento do plano cartesiano, como por
exemplo:
 João é atleta de salto em piscina. Irá participar de uma competição no ginásio
de esporte em sua cidade. João saltará de uma altura de 6m, em uma piscina
com 10m de profundidade. Ao saltar da plataforma ele percorrerá o eixo do Y,
no qual estão os valores maiores que 0 (zero), os positivos. Quando atingir o
nível da água (eixo do X), que é o ponto que intercepta a altura com a água,
João mergulha ainda percorrendo no eixo de Y os valores menores que 0
(zero), os negativos. Voltando ao nível da água, de frente para a parede da
plataforma, João deverá escolher o lado que sairá da piscina. Se escolher o
lado direito no eixo X, estará nadando para os valores maiores que 0 (zero),
positivos; se nadar para o lado esquerdo, nadará acompanhando os valores
menores que 0 (zero), os negativos em X.
Y
6
SALTO DE TRAMPOLIN
5
PLATAFORMA 2006
4
3
2
1
...
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
...
X
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
 O professor deverá usar de sua criatividade para explorar o aprendizado
do assunto abordado.

Esta atividade favorecerá o aluno na compreensão posicional dos valores
positivos e negativos no plano cartesiano.
5.33. Atividade 33
Atividade extraída de (FRANÇA et al, 2006).
Título: Régua Operatória
OBJETIVOS:
-Compreender que a escala numérica não começa no (0) zero;
-Resolver soma e subtração envolvendo os números inteiros.
RECURSOS:
-Régua;
-Cartolina;
-Pincel;
-Tesoura;
-Lápis.
PROCEDIMENTOS:
 Construção da régua operatória com os alunos;
 A régua construída é formada por duas retas numéricas que vão do –9 a 9;
 Manipulação da lâmina numerada de – 9 ao 9 que se movem para a direita ou
para a esquerda;
 Ensinar o aluno a manusear a régua operatória observando os cálculos de
uma maneira concreta. A partir da operação indicada. Como por exemplo:
- Encontrar o resultado da operação – 6 + 4, seguindo as orientações abaixo.
97
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
98
-  -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 + 
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-  -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
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0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 + 
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-  -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 + 
O resultado da
operação de -6+4,
-2 está na lâmina
Deslize a lâmina
azul.
Sem mover a
azul até o 0
régua, localize o 4
encontrar o –6 na
na lâmina cinza.
cinza.
Como construir a régua operatória:
1. Corte um retângulo de cartolina de 22x8 centímetro. Trace uma reta no centro
e gradue de – 9 a 9, deixando 1 centímetro de espaço entre os números e
nas pontas.
2. Em outro retângulo de 22x6 centímetro (cortado em cor diferente), abra uma
janela central de 20x2 centímetro, abaixo da abertura, trace uma escala
numérica igual a anterior.
3. Sobreponha às duas partes e dobre as extremidades da maior sobre a menor.
Com a régua fechada, a posição dos números nas duas escalas tem de
coincidir.

|
Utilizando a régua operatória, torna-se prática a resolução de situações de
adição e subtração que envolva os números inteiros relativos.
|
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
5.34. Atividade 34
Atividade extraída de (SOARES, 2008)
Título: Jogo das Argolas Surpresa
Objetivo: Praticar adições com números positivos e negativos, a partir
das situações obtidas com o sorteio de fichas numeradas e, também, de argolas que
indicaram, pela cor, se o aluno deverá perder ou ganhar pontos ( quem podem ser
positivo ou negativo).
Recursos: Um tabuleiro numérico de cartolina com 8 números positivos e
8 números negativos (-40; -35; -30; -25; -20; -15; -10; -5; +5; +10; +15; +20; +25;
+30; +35; +40), distribuídos aleatoriamente, um saco surpresa contendo 4 argolas
(duas claras que indicarão perda e duas escuras que indicarão ganho) para o
sorteio, um saco com cartões numerados (também para o sorteio) com os mesmos
números do tabuleiro, folha para registrar as expressões e papel para rascunho.
Veja a imagem destes materiais:
Descrição: A classe será dividida em grupos de quatro alunos (2 em
cada lado da mesa, ou seja, dupla contra dupla). O tabuleiro ficará no centro da
mesa, assim como os dois sacos escuros surpresas: um com as argolas e outro com
os cartões numerados.
Na primeira rodada, uma dupla sorteará que indicará se a dupla ganhará
ou perderá pontos e cartão numerado. A argola e o cartão deverão ser colocados no
tabuleiro, conforme a imagem abaixo:
99
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Após, os resultados dos sorteios serão registrados no papel para construir
uma expressão numérica. Por exemplo, a dupla sorteou a argola clara e o cartão
numerado 30, registrando – (+30).
Dessa forma, a dupla fará quatro sorteios (argolas e cartões), um de cada
vez, para construir uma expressão numérica. Depois, deverá resolver (no final do
quarto sorteio) a expressão numérica. Quando terminar de resolver sua expressão,
colocará as argolas e os cartões de volta nos sacos surpresas e passará a vez para
a outra dupla jogar, fazendo o mesmo procedimento que a dupla anterior.
O jogo terminará quando as duplas completarem a quinta rodada, ou seja,
quando construírem e resolverem 5 expressões numéricas.Assim, somaram o total
de pontos correspondente aos resultados de cada expressão e será vencedora a
dupla com o maior número de pontos.
5.35. Atividade 35
Atividade extraída de (FRANÇA et al, 2008)
Título: Seguindo as Setas da Multiplicação
OBJETIVOS:
Desenvolver o raciocínio matemático.
RECURSOS:
-Cópias de atividades;
-Uso do quadro;
-Pincel;
PROCEDIMENTOS:
 Explicar como a atividade será desenvolvida, desenhando no quadro os
esquemas da atividade;
 Distribuir as cópias com as atividades para cada aluno,
 O aluno deverá descobrir o valor que está por trás dos símbolos geométricos
(estrelas);
100
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
101
 O professor não deverá intervir na descoberta dos valores encontrados pelos
alunos;
 Após o término da atividade, o professor, investigará junto aos alunos as suas
descobertas.
15
x(2)
- 15
x?
x(- 3)
x(- 3)
- 15
- 60
+ 30
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
6. CONCLUSÃO
A pesquisa analisou o processo de ensino-aprendizagem dos alunos no
estudo dos números relativos, diagnosticando que há de fato, uma grande
dificuldade dos alunos na compreensão desse número como: na interpretação do
significado do sinal e na resolução das operações em situações problemas.
Os alunos pesquisados têm idade variando de 12 a 17 anos, com uma
incidência muito pequena de alunos em dependência em matemática.
Mais da metade dos alunos afirma gostar um pouco de matemática, no
entanto a maioria possui o péssimo hábito de estudar somente nas vésperas das
avaliações, recorrendo a professores particulares, na tentativa de compreender em
pouco tempo um assunto que como foi discutido enfrentou grandes desafios e sua
aceitação só foi consolidada depois de três séculos do inicio das discussões.
Apesar de considerarem o assunto números inteiros um conteúdo
relativamente fácil, a maior não consegue compreender o real significado dos sinais
nas operações com números negativos.
Além das dificuldades relacionadas diretamente ao conteúdo de números
inteiros, verificamos uma preocupante dificuldade na leitura e interpretação de
situações problemas.
Segundo os alunos, o conteúdo de números inteiros é trabalhado de
forma tradicional (definição, exemplos e exercícios), fazendo-se necessária a
introdução de novas metodologias para o ensino.
Deixamos como sugestão a utilização de algumas atividades na tentativa
de melhorar essa realidade. Atividades como Jogos e situações-problemas que
possam ser desenvolvidas por professores com seus alunos em sala de aula, como
uma maneira de colaborar no processo do ensino da matemática.
102
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
103
REFERENCIAS
ANGELO, C, L, Concepções De Futuros Professores Sobre A Multiplicação De
Números Inteiros, UFPel/UNIP, 2008.
ARAUJO, A.N.L; CÔRREA, C. B. S; SOUZA, L. F; FREITAS, M. A. S. Ensino dos
Números Inteiros, 2006- Trabalho de Conclusão de Curso-Universidade do Estado
do Pará, 2006.
CASTRO, D. R. A; SENA, M. G. F; ALMEIDA, M. G. M; NASCIMENTO, R. L. G.
Dificuldade de Aprendizagem dos Números Inteiros, 2006 - Trabalho de
Conclusão de Curso-Universidade do Estado do Pará, 2006.
FRANÇA, C. G. F; SILVA, M. L. C; CRUZ, R. M. F; REIS S. A. Uma proposta
metodológica para o ensino de números inteiros relativos, 2006 - Trabalho de
Conclusão de Curso-Universidade do Estado do Pará, 2006.
GIOVANI; GIOVANI JUNIOR. JOGOS DE NUMEROS INTEIROS. Disponível
em:<http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01038041/webfolios/grup
o4/inteiros/atividades.htm>. Acesso em 14 de Novembro de 2008.
GLAESER, G. Epistemologia dos Números Relativos. Boletim do GEPEM. Rio de
Janeiro, n. 17, p. 29-124, 1981.
GROENWALD, C. L. O; SAUE, L. O; FRANKE, R. F; NUNES, G. S; LAUTERT, L. T,
G. Teoria dos números e suas aplicações no processo de ensino e
aprendizagem, ULBRA/UFRGS, 2004.
ORIGEM
DOS
NÚMEROS
INTEIROS.
Disponivel
em:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/inteiros/inteiros.htm.
Acesso em 02 de Janeiro de 2009.
PASSONI, J.C. Pré-álgebra: Introduzindo os Números Inteiros. São Paulo: PUC,
2002.
PEREIRA F. L; MOURA, M. M; LIMA, M. D. V; FURTADO, N. F. Números Inteiros,
2006- Trabalho de Conclusão de Curso-Universidade do Estado do Pará, 2006.
REIS, F. M. A; SOUZA, G. S. C; COELHO, M. E. S. R; CARDOSO, S. S.
Dificuldades No Ensino-Aprendizagem dos Números Inteiros na 6ª Série do
Ensino Fundamental, 2006- Trabalho de Conclusão de Curso-Universidade do
Estado do Pará, 2006.
SÁ, P. F; BARROS NETO, A. J; ALVES F, J, C. Ensino de Números Relativos por
meio de atividades com calculadoras e jogos de regras. Enem, 2008.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
SANTOS, S. D. P, Interação Jogos educativos, docentes e estudantes em aulas
de matemática sobre números inteiros: analise com base na teoria da
relevância. Santa Catarina, Tubarão, 2005.
SCHLIEMANN, A; CARRAHER, D.W. A compreensão de conceitos aritméticos.
Campinas, São Paulo, 1998.
SOARES, P. J. O jogo como um Recurso didático na Apropriação dos números
inteiros: uma experiência de sucesso. São Paulo, 2008.
TALAVERA, L. M. B. Uma abordagem histórica dos números negativos.
Faculdades Oswaldo Cruz, 2003. Disponível em:<G:\TCC\referencias lidas\Artigo
Uma abordagem histórica dos números negativos.mht>. Acesso em 20 de Dezembro
de 2008.
TODESCO, H. , Um Estudo com os Números Inteiros nas Séries Iniciais: Reaplicação da Pesquisa de PASSONI. São Paulo, PUC, 2006.
ZENI, J. R. R, Três Jogos para o Ensino e Aprendizagem de Números e
Operações no Ensino Fundamental. Departamento de Matemática – Universidade
Estadual Paulista (UNESP), 2008.
104
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
105
Apêndice A – Questionário de Pesquisa
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Prezado(a) aluno (a),
Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensinoaprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as
questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e
garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
1- Idade:
2- Sexo:
3- Escolaridade (até que serie estudou) de seu responsável masculino?...................................
4- Escolaridade (até que serie estudou) de seu responsável feminino?....................................
5- Qual a profissão de seu responsável masculino?............................................................
6- Qual a profissão de seu responsável feminino?..............................................................
7- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Muito pouco ( ) Um pouco(
8- Você está em dependência em Matemática? ( ) Não (
) Muito
) Sim
9- Você costuma estudar matemática. Fora da escola.
( ) Só no período de prova ( ) Só no fim de semana ( ) Todo dia ( )Só na véspera da
prova.
10- Quem lhe ajudava nas tarefas de matemática na 6° série?
( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) (
11- Você costuma fazer compras? ( ) Sim ( ) Não (
) Outro:____
) As vezes
12- Em que tipo de escola você estudou os números relativos? Pública Estadual( ) Pública
Municipal ( ) Pública Federal( ) Privada( ) Outro ( ).................
13- Quando você estudou números inteiros relativos a maioria das aulas foi:
( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
14- Para fixar o conteúdo estudado de Números Inteiros Relativos o seu professor:
( ) Apresentava jogos envolvendo o assunto
( ) Mandava resolver os exercícios do livro didático
( ) Não propunha questões de fixação
( ) Mandava que você procurasse questões sobre o assunto para resolver.
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Assunto
Idéia de número inteiro Relativos
Adição de mesmo Sinal
Adição de Sinais Diferente
Multiplicação de mesmo Sinal
Multiplicação de Sinais diferente
Divisão de mesmo Sinal
Divisão de Sinais diferente
Potenciação com expoente positivo par
Potenciação com expoente positivo
impar
Potenciação com expoente negativo
Situações Problemas cm Números
Inteiros Relativo
106
GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER
Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito difícil
15- Preencha o quadro abaixo
1.Resolva as questões abaixo:
g) 3 – 5 =
h) 5 – 2 =
i) - 3 – 5 =
j) + 4 + 2 =
k) 2 .(-3) =
l) (-2). (-5) =
n) (-3)² =
p) -3² =
g) (-2).(+4) =
h) (+2).(+5) =
i) (+10)÷(+2) =
j) (-10)÷(-2) =
l) (-10)÷(+2) =
m) (+15)÷(-3) =
o) (-3)² =
q) (-4)º =
1
r) 2 
s) 32 
2. Em um campeonato de futebol jogaram 6 times.Complete a tabela, sabendo
que cada vitória vale 3 pontos positivos, cada derrota 3 pontos negativos e cada
empate vale 1 ponto positivo.
Clube
Vitória
Derrota
Empate
Remo
4
2
4
Paysandu
4
4
2
Tuna luso
2
6
2
Águia
6
4
0
Castanhal
7
2
1
Ananindeua
5
4
1
d) Qual é o time que está em primeiro lugar?
e) Qual é o time que está em último lugar?
f) Coloque os times em ordem decrescentes de pontos
Total de
pontos
+10
3. A cidade de Belém, no estado do Pará, amanheceu com uma temperatura
de 25°C. Durante o dia, a temperatura subiu 8°C,mas à noite desceu
10°C.Qual foi a temperatura mínima atingida durante a noite?
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
4. O elevador do prédio onde moro indica os andares acima do térreo com
sinal positivo, e abaixo, com sinal negativo. Se o elevador descer do térreo
ao 2°.subsolo e depois subir 7 andares, em que andar ele pára?
5. O Sr. Roberto, para saldar a sua dívida cm o Banco A, deposita R$
700,00.Como ele deve $500,00, ficará com um crédito de R$ 200,00 no
Banco A. Ao Banco B, ele deve $700,00. Se ele depositar R$ 300,00,
saldará sua dívida com o Banco B?
6. Quem nasceu no ano -14, ou seja, no ano 14 antes de Cristo, e viveu 75
anos, em que ano morreu?
107
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
108
Apêndice B – Classificação de dificuldade para aprender Números Inteiros
Grau de dificuldade para aprender
Muito
fácil
Fácil
Regular
Difícil
Muito
difícil
Idéia de número inteiro
Relativos
17
25
49
13
2
Adição de mesmo Sinal
30
42
24
4
0
Adição de Sinais Diferente
22
40
29
8
1
Multiplicação de mesmo Sinal
27
33
30
9
1
Multiplicação de Sinais
diferente
11
32
46
7
4
Divisão de mesmo Sinal
9
35
42
11
3
Divisão de Sinais diferente
10
20
49
19
2
Potenciação com expoente
positivo par
10
24
35
24
7
Potenciação com expoente
positivo impar
11
21
44
16
8
Potenciação com expoente
negativo
8
21
43
21
7
Situações Problemas com
Números Inteiros Relativo
9
10
36
27
18
Assunto
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Apêndice C – Cartas do baralho de números inteiros
109
VALE, R. S. O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir...
Centro de Ciências Sociais e da Educação
Curso de Matemática
Av. Djalma Dutra S/n
66030-010 Belém - PA
110