FÍSICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]
732 p.
ISBN: 978-85-387-0576-5
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Tópicos de
cinemática
escalar: MRU
(movimento retilíneo
uniforme)
Serão apresentados neste tópico os conceitos
clássicos de posição e trajetória. Deve existir um cuidado muito grande, em Física, com os termos utilizados porque várias palavras usadas no cotidiano trazem
confusão na hora de resolver problemas. Portanto,
devemos usar sempre uma linguagem científica.
EM_V_FIS_002
Cinemática
Definimos Cinemática como a parte da Física
que estuda os movimentos, sem preocupação de sua
causa ou do elemento que executa esse movimento.
Móvel é o nome utilizado para o elemento que
executa o movimento e será considerado, quase sempre, um ponto material, isto é, suas dimensões podem
ser desprezadas em comparação com as demais dimensões envolvidas no problema.
O ponto material será determinado por uma posição, associada a um eixo ou a um plano, como fazemos
em matemática com as coordenadas cartesianas.
Para se entender o conceito de movimento ou
repouso, considere o seguinte exemplo:
Um homem está sentado, dentro de um ônibus
que trafega em uma rua, tendo ao seu lado uma
criança adormecida. Uma mulher está na calçada,
aguardando a possibilidade de atravessar a rua. Para
essa mulher, a criança está em movimento e para o
homem, a criança está em repouso.
Como se nota por esse exemplo, o conceito de
movimento está relacionado ao referencial ou sistema
de referência adotado. É possível, então, um corpo
estar em movimento em relação a um dado referencial
e estar em repouso em relação a outro.
Definidos o movimento de um corpo como a
mudança de posição em relação a um determinado
referencial, no decorrer de um intervalo de tempo;
o repouso representa a não-variação de posição no
decorrer do tempo.
Como sabemos, tudo no Universo tem movimento e, portanto, quando necessitamos de um referencial "parado" adotamos algo que, em relação ao móvel, tenha um movimento desprezível; por exemplo,
para a Terra uma estrela é um referencial "parado";
no laboratório, uma haste fixa é um referencial "parado" para um corpo que colocamos em movimento.
Observe que o termo "parado" pode significar que o
referencial está executando um movimento idêntico
ao do móvel, como pode ser observado no caso de
alguns satélites artificiais: o satélite está executando
um movimento aproximadamente circular, gastando
o mesmo tempo que a Terra em seu movimento de
rotação, isto é, em relação à Terra o satélite está
"parado" (geoestacionário).
No estudo de dinâmica definiremos um referencial
inercial, ou seja, um referencial que, supostamente,
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1
não sofre modificação no seu estado de movimento
ao longo do tempo.
Chamamos trajetória à linha obtida unindo-se
os pontos sucessivamente ocupados pelo móvel.
As trajetórias podem ser consideradas:
1)Abertas, quando o móvel, após um intervalo
de tempo, não passa pelo ponto considerado
como partida.
2)Fechadas, quando o móvel, após um intervalo
de tempo, passa novamente pelo ponto considerado como partida; algumas trajetórias
fechadas, de forma geométrica bem definida,
são chamadas de órbitas.
Quanto às trajetórias abertas, podemos considerá-las retilíneas ou curvilíneas.
Imaginemos a trajetória representada pela
figura abaixo e marquemos sobre ela dois pontos
A e B:
B
A
Podemos considerar, sobre essa trajetória, dois
sentidos: o de A para B e o de B para A; qualquer
um deles pode ser tomado, arbitrariamente, como
positivo e o outro, oposto a esse, será o negativo.
O movimento executado no sentido positivo é
chamado movimento progressivo; se for no sentido
negativo será chamado de movimento retrógrado.
Vamos, agora, associar essa trajetória a um par
de eixos cartesianos:
S=S1–S0
Note que a variação de posição ( S) nem sempre corresponde ao espaço percorrido; se um móvel
parte de um ponto qualquer e, independente do
tipo de trajetória, retorna ao ponto de partida, sua
variação de posição é nula ( S = 0), mas o espaço
percorrido não.
Equação horária
do movimento
Se um móvel executa movimento em uma trajetória, podemos representar tal fenômeno por meio de
um gráfico ou de uma expressão matemática.
Essa expressão matemática é chamada a função horária ou equação horária do movimento. Como
a cada instante o móvel ocupa uma posição definida,
podemos escrever:
S = f (t)
Na representação por meio de um gráfico,
marcamos no eixo x vários instantes e no eixo y as
posições ocupadas pelo móvel nos instantes correspondentes. Observe que o gráfico não nos dá a
trajetória, mas como o movimento ocorreu, é possível
que um móvel que descreve uma trajetória retilínea
tenha por gráfico uma curva.
``
Exemplo
1) Um móvel tem, como função horária, a seguinte
equação S = 5 + 5 t (SI) ; montaremos o gráfico entre
os instantes t0=0 e t4=4s, construindo uma tabela:
tempo
0s
1s
2s
y
B
A
posição
5m
10m
15m
tempo
3s
4s
posição
20m
25m
S(m)
x
25
20
15
10
5
1
2
3
4
t(s)
Como já era previsível, obtivemos, com o gráfico do
movimento, uma reta; realmente, sendo a função horária
uma equação de 1.º grau, a representação gráfica seria,
obrigatoriamente, uma reta.
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EM_V_FIS_002
2
Admitindo-se que no instante em que iniciamos
a nossa observação (t0 = 0), o móvel estava no ponto
A, chamaremos essa posição de posição inicial (S 0);
após decorrer um intervalo de tempo ( t = t 1 – t 0 ,
t 1 0) o móvel estará ocupando a posição B, que será
chamada de posição final (S 1).
Definimos a coordenada da posição de um móvel
à medida algébrica do arco orientado, medido a partir
de um ponto escolhido como posição inicial.
Em função do exposto, podemos definir uma
variação de posição ( S), como a diferença entre a
posição final e a posição inicial de um móvel numa
trajetória, e escrevemos:
``
Exemplo
2) Um móvel tem como função horária a seguinte
equação S = 5 + 5 t 2 (SI); montaremos o gráfico
entre os instantes t0=0 e t3=3s e outra vez, construindo a tabela:
tempo
0s
1s
2s
3s
posição
5m
10m
25m
50m
Velocidade escalar média
A velocidade escalar média representa a razão
entre a variação de posição e o intervalo de tempo
gasto nesse movimento:
S
v=
t
As suas unidades são:
1)No SI: m/s ou ms– 1
2)No CGS: cm/s ou cms– 1 ,
1 m/s = 10 2 cm/s
S(m)
3)Outras: km/h ou kmh– 1,
1
1 km/h = 3,6 m/s ou
36 km/h = 10 m/s;
55
50
45
nó (milha por hora) = 1,85km/h
40
35
30
25
20
Esta última é muito usada em navegação e, por
isso, usamos a milha marítima (1 milha marítima =
1 852m); existe a milha terrestre (1 milha terrestre
= 1 609m ).
15
10
5
1
2
3
4
5
t(s)
EM_V_FIS_002
Como já era previsível, obtivemos, com o gráfico do movimento, uma curva; realmente, sendo a função horária
uma equação de 2.º grau, a representação gráfica seria,
obrigatoriamente, uma curva.
É preciso que se tome muito cuidado com os
conceitos matemáticos já adquiridos. Toda equação
de 1.º grau é representada graficamente por uma
reta e toda equação de 2.º grau é representada por
uma curva.
Existem vários tipos de curvas: circunferência,
parábola, elipse, hipérbole, catenária etc. Cada uma
delas tem uma equação, não do 1.º grau, diferente.
Por exemplo:
a) a representação gráfica da equação x2 + y2 = a
é uma circunferência;
a
b)a representação gráfica da equação y =
x
é uma hipérbole equilátera (muito cuidado:
essa equação não é de 1.º grau);
c) a representação gráfica da equação ax2+bx
+c = y é uma parábola.
É importante para os exercícios envolvendo ordem de grandeza conhecermos algumas velocidades
médias, para que possamos fazer comparações:
v de um caramujo = 1mm/s
v de um pedestre = 1,6m/s
v de um nadador = 1,7m/s
v da gota de chuva = 9m/s
v de um corredor = 10m/s
v de um navio = 50km/h
v de um avião = 900km/h
A velocidade escalar média, como o próprio
nome indica, nos dá a ideia de como o movimento
total entre duas posições foi realizado.
Velocidade média
A velocidade média representa a razão entre
o deslocamento e o intervalo de tempo gasto nesse
movimento
Vm=
S
t
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3
Vamos usar um exemplo para concretizar essas
ideias.
Um carro viaja da cidade de São Paulo para a
cidade do Rio de Janeiro e retorna, em seguida, para
São Paulo, gastando, no total dessa viagem, 10 horas. A sua velocidade escalar média (v) é zero, pois
saiu de uma dada posição e no final do movimento
ocupa a mesma posição de onde partiu ( S f= S i
S = 0 );a sua velocidade média (vm) é de 80km/h,
pois percorreu o espaço de 800km (400 na ida e 400
na volta) em 10h.
Em ambos os casos, temos uma ideia geral de
como o movimento aconteceu, mas não sabemos
como decorreu a viagem em cada intervalo de tempo, isto é, se aproveitando a descida o motorista
desenvolveu uma velocidade maior do que 80km/h,
se houve um congestionamento e ele reduziu essa
velocidade para 40km/h, se durante a viagem o carro
parou para que o motorista trocasse um pneu furado
ou para tomar um lanche.
Gráfico da velocidade
pelo tempo
Como visto no tópico anterior, o gráfico da posição em função do tempo, para um móvel cuja função
horária é S = 5 + 2t (SI), é dado por:
S(m)
25
diferença de tempo entre o instante final e o instante
inicial é tão pequena, que se aproxima de zero; note
bem que ela não é zero, mas chega bem perto desse
valor, para os parâmetros definidos.
Dentro da Matemática usamos um processo
definido como limite para calcular essas situações.
Velocidade escalar instantânea
Voltemos ao exemplo anterior; se quisermos
saber, em cada instante, qual era a velocidade do
carro, vamos dividir o intervalo de tempo de 10h em
porções tão pequenas quanto possível e observar o
comportamento da velocidade.
Dizemos que a velocidade escalar instantânea
corresponde ao limite da razão entre variação de posição e o intervalo de tempo, quando esse intervalo
de tempo tende para zero.
v
v = lim S ou v = lim
t 0
t 0
t
Conceito de derivada e
significado geométrico
Em matemática definimos a derivada de uma
função como sendo o limite da variação dessa função
em um intervalo que tende a zero. Então, quando
escrevemos
v = lim v
t
20
podemos, usando o conceito de derivada, dizer
15
que
10
v = dS
dt
5
2
3
4
t(s)
Observando esse gráfico, podemos ver que a
tangente do ângulo poderia ser escrita como a
relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente
a ele, isto é, tg = St ; isso fisicamente corresponde à equação da velocidade, mostrando que, num
gráfico de S . t, a tangente à curva representa a
velocidade.
Instante
O instante representa um intervalo de tempo
tão pequeno quanto se consiga ou, usando uma
linguagem matemática, t tende para zero, isto é, a
ou, a velocidade instantânea representa a derivada da posição em função do tempo.
O gráfico seguinte refere-se ao segundo exemplo do tópico anterior.
``
Exemplo
1) Um móvel tem como função horária a seguinte
equação S = 5 + 5 t 2 (SI); montaremos o gráfico
entre os instantes t 0 = 0 e t 3 = 3s e outra vez, construindo a tabela:
tempo
posição
tempo
posição
0s
5m
2s
25m
1s
10m
3s
50m
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EM_V_FIS_002
1
4
0
ou, a aceleração instantânea representa a derivada da velocidade em função do tempo.
S(m)
55
Movimento
retilíneo uniforme
50
45
40
Dizemos que um móvel executa movimento
retilíneo uniforme (MRU), relativamente a um dado
sistema de referência, quando a sua trajetória pode
ser considerada uma reta e sua velocidade permanece inalterada.
Consideremos um móvel que percorre a trajetória no eixo Ox da figura abaixo.
35
30
25
20
15
10
O
5
-5
1
2
3
4
5
t(s)
A curva, agora, é um arco de parábola; traçando-se a
reta r , tangente à curva que passa pelo ponto 3s , vamos
ter, novamente tg = S , representando a velocidade
t
naquele instante, ou seja, a velocidade escalar instantânea
em t = 3s.
Aceleração escalar média
A aceleração escalar média representa a razão
entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo
gasto nessa variação a– = v
t.
As suas unidades são:
1) No SI : m/s 2 ou ms – 2
2) No CGS : cm/s 2 ou cms – 2 ,
1 m/s 2 = 10 2 cm/s 2
Aceleração
escalar instantânea
Dizemos que a aceleração escalar instantânea
corresponde ao limite da razão entre variação de velocidade e o intervalo de tempo quando esse intervalo
tende para zero.
EM_V_FIS_002
V
a = lim
t 0 t
ou
a = lim
a
t 0
Podemos, usando novamente o conceito de derivada, dizer:
dv
a= dt
S0
S1
S2
t0
t1
t2
x
Se iniciarmos as nossas observações no instante
em que ele está na posição S0, dispararemos nesse
instante um cronômetro e consideraremos t0=0. Ao
passar pela posição S1 o cronômetro registrará o instante t1(t1> t0) e ao passar pela posição S2 teremos o
instante t2 (t2 > t1).
A velocidade escalar média do móvel, entre os
instantes t1 e t0 será:
S 1 - S0
_
S
v(0,1) = (0,1)=
t(0,1) t1 - t0
Como a velocidade não varia, podemos dizer
que a velocidade escalar média é a mesma em todos os instantes, isto é, ela será igual à velocidade
instantânea e tendo admitido t0=0s, escrevemos:
v = S1 - S0
ou S1 – S0 = v t1, donde
t1
S =S +vt
1
0
1
Para o ponto S2 teremos S2 = S0 + v t2 e generalizando para um instante t qualquer, teremos:
S = S0 + v t
que é a equação horária do MRU
Como pode ser notado, ao escolhermos, arbitrariamente, um instante t0, podemos ter instantes
positivos ou negativos mas, como t será sempre o
instante final menos o instante inicial, t será obrigatoriamente positivo; quanto a S, ele poderá ser
positivo, se a posição final tiver um valor maior que
a posição inicial ou negativo, em caso contrário.
S -S
Se v= final inicial podemos afirmar que o sinal
t
de v só dependerá do sinal de S; se S > 0 v > 0
(movimento progressivo) e se S < 0 v < 0 (movimento retrógrado).
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5
Um caso bastante importante e com grande incidência nas provas vestibulares, é a situação teórica
de um móvel que executa dois ou mais movimentos
com velocidades constantes e distintas.
Considere, por exemplo, um móvel que partindo
de uma posição S0 com velocidade constante v1, atinge a posição S1 no instante t1 . Nesse momento, muda
instantaneamente para uma velocidade v2 , também
constante. Num instante t2, atinge uma posição S2,
tal que S2– S1 = S1 – S0 e S2 – S0= d .
O
S0
d/2
t0
S1
d/2
S2
x
t2
t1
Vamos determinar a v(0,2) =
S
S0
t
Nesse gráfico, a velocidade é negativa, já que
o ângulo entre a reta e o eixo t é de 2.º ou 4.º quadrante, o que caracteriza uma tangente negativa; o
movimento é retrógrado.
Como a velocidade é constante, o gráfico da velocidade para esse movimento será sempre uma paralela
ao eixo do tempo.
v
S(0,2) S2 – S0
t(0,2) = t2 – t0
v
Como t2 – t0 = (t2 – t1) + (t1 – t0) e
(t2 – t1)=
v(0,2) =
t1
S2 – S1
S – S0
e (t1 – t0)= 1
v1
v2
d
d
=
d/2 + d/2 d(v1+v2)
v2
v1
2v1v2
ou v(0,2) =
2v1v2
v1+v2
Se tivermos n trechos iguais, cada um percorrido
com velocidade constante, podemos escrever:
t2
t
A área sombreada representa a variação de
posição S entre os instantes t 1 e t 2.
Como a aceleração escalar média é definida
_
como a = vt , e sendo a velocidade constante, v será
igual a zero e o gráfico da aceleração para esse
movimento
_ será sempre uma reta sobre o eixo do
tempo (a = a).
1_ = 1 1 + 1 + ... + 1
vn
v
n v1 v2
a
que representa a média geométrica das velocidades em cada trecho.
a
t
Gráficos do MRU
Como vimos anteriormente, a equação horária
do MRU é S = S 0 + v t, e sendo essa equação de 1.º
grau, concluímos que a representação gráfica S x t do
MRU será uma reta oblíqua traçada pelo ponto S0.
S
t
S0
a) 6
b) 12
c) 24
d) 48
e) 96
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EM_V_FIS_002
Nesse gráfico, como a velocidade corresponde
ao coeficiente linear da reta, ela é positiva, já que
o ângulo entre a reta e o eixo t é de 1.º ou 3.º quadrante, o que caracteriza uma tangente positiva; o
movimento é progressivo.
6
1. (Fund. Carlos Chagas-SP) Para filmar um botão de rosa
que desabrocha e transforma-se numa rosa aberta,
foram tiradas fotografias de 2 em 2 horas. Essas fotos,
projetadas à razão de 24 fotos/segundo, mostraram
todo o transcurso acima descrito em 2 segundos. O
desabrochar da rosa ocorreu realmente em um número
de horas igual a:
``
Solução:
``
Como o tempo total de projeção foi de 2s podemos
concluir que foram projetadas 48 fotos; como o intervalo
de tempo (t) entre duas fotos é de 2 horas, podemos
escrever
Solução:
Vamos montar um gráfico
s(m)
25
21
17
13
9
5
t real 48 . 2 horas = 96 horas
Letra E
2. (Unificado) Uma formiga movimenta-se sobre um fio
de linha. Sua posição (S) varia com o tempo, conforme
mostra o gráfico.
t(s)
0 1
2
3
4
5
4,0
Como o gráfico nos mostra uma reta, a posição é uma
função linear onde o termo independente vale 25 e o coeficiente linear da reta (tg ) vale tg = 5 - 25 = -20
5-0
5
tg = –4; a equação será, então s = 25 – 4t
2,0
Letra C
S(cm)
6,0
0
2,0
4,0
6,0
t(s)
O deslocamento entre os instantes t = 0s e t = 6,0s é:
a) 0,5cm
b) 1,0cm
4. (UFRJ) Um foguete foi lançado da Terra com destino a
Marte. Na figura abaixo estão indicadas as posições da
Terra e de Marte, tanto no instante do lançamento do
foguete da Terra, quanto no instante de sua chegada a
Marte. Observe que, a contar do lançamento, o foguete
chega a Marte no instante em que a Terra completa 3/4
de uma volta em torno do Sol.
c) 1,5cm
Marte no instante
de chegada
d) 2,0cm
e) 2,5cm
``
Solução:
Terra no instante
de chegada
S0=2,0cm e t1=6,0s
Pelo gráfico vemos que t0=0
S1=1,0cm ; então, como S = S1–S0 , S = 1,0 – 2,0
S = –1,0cm; a variação de posição é de –1,0cm ,
mas quando se fala em deslocamento considera-se o
valor absoluto.
Sol
Terra no instante
do lançamento
Letra B
3. (FEI-SP) A posição de um ponto varia no tempo conforme a tabela:
s (m)
25
21
17
13
9
5
t (s)
0
1
2
3
4
5
A equação horária desse movimento é:
a) s = 4 - 25t
b) s = 25 + 4t
EM_V_FIS_002
c) s = 25 - 4t
d) s = -4 + 25t
e) s = -25 - 4t
Marte no instante
do lançamento
Calcule quantos meses durou a viagem desse foguete
da Terra até Marte.
``
Solução:
Como pode ser observado na figura, o intervalo de tempo
da viagem do foguete é igual ao intervalo de tempo gasto
pela Terra para percorrer 3 da sua órbita em torno do
4
Sol. Como para a Terra chamamos esse intervalo de
tempo de 1 ano ou 12 meses, temos:
3
tfoguete = 4 . 12 meses
tfoguete = 9 meses.
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7
5. (Cesgranrio) Um fabricante de automóveis anuncia que
determinado modelo atinge 80km/h em 8 segundos (a
partir do repouso). Isso supõe uma aceleração média
próxima de:
como a opção relata 2h para o primeiro movimento e 2h
para o segundo, o tempo de viagem seria de 4h.
Opção E certa: o percurso total nos dá 300km que é o
dado no exercício; no primeiro movimento teríamos
t 1= 150
t 1 =3h; no segundo teríamos ⇒ Δ
50
t 2= 150
t 2 = 2h; como o tempo total é a soma
75
t1 + t 2 teríamos ttotal = 5h, que é o tempo calculado
na opção D.
a) 0,1m/s 2
b) 3m/s 2
c) 10m/s 2
d) 23m/s 2
``
7.
Solução:
Se o automóvel parte do repouso, sua velocidade inicial
(v 0) é igual a 0; sua velocidade final (v) será transformada
em m/s para que a resposta possa ser dada em m/s 2 ;
_
v
então, v = 80 m/s v = 22, 22m/s; como a = t tere3,6
_
_
mos a = 22,22 - 0 ou a = 2,78; como os dados foram
8
apresentados com 2 AS e 1 AS, tendo feito uma divisão,
a resposta só poderá conter um algarismo significativo.
a) 50km/h
b) 47km/h
c) 42km/h
d) 40km/h
e) 28km/h
Letra B .
6. (UEL-PR) A velocidade escalar média de um automóvel,
num percurso de 300km, foi de 60km/h. Então, é válido
afirmar que:
``
b) a velocidade do automóvel, em qualquer instante,
não foi, em módulo, inferior a 60km/h.
c) a velocidade do automóvel, em qualquer instante,
não foi superior a 60km/h.
d) se o automóvel manteve durante 2h a velocidade
média de 50km/h, deve ter mantido durante mais
2h a velocidade média de 100km/h.
``
Solução:
Opção A errada: o valor da velocidade média não
representa nem a velocidade em um instante, nem a
velocidade média em um intervalo de tempo durante
a viagem.
8
Solução:
A velocidade escalar média nos primeiros 40km será tal
_ ; a velocidade escalar média nos 100km
que t1= 40
v
seguintes será tal que t 2= _100 ; como o tempo total
v + 10
de movimento foi de 3h, teremos Δt 1 + Δt 2 = 3h ou
_ + _100 = 3; resolvendo-se a equação
substituindo 40
v + 10
v
de segundo grau teremos, como raízes, 40 e – 10 ; não
3
interessando
a resposta negativa, diremos então que
_
v = 40m/s.
a) em uma hora o automóvel percorreu 60km.
e) se o automóvel percorreu 150km com velocidade
média de 50km/h, deve ter percorrido os outros
150km com velocidade média de 75km/h.
(MACK -SP) Um carro faz um percurso de 140km em 3h.
Os primeiros 40km ele faz com certa velocidade escalar
média e os restantes 100km com velocidade média que
supera a primeira em 10km/h. A velocidade média nos
primeiros 40km foi de:
Letra D
8. (PUC-SP) Numa corrida de carros, suponha que o vencedor gastou 1h 30min para completar o circuito, desenvolvendo uma velocidade média de 240km/h, enquanto
que um outro carro, o segundo colocado, desenvolveu
a velocidade média de 236km/h. Se a pista tem 30km,
quantas voltas o carro vencedor chegou à frente do 2.º
colocado?
a) 0,2 volta.
b) 0,4 volta.
Opção B errada: a velocidade instantânea pode ter tido
qualquer valor, inclusive zero.
c) 0,6 volta.
Opção C errada: a velocidade instantânea pode ter tido
qualquer valor, maior ou menor do que a velocidade
média.
e) 1,2 voltas.
Opção D errada: se o percurso foi de 300km e sua velocidade média foi de 60km/h, o tempo gasto no percurso
foi de t = vS ou t = 300
60 donde Δt = 5h;
d) 0,8 volta.
``
Solução:
O primeiro carro terá S1 = 30n onde n representa o
número de voltas que ele deu no intervalo de tempo Δ
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EM_V_FIS_002
e) 64m/s 2
t=1h 30min; o segundo carro terá S2 = 30n’ onde n’
representa o número de voltas que ele deu no mesmo intervalo de tempo tΔ , já que uma corrida de carros termina
quando o primeiro colocado recebe a bandeirada.
_
S
Como v = t podemos escrever, para o primeiro carro,
observando que as unidades estão coerentes
240 = 30n
1,5
(v em km/h , comprimento da pista em km e o tempo
foi passado para horas); portanto n = 240 . 1,5 ou
30
n = 12 voltas; repetindo o mesmo cálculo para o segundo
carro, vem 236= 30n' e portanto n’ = 236 . 1,5 ou
1,5
30
n’ = 11,8 voltas; então, a diferença no instante da chegada foi x = n – n’
10. (U.F.MG) Duas esferas se movem em linha reta e
com velocidades constantes ao longo de uma régua
centimetrada. Na figura estão indicadas as velocidades
das esferas e as posições que ocupavam num certo
instante.
9 10 11
14 15
16 17 18 19 20 21 22
23
c) 18cm
d) 20cm
e) 22cm
``
Solução:
Chamaremos a esfera preta de 1 e a branca de 2;
esfera 1: S0 = 10cm; v1 = 5cm/s
1
esfera 2: S0 = 14cm; v2 = 3cm/s
2
Como a foto mostra um dado instante e elas vão se encontrar, os tempos de movimento são iguais; as equações
horárias serão S1= S0 + v1t e S2= S0 + v2t; no ponto de
1
2
encontro S1= S2 e, portanto, S0 + v1t = S0 + v2t.
a) 11min.
b) 1min.
c) 5,625min.
1
2
Substituindo os valores teremos 10 + 5 t = 14 + 3 t ou
2t = 4 ou t = 2 s; para calcular o ponto de encontro podemos usar a equação da esfera 1 ou da 2; usando a 1.
d) 3,5min.
e) 6min.
Solução:
S1 = 10 + 5 . 2 ⇒
Aplicando a equação de posição para o batalhão e para
a ordenança:
Letra D
batalhão Sf = S0 + 5 t b onde tb é o tempo gasto pelo
batalhão.
ordenança Sf = S0 + 80 t o onde t o é o tempo gasto pela
ordenança.
Tendo ambos partido do quartel, S0 é o mesmo e como
vão se encontrar, isto é, ocupar uma mesma posição,
Sf também é o mesmo ou 5tb= 80 to e, simplificando,
tb=16 to.
15 to = 1,5 ⇒ t o = 0,1h; como o exercício pede em
minutos to = 0,1 . 60min ⇒ to = 6min
S1 = 20cm
11. (UEL-PR) Duas cidades, A e B, distam entre si 400km.
Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B;
no mesmo instante, parte de B outro móvel O dirigindose a A. Os móveis P e O executam movimentos uniformes
e suas velocidades escalares são de 30km/h e 50km/h,
respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de
encontro dos móveis P e O, em km, vale:
a) 120
b) 150
c) 200
O tempo de marcha do batalhão vale o tempo de viagem
do jipe mais o intervalo de tempo entre os dois inícios; então tb = t o + 1,5 e substituindo 16 to = to + 1,5, donde
Letra E
13
b) 17cm
x = 0,2 volta.
9. (FGV-SP) Um batalhão de infantaria sai do quartel para
uma marcha de exercícios às 5 horas da manhã, ao passo
de 5km/h. Depois de uma hora e meia, uma ordenança
sai do quartel de jipe para levar uma informação ao
comandante da marcha, ao longo da mesma estrada,
a 80km/h. Quantos minutos a ordenança levará para
alcançar o batalhão?
EM_V_FIS_002
12
As esferas irão colidir na posição correspondente a:
a) 15cm
Letra A.
``
3cm/s
5cm/s
d) 240
e) 250
``
Solução:
Como haverá encontro as posições finais dos móveis
serão iguais; montaremos o esquema
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9
vp
a) 120km/h
v0
b) 80km/h
400km
A
B
c) 65km/h
Considerando-se S0 = 0 e S0 = 400 estaremos orienP
O
tando o eixo e admitindo que é positivo para a direita;
como os módulos das velocidades de P e O são 30 e 50
e tendo os móveis partido no mesmo instante (tP= tO= t),
escrevemos suas equações horárias
d) 35km/h
e) 15km/h
``
Dado um gráfico v x t, a área sob a curva nos dá a variação de posição (Δ S). A base superior, desconhecida,
será chamada de b; teremos, então Δ S = 2 . área do
trapézio ou S = 2 . (60 + b) . 120 o que resolvendo dá
2
S = (60+b) 120 ; como a velocidade escalar média
_ (60 + b)
_
_ (60 + b) . 120
é v = St
ou v =
v=
2
240
_
v = 30 + b ; apesar de b ser desconhecido, o gráfico nos
2
_
mostra que 0 < b < 60 ; substituindo na equação
de v os
_
valores limítrofes de b, obteremos: 30 < v < 60.
Sp= S0 + 30t e SO= S0 + (– 50)t; igualando:
p
O
0 + 30t = 400 – 50t ou 80t = 400 ⇒ t = 5h; como o
exercício pede a distância de A à posição do encontro,
podemos fazer para o móvel P:
Sp= 0 + 30 x 5 ⇒ Sp= 150km. Resposta letra B, já que
adotamos o ponto A como referencial.
12. (EMC-RJ) Uma substância injetada na veia da região
dorsal da mão vai até o coração, com velocidade média
de 20cm/s e retorna ao ponto de partida, por via arterial
de igual percurso, com velocidade média de 30cm/s.
Logo, podemos concluir que:
Letra D
É interessante notar que, apesar do tempo estar em
segundos e a velocidade em km/h, não precisamos fazer
transformação de unidades; se quiser ter certeza da nossa
afirmativa pegue a expressão a e coloque as unidades:
_ (60 + b)s .120
km/h ; facilmente se nota que 60
v=
240s
e b estão expressos em segundos, que
_ vai eliminar a
unidade s do denominador; com isso, v estará expressa
em km/h.
a) a velocidade média no percurso de ida e volta é
24cm/s;
b) o tempo gasto no trajeto da ida é igual ao de volta;
c) a velocidade média do percurso de ida e volta é de
25cm/s;
d) a velocidade média no trajeto de ida e volta é de
28cm/s.
e) nenhuma das respostas anteriores.
14. (UFCE) Um automóvel move-se numa estrada conforme
o gráfico v X t na figura abaixo.
Solução:
v(km/h)
Como a distância percorrida na veia é igual à distância
_ 2v v
percorrida na artéria, podemos usar v = a v onde
va + vv
va é a velocidade média na artéria e vv é a velocidade
_
_
média na veia, ficando v = 2 . 30 . 20 , ou v = 1 200
50
30 + 20
_
e, portanto, v = 24m/s
90
60
30
1
Letra A
13. (AMAN) Uma representação gráfica aproximada da
velocidade em função do tempo desenvolvida por um
motorista típico carioca é apresentada na figura abaixo.
Qual a velocidade média no percurso correspondente
ao intervalo de tempo entre t = 0 e t = 240s?
km/h
120
3
4
5
t(h)
Determine a velocidade média, em km/h, após 5h.
``
Solução:
No gráfico v X t a área sob a curva nos dá a variação de
posição ( ΔS); então Δ S total = Δ S (0,1) + Δ S (1,3) + ΔS (3,5)
e, portanto,
Δ S total = ( 30 . 1 ) + ( 90 . 2 ) + ( 60 . 2 )
60
SINAL FECHADO
0
10
2
60
SINAL FECHADO
120
180
240
t(seg)
Obs: Os trapézios são iguais e a base menor é
desconhecida.
Δ S total = 30 + 180 + 120 = 330; como a velocidade
_
_
_
escalar média é v = S v = 330 ou v = 66km/h .
t
5
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EM_V_FIS_002
``
Solução:
15. (FM ABC-SP) O gráfico ao lado mostra o espaço (s) de
um corpo em função do tempo (t).
``
1.ª Solução (gráfica):
Como num gráfico v X t a a área corresponde ao Δ S, no
gráfico abaixo a área sombreada representa a diferença
d1 – d2 . Admitida a velocidade do som no ar constante
podemos ver que d 1 – d 2 = 340 (t1 – t2) e substituindo
pelos valores dados, teremos : 12,780 – 12,746 = 340
(t1 – t2) donde (t1 – t2 ) = 1,00 . 10 – 4s.
S
t
v (m/s)
340
A partir deste gráfico, podemos afirmar que a velocidade
escalar do corpo é:
a) constante, diferente de zero.
b) uniformemente crescente.
c) uniformemente decrescente.
d) variável, sem uniformidade.
e) constante e sempre nula.
``
Solução:
Como o gráfico S X t é uma reta, podemos dizer que a
velocidade é constante, positiva e diferente de zero.
Letra A
t1
``
t2
t
2.ª Solução (analítica):
Como consideramos a velocidade do som no ar constante, podemos escrever Δ S = vt ; para d1 teremos d1=
340t1 e para d2 teremos d2= 340t2; subtraindo as duas
expressões vem d1– d2= 340 (t1– t2)e substituindo pelos
valores do exercício 12,780 – 12,746 = 340 (t1– t2) donde
(t1– t2) = 1,00 x 10– 4 s.
16. (UFRJ) A coruja é um animal de hábitos noturnos que
precisa comer vários ratos por noite.
Um dos dados utilizados pelo cérebro da coruja para
localizar um rato com precisão é o intervalo de tempo
entre a chegada de um som emitido pelo rato a um
dos ouvidos, e a chegada desse mesmo som ao outro
ouvido.
Imagine uma coruja e um rato, ambos em repouso; num
dado instante, o rato emite um chiado. As distâncias da
boca do rato aos ouvidos da coruja valem d 1 = 12,780m
e d 2 = 12,746m.
1. (FESP-SP) Das afirmações :
I. Uma partícula em movimento em relação a um referencial pode estar em repouso em relação a outro
referencial.
II. A forma da trajetória de uma partícula depende do
referencial adotado.
III. Se a distância entre dois corpos permanece constante, então um está em repouso em relação ao outro.
São corretas:
a) apenas I e II.
b) apenas III.
c) apenas I e III.
d) todas.
EM_V_FIS_002
e) apenas II e III.
Sabendo que a velocidade do som no ar é de 340m/s,
calcule a intervalo de tempo entre as chegadas do chiado
aos dois ouvidos.
2. (Covest-PE) Um atleta caminha com uma velocidade
escalar constante dando 150 passos por minuto. O atleta
percorre 7,2km em 1,0h com passos do mesmo tamanho.
O comprimento de cada passo vale:
a) 10cm
b) 60cm
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11
c) 80cm
s (m)
d) 100cm
10
e) 120cm
3. (Fund. Carlos Chagas-SP) Um relógio de ponteiros
funciona durante um mês. Nesse período, o ponteiro
dos minutos terá dado um número de voltas mais aproximadamente igual a:
5
1
a) 3,6 x 102
2
3
4
5
6
7
t (s)
b) 7,2 x 102
c) 7,2 x 105
d) 3,6 x 105
e) 7,2 x 106
4. (UERJ) Na figura abaixo, o retângulo representa a janela
de um trem que se move com velocidade constante e
não-nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento
do trem em relação ao solo.
Qual será o espaço percorrido no intervalo de tempo
entre 2 e 4 segundos e o instante em que o móvel passa
pela origem ?
6. (FGV-SP) A equação da posição de um móvel, no SI, é
dada por S = 20t – 5 t2 . Em que instantes, em segundos,
a posição desse móvel é S = 0 ?
a) 0 e 2
b) 0 e 4
c) 2 e 4
d) 3 e 6
e) 2 e 6
7.
(AFA) Assinale a alternativa correta.
a) Um satélite artificial em órbita da Terra é um corpo
em repouso.
Dentro do trem, um passageiro sentado nota que
começa a chover. Vistas por um observador em repouso
em relação ao solo terrestre, as gotas da chuva caem
verticalmente. Na visão de um passageiro sentado
no lado esquerdo do trem, a alternativa que melhor
descreve a trajetória das gotas através da janela é :
b) Um passageiro sentado, no interior de um trem, parado na plataforma, está em repouso.
c) Os conceitos de movimento e repouso dependem de
referenciais que também devem estar em repouso.
d) Um corpo poderia estar em movimento, em relação
a um referencial e em repouso, em relação a outro.
8. (ASSOCIADO-RJ) Entre os gráficos seguintes, o único
que apresenta uma situação impossível é :
a)
a) S
b)
o
c)
t
b) S
5. (AMAN-RJ) A posição de um ponto material varia no
decurso do tempo de acordo com o gráfico.
12
o
t
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EM_V_FIS_002
d)
c) S
R
O
y1
o
y2
t
P
d) S
Q
o
t
Qual das alternativas abaixo melhor representa o gráfico
de y1 em função de y2 ?
a)
y1
9. (AFA) De uma aeronave em movimento retilíneo e uniforme, uma bomba é abandonada em queda livre. A trajetória dessa bomba, em relação à aeronave, será um:
a) arco de elipse.
y2
b) arco de parábola.
c) segmento de reta.
b)
d) ramo de hipérbole.
y1
10. (UERJ) A figura abaixo representa uma escuna atracada
ao cais.
y2
c)
y1
y2
Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro
– ponto O. Nesse caso, ela cairá ao pé do mastro–ponto
Q. Quando a escuna estiver se afastando do cais, com
velocidade constante, se a mesma bola for abandonada
do mesmo ponto O, ela cairá no seguinte ponto da
figura :
a) P
d)
y2
e)
b) Q
c) R
y1
y1
EM_V_FIS_002
d) S
11. (Cesgranrio) Os dois corpos P e Q são ligados por um
fio inextensível que passa por cima da roldana fixa R.
Quando o sistema está em movimento, as distâncias y1
e y2, mostradas na figura, variam.
y2
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13
12. (UFRJ) Um ônibus parte do Rio de Janeiro, às 13:00
horas e termina sua viagem em Varginha, Minas Gerais,
às 21:00 horas do mesmo dia. A distância percorrida do
Rio de Janeiro a Varginha é de 400km.
Calcule a velocidade escalar média do ônibus nessa
viagem.
13. (UEL-PR ) Um automóvel mantém uma velocidade escalar constante de 72,0km/h. Em uma hora e dez minutos
ele percorre, em km, uma distância de:
a) 79,2
b) 80,0
c) 82,4
d) 84,0
e) 90,0
14. (PUC-RS) Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta
a uma velocidade de 72km/h quando acionou os freios
e parou em 4,0s. A aceleração imprimida à motocicleta
pelos freios foi, em módulo, igual a:
x(m)
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
t (s)
Entre t1= 2,0s e t2= 3,0s houve uma pane no sistema de
observação e nada foi registrado no gráfico. Determine
o módulo da velocidade escalar média no intervalo de
tempo entre t1 e t2.
18. (UFRS) O gráfico mostra as posições (x) de dois móveis,
A e B, em função do tempo (t). Os movimentos ocorrem
ao longo do eixo Ox. Analisando o gráfico, pode-se
verificar que :
x (m)
A
B
4
a) 72km/h2
2
b) 4,0m/s
2
c) 5,0m/s2
0
d) 15m/min2
4
6
t (s)
a) em nenhum instante o móvel A possui velocidade
instantânea nula.
e) 4,8km/h2
15. (UFPE) Um automóvel que vinha a 72km/h é freado e
para em 2,0s. Qual o valor absoluto da aceleração média
do automóvel durante a freada?
a) zero
b) 3,6m/s2
b) o movimento do móvel B é uniformemente variado.
c) o móvel B alcança o móvel A no instante t = 4s.
d) o módulo da velocidade instantânea do móvel A é
sempre maior do que o do B.
e) no instante t = 3s, o módulo da velocidade instantânea do móvel B é maior do que a do A.
d) 10m/s2
e) 13m/s
2
16. (EFOMM) Um móvel está com aceleração de 10m/s2.
Isto significa que:
a) a cada segundo, ele percorre 10m.
b) em cada segundo, sua velocidade varia de102m/s.
c) em cada segundo, ele percorre 102m.
d) em cada segundo, sua velocidade varia de 10m/s.
e) a velocidade não varia, pois a aceleração é constante.
17. (UFCE - adaptado) Um automóvel move-se em uma
autoestrada retilínea observado por um sistema de radar,
de tal modo que sua posição em função do tempo é
representada no gráfico a seguir.
19. (PUC-RJ) Um carro avança com velocidade constante
cujo módulo vale 80km/h. Que distância percorre o carro
em 15 minutos?
20. (UGF-RJ) Um carro passou pelo marco 24km de uma
estrada, às 12 horas e 7 minutos. A seguir, passou pelo
marco 28km da mesma estrada às 12 horas e 11 minutos.
A velocidade média do carro entre as duas passagens
pelos dois marcos foi, em km/h, de aproximadamente :
a) 12
b) 24
c) 28
d) 60
e) 80
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EM_V_FIS_002
c) 72m/s2
14
2
21. (Integrado-RJ) Um objeto, movendo-se em linha reta,
ocupa a posição 5m, em relação a um referencial, no
instante 0,2s. No instante 0,5s, a posição ocupada, em
relação ao mesmo referencial, é 8m. A velocidade média
do objeto, nesse intervalo de tempo é, em m/s:
a) 10
a) 200
b) 400
b) 13
c) 500
c) 16
d) 600
d) 25
e) 800
e) 43
22. (MACK-SP) Sejam M e N dois pontos de uma reta e P
o ponto médio de MN. Um homem percorre MP com
velocidade constante de 4,0m/s e PN com velocidade
constante de 6,0m/s. A velocidade média do homem
entre M e N é:
a) 4,8m/s
b) 150
c) 5,2m/s
c) 200
d) 4,6m/s
d) 240
e) n.d.a.
23. (FEMC-RJ) Um carro vai do Rio a São Paulo com a
velocidade média de 60km/h e volta com a velocidade
média de 40km/h. Logo, para ir e voltar gastando o
mesmo tempo, a velocidade deverá ser de:
a) 70km/h
c) 45km/h
e) 48km/h
24. (UFRN) Um móvel percorre uma estrada retilínea AB,
onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido e
com movimento uniforme em cada um dos trechos AM
e MB. A velocidade no trecho AM é de 100km/h e no
trecho MB é de 150km/h.
M
B
A velocidade média entre os pontos A e B vale:
a) 100km/h
c) 120km/h
d) 130km/h
e) 150km/h
27. (Fuvest) Um ônibus sai de São Paulo às 8h e chega a
Jaboticabal, que dista 350km da capital, às 11h30min.
No trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente
45km, sua velocidade foi constante e igual a 90km/h.
b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí/
Campinas?
d) 50km/h
b) 110km/h
e) 250
a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São
Paulo/Jaboticabal?
b) 40km/h
A
26. (UEL-PR) Duas cidades, A e B, distam entre si 400km.
Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B;
no mesmo instante, parte de B outro móvel O dirigindose para A. Os móveis P e O executam movimentos
uniformes e suas velocidades escalares são de 30km/h
e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao
ponto de encontro dos móveis P e O, em km, vale:
a) 120
b) 5,0m/s
EM_V_FIS_002
25. (UEL-PR) Um trem de 200m de comprimento, com
velocidade escalar constante de 60km/h, gasta 36s
para atravessar completamente uma ponte. A extensão
da ponte, em metros, é de:
28. (UERJ) A velocidade normal com que uma fita de vídeo
passa pela cabeça de um gravador é de, aproximadamente,
33mm/s.
Assim, o comprimento de uma fita de 120 minutos de
duração corresponde a cerca de:
a) 40m
b) 80m
c) 120m
d) 240m
29. (PUC) Um trem de passageiros sai de uma estação e
trafega à velocidade de 70km/h. Outro trem parte, no
mesmo instante, de uma estação distante 100km da
primeira e viaja na direção oposta à do trem de passageiros com velocidade de 30km/h. Em quantos minutos
irão se encontrar?
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15
30. (EN) Um trem e um automóvel viajam paralelamente,
no mesmo sentido, em um trecho retilíneo. Os seus
movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel
é o dobro da do trem. Considerando-se desprezível o
comprimento do automóvel e sabendo-se que o trem
tem 100m de comprimento, qual a distância (em metros)
percorrida pelo automóvel desde o instante em que
alcançou o trem e o instante em que o ultrapassou?
Determine o valor do deslocamento do móvel entre os
instantes t = 2,0s e t = 3,0s.
a) zero
b) 10m
c) 20m
d) 30m
a) 100
e) 40m
b) 200
35. (UFPR)
S (m)
c) 250
d) 400
e) 500
31. (PUC) Sobre uma estrada encontram-se dois carros
movendo-se com velocidades de 60km/h e 40km/h.
Num certo instante a distância entre eles era 50km.
Determinar quanto tempo depois os carros se encontram
em cada um dos casos abaixo:
a) Os carros viajam em sentidos contrários.
b) Os carros viajam no mesmo sentido.
32. (PUC) Ao passar do verde para o vermelho, um sinal de
trânsito permanece durante 4s no amarelo. Durante esse
intervalo de tempo, que distância percorre um automóvel
que trafega a 54km/h?
33. (MACK-SP) Os módulos das velocidades dos móveis,
cujas equações horárias estão representadas através dos
gráficos (I) e (II) abaixo são, respectivamente:
x(m)
x(m)
(I)
20
0
(II)
20
10
10
1 2
t(s)
3
0
1
2
3
4
t(s)
t (s)
Dado o diagrama horário do movimento de um ponto
material, podemos afirmar que:
a) a função horária do espaço é S = 30 + 10 t.
b) o ponto material move-se sempre em trajetória curvilínea.
c) o ponto material muda o valor da sua velocidade no
instante t = 3s.
d) o ponto material muda o sentido de sua velocidade
no instante t = 3s.
e) o deslocamento entre os instantes t = 0s e t = 3s
é ΔS = 30m.
36. (FGV-SP) O gráfico abaixo representa a velocidade
de um ciclista em função do tempo, num determinado
percurso.
v
(km/h)
24
a) zero e 10m/s
b) 5m/s e zero
c) 10m/s e 5m/s
d) 10m/s e zero
12
e) 20m/s e 20m/s
34. (UFRN) Um móvel desloca-se em MRU, cujo gráfico
v X t está representado na figura abaixo.
1
2
c) 18
d) 20
1
2
3
4
t (s)
e) 22
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EM_V_FIS_002
b) 16
10
0
t (h)
A velocidade média do ciclista foi, em km/h:
a) 14
V (m/s)
16
3
37. (EMC-RJ) Dois móveis partem simultaneamente de um
ponto A, em movimentos retilíneos uniformes, na mesma direção mas com sentidos opostos, tendo ambos a
mesma velocidade. Caso você pretendesse representar
graficamente a variação da distância entre os dois móveis, em função do tempo, obteria:
a) uma exponencial.
a) zero
b) 20cm/s
c) 40cm/s
d) 90cm/s
e) 100cm/s
40. (ESPCEX) Dois móveis, M e N, deslocam-se numa
mesma reta. Suas posições, em função do tempo, estão
registradas no gráfico abaixo:
b) uma parábola.
c) uma reta que passa pela origem dos eixos.
d) uma reta paralela ao eixo das abscissas.
S (m)
e) uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
38. (EFOMM) O gráfico desta questão ilustra a velocidade
de um certo móvel
80
v (m/s)
t (s)
50
30
5
10
15
20
t (s)
Calcule, em m/s, o valor aproximado de sua velocidade
média de 0 a 15s.
a) 62
b) 57
Com base nele, o encontro dos móveis M e N dá-se
no instante:
a) 10s
b) 5s
c) 20s
d) 8s
e) 9s
c) 51
d) 45
e) 43
39. (Unitau-SP) O gráfico abaixo mostra como a posição de
um corpo varia com o tempo.
41. (Cesgranrio) Um automóvel percorre 180km com velocidade média de 40km/h. Um outro carro faz o mesmo
percurso, partindo meia hora depois do primeiro. Se
os dois carros chegam juntos ao final do percurso, a
velocidade média do segundo carro é :
a) 35km/h
b) 45km/h
S (cm)
c) 50km/h
d) 55km/h
e) 70km/h
EM_V_FIS_002
t (s)
A velocidade, no instante t = 5s, vale:
1. (FCM-RJ) O gráfico a seguir representa a posição de
um móvel em função do tempo.
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17
3. (UERJ) Um avião se desloca com velocidade constante,
como mostrado na figura:
S (m)
20
10
0
1
2
3
4
5
t (s)
–10
–20
Com base no gráfico, calcule :
a) quanto o móvel percorreu efetivamente no intervalo
de tempo entre 0 e 5s.
b) o instante em que o móvel passa pela origem dos
espaços.
c) o espaço percorrido pelo móvel enquanto em movimento progressivo.
d) o espaço percorrido pelo móvel enquanto em movimento retrógrado.
2. (UFPB) Um observador, situado em um veículo que se
move para a direita com velocidade v, deixa cair uma
pedra.
Ao atingir uma certa altura, deixa cair um pequeno objeto.
Desprezando-se a resistência do ar, as trajetórias
descritas pelo objeto, vistas por observadores no avião
e no solo, estão representadas por :
Observador no avião
Observador no solo
a)
b)
a)
c)
b)
d)
c)
e)
d)
e)
18
Qual dos gráficos acima melhor representa o movimento
dessa pedra, do ponto de vista de um segundo
observador que se move, também para a direita, com
velocidade v em relação ao primeiro?
a) 30
b) 50
c) 60
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EM_V_FIS_002
(PUC-RS) Esta explicação se refere aos exercícios 4 e 5.
Dois móveis, A e B, percorreram uma trajetória retilínea,
conforme as equações horárias S A= 30 + 20t e
SB= 90 – 10t, sendo a posição S em metros e o tempo
t em segundos.
4. No instante t = 0s, a distância entre os móveis, em metros, era de:
d) 80
a)
e) 120.
5. O instante de encontro dos dois móveis, em segundos,
foi:
b)
a) 1
b) 2
c)
c) 3
d) 4
e) 5
6. (Cesgranrio) Um trem anda sobre trilhos horizontais
retilíneos com velocidade constante igual a 80km/h.
No instante em que o trem passa por uma estação, um
objeto, inicialmente preso ao teto do trem, cai.
v = 80km/h
d)
e)
8. (AFA). O gráfico abaixo representa o deslocamento de
duas partículas A e B.
Obs: considerar as retas paralelas.
A trajetória do objeto, vista por um passageiro parado
dentro do trem, será :
a)
b)
Pela interpretação do gráfico pode-se afirmar que as
partículas partem de (do):
a) pontos diferentes com velocidades diferentes.
c)
b) mesmo ponto com a mesma velocidade.
c) mesmo ponto com velocidades diferentes.
d)
d) pontos diferentes com a mesma velocidade.
9. (Cesgranrio) O gráfico mostra como varia, com o tempo
(t), o nível da água (h) em um recipiente, inicialmente vazio, o qual se enche com uma bica de vazão constante.
e)
Nível da água (h)
H
EM_V_FIS_002
7.
(Cesgranrio) Em relação à situação descrita na pergunta
anterior, qual é a trajetória do objeto vista por um observador parado na estação?
H
2
(A seta imediatamente abaixo representa o sentido do
movimento do trem para esse observador).
T
2
T
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Tempo
19
O recipiente utilizado foi um dos cinco representados
nas opções propostas. Assinale-o .
a)
H
Calcule a velocidade escalar média do ônibus nesse
trecho da viagem, em km/h.
12. (Cesgranrio) Um certo tipo de foguete, partindo do
repouso, atinge a velocidade de 12km/s após 36s. Qual
foi sua aceleração média, em km/s2, nesse intervalo de
tempo?
a) 0
b) 3
b)
c) 2
H
d) 1/2
e) 1/3
c)
13. (Cesgranrio) Uma linha de ônibus urbanos tem um trajeto
de 25km. Se um ônibus percorre esse trajeto em 85 minutos, a sua velocidade média é aproximadamente de:
H
a) 3,4km/h
b) 50km/h
d)
c) 18km/h
d) 110km/h
H
e) 60km/h
H
10. (Fuvest) Um filme comum é formado por uma série de
fotografias individuais que são projetadas à razão de
24 imagens (ou quadros) por segundo, o que nos dá a
sensação de um movimento contínuo. Esse fenômeno
é devido ao fato de que nossos olhos retêm a imagem
por um intervalo de tempo um pouco superior a 1/20
de segundo. Essa retenção é chamada de persistência
da retina.
a) Numa projeção de filme com duração de 30 segundos, quantos quadros são projetados ?
b) Uma pessoa, desejando filmar o desabrochar de
uma flor cuja duração é de, aproximadamente, 6,0
horas, pretende apresentar esse fenômeno num
filme de 10 minutos de duração. Quantas fotografias individuais do desabrochar da flor devem ser
tiradas ?
11. (UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um
passageiro decide calcular a velocidade escalar média do
ônibus. Primeiramente, verifica que os marcos indicativos
de quilometragem na estrada estão dispostos de 2,0 em
2,0km. O ônibus passa por três marcos consecutivos e o
passageiro observa que o tempo gasto pelo ônibus entre
o primeiro marco e o terceiro é de 3 minutos.
20
Os exercícios 14, 15 e 16 referem-se ao seguinte
enunciado.
(UGF-RJ) Nos gráficos a seguir são representadas as
distâncias x à origem, em uma trajetória retilínea, em
função do tempo t.
I.
x
t
II.
x
t
III.
x
t
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EM_V_FIS_002
e)
IV.
18. (FATEC-SP) Nos diagramas horários I e II, a comparação das velocidades instantâneas v 1 em t1 , v2 em t2 ,
v3 em t3 e v4 em t4 resulta :
x
s (m)
s (m)
t
V.
x
t2
t1
t
14. Em quais dos movimentos acima representados a velocidade da partícula adquire o valor zero ?
a) I e V
t (s)
t3
t4
t (s)
a) v1 > v2 e v3 > v4
b) v1 < v2 e v3 = v4
c) v1 = v2 e v3 = v4
d) v1 > v2 e v3 = v4
e) v1 < v2 e v3 < v4
b) II e V
19. (UFRJ) Em sua viagem da descoberta da América, Cristovão Colombo gastou 37 dias para ir das Ilhas Canárias
até a Ilha de Guanahani, num percurso de cerca de
6 000km, conforme indica o mapa.
c) III e IV
d) III e V
e) I e IV
15. Em qual dos movimentos acima representados a velocidade da partícula pode ter valores negativos ?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
16. Em qual dos movimentos acima a aceleração é nula ?
a) I e V
Escala 1:150.000.000
0
1500
b) I e II
3000
6300
km
c) III e IV
d) IV e V
e) IV
17. (UGF-RJ) Um ponto móvel está em x = 10m quando
t = 0 s; em x = – 14m quando t = 12s e em x = 4,0m
quando t = 20s. Qual o módulo da velocidade média
do ponto no decurso dos primeiros 12s e no percurso
total ?
Calcule, em km/h, a velocidade escalar média das caravelas de Colombo nesse trecho da viagem.
20. (UFRJ) O gráfico abaixo mostra a abscissa da posição
de uma partícula que se move ao longo do eixo x em
função do tempo t e destaca três instantes distintos
t1,t2et3.
x(m)
a) 2,0m/s e 0,30m/s;
b) 4,0m/s e 8,0m/s;
10
EM_V_FIS_002
c) 2,0m/s e 3,0m/s;
d) 6,0m/s e 8,0m/s;
e) 3,0m/s e 0,30m/s.
t1
5
t2 10
15
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t3
20
t(s)
21
Coloque em ordem crescente os valores das velocidades
escalares instantâneas da partícula nos instantes t1 , t2
e t3. Justifique sua resposta.
21. (ITA-SP) Um motorista deseja perfazer a distância de
20km com a velocidade média de 80km/h. Se viajar
durante os 15 minutos com a velocidade de 40km/h, com
que velocidade deverá fazer o percurso restante?
a) 120km/h.
d) 30
25. (FAC MED – UFRJ) Um móvel parte de um ponto A,
passa por B e atinge C, sempre em movimento retilíneo
uniforme. Sabendo-se que a distância AC é de 100m e
que a diferença entre as distâncias AB e BC é de 20m,
podemos concluir que a relação entre os tempos gastos
para percorrer o maior e o menor trecho será:
b) 160km/h.
a) 2 para 1
c) é impossível atingir a velocidade média desejada
nas circunstâncias apresentadas.
b) 3 para 2
d) nula.
e) nenhuma afirmação é correta.
22. (AFA) Dois trens A e B, de comprimentos A e B,
deslocam-se no mesmo sentido, em linhas paralelas,
com velocidades escalares constantes de módulos vA e
vB, respectivamente. O intervalo de tempo t gasto pelo
trem A para ultrapassar B é dado por :
– B
vA – vB
b)
– B
vA + vB
c)
+ B
vA + vB
d)
+ B
vA – vB
A
c) 4 para 1
d) 4 para 3
e) 5 para 1
26. (Fuvest) Após chover na cidade de São Paulo, as águas da
chuva descerão o rio Tietê até o rio Paraná, percorrendo
cerca de 1 000km. Sendo de 4km/h a velocidade média
das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas
águas da chuva em, aproximadamente:
a) 30 dias.
b) 10 dias.
A
c) 25 dias.
d) 2 dias.
A
e) 4 dias.
A
(CIAGA-RJ) Um avião iraniano decola da base aérea de
Teerã e, 5 minutos depois, é detectado pelo radar de
um porta-aviões americano fundeado no Golfo Pérsico.
Sabemos que o radar emite ondas eletromagnéticas de
rádio-frequência e que o sinal emitido leva 3 × 10–4 s
(segundos) para atingir o alvo e retornar à antena do
radar.
27. Qual a distância do alvo ao porta-aviões no instante da
detecção?
a) 90km
a) 55,0
b) 45km
b) 61,2
c) 180km
c) 73,3
d) 60km
d) 100,0
e) 100km
24. (AFA) Uma esteira rolante com velocidade v, transporta
uma pessoa de A para B em 15s. Essa mesma distância é percorrida em 30s se a esteira estiver parada e a
velocidade da pessoa for constante e igual a vp. Se a
pessoa caminhar de A para B, com a velocidade vp sobre
a esteira em movimento, o tempo gasto no percurso, em
segundos, será:
28. O porta-aviões lança um míssil contra o avião, 2 minutos
após a detecção. Qual o tempo até o impacto, supondo a
velocidade do avião 540km/h e a do míssil 1 800km/h e
que ambos se deslocam na mesma direção em sentidos
contrários?
a) 60,00s
a) 5
b) 15,24s
b) 10
c) 27,74s
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EM_V_FIS_002
a)
23. (AFA) Uma estrada de ferro retilínea liga duas cidades
A e B separadas por uma distância de 440km. Um trem
percorre esta distância com movimento uniforme em 8h.
Após 6h de viagem, por problemas técnicos, o trem fica
parado 30 minutos. Para que a viagem transcorresse
sem atraso, a velocidade constante, em km/h, que o
trem deveria percorrer o restante do percurso seria de
aproximadamente:
22
c) 15
d) 85,46s
e) 41,54s
29. Qual a distância do ponto de impacto ao porta-aviões?
a) 30 715m
b) 20 769m
c) 6 535m
d) 28 325m
e) 13 845m
30. (FAC CIENC MED – UEG) Uma substância injetada
numa veia, na altura do cotovelo, chega ao coração em
t1 segundos e leva mais t2 segundos para atingir a língua.
A velocidade média da circulação sanguínea no trajeto
braço-língua é proporcional:
a) ao tempo t1
b) ao tempo t2
A partir do gráfico, pode-se afirmar que:
a) a partícula A está subindo e a partícula B está descendo.
b) as duas partículas estão se deslocando no mesmo
sentido com velocidades iguais.
c) a partícula B é mais lenta que a partícula A e tem
sentido oposto a esta.
c) ao tempo t1 + t2
d) a partícula A é mais rápida que B e se desloca no
mesmo sentido desta.
d) ao quadrado de t1 + t2
e) ao inverso de t1 + t2
31. (UFRJ) Duas pessoas partem simultaneamente de um
dos extremos de uma pista retilínea, com o objetivo de
ir ao outro extremo e retornar ao ponto de partida. Uma
se desloca correndo e a outra andando, ambas com
movimentos uniformes. Transcorridos 30min, a distância entre elas é 5,0km. Decorridos mais 30min, elas se
cruzam no meio da pista.
e) a partícula B é mais rápida que A e tem sentido
oposto a esta.
(UMC) O gráfico abaixo mostra, em função do tempo,
a posição de dois estudantes A e B que caminham
no mesmo sentido, pela mesma calçada, em trajetórias
retilíneas e paralelas.
Desprezando o tempo da virada no extremo oposto ao
da partida, calcule a extensão da pista.
32. (PUC) A tabela abaixo fornece os dados de uma viagem
feita por um móvel, em três intervalos independentes e
na sequência 1, 2 e 3.
INTERVALO
DURAÇÃO DO
INTERVALO
(h)
VELOCIDADE
(km/h)
1
2
3
0,10
0,40
0,20
20
60
20
a) Construir o gráfico da velocidade, em km/h, em
função do tempo, em h.
b) Calcular a distância total percorrida pelo móvel.
EM_V_FIS_002
c) Indicar no gráfico o tempo que o móvel gasta para
percorrer os primeiros 11km.
33. (UF. Juiz de Fora) Num laboratório de Física, um pesquisador observou os movimentos de duas partículas e
representou a variação da posição de cada uma delas
no tempo, de acordo com o gráfico a seguir:
Com base no gráfico, resolva as questões que se
seguem.
34. Determine a velocidade escalar do estudante A.
35. Determine a velocidade escalar do estudante B.
36. Determine a distância que A percorreu até ser alcançado
por B.
37. (PUC) A posição de um corpo, em movimento ao longo
de uma trajetória retilínea, varia em função do tempo,
de acordo com o diagrama abaixo, onde S é medido em
metros e t em segundos.
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23
S
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
–5,0
–10,0
t
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
A velocidade média do corpo, no intervalo de tempo de
1,0s a 5,0s, tem valor:
a) 6,25m/s
b) –6,25m/s
c) 7,50m/s
d) – 7,50m/s
e) 8,33m/s
38. (Associado) Um botânico, estudando o efeito da auxina
sob ação de luz, observa que nos dia de chuva a planta
cresce 0,5mm por dia e nos dias de Sol, 1,5mm por
dia. Construa o gráfico da velocidade de crescimento
da planta, sabendo-se que choveu nos dois primeiros
dias da semana, fez Sol nos três seguintes, choveu novamente no sexto dia e no último dia fez Sol; determine
também a altura atingida pela planta.
24
EM_V_FIS_002
39. (Integrado) Considere duas cidades A e B. De 20 em
20 minutos sai um ônibus de A para B e um de B para
A, contínua e simultaneamente. Os ônibus gastam 1
hora para fazer o percurso. Um certo ônibus cruzará,
na estrada, com quantos outros?
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15. D
16. D
3. B
17. A posição inicial é S2 = 80m e a posição final é S3 = 80m;
aplicando v =
v = 80 – 80 = 0 ; v = 0
3–2
1
18. E
4. A
19.
5. O espaço percorrido entre 2 e 4s é zero e ele passa pela
origem no instante 6s.
20. D
1. A
2. C
6. B
7.
D
21. A
22. A
8. C
23. E
9. C
24. C
10. B
25. B
11. D
26. B
12. v = 50km/h
EM_V_FIS_002
= 20km.
13. D
14. C
27.
a) v =100km/h
b) t = 0,5h
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25
28. D
29. t = 60min.
30. Vamos fazer um diagrama, mostrando a situação inicial,
quando o carro começa a ultrapassar o trem até o instante da ultrapassagem completa:
SA = SB + 50km ou vA t = vB t + 50 ⇒ 60 t – 40
t = 50 ⇒ 20 t = 50 ou t = 2,5h
(confirmamos: quando se usa a expressão do S, o sinal
é dado pelo diagrama)
32. Como o automóvel tem velocidade constante:
S = 15 x 4 = 60m .
33. D
34. B
35. E
36. D
37. C
38. A
39. C
O diagrama nos mostra que Scarro= Strem+ trem; teremos
então vcarro t = vtrem t + trem e como vcarro=2vtrem ,
40. A
41. B
2vtrem t = vtrem t + 100 ⇒ vtrem t = 100 ou Strem= 100m ;
usando Scarro= Strem+
Scarro= 200m
Letra B
trem
vem Scarro= 100 + 100 ou
1.
31.
a) 60m.
a) Fazendo o diagrama:
b) t = 1,5s .
40km/h B
A 60km/h
c) 20m.
d) 40m.
50km/h
2. B
3. C
Como os tempos de movimento são iguais, podemos
então escrever:
SA + SB = 50km ou vA t + vB t = 50 ⇒ 60 t + 40
t = 50 ⇒ 100 t = 50 ou t = 0,5h
(quando se usa a expressão do S , o sinal é dado pelo
diagrama)
b) Fazendo o diagrama:
A
B
60km/h
50km/h
40km/h
STREM
SB
4. C
5. B
6. A
7.
C
8. D
9. Inicialmente o nível de água varia lentamente, depois
aumenta taxa de variação e finalmente o nível volta a
variar lentamente. Portanto, as áreas são grandes no
início e no fim e menores no meio, o que corresponde
à letra B.
10.
a) 720 quadros
Como os tempos de movimento são iguais, podemos
então escrever:
26
b) 14 400 quadros.
11. v = 80km/h.
12. E
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EM_V_FIS_002
SA
13. C
31. Fazendo um diagrama e chamando vc à velocidade do
que corre e va à velocidade do que anda:
em 30min de movimento ( Δt = 0,5 h)
14. C
15. C
SC
16. D
SA
17. A
5km
18. D
A
B
VA
19. v = 6,8km/h.
20. Como a velocidade instantânea é dada pela tangente
do ângulo formado entre a linha tangente à curva no
instante considerado e o eixo dos tempos, traçando-se
essa linha tangente nos instantes t1, t2 e t3 verificamos
que o ângulo formado em t1 é maior do que o ângulo
formado em t3, e este é maior do que o ângulo formado em t2 ( você pode ver que em t2 a linha tangente é
praticamente paralela ao eixo dos tempos, o que quer
dizer que o ângulo é zero e, portanto, a velocidade nesse
instante é zero ); portanto, v1 > v3 > v2.
A justificativa só pode ser pela ideia da derivada:
como o que foi dito acima corresponde à significação
geométrica da derivada, a velocidade instantânea é
dada pela derivada da posição em função do tempo ou
dS
.
seja v =
dt
21. C
VC
SC= SA+ 5km ou vcx 0,5 = vAx 0,5 + 5 ⇒ 0,5 (vC– v A)
= 5 ⇒ vC – vA = 10 ( I )
em mais 30min de movimento (t = 1h)
AB
2
AB
2
A
B
VA
VC
AB
AB
e S´A = 3
⇒ S´C = 3 S´A
2
2
vC x 1 = 3 x vA x 1 ou vC = 3vA e substituindo em ( I )
S´C = 3
32.
3 vA – vA = 10 ⇒ vA = 5km/h
AB
= vA x 1 ⇒ AB = 2 x 5 = 10km.
Como S’A =
2
22. D
23. C
24. B
25. B
26. Como S = v t, substituindo pelos valores dados na
questão teremos 1 000 = 4 x t e portanto t = 250h;
montando a regra de três:
1 dia ≡ 24h
y ≡ 250h
teremos y = 10,42
ou aproximadamente 10 dias (opção B).
27. B
28. E
29. B
EM_V_FIS_002
30. Considerando-se o caminho percorrido como Δ S B L
podemos escrever:
SBL = v Δt onde Δ t = t1 + t2; a velocidade do sangue
fica, então:
1
S BL
; como SBL é constante v Δ+ ∝ =
v Δt =
t1+ t2
t1+ t2
(opção E)
Para S’ = 11km, deveremos ter o 1.º intervalo de tempo
( S0;10 = 2,0km) mais um pedaço do segundo, já que
S0;10; 0.50 = 60 x 0,40 = 24km; então:
S’ = S0; 0,10+ S0,10; T = 2,0 + (T – 0,10) 60 = 11 e,
portanto,
T – 0,10 = 11– 2 ⇒ T – 0,10 = 0,15 ou T = 0,25h
60
33. E
34. vA = S = 5 – 1 ⇒ vA = 4,0km/h
1
t
35. vB = S = 5 – 0 ⇒ vB = 5,0km/h
1
t
36. dA = S1 – S2 = 5 – 1 = 4km
37. B
38. Construindo o gráfico Vf(t)
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27
Dias da
semana
28
EM_V_FIS_002
Como a área sob a curva nos dá S, calculamos as 4
áreas:
S0;2 = 0,50 x 2 = 1,0mm
S2;5 = 1,5 x 2 = 4,5mm
S5;6 = 0,50 x 1 = 0,50mm
S6;7 = 1,5 x 1 = 1,5mm; o crescimento total será a
soma dessas áreas:
S total = 7,5mm
39. Construímos um gráfico S = f(t) colocando no eixo x os
instantes de partida dos ônibus; no próprio eixo x estará
a partida dos ônibus de A ; traçamos uma paralela ao
eixo x que mostrará, nos mesmos instantes, as partidas
de ônibus de B; as linhas pontilhadas representam
então, alguns dos ônibus que partem de B e as linhas
cheias representam alguns dos ônibus que partem de A;
peguemos, como caso genérico, o ônibus que parte de
A no instante 0; observa-se facilmente que ele cruzará,
na estrada, com 5 ônibus que saem de B.
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