SÉRIE: Estatística Multivariada
Texto i: INTRODUÇÃO
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO................................................................................................................................................ 1
1.1. O QUE É A ANÁLISE MULTIVARIADA? ................................................................................................................ 1
1.2. FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS ...................................................................................................................... 1
1.3. DEFINIÇÃO DE ANÁLISE MULTIVARIADA ............................................................................................................ 1
2.
CONCEITOS BÁSICOS.................................................................................................................................. 2
2.1. COMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS (VARIATE) .................................................................................................. 2
2.2. ESCALAS DE MEDIDA......................................................................................................................................... 3
2.2.1. Escalas qualitativas.................................................................................................................................. 3
2.2.2. Escalas quantitativas................................................................................................................................ 4
2.3. ERROS DE MEDIDA E MEDIDA MULTIVARIADA .................................................................................................... 5
2.4. SIGNIFICÂNCIA ESTATÍSTICA VERSUS PODER ESTATÍSTICO .................................................................................. 6
3.
TIPOS DE TÉCNICAS MULTIVARIADAS .................................................................................................. 8
3.1. TÉCNICAS DO TIPO REGRESSÃO .......................................................................................................................... 8
3.1.1. Regressão Múltipla................................................................................................................................... 8
3.1.2. Análise discriminante ............................................................................................................................... 8
3.1.3. Análise de variância multivariada............................................................................................................. 9
3.1.4. Correlação canônica ................................................................................................................................ 9
3.1.5. Modelos lineares de probabilidade (logit)................................................................................................. 9
3.1.6. Análise conjunta......................................................................................................................................10
3.1.7. Modelagem por equações estruturais .......................................................................................................10
3.2. TÉCNICAS DO TIPO CORRELAÇÃO ......................................................................................................................11
3.2.1. Análise de fatores ....................................................................................................................................11
3.2.2. Análise de conglomerados .......................................................................................................................12
3.2.3. Escalonamento multidimensional.............................................................................................................12
3.2.4. Análise de correspondência .....................................................................................................................12
4.
CLASSIFICAÇÃO DAS TÉCNICAS MULTIVARIADAS...........................................................................13
4.1. TÉCNICAS DEPENDENTES ..................................................................................................................................14
4.2. TÉCNICAS INTERDEPENDENTES .........................................................................................................................17
5.
ANÁLISE MULTIVARIADA: INTERPRETAÇÃO .....................................................................................17
5.1. ESTABELECER SIGNIFICÂNCIA PRÁTICA E ESTATÍSTICA ......................................................................................17
5.2 O TAMANHO DA AMOSTRA AFETA TODOS OS RESULTADOS ..................................................................................17
5.3. CONHEÇA OS DADOS ........................................................................................................................................18
5.4. MANTENHA UM MODELO SIMPLES.....................................................................................................................18
5.5. TOME CUIDADO COM OS ERROS.........................................................................................................................18
6.
CONCLUSÃO.................................................................................................................................................19
7.
REFERÊNCIAS..............................................................................................................................................20
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Texto i: INTRODUÇÃO
1. INTRODUÇÃO
1.1. O QUE É A ANÁLISE MULTIVARIADA?
Técnicas analíticas multivariadas estão sendo largamente aplicadas hoje na indústria, no
governo e nos centros de pesquisas das universidades. Hoje já não faz mais sentido seguir o que a
pouco tempo ainda era comum, considerar os consumidores como um grupo homogêneo e
caracterizado por um pequeno grupo de variáveis demográficas. Ao contrário, é necessário
desenvolver estratégias que atinjam grupos variados de consumidores com características
demográficas e psicográficas em um mercado com múltiplas restrições (legais, econômicas,
competitivas, tecnológicas, etc.). É somente através de técnicas multivariadas que as múltiplas relações
destes tipos podem ser adequadamente examinadas para se obter um entendimento completo e realista
da tomada de decisão.
1.2. FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS
Todas as técnicas multivariadas foram desenvolvidas antes do aparecimento dos
computadores. No entanto, foi só após a utilização dos computadores que estas técnicas começaram a
ser conhecidas e usadas por não especialistas.
Hoje existe uma quantidade razoável de programas computacionais que permitem a utilização
de técnicas multivariadas. Os antigos programas desenvolvidos para mainframes (grandes
computadores), agora com versões em micros, como o SPSS, SAS e BMDP e os novos programas
especializados. Por exemplo, para a redução multidimensional tem-se o ASCAL, INDSCAL, KYST e
PREFMAP. Para equações estruturais ou simultâneas o LISREL e o EQS e para análise conjunta o
ACA, o CVA e CBC.
1.3. DEFINIÇÃO DE ANÁLISE MULTIVARIADA
A análise multivariada de uma forma bem geral refere-se a todos os métodos estatísticos que
analisam simultaneamente múltiplas medidas em cada indivíduo ou objeto sob investigação. Qualquer
análise simultânea de mais de duas variáveis pode ser, de certo modo, considerado como análise
multivariada. Muitas técnicas multivariadas são simplesmente extensões de análises univariadas
(análise da distribuição de uma única variável) e análise bivariada (classificação cruzada, correlação,
análise de variância e regressão simples). Por exemplo, a regressão simples (com uma variável
preditiva) é estendida para o caso multivariado para incluir várias variáveis preditivas. Da mesma
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Texto i: INTRODUÇÃO
forma, a única variável dependente encontrada na análise de variância é estendida para incluir
múltiplas variáveis dependentes na análise de variância multivariada. Em muitos casos, como poderá
ser visto, a análise multivariada é um meio de realizar em uma única análise aquilo que exigiria
múltiplas análises no caso univariado. Outras técnicas multivariadas, no entanto, foram projetadas para
lidar somente com casos multivariados, tal como a análise de fatores, que visa identificar a estrutura
subjacente de um grupo de variáveis ou a análise discriminante, para diferenciar entre grupos baseados
em um conjunto de variáveis.
Uma das razões para a dificuldade de se definir a análise multivariada é que o termo
multivariado não é utilizado de forma consistente na literatura. Para alguns pesquisadores,
multivariado significa simplesmente examinar o relacionamento entre duas ou mais variáveis. Outros
usam o termo somente para problemas onde todas as variáveis assumem por hipótese uma distribuição
multivariada. Para ser considerado verdadeiramente multivariada, no entanto, todas as variáveis devem
ser aleatórias e interrelacionadas de tal forma que seus diferentes efeitos não podem ser interpretados
de maneira significativa separadamente. Outros autores declaram que o propósito da análise
multivariada é medir, explicar e predizer o grau de relacionamento entre variates (combinação linear
de variáveis). Desta forma, a característica multivariada repousa nas múltiplas combinações de
variáveis (variates) e não somente sobre o número de variáveis ou observações.
2 . CONCE ITOS B ÁSICOS
2.1. COMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS (VARIATE)
A análise multivariada tem suas raízes na análise univariada e bivariada e a extensão para o
domínio multivariado introduz conceitos adicionais e questões que são particularmente relevantes.
Estes conceitos vão desde o entendimento conceitual do bloco estrutural básico da análise multivariada
- as variates - até questões específicas que lidam com o tipo de escala de medida utilizada e as
questões estatísticas da significância dos testes e intervalos. Cada conceito desempenha um papel
importante na aplicação bem sucedida de qualquer técnica multivariada.
A variate
Como já mencionado, o bloco básico da construção da análise multivariada é a combinação
linear de variáveis com pesos empiricamente determinados, ou simplesmente denominada de variate.
As variáveis são especificadas pelo pesquisador ou analista enquanto que os pesos são determinados
pelo objetivo específico das técnicas multivariadas. Uma variate de n variáveis ponderadas (X1 até Xn)
pode ser escrita da seguinte forma: Valor da variate = w1X1 + w2X2 + ... + wnXn,
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onde Xi é a variável observada e wi é o peso obtido pela técnica multivariada.
O resultado é um único valor representando a combinação de todo o conjunto de variáveis que
melhor atinge o objetivo da técnica multivariada específica. Na regressão múltipla, o resultado
(variate) é determinado de forma que melhor se correlacione com a variável sendo prevista
(predicted). Na análise discriminante o resultado (variate) é formado de forma a criar escores para
cada variável que produzam a máxima diferença entre grupos de observações. E na análise de fatores o
resultado (variate) é formado para melhor representar a estrutura subjacente ou dimensionalidade das
variáveis como as representadas pelas suas intercorrelações.
Em cada instância, o resultado (variate) captura o caráter multivariado da análise. Assim , na
discussão de cada técnica, o resultado (variate) é o ponto central da análise em muitos aspectos. Nós
devemos entender não apenas o impacto coletivo em satisfazer os objetivos da técnica mas também a
contribuição de cada variável sobre o efeito global no resultado (variate).
2.2. ESCALAS DE MEDIDA
A análise de dados envolve a partição, identificação e medição das variações em um conjunto
de variáveis, tanto entre elas ou entre a variável dependente e uma ou mais variáveis independentes. A
palavra chave é medição, porque o pesquisador não pode identificar uma variação a menos que ela seja
capaz de ser medida. A medida é importante para representar de forma acurada o conceito de interesse
e seu instrumental na seleção do método de análise multivariada apropriado.
Existem dois tipos básicos de dados: qualitativos (não-métricos) e quantitativos (métricos).
Dados qualitativos são atributos, características ou categorias que identificam ou descrevem um
conteúdo. Eles descrevem a diferença entre tipos e elementos indicando a presença ou ausência de uma
característica ou propriedade. Muitas propriedades são discretas no sentido de que se algo tem uma
determinada característica então todas as outras estão excluídas. Por exemplo, se alguém é homem
então não pode ser mulher. Não existe quantidade de gênero, mas apenas o estado de ser homem ou
mulher. Em contraste as escalas métricas são feitas de modo que os conteúdos podem ser identificados
como diferindo em quantidade ou grau. Variáveis medidas metricamente refletem
quantidades
relativas de grau ou distância. Onde se puder fazer declarações de quantidade ou magnitude, tal como
o nível de satisfação ou comprometimento com um trabalho, medidas métricas são apropriadas.
2.2.1. ESCALAS QUALITATIVAS
Medidas não-métricas podem ser feitas tanto com uma escala nominal quanto com uma
ordinal. Uma medida com escala nominal atribui valores com o objetivo de rotular ou identificar os
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objetos. Escalas nominais, também conhecidas como escalas categóricas, fornecem o número de
ocorrências (freqüências) em cada classe ou categoria da variável sendo estudada. Os símbolos ou
números atribuídos a cada categoria não tem um significado quantitativo além o de indicar a presença
ou ausência do atributo ou característica sob investigação. Exemplos de escalas nominais são: sexo,
religião, preferência política, estado civil, etc.
A escala ordinal é o nível seguinte das escalas de medidas. Variáveis podem ser ordenadas
através de escalas ordinais com respeito a quantidade do atributo que possuem. Cada subcategoria
pode ser comparada com outra em termos das relações "maior que" ou "menos que". Por exemplo
níveis diferentes de satisfação do consumidor com alguns produtos novos podem ser ilustrados por
uma escala ordinal.
Produto A
Produto B
Produto C
Muito satisfeito
Não satisfeito
Os números utilizados na escala ordinal são não quantitativos, porque eles indicam somente a
sua posição relativa numa série ordenada. Não existe uma medida de quanta satisfação o consumidor
recebe em termos absolutos e nem o pesquisador sabe a diferença exata entre dois pontos na escala de
satisfação. Muitas escalas nas ciências humanas estão enquadradas neste grupo.
2.2.2. ESCALAS QUANTITATIVAS
As escalas métricas incluem a de intervalo e a de razão. Estas escalas permitem uma medida
real do atributo sendo mensurado e praticamente todas as operações matemáticas podem ser aplicadas.
Estas escalas possuem unidades constantes de medida de modo que as diferenças entre duas categorias
são idênticas. A única diferença real entre uma escala de intervalo e uma escala de razão é que as de
intervalo possuem um zero arbitrário enquanto que as de razão possuem um ponto zero absoluto. As
escalas de intervalo mais conhecidas são as que medem a temperatura como a Celsius e a Fahrenheit.
Ambas possuem um ponto zero arbitrário, isto é, não significando uma quantidade zero de temperatura
ou ausência completa de temperatura. Da mesma forma não é possível afirmar que um certo valor num
escala de intervalo é múltiplo de algum outro na escala. Por exemplo, uma temperatura de 80F numa
escala diferente não é o dobro da temperatura de 40F porque 80F na escala Celsius é 26,7C. Do mesmo
modo o valor 40F na escala Celsius é 4,4C. Embora 80 seja o dobro de 40, não se pode afirmar que o
calor de 80F é o dobro do calor de 40F, porque usando uma escala diferente o calor medido não é o
dobro, isto é, 2. 4,4C ≠ 8,8C.
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Texto i: INTRODUÇÃO
A escala de razão é o mais alto nível de medida possível, porque ela apresenta as vantagens
das demais escalas mais um zero absoluto. Todas as operações matemáticas são permitidas com este
tipo de escala. O peso, por exemplo, é medido por uma escala deste tipo. Quando se diz que alguma
coisa pesa 10 kg, isto significa exatamente o dobro de algo que pesa 5kg, não importando se for
expresso em kg ou outra unidade qualquer. Aqui um peso zero significa ausência total da
característica, isto é, peso.
Entender os diferentes tipos de escala de medida é importante por duas razões. Primeiro é
necessário identificar a escala de medida usada para cada variável para que dados métricos não sejam
usados incorretamente como se fossem não-métricos e vice-versa. Segundo, a escala de medida é um
fator crítico na determinação do tipo de técnica multivariada que será mais apropriada para os dados
levando em consideração as variáveis dependentes e independentes.
2.3. ERROS DE MEDIDA E MEDIDA MULTIVARIADA
O uso de múltiplas variáveis e a confiança na sua combinação (a variate) em técnicas
multivariadas também chama a atenção para um assunto complementar: o erro de medida. O erro de
medida é o grau com que a o valor observado não é representativo dos valores verdadeiros. Erros de
medida podem vir de várias fontes, variando de digitação errada (erro nos dados de entrada) até a
imprecisão da medida em si. Por exemplo, utilizar uma escala de 7 níveis para medir a satisfação do
consumidor quando os mesmos só podem responder com precisão a apenas três. A renda familiar pode
ser razoavelmente medida mas raramente é totalmente precisa. Desta forma toda variável utilizada em
técnicas multivariadas deve ser assumida como possuindo algum grau de erro de medida. O impacto
do erro de medida é adicionar "ruído" às variáveis observadas ou medidas. Desta forma, o valor
observado representa tanto o "verdadeiro" valor quanto o "ruído". Quando usado para calcular
correlações ou médias, o "verdadeiro" efeito é parcialmente mascarado pelo erro de medida, fazendo
com que a correlação seja mais fraca e a média menos precisa.
O objetivo de reduzir o erro de medida pode ser alcançado de várias formas. Ao tratar o grau
de erro de medida presente em qualquer medida o analista pode tanto tratar da validade quanto da
confiabilidade. A validade é o grau com que a medida acuradamente representa aquilo que ela se
propõe a representar. Assegurar a validade começa com o entendimento correto do que deve ser
medido e então com a determinação da medida tão corretamente e acuradamente quanto possível. No
entanto acurácia não assegura validade.
Supondo que a medida é válida, isto é, representa aquilo que se propõe a medir, existem ainda
considerações sobre a confiabilidade da medida. Confiabilidade é o grau com o qual a variável
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Texto i: INTRODUÇÃO
considerada mede o verdadeiro valor e está livre de erros. Se a mesma medida, por exemplo, é feita
várias vezes, medidas confiáveis mostrarão uma consistência mais alta do que medidas menos
confiáveis.
Um outro procedimento a ser seguido é desenvolver medidas multivariadas, também
conhecidas como escalas somadas, onde várias variáveis são agrupadas para representar uma variável
composta (por exemplo, escalas de personalidade de itens múltiplos ou classe de um produto). O
objetivo é evitar o uso de uma única variável para representar um conceito e ao invés usa-se várias
variáveis como indicadores, todas representando diferentes facetas do conceito para obter uma
perspectiva mais global. O uso de múltiplos indicadores permite ao pesquisador especificar mais
precisamente as respostas desejadas e não colocar total confiança em uma única resposta mas ao invés
numa resposta média ou típica de um conjunto relacionado de respostas. A idéia é que respostas
múltiplas refletem de forma mais acurada a verdadeira resposta do que uma única.
O impacto de erros de medida e uma confiabilidade pobre não podem ser vistos diretamente
pois eles estão embutidos nas variáveis observadas. Resultados ruins nem sempre são devidos a erros
de medida, mas a presença de erros de medida seguramente distorcerá o relacionamento observado e
tornará a técnica multivariada menos poderosa.
2.4.
SIGNIFICÂNCIA
ESTATÍSTICA
VERSUS
PODER
ESTATÍSTICO
Todas as técnicas multivariadas exceto a análise de conglomerados e a redução
multidimensional (multidimensional scaling) são baseadas em inferências de valores populacionais ou
no relacionamento entre variáveis de uma amostra extraídas ao acaso de uma população. Se fosse feito
o censo então a inferência seria desnecessária, porque qualquer diferença ou relacionamento, mesmo
que pequeno, é verdadeiro e existe. Mas o censo é raramente feito, então, normalmente se é obrigado a
trabalhar com amostras.
Interpretar inferências estatísticas requer que o pesquisador especifique os níveis aceitáveis de
erro. A abordagem mais comum é especificar o Erro do Tipo I, cuja probabilidade é representada por
α (alfa). O erro do Tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, isto é, quando
ela não deveria ser rejeitada. Em outras palavras ele consiste em afirmarmos que os resultados são
significativos, no caso, estatisticamente significativos quando, de fato, eles não são. O erro do tipo I é
apenas um dos dois tipos de erros possíveis. O erro do tipo I pode ser cometido quando rejeitamos a
hipótese nula. No entanto, rejeitar a hipótese é apenas uma das duas decisões possíveis. Se a hipótese
nula for aceita então é possível se cometer o Erro do Tipo II, isto é, aceitar a hipótese quando ela não
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Texto i: INTRODUÇÃO
deveria ser aceita. A probabilidade de se cometer o erro do tipo II é representada por β (beta). No
entanto, uma probabilidade mais interessante é 1- β, que é a probabilidade de tomar uma decisão
correta, isto é, é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Esta probabilidade é
denominada de poder do teste.
Os erros do tipo I e II variam inversamente, isto é, quando a probabilidade de se cometer erro
do tipo I é diminuída a probabilidade de se cometer erro do tipo II é aumentada. Reduzir o erro do tipo
I, reduz também o poder do teste estatístico. Desta forma é necessário fazer um balanço entre o nível
de significância (α) e o poder resultante.
O poder não é apenas uma função de α, ele é, na realidade, uma resultante de três fatores:
1. Tamanho do efeito. A probabilidade de se obter significância estatística é baseada não
somente em considerações estatísticas, mas também na real magnitude do efeito de interesse sendo
estudado (por exemplo, a diferença de médias entre dois grupos ou a correlação entre variáveis) na
população, denominado de tamanho do efeito. Como seria esperado, um efeito grande é mais
provável de ser detectado do que um pequeno e deste forma influenciam no poder do teste. Para avaliar
o poder de qualquer teste estatístico o pesquisador deve primeiramente entender o efeito sendo
estudado. O tamanho do efeito é definido em termos de desvios padrões para facilitar comparações.
Diferenças de médias são estabelecidas em termos de desvios padrões, de modo que um efeito de 0,50
indica que a diferença média é de meio desvio padrão. Para correlações o tamanho do efeito é baseado
na correlação real entre as variáveis.
2. Alfa. Como já foi discutido à medida que a probabilidade de se cometer erro do tipo I (alfa)
diminui o poder do teste também decresce. Isto significa que se o analista reduz a chance de encontrar
um efeito incorreto significativo, a probabilidade de encontrar corretamente o efeito também diminui.
Normalmente os níveis utilizados para a significância ficam em 5% e 1%, mas o analista deve
considerar o impacto desta decisão no poder do teste antes de tomar uma decisão definitiva.
3. Tamanho da amostra. A um dado nível alfa, aumentar o tamanho da amostra sempre
produz aumento no poder do teste. Mas aumentar o tamanho da amostra pode também produzir "muito
poder". Isto quer dizer que aumentando o tamanho da amostra efeitos cada vez menores serão
detectados como estatisticamente significativos até que para uma amostra muito grande quase todo
efeito será significativo. O analista deve estar sempre ciente que o tamanho da amostra pode afetar o
teste estatístico tanto tornando-o insensível (para pequenos tamanhos de amostra) ou então
extremamente sensível (para amostras realmente grandes).
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3 . T I P O S D E T É C N I C A S M U LT I VA R I A D A S
A análise multivariada é um conjunto de técnicas de análise de dados sempre em expansão. A
seguir estão tabeladas as mais bem estabelecidas. Elas foram divididas em duas categorias: as do tipo
regressão e as do tipo correlação.
3.1. TÉCNICAS DO TIPO REGRESSÃO
As técnicas do tipo regressão envolvem a separação das variáveis em dois subgrupos. As
variáveis dependentes ou explicadas e as variáveis independentes ou explicativas.
3.1.1. REGRESSÃO MÚLTIPLA
A regressão múltipla é o método de análise apropriado quando o problema envolve uma única
variável (métrica) dependente que se presume estar relacionada com uma ou mais (também métricas)
variáveis independentes. O objetivo da análise de regressão é prever as mudanças na variável
dependente em resposta às mudanças que ocorrem nas várias variáveis independentes. Este objetivo é
quase sempre alcançado através do método dos mínimos quadrados.
Sempre que um analista estiver interessado em prever a quantidade ou magnitude da variável
dependente a regressão múltipla será útil. Por exemplo: despesas mensais com jantares fora de casa
podem ser previstas com informações obtidas das variáveis renda familiar, tamanho da família e a
idade do líder da família. Da mesma forma é possível prever as vendas mensais de uma companhia
com base nas informações de gastos com propaganda, o número de vendedores e o número de pontos
de venda de seus produtos.
3.1.2. ANÁLISE DISCRIMINANTE
Se a única variável dependente for dicotômica (por exemplo: homem-mulher) ou categórica
(por exemplo: alto, médio, baixo) e desta forma qualitativa, a técnica multivariada apropriada é a
análise discriminante. Assim como na regressão múltipla as variáveis independentes são por hipótese
quantitativas. A análise discriminante é útil em situações onde a amostra total pode ser dividida em
grupos baseados na variável dependente caracterizando várias classes conhecidas. O principal objetivo
da análise discriminante é entender diferenças entre grupos e prever a probabilidade de que uma
entidade (indivíduo ou objeto) pertença a uma classe em particular ou grupo baseado nas várias
variáveis independentes. Por exemplo, a análise discriminante pode ser usada para diferenciar
inovadores de não-inovadores de acordo com seus perfis demográficos e psicográficos. Uma outra
aplicação inclui distinguir grande consumidores de pequenos consumidores de um determinado
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produto, homens de mulheres e créditos bons de créditos ruins, etc. Até a receita federal americana
utiliza a análise discriminante para comparar o pagamento de impostos de renda de locais selecionados
com um contribuinte hipotético e para identificar os retornos mais promissores e as áreas de auditoria.
3.1.3. ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA
Análise de variância multivariada ou MANOVA (Multivariate Analysis of Variance) é uma
técnica estatística que pode ser utilizada para explorar simultaneamente o relacionamento entre várias
variáveis categóricas independentes (normalmente referenciadas como tratamentos) e duas ou mais
variáveis dependentes métricas. Como tal ela representa uma extensão da análise de variância
univariada ou ANOVA (Analysis of Variance). A análise multivariada de covariância ou MANCOVA
(Multivariate Analysis of Covariance) também pode ser usada em conjunto com a MANOVA para
remover, após o experimento, o efeito de qualquer variável independente não controlável sobre as
variáveis dependentes. O procedimento é semelhante ao usado na avaliação do coeficiente de
correlação parcial bivariado. A MANOVA é útil quando o pesquisador projeta uma situação
experimental (manipulação de várias variáveis não-métricas ou tratamentos) para testar hipóteses com
respeito a variância em grupos de resposta em duas ou mais variáveis dependentes métricas.
3.1.4. CORRELAÇÃO CANÔNICA
Análise canônica de correlação pode ser vista como uma extensão lógica da análise de
regressão múltipla. Lembre-se que análise de regressão múltipla envolve uma única variável
dependente métrica e várias variáveis independentes também métricas. Na correlação canônica o
objetivo é correlacionar simultaneamente várias variáveis dependentes métricas com várias variáveis
independentes também métricas. Enquanto a regressão múltipla envolve uma única variável
dependente, a correlação canônica envolve múltiplas variáveis dependentes. O princípio subjacente é
desenvolver uma combinação linear de cada conjunto de variáveis (tanto dependentes quanto
independentes) para maximizar a correlação entre os dois conjuntos. Em outras palavras,
o
procedimento envolve obter um conjunto de pesos para as variáveis dependentes e independentes que
forneçam a correlação simples máxima entre o conjunto das variáveis dependentes e as independentes.
3.1.5. MODELOS LINEARES DE PROBABILIDADE (LOGIT)
A técnica do modelo linear de probabilidade também conhecida como análise de logit é uma
combinação de regressão múltipla e análise discriminante múltipla. Ela é semelhante a análise de
regressão múltipla no sentido de que uma ou mais variáveis independentes são utilizadas para prever
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uma única variável dependente. O que distingue o modelo linear de probabilidade da regressão
múltipla é que a variável dependente é não-métrica como na análise discriminante. A escala nãométrica da variável dependente requer uma abordagem diferenciada na estimação e nas hipóteses sobre
a distribuição subjacente, mas em muitas outras características é semelhante à regressão múltipla.
Desta forma, uma vez que a variável dependente seja corretamente especificada e a técnica de
estimação apropriada seja empregada, os fatores básicos considerados na regressão múltipla serão
utilizadas aqui da mesma forma. O modelo linear de probabilidade se diferencia da análise
discriminante primeiramente porque ele acomoda qualquer tipo de variável independente (tanto
métricas quanto não-métricas) e não necessita da hipótese de normalidade multivariada. No entanto,
em muitas situações, particularmente com mais de dois níveis na variável dependente a análise
discriminante é uma técnica mais apropriada.
3.1.6. ANÁLISE CONJUNTA
A análise conjunta é uma técnica dependente emergente que criou novas formas de avaliação
de objetos, tanto se forem produtos quanto se forem serviços ou idéias. A aplicação mais direta é no
desenvolvimento de novos produtos e serviços, permitindo a avaliação de produtos complexos
enquanto mantém um contexto realístico de decisão para o respondente. O analista de marketing é
capaz de avaliar a importância dos atributos bem como dos níveis de cada atributo enquanto que os
consumidores avaliam somente uns poucos perfis de produtos, que são combinações de níveis de
produtos. Por exemplo, suponha um conceito de produto com três atributos (preço, qualidade e cor),
cada um com três possíveis níveis (por exemplo, vermelho, amarelo e azul). Ao invés de precisar
avaliar todas as 27 (3.3.3) possíveis combinações, um subconjunto (9 ou mais) pode ser avaliado pela
sua atratividade para o consumidor e o analista sabe, não somente quão importante é cada atributo, mas
também a importância de cada nível (a atração do vermelho versus amarelo versus azul). Além disso,
quando a avaliação do consumidor é completada, os resultados da análise conjunta podem também ser
usados em simuladores de projetos de produtos, que mostram a aceitação do consumidor para qualquer
número de produtos formulados e ajudam no projeto do produto ótimo.
3.1.7. MODELAGEM POR EQUAÇÕES ESTRUTURAIS
A modelagem por equações estruturais muitas vezes denominada LISREL (que é o nome de
um dos pacotes de software mais populares), é uma técnica que permite separar relacionamentos para
cada um dos conjuntos de variáveis dependentes. Em termos simples, a técnica fornece um método de
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estimação apropriado e eficiente para uma série de equações de regressões múltiplas separadas serem
estimadas simultaneamente. Ela é caracterizada por duas componentes básicas:
(1) O modelo estrutural e
(2) O modelo de medida.
O modelo estrutural é o caminho que relaciona as variáveis dependentes e independentes. Em
tais situações, teoria, experiência prévia e outros indicativos permitem que o analista distingue que
variável independente estima que variável dependente. Os modelos vistos anteriormente que
acomodam múltiplas variáveis dependentes (análise de variância multivariada e correlação canônica)
não são apropriados nesta situação porque eles permitem uma única relação entre as variáveis
dependentes e independentes.
O modelo de medida permite que o analista uso várias variáveis (indicadores) para uma única
variável dependente ou independente. Por exemplo, a variável dependente poderá ser um conceito
representado por uma escala agregada tal como auto-estima. No modelo de medida o analista pode
avaliar a contribuição de cada item da escala bem como incorporar quão bem a escala mede o conceito
(confiabilidade) na estimação do relacionamento entre as variáveis dependentes e independentes. Este
procedimento é semelhante a executar a análise de fatores dos itens da escala e usar os escores dos
fatores na regressão.
3.2. TÉCNICAS DO TIPO CORRELAÇÃO
As técnicas discutidas acima estão centradas em métodos multivariados aplicados a dados que
contém tanto variáveis dependentes quanto independentes. No entanto, se o pesquisador esta
investigando as interpelações e desta forma a interdependência entre todas as variáveis, sem se
preocupar se as variáveis são dependentes ou independentes então, várias outras técnicas multivariadas
são apropriadas. Estas técnicas incluem: análise de fatores, de conglomerados, escalonamento
multidimensional e análise de correspondência.
3.2.1. ANÁLISE DE FATORES
Análise de fatores, incluindo as variações tais como a análise de componentes e a análise de
fatores comuns é uma abordagem estatística que pode ser utilizada para analisar interpelações entre um
grande grupo de variáveis e para explicar estas variáveis em termos de fatores subjacentes comuns. O
objetivo é encontrar uma forma de condensar a informação contida em um determinado número de
variáveis originais em um conjunto menor de variates (fatores) com perda mínima de informação.
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Texto i: INTRODUÇÃO
3.2.2. ANÁLISE DE CONGLOMERADOS
A análise de conglomerados é uma técnica analítica para encontrar subgrupos significativos
de indivíduos ou objetos. Especificamente, o objetivo é classificar uma amostra de entidades
(indivíduos ou objetos) em um número pequeno de grupos mutuamente exclusivos. Na análise de
conglomerados, diferentemente da análise discriminante, os grupos não são pré-definidos. Ao invés a
técnica é usada para identificar os grupos.
A análise de conglomerados normalmente envolve dois passos. O primeiro é a medida de
alguma forma de semelhança ou associação entre as entidades para determinar quantos grupos existem,
realmente, na amostra. O segundo passo é traçar o perfil das pessoas ou variáveis de modo a
determinar sua composição. Este passo pode ser acompanhado da aplicação da análise discriminante
aos grupos identificados pela técnica de conglomerados.
3.2.3. ESCALONAMENTO MULTIDIMENSIONAL
Na redução multidimensional o objetivo é transformar julgamentos de semelhança ou
preferência (por exemplo, preferência por lojas ou marcas) em distâncias representadas no espaço
multidimensional. Se objetos A e B são julgados por respondentes como sendo os mais semelhantes
comparados com todos os demais pares de objetos, a técnica posicionará os objetos A e B de forma
que a distância entre eles no espaço multidimensional seja menor do que a distância entre quaisquer
outros pares de objetos. O mapa perceptivo resultante mostra a posição relativa de todos os objetos,
mas análises adicionais serão necessárias para descobrir que atributos foram usados para estabelecer a
posição de cada objeto.
3.2.4. ANÁLISE DE CORRESPONDÊNCIA
A análise de correspondência é uma técnica interdependente recentemente desenvolvida para
facilitar tanto a redução dimensional da posição em uma escala (por exemplo, produtos, pessoas, etc.)
em um conjunto de atributos quanto o mapa perceptível destes objetos relativos a estes atributos. Os
analistas estão constantemente enfrentando o problema de "quantificar" os dados qualitativos
encontrados em variáveis nominais. A análise de correspondência difere de outras técnicas
interdependentes discutidas anteriormente na habilidade para acomodar tanto dados não-métricos
quanto relacionamentos não-lineares.
Em sua forma básica a análise de correspondência emprega uma tabela de contingência, que é
a tabulação cruzada de duas variáveis categóricas. Ela então transforma os dados não-métricos a um
nível métrico e executa a redução dimensional (semelhante a análise de fatores) e o mapa perceptível
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Texto i: INTRODUÇÃO
(semelhante a análise multidimensional). Como um exemplo, a preferência de consumidores por
marcas pode ser posta em cruzamento com variáveis demográficas (raça, renda, ocupação) pela
indicação de quantas pessoas preferindo cada marca podem ser classificadas em cada categoria na
variável demográfica. Através da análise de correspondência, a associação ou "correspondência" de
marcas e as características distinguindo os que preferem cada marca são mostradas em um mapa de
duas ou três dimensões tanto das marcas quanto das características dos respondentes. Marcas
percebidas como semelhantes são colocadas próximas umas das outras. Da mesma forma, a principal
característica dos respondentes na preferência de cada marca é dada pela proximidade da categoria da
variável demográfica da posição da marca. A análise de correspondência fornece uma representação
multivariada da interdependência para dados não-métricos que não seria possível com outras técnicas.
4 . C L A S S I F I C A Ç Ã O D A S T É C N I C A S M U LT I VA R I A D A S
Para poder se familiarizar com as técnicas multivariadas específicas é apresentado na figura
4.1 uma classificação dos métodos multivariados. Esta classificação é baseado em três julgamentos
que se deve fazer sobre os objetivos da análise e a natureza dos dados:
(1) As variáveis podem ser classificadas em independentes e dependentes de acordo com
algum critério?
(2) Se sim, quantas são tratadas como dependentes em uma única análise?
(3) Qual a escala de medida utilizada para avaliar as variáveis?
A técnica multivariada selecionada depende das respostas a estas 3 questões. Quando uma
técnica multivariada for considerada, a primeira pergunta a ser formulada é: os dados podem ser
divididos em classificações dependentes e independentes? A resposta a esta questão indica se uma
técnica dependente ou interdependente deve ser utilizada. Observe que na figura 4.1 as técnicas
dependentes estão de um lado e as independentes de outro.
Uma técnica dependente pode ser definida como aquela em que uma variável ou um conjunto
de variáveis são identificadas como variáveis dependentes para serem previstas ou explicadas por
outra ou outro conjunto de variáveis conhecidas como independentes. Um exemplo de uma destas
técnicas é a análise múltipla de regressão. Em contraste, uma técnica interdependente é aquela em
que uma única variável ou um grupo de variáveis são definidas como sendo dependentes ou
independentes. Além disso, o procedimento envolve a análise de todas as variáveis no conjunto
simultaneamente. A análise de fatores é uma técnica de interdependência.
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4.1. TÉCNICAS DEPENDENTES
Os diferentes métodos que constituem a análise de dependência podem ser categorizadas por
duas coisas:
(1) o número de variáveis dependentes e
(2) o tipo de escala de medida empregado para medir as variáveis.
Com respeito ao número de variáveis dependentes estas técnicas podem ser classificadas
como tendo uma única variável dependente, várias variáveis dependentes ou mesmo várias relações de
dependência ou independência. As técnicas dependentes podem, ainda, ser classificadas como
apresentando variáveis métricas (quantitativa/numérica) ou não-métricas (qualitativas/categóricas)
dependentes. Se a análise envolve uma única variável dependente que é métrica, a técnica apropriada é
tanto análise múltipla de regressão quanto análise conjunta. A análise conjunta é um caso especial. É
um procedimento dependente que pode tratar a variável dependente tanto como métrica ou nãométrica, dependendo das circunstâncias. Por outro lado, se a única variável dependente é categórica
então a técnica apropriada é a análise discriminante ou modelos lineares de probabilidade. Em
contraste, quando o problema envolve várias variáveis dependentes, quatro outras técnicas de análise
são apropriadas. Se as várias variáveis dependentes são métricas deve-se então olhar para as variáveis
independentes. Se as variáveis independentes são não-métricas a técnica de análise multivariada de
variância deve ser selecionada. Se elas forem métricas então análise canônica de correlação é a técnica
a ser empregada. Se as várias variáveis dependentes são não-métricas, elas podem ser transformadas
através de variáveis dummy codificadas como 0 ou 1 e então a análise canônica pode novamente ser
empregada. Finalmente se um conjunto relacionamentos de variáveis dependentes/independentes pode
ser assumido então a modelagem por equações estruturais pode ser empregado.
Existe uma relação estreita entre os vários procedimentos dependentes e elas podem ser vistas
como uma família de técnicas. A tabela 4.1 define as várias técnicas dependentes multivariadas em
termos da natureza e do número das variáveis dependentes e independentes. Como pode ser visto, a
correlação canônica pode ser considerada como um modelo geral sobre o qual muitas outras técnicas
multivariadas estão baseadas, porque ela coloca as mais baixas restrições tanto no tipo quanto no
número de variáveis em ambas as variates dependente e independente. As restrições são colocadas nas
variates, conclusões mais precisas podem ser alcançadas baseadas na escala específica de medida dos
dados. Desta forma, as técnicas multivariadas abrangem desde o método geral de análise canônica até
o mais especializado representado pela modelagem de equações.
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Figura 4.1 - Classificação das técnicas multivariadas
Tipo de relação sendo examinada
Dependência:
Interdependência:
Quantas variáveis
estão sendo
explicadas?
A estrutura do
relacionamento é entre?
Relações múltiplas
de variáveis dependentes
e independentes?
Várias variáveis em
uma única relação
Uma variável dependente
em uma única relação
Variáveis
Casos/Respondentes
Objetos
Modelagem por
equações estruturais
Qual é o tipo de
varável dependente?
Qual é o tipo
de escala da
variável dependente?
Análise
de Fatores
Análise de
Conglomerados
Como os
atributos são
mensurados?
Métrica
Não-métrica
Qual é a escala de
medida da variável
explicativa?
Métrica
Análise canônica
correlação com
variáveis dummy
Métrica
Não-métrica
Análise canônica
correlação
Análise de variância
multivariada
Não-métrica
Regressão
Múltipla
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Análise
Conjunta
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Análise
Discriminante
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Modelos
Lineares de
Probabilidade
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Métrica
Não-métrica
Redução
Multidimensional
Análise
de correspondência
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Texto i: INTRODUÇÃO
Tabela 4.1 - As relações entre os métodos dependentes multivariados
Correlação canônica
Y1 + Y2 + Y3 + .. + Yn = X1 + X2 + X3 + ... + Xn
(Qualitativas, Quantitativas )
(Qualitativas, Quantitativas )
Análise multivariada de variância
Y1 + Y2 + Y3 + ... + Yn = X1 + X2 + X3 + ... + Xn
(Quantitativas )
(Qualitativas)
Análise de variância
Y = X1 + X2 + X3 + ... + Xn
(Quantitativas )
(Qualitativas)
Análise discriminante múltipla
Y = X1 + X2 + X3 + ... + Xn
(Qualitativa)
(Quantitativas )
Análise de regressão múltipla
Y = X1 + X2 + X3 + ... + Xn
(Quantitativa)
(Quantitativas, Qualitativas)
Análise conjunta
Y = X1 + X2 + X3 + ... + Xn
(Quantitativa, Qualitativa)
(Qualitativas)
Modelagem por equações estruturais
Y1 = X11 + X12 + X13 + ... + X1n
Y2 = X21 + X22 + X23 + ... + X2n
................................................
Ym = Xm1 + Xm2 + Xm3 + ... + Xmn
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4.2. TÉCNICAS INTERDEPENDENTES
As técnicas interdependentes são mostradas no lado direito da figura 4.1. Deve-se lembrar que
neste tipo de técnica as variáveis não são classificadas como dependentes ou independentes. Ao invés,
todas as variáveis são analisadas simultaneamente em um esforço para encontrar uma estrutura
subjacente para todo o conjunto de variáveis ou elementos. Se a estrutura das variáveis é para ser
analisada, então análise de fatores é a técnica apropriada. Se casos ou respondentes devem ser
agrupados para representar a estrutura, então a análise de conglomerados é a técnica selecionada.
Finalmente, se o interesse reside na estrutura dos objetos, então a técnica da redução multidimensional
deve ser aplicada. Assim como nas técnicas dependentes, as propriedades das medidas das técnicas
devem ser consideradas. No entanto, dados não-métricos podem ser transformados através de variáveis
dummy para uso com análise de fatores e de conglomerados. A abordagem métrica e não-métrica foi
desenvolvida para a redução multidimensional. Se a interdependência dos objetos medidos por dados
não-métricos deve ser analisada, a análise de correspondência é também uma técnica apropriada.
5 . A N Á L I S E M U LT I VA R I A D A : I N T E R P R E TA Ç Ã O
A análise multivariada, mesmo quando aplicada corretamente, pelas restrições de se acomodar
múltiplas variáveis, cria resultados complexos que podem ser difíceis de se interpretar. As orientações
gerais seguintes podem ajudar nesta interpretação. A lista não é uma coleção exaustiva de
considerações, mas uma espécie de "filosofia da análise multivariada".
5.1. ESTABELECER SIGNIFICÂNCIA PRÁTICA E ESTATÍSTICA
O analista deve considerar a significância estatística dos resultados, é claro, mas também seu
significado prático. A significância prática é obtida respondendo a questão "E agora?". Para qualquer
aplicação gerencial, os resultados devem ter um efeito demonstrável que justifique a ação.
5.2 O TAMANHO DA AMOSTRA AFETA TODOS OS RESULTADOS
Para pequenas amostras, a sofisticação e complexidade das técnicas de análise multivariada
podem facilmente resultar em (1) pouco poder estatístico para o teste para identificar resultados
significativos de forma realista; (2) facilmente oferecer um ajustamento adequado dos dados tais que
os resultados serão artificialmente bons porque se ajustam muito bem, embora não tenha generalidade.
Um impacto semelhante também ocorre para grandes tamanhos de amostras, tornando o teste muito
sensível. Toda vez que a amostra exceder a 200 ou 300 unidades, o analista deve examinar todos os
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Texto i: INTRODUÇÃO
resultados significativos para se assegurar que eles possuem significância prática, devido ao
crescimento do poder estatístico em virtude do tamanho da amostra. O tamanho da amostra afeta
também os resultados quando a análise envolve grupos de resposta tal como na análise discriminante e
MANOVA. Tamanhos desiguais entre grupos influenciam os resultados e requerem interpretações
adicionais e/ou análises.
5.3. CONHEÇA OS DADOS
A análise multivariada requer um exame preliminar dos dados em virtude da influência de
outliers (valores estranhos ao conjunto), violação das hipóteses e a falta de dados (missing data). Para
aproveitar todos os benefícios da análise multivariada o analista deve saber "onde olhar", com
formulações alternativas do modelo original, tal como relacionamentos não-lineares ou interativos.
5.4. MANTENHA UM MODELO SIMPLES
As técnicas multivariadas são projetadas para acomodar múltiplas variáveis na análise. Esta
característica, no entanto, não deve substituir o desenvolvimento de um modelo conceitual antes da
aplicação da técnica. Enquanto é sempre mais importante evitar a omissão de uma variável preditiva
crítica, denominado de erro de especificação, por várias razões o analista também deve evitar o
oposto, isto é, inserir variáveis indiscriminadamente e deixar a técnica multivariada tentar identificar
as relevantes. Primeiro, porque variáveis irrelevantes normalmente aumentam a habilidade de
aderência dos dados ao modelo tornando os resultados menos generalizáveis para a população.
Segundo, variáveis irrelevantes não necessariamente distorcem os resultados das relevantes, mas elas
podem mascarar os verdadeiros efeitos devidos a multicolinearidade. A multicolinearidade representa
o grau com que qualquer variável pode ser prevista pelas outras variáveis na análise. Com o aumento
da multicolinearidade diminui a habilidade de detectar o efeito de outras variáveis. Desta forma, incluir
variáveis que não são conceitualmente relevantes pode ter efeitos potenciais danosos, mesmo se elas
não distorcem diretamente os resultados do modelo.
5.5. TOME CUIDADO COM OS ERROS
Mesmo com as técnicas multivariadas, raramente se obtém as melhores previsões na primeira
análise. O analista enfrenta então a questão: "o que fazer agora?" A melhor resposta é olhar os erros
nas previsões, se eles são residuais da análise de regressão, de má classificação na análise
discriminante ou por outliers na análise de conglomerados. Neste caso, o analista deve usar os erros na
previsão não como uma medida de falha ou meramente algo a ser eliminado, mas como um ponto de
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Texto i: INTRODUÇÃO
partida para o diagnóstico da validade dos resultados obtidos e um indicação de relações
remanescentes não explicadas.
6. CONCLUSÃO
Nesta introdução às técnicas multivariadas o assunto não foi absolutamente esgotado. O que
se apresentou aqui de forma introdutória foi o elenco das técnicas já sedimentadas. Técnicas ainda
pouco conhecidas ou recém desenvolvidas não foram analisadas. O que se pretendeu foi apresentar um
panorama amplo das principais técnicas, suas interelações e um guia para a escolha e a aplicação das
mesmas. Novas técnicas que estão rapidamente ganhando importância, com aplicações em quase todas
as áreas são as redes neurais (neuronais) e a mineração de dados (data mining).
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7. REFERÊNCIAS
AAKER, David A., DAY, George S. Marketing Research (3e). New York: John Wiley & Sons, 1986.
CHURCHILL, A, Jr. Marketing Research:Methodological Foundations (sixth edition). Orlando, FL:
Hartcourt Brace & Company, 1995, 1117 pp.
DILLON, William R., MADDEN, Thomas J., FIRTLE, Neil H. Marketing Research in a Marketing
Environment (Third edition). Boston, Massachusetts: IRWIN, 1987, 760 pp.
HAIR, Joseph F., Jr.. ANDERSON, Rolph E., TATHAM, Ronald L., BLACK William C.
Multivariate Data Analyis: with readings (fourth edition). Upper Saddle River, New Jersey:
Prentice Hall, 1995. 745 pp.
KACHIGAN, Sam Kash.
Statistical Analysis: An Interdisciplinary Introduction to Univariate &
Multivariate Methods. New York: Radius Press, 1986, 589 p.
MARKLAND, Robert E., SWEIGART, James R. Quantitative Methods: Applications to Managerial
Decision Making. New York: John Wiley & Sons, 1987. 827p.
MASON, Robert D., DOUGLAS, Lind A. Statistical Techniques in Business And Economics. IRWIN,
Boston, 1990.
NORUŠIS, Marija J., SPSS Inc. SPSS® for Windows™ Professional Statistics™, Release 5. Chicago,
IL: SPSS Inc., 1992.
STEVENS, James. Applied Multivariate Statistics For The Social Sciences. Mahwah, New Jersey:
LEA − Lawrence Erbaum Associates, Publishers. 1996.
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