Capı́tulo 2
Revisão e Pré-Requisitos (2)
2.1
Coordenadas no plano
Da mesma maneira que os pontos de uma reta podem ser associados a números reais, ditos suas coordenadas, os
pontos do plano podem ser associados a pares de números reais.
Para isto, fixamos duas retas numeradas perpendiculares entre si que se interceptam na origem O de cada uma
delas. Usualmente, uma delas é horizontal com a direção positiva para a direita. Esta reta será chamada eixo x ou
eixo das abscissas. A outra reta, vertical com a direção positiva para cima, é chamada eixo y ou eixo das ordenadas.
Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano com um único par de números da seguinte maneira: a
coordenada x ou abscissa de um ponto P é a coordenada no eixo x, do pé da perpendicular a este eixo passando por
P e a coordenada y ou ordenada de P é a coordenada no eixo y, do pé da perpendicular a este eixo passando por P .
Se P tem coordenadas x e y escrevemos P(x, y). Veja o gráfico:
y
3
P1
2
P
1
–3
–2
–1
0
1
2
3 x
–1
–2
Observe que a ordem na qual as coordenadas são escritas é importante. O ponto de coordenadas (1, 3) é P1 , e este
ponto é diferente do ponto P de coordenadas (3, 1) = (x, y) mostrados na figura acima. Neste sentido, as coordenadas
de um ponto formam um par ordenado de números reais.
Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de números reais, reciprocamente, todo par
ordenado de números reais (a, b) determina um único ponto do plano. Temos, então, uma correspondência biunı́voca
entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Uma correspondência desse tipo é chamada sistema
de coordenadas no plano.
O sistema de coordenadas que definimos é chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas
cartesianas em homenagem ao matemático e filósofo francês René Descartes (1596-1650), que assinava seu nome em
latim, Cartesius, e que foi o primeiro a definir um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo
ramo da Matemática chamado, hoje, Geometria Analı́tica. Parte do mérito da descoberta da Geometria Analı́tica
deve ser creditado, também, a um outro francês, Pierre Fermat (1601-1665) que estabeleceu os mesmos princı́pios,
mais ou menos na mesma época que Descartes.
O plano munido deste sistema de coordenadas, usualmente
chamado plano coordenado ou plano cartesiano, é denotado pelo
sı́mbolo R2 . O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usualmente colocados na posição indicada na figura ao lado, dividem o
ii
i
plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, que estão indicados pelos sı́mbolos i , ii, iii e iv, respectivamente. De acordo com
iii
iv
a figura, o primeiro quadrante é o conjunto de todos os pontos (x,
y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante, o
conjunto de todos os pontos x, y do plano para os quais x < 0 e y
> 0 e assim por diante.
Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais é biunı́voca, em
geral nos referimos a um ponto P como o ponto (1, 2) ou o ponto (x, y), quando, na realidade queremos nos referir ao
16
Cap. 2. Revisão e Pré-Requisitos (2)
ponto P cujas coordenadas são (1, 2) ou (x, y). Assim, quando escrevemos P = (x, y) significa, sem ambigüidade, que
estamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas são dadas, de modo único, pelo par ordenado (x, y) de números
reais. Repare que a notação usada para intervalo aberto (a, b) é a mesma usada para o ponto cujas coordenadas são
a e b. Dependendo do contexto onde estas notações forem usadas, você deverá ser capaz de fazer a distinção!
2.1.1
Distância entre dois pontos do plano
A distância entre dois pontos P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) no plano, representada por d(P1 P2 ), é definida pela fórmula
√
d(P1 P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
Esta fórmula é facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que d(P1 P2 ) é a medida da hipotenusa
de um triângulo retângulo cujos catetos medem | x2 − x1 | e | y2 − y1 |, como mostra a figura abaixo.
P2
y2
P1
y1
x1
x2
• Que teorema garante a validade dessa fórmula?
• O que acontece quando x1 = x2 ou quando y1 = y2 ?
Exemplo Determine a distância entre os pontos (1, −2) e (6, 2).
√
√
√
Solução d = (1 − 6)2 + (−2 − 2)2 = 25 + 16 = 41
O comando distance do pacote student do Maple calcula esta distância automaticamente, como fazemos a seguir:
>
with(student):
>
distance([1,-2],[6,2]);
√
2.1.2
41
Exercı́cios
1. Quais os valores de t para que o ponto P de coordenadas ( 2 t + 4, 3 − 2 t) esteja:
(a) No primeiro quadrante
(c) Sobre o eixo x
(b) No quarto quadrante
(d) Sobre o eixo y
2. As duas retas traçadas abaixo representam a mesma função y =
diferentes? O que se pode concluir?
x
4.
Por que as figuras traçadas “parecem”
2
0.4
y1
0.2
–2
–1
1
x
2
–2
–1
0
1
x
2
–0.2
–1
–0.4
–2
3. A recı́proca do Teorema de Pitágoras afirma que se a soma dos quadrados dos comprimentos de dois lados de um
triângulo é igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado, então o triângulo é retângulo. Use este teorema
e a fórmula de distância entre dois pontos para mostrar que os pontos (−3, 4), (1, 0) e (5, 4) determinam um
triângulo retângulo.
W.Bianchini, A.R.Santos
17
4. Um sistema de coordenadas não ortogonal
Num sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um ângulo, não nulo, α ̸= 90o .
(a) Como podemos definir as coordenadas de um ponto P nesse sistema?
(b) Se P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ), qual a distância P1 P2 nesse novo sistema?
5. Um sistema de coordenadas tridimensional
Se tomarmos uma reta perpendicular aos eixos x e y na intersecção de ambos, poderemos definir um sistema de
coordenadas no espaço. Nesse sistema, temos uma correspondência biunı́voca entre os pontos do espaço e triplas
ordenadas de números reais. A projeção ortogonal de um ponto em um eixo é a coordenada deste ponto naquele
eixo. Assim, um ponto fica completamente determinado por suas três coordenadas e escrevemos P (x, y, z).
(a) Seja P um ponto do plano xy. Sua projeção no eixo x é 2 e no eixo y é 3. Quais são as suas coordenadas?
(b) Se P1 é um ponto qualquer no plano yz, escreva suas coordenadas como uma tripla ordenada de números
reais.
(c) Sobre que eixo está cada um dos pontos: A(0, 3, 0), B(−2, 0, 0) e C(0, 0, 5).
(d) Sobre que plano está cada um dos pontos: R(4, 0, 2), S(3, −2, 0) e T (0, 1, 5).
(e) Se P ′ é a projeção do ponto P (2, 3, 4) no plano xy, quais são as coordenadas de P ′ ?
(f) Qual a distância do ponto (3, 2, −2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao plano yz?
(g) Responda o item anterior para o ponto (x, y, z), onde x, y e z são números reais quaisquer.
(h) Qual a distância do ponto P1 (x1 , y1 , z1 ) ao ponto P2 (x2 , y2 , z2 )?
(i) Quais as coordenadas do ponto médio do segmento que liga os pontos P1 e P2 ?
2.2
Gráficos de equações
A idéia básica da Geometria Analı́tica é explorar a correspondência entre pontos e suas coordenadas para estudar
problemas geométricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da Álgebra. Dessa maneira,
podemos usar o ferramental computacional da Álgebra em problemas geométricos, e este foi o grande avanço na
Geometria desde os tempos dos gregos. A seguir, damos alguns exemplos de como isto pode ser feito.
A equação y = 2 x − 1 descreve uma relação entre as variáveis x e y. Uma solução desta equação é um par ordenado
de números reais que, quando substituı́do na equação dada, produz uma sentença verdadeira. Assim, os pares (0, −1),
(1, 1) e ( 12 , 0) são todos soluções da equação em questão. O gráfico desta equação é o conjunto de todos os pontos no
plano coordenado que são soluções da mesma. Mais geralmente, uma equação da forma F(x, y) = 0 determina uma
curva no plano, cujo gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equação dada.
Reciprocamente, uma curva definida por alguma condição geométrica pode, usualmente, ser descrita por uma equação
da forma F(x, y) = 0.
Exemplo 1 Vamos esboçar o gráfico de y = 2 x − 1. Começamos determinando pontos com coordenadas (x, y)
que satisfazem a equação dada. É conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no plano
coordenado.
4
x
−2
−1
0
1
2
y
−5
−3
−1
1
3
3
2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
Como existem infinitas soluções para a equação dada, não é possı́vel completar a tabela e, conseqüentemente, o
gráfico da equação listando todas as soluções. Em geral, os poucos pontos que calculamos não seriam suficientes para
identificar o gráfico da equação, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar que
o gráfico da equação y = 2 x − 1 é a reta que traçamos abaixo.
18
Cap. 2. Revisão e Pré-Requisitos (2)
4
3
y2
1
–4
–3
–2
0
–1
1
2
x
–1
3
4
–2
–3
–4
Na próxima seção provaremos que o nosso palpite está correto e que o gráfico de uma equação do tipo A x+B y+C =
0 define uma reta no plano.
A técnica de esboçar gráficos marcando um número suficiente de pontos até que se obtenha um padrão e de traçar
o gráfico de acordo com este padrão carece de rigor e é muito imprecisa, podendo levar a conclusões completamente
errôneas. O próximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir.
Exemplo 2 Vamos esboçar o gráfico da equação q =
10
p2 +1 .
Como a relação dada não expressa y em termos de x, o que necessariamente não precisa acontecer, devemos decidir
se o primeiro número do par ordenado, a abscissa do ponto, representará q ou p. Qualquer escolha estará correta,
no entanto, como a equação expressa q em termos de p, usualmente marcamos p no eixo horizontal. Construindo a
tabela terı́amos:
p
q
-3
1
-2
2
-1
5
0
10
1
5
2
2
3
1
Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave terı́amos várias possibilidades,
como as mostradas abaixo:
10
10
8
6
q
4
8
2
6
–4
–3
–2
–1
4
0
–2
1
2
p
3
4
1
2
p
3
4
–4
–6
2
–3
–2
–1
–8
0
1
2
–10
3
10
10
8
6
q
4
8
2
–4
–3
–2
–1
0
–2
1
2
p
3
6
q
4
4
–4
–6
2
–8
–10
–4
–3
–2
–1
0
Para decidir quais dos gráficos acima é o correto, precisaremos marcar muitos outros pontos! (É dessa maneira
que os computadores traçam gráficos. Veja o projeto Programando o Computador para Traçar Gráficos de Funções).
Durante este curso aprenderemos técnicas que permitirão traçar gráficos com precisão sem necessidade de marcar
muitos pontos. Por ora, nas próximas seções, vamos estudar algumas curvas especiais e seus gráficos.
Exemplo 3 Abaixo traçamos o gráfico de y = x2 . Esta curva é uma parábola. O ponto mais baixo (0, 0) é
chamado vértice da parábola. Neste exemplo, dizemos que a parábola tem a concavidade voltada para cima (veja
abaixo à esquerda). Se o gráfico é invertido, como no caso da parábola y = −x2 (veja abaixo à direita), dizemos que
a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
W.Bianchini, A.R.Santos
19
x
16
–4
–3
–2
–1
0
14
–2
12
–4
10
–6
8
–8
6
–10
4
–12
2
–14
0
1
2
x
3
–16
4
A figura seguinte mostra o gráfico de algumas parábolas da forma y = ax2 , para vários valores do parâmetro a.
Em todos os casos o vértice é a origem.
100
a=3
80
a=1
60
y
40
a=1/2
20
–10 –8
–6
–4
–2 0
–20
2
4 x 6
8
10
–40
–60
a=–1
–80
a=–3
–100
Execute também, na versão eletrônica, a animação que mostra o efeito da variação do valor de a no gráfico da
curva y = a x2 .
• O que acontece quando a é positivo e se aproxima de zero?
• E quando a é negativo e se aproxima de zero?
Para responder a estas perguntas execute, na versão eletrônica, as animações correspondentes.
Dos exemplos acima podemos concluir que, se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima, e se a <
0, para baixo. Repare ainda que se o ponto (x, y) pertence ao gráfico da parábola, o ponto (−x, y) também pertence.
Neste caso, dizemos que o gráfico da parábola é simétrico em relação ao eixo y ou que o eixo y é o eixo de simetria da
parábola.
O gráfico da equação x = a y 2 (veja abaixo) também representa uma parábola que pode ser obtida a partir da
parábola y = a x2 por meio de uma reflexão em relação à diagonal principal, isto é, em relação à reta y = x. (Trocar
x por y numa equação qualquer resulta em refletir o seu gráfico em relação à reta y = x.)
a>0
a<0
–4
–3
–2
2
2
1
1
–1
1
2
x
3
4
–4
–3
–2
–1
1
–1
–1
–2
–2
2
x
3
4
Nestes exemplos, os gráficos são simétricos em relação ao eixo x porque se (x, y) pertence ao gráfico de x = a y 2
então o ponto (x, −y) também pertence.
Exemplo 4 Esboce a região limitada pela parábola x = y 2 e pela reta y = x − 2.
Para esboçar a região pedida, primeiro vamos achar os pontos de intersecção das curvas resolvendo o sistema
{
x = y2
x = y+2
Resolver este sistema é equivalente a resolver a equação y + 2 = y 2 ou y 2 − y − 2 = 0. Como y 2 − y − 2 = 0 é equivalente a (y − 2) (y + 1) = 0, temos que y = 2 ou y = −1. Assim, os pontos de intersecção das curvas são (4, 2) e (1, −1).
Este sistema pode ser resolvido com a ajuda do Maple usando-se o comando solve, como é feito a seguir:
>
solve({x=y^2,x=y+2},{x,y});
{y = −1, x = 1}, {y = 2, x = 4}
20
Cap. 2. Revisão e Pré-Requisitos (2)
4
Traçamos, então, a reta que passa pelos pontos de intersecção (lembre-se de que dois pontos determinam
uma única reta!) e esboçamos a parábola com vértice
na origem, passando por estes mesmos pontos.
A região limitada por x = y 2 e y = x − 2 significa a
região finita cujas fronteiras são estas curvas. Veja
ao lado.
2.3
2
–2
–1
1
2
3
x
4
5
6
–2
–4
Retas
Na seção anterior conjecturamos que a equação y = 2 x − 1 representava uma reta no plano coordenado. Vamos agora
provar esta conjectura resolvendo o problema inverso, isto é, mostrando que a equação de uma determinada reta é da
forma A x + B y + C = 0. Esta equação deve ser satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta e por nenhum outro
ponto. Para achar esta equação vamos usar o fato de que toda reta é determinada por dois pontos e que a ela está
associado um número que mede a sua inclinação. Este número é chamado declividade ou coeficiente angular da reta.
Definição
A declividade de uma reta não vertical que passa pelos pontos P0 (x0 , y0 ) e P1 (x1 , y1 ) é
m=
y1 − y0
.
x1 − x0
A declividade de uma reta vertical não está definida.
Geometricamente, podemos interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente) do ângulo que a
mesma faz com a direção horizontal.
y
y1
ω
y0
xo
x1
x
Usando semelhança de triângulos, é fácil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, isto
é, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a relação
m=
y − y0
y1 − y0
y − y1
=
=
x − x1
x − x0
x1 − x0
é constante.
A declividade pode também ser interpretada como a taxa de variação da variável dependente y em relação à variável
independente x. Isto quer dizer que, se uma reta tem declividade m, a cada unidade de variação de x, corresponde m
∆y
−yo
=∆
unidades de variação de y. Pela observação acima concluı́mos que, em uma reta, a taxa de variação xy11 −x
x é
o
constante e, além disso, qualquer curva cuja taxa de variação seja constante é uma reta.
m=–2
A figura ao lado mostra várias retas com declividades diferentes. Note que as retas com declividades positivas ascendem para a direita. Se, por outro lado, m < 0, a reta descende para a direita. Se m = 0, a reta é paralela ao eixo
x. Note também que as retas mais inclinadas são aquelas
para as quais o valor absoluto da declividade é maior.
1
0.8
m=–0.5
m=3 m=2
m=1
0.6
y
0.4
0.2
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
–0.2
0.2 0.4 x 0.6 0.8
1
–0.4
–0.6
–0.8
–1
Estamos prontos, agora, para achar a equação da reta, não vertical, que passa por um determinado ponto P1 (x1 , y1 )
e tem declividade m. Um ponto P(x, y) com x ̸= x1 (pois a reta é não vertical) pertence a esta reta se e somente se a
W.Bianchini, A.R.Santos
razão
y−y1
x−x1
é igual a m, isto é, m =
21
y−y1
x−x1 .
Temos, portanto, a equação
y − y1 = m (x − x1 ).
Como esta equação é satisfeita também pelo ponto (x1 , y1 ), esta é a equação da reta que procuramos, isto é, da
reta que passa pelo ponto P1 e tem declividade m.
Exemplo 1 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, −7) e tem declividade − 12 .
Solução Neste exemplo, m = − 12 , x1 = 1 e y1 = −7 e, portanto, a equação é dada por y + 7 = − x−1
2 ou, equivalentemente, 2 y + 14 = −x + 1 ou, ainda, x + 2 y + 13 = 0 .
Suponha que uma reta não vertical tenha declividade m e intercepte o eixo y no ponto (0, b). Usando a fórmula
acima concluı́mos que a equação desta reta é
y − b = m (x − 0)
ou, equivalentemente,
y = m x + b.
Esta equação é chamada equação reduzida da reta. Aqui o número b é chamado coeficiente linear da reta e é a
ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Em particular, se a reta é horizontal, sua declividade é zero e sua
equação é dada por y = b.
• Qual a caracterı́stica geométrica da famı́lia
de retas obtida considerando-se vários valores
para b na equação y = m x + b? Para responder a esta pergunta, observe ao lado o gráfico
de uma famı́lia de equações deste tipo e execute, também, a animação correspondente na
versão eletrônica.
20
10
–10 –8
–6
–4
–2 0
2
4 x 6
8
10
–10
–20
Não se define declividade para retas verticais, sua equação é da forma x = a, onde a é a abscissa do ponto onde a
reta corta o eixo x. Para ver que esta equação é válida, basta notar que a coordenada x de todos os pontos de uma
reta vertical é a.
Exemplo 2 Ache a equação da reta que passa por dois pontos dados.
Solução Sejam P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) os dois pontos dados da reta e P(x, y) outro ponto qualquer desta mesma
reta. Da definição de declividade, sabemos que
y − y1
y1 − y2
=
x − x1
x1 − x2
que é a equação procurada.
Em todos os casos tratados acima, a equação da reta pode ser colocada na forma A x + B y + C = 0. De um modo
geral, esta equação, onde as constantes ou parâmetros A e B não são ambos nulos, representa a equação de uma reta.
Esta equação é chamada equação geral da reta.
Reciprocamente, toda equação da forma acima, onde A, B e C são constantes e A e B não são ambas nulas, é a
equação de uma reta. Assim, se B = 0, então A ̸= 0 e a equação pode ser escrita como x = − C
A , que é a equação de
C
uma reta vertical. Por outro lado, se B ̸= 0, então y = − ABx − B
, e esta é a equação de uma reta com declividade
A
C
m = −B
que passa pelo ponto ( (0, − B
).
Exemplo 3 Esboce o gráfico da equação 3 x + 5 y = 15.
Solução Como a equação dada é a equação de uma reta, para traçar
o seu gráfico basta acharmos dois de seus pontos. Os mais fáceis de
achar são aqueles onde a reta intercepta os eixos coordenados. Assim,
substituindo y = 0 na equação, obtemos 3 x = 15, e daı́ x = 5. Logo, o
ponto (5, 0) pertence à reta em questão. Da mesma forma, substituindo
x = 0 na equação temos que y = 3 e o ponto (0, 3) também pertence à
reta. Veja o gráfico desta reta esboçado ao lado.
10
8
6
y
4
2
–10 –8
–6
–4
–2 0
–2
–4
–6
–8
–10
2
4 x 6
8
10
22
Cap. 2. Revisão e Pré-Requisitos (2)
2.3.1
Retas paralelas e perpendiculares
• Duas retas são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais.
• Duas retas com declividades m1 e m2 são perpendiculares se e somente se m1 m2 = −1.
A primeira afirmação é óbvia. A segunda não é tão evidente, mas pode
ser estabelecida muito facilmente utilizando-se semelhança de triângulos.
3
Suponhamos que as retas sejam perpendiculares, como mostra a figura
2
m1
ao lado. Desenhamos um segmento de comprimento unitário à direita
1
1
-m2
do ponto de intersecção e traçamos, a partir de sua extremidade direita,
0
1
2
3
4
um segmento vertical que intercepta as duas retas. Os dois triângulos
–1
retângulos formados dessa maneira são semelhantes e têm lados com
–2
os comprimentos indicados. A semelhança implica que m11 = − m12 , o
–3
que prova a relação que queremos. Este raciocı́nio pode ser facilmente
invertido; portanto, se m1 m2 = −1, então as retas são perpendiculares.
Exemplo 4 Ache a equação da reta que passa pelo ponto (5, 2) e é paralela à reta 4 x + 6 y + 5 = 0.
Solução A equação da reta dada pode ser escrita como y = − 23x − 56 . Logo, m = − 23 . Como retas paralelas têm
a mesma declividade, a equação da reta procurada é y − 2 = − 2 (x−5)
ou 2 x + 3 y = 16.
3
Exemplo 5 Mostre que as retas 2 x + 3 y = 1 e 6 x − 4 y − 1 = 0 são perpendiculares.
Solução As equações dadas podem ser escritas como y = − 23x + 13 e y = 32x − 41 . Assim, seus coeficientes angulares são m1 = − 23 e m2 = 32 , respectivamente. Como m1 m2 = −1, as retas são perpendiculares.
2.4
2.4.1
Circunferências e elipses
Circunferências
A fórmula da distância entre dois pontos é muitas vezes usada para achar a equação de uma curva cuja definição
geométrica depende de uma ou mais distâncias. Uma das curvas mais simples desta espécie é a circunferência que
pode ser definida como o conjunto de todos os pontos que eqüidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado
centro da circunferência e a distância de qualquer dos seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência. Se o centro
é o ponto (c1 , c2 ) e o raio é o número positivo r e se (x, y) é um ponto qualquer da circunferência, então a definição
acima se traduz pela equação
√
(x − c1 )2 + (y − c2 )2 = r
ou, equivalentemente,
(x − c1 )2 + (y − c2 )2 = r2 .
Em particular, a equação
x2 + y 2 = r2
é a equação de uma circunferência de centro em (0, 0) e raio r.
Usamos abaixo o comando implicitplot do pacote plots e o comando distance do pacote student do Maple
para traçar o gráfico da circunferência de centro em (0, 0) e raio 1 e calcular a sua equação.
>
with(plots):
>
with(student):
>
implicitplot((distance([0,0],[x,y])=1),x=-2..2,y=-2..2);
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
–1–0.8
–0.4 0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
>
distance([0,0],[x,y])=1;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
W.Bianchini, A.R.Santos
23
√
>
x2 + y 2 = 1
lhs(%)^2=rhs(%);
x2 + y 2 = 1
Exemplo Mostre que a equação x2 + y 2 + 2 x − 6 y + 7 = 0 representa uma circunferência no plano e esboce o seu
gráfico.
Solução Para achar o centro e o raio desta circunferência, primeiro agrupamos os termos em x e em y e a seguir
completamos os quadrados como segue:
x2 + 2 x + 1 + y 2 − 6 y + 9 = −7 + 1 + 9
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 3
Logo, esta equação representa uma circunferência de centro em (−1, 3) e raio
√
3 cujo gráfico esboçamos abaixo.
4.5
4
3.5
3y
2.5
2
1.5
–2.5 –2 –1.5 –1 –0.5
x
2.4.2
0
0.5
Elipses
A curva com equação
y2
x2
+ 2 = 1,
2
a
b
onde a e b são números positivos, é chamada de elipse.
Observe que se o ponto (x, y) pertence ao gráfico da elipse, o ponto (x, −y) também pertence, o mesmo acontecendo
com os pontos (−x, −y) e (−x, y). Assim, a elipse é simétrica com respeito a ambos os eixos coordenados. Para esboçar
o seu gráfico vamos encontrar as intersecções da elipse com os eixos. Para encontrar o ponto onde o gráfico de uma
curva corta o eixo x, basta fazer y = 0 na sua equação e para encontrar o ponto onde o gráfico de uma curva corta o
eixo y, basta fazer x = 0. Desta maneira concluı́mos que os pontos (−a, 0) e (a, 0) são os pontos onde a elipse corta
o eixo x. Se a > b, a distância entre estes pontos é chamada eixo maior da elipse. Da mesma forma, os pontos (0, −b)
e (0, b) são os pontos de intersecção da elipse com o eixo y. A distância entre estes pontos é chamada eixo menor da
2
2
elipse. Veja a seguir o gráfico da elipse x16 + y9 = 1.
3
2
y
1
–4
–2
0
2
x
4
–1
–2
–3
2.5
Gráficos de desigualdades
Vimos nos exemplos das seções anteriores que todos os pontos do gráfico de uma curva satisfazem a igualdade
F(x, y) = 0 e que esta condição é satisfeita somente pelos pontos do seu gráfico.
Nesta seção estamos interessados em obter o gráfico de regiões descritas por conjuntos de pontos ou desigualdades.
Da mesma forma que anteriormente, estas regiões são subconjuntos do plano onde a condição dada é satisfeita por
todos os seus pontos e por nenhum outro ponto. Os exemplos abaixo ilustram esta idéia.
24
Cap. 2. Revisão e Pré-Requisitos (2)
Exemplo 1 Descreva e esboce as regiões definidas pelos seguintes conjuntos:
(a) {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0}
(c) {(x, y) ∈ R2 ; | y | < 1}
(b) {(x, y) ∈ R2 ; y = 1}
(d) {(x, y) ∈ R2 ; | x | ≤ 2 e | y | ≤ 1}
Solução
(a) Os pontos do plano para os quais a abscissa é positiva ou nula estão
todos sobre o eixo y ou à sua direita. (Para esboçar esta região usamos
o comando inequal do pacote plots do Maple.)
A parte cinza do gráfico ao lado representa a região do plano xy que
satisfaz a condição x ≥ 0.
É claro que, na impossibilidade de representar no papel ou na tela uma
região infinita, essa região aparece “desenhada” dentro de um quadrado,
no caso [−3, 3] × [−3, 3], que para nós passará a representar o plano
inteiro. Se assim não fosse, toda a tinta fabricada na Terra não seria
suficiente para pintar essa região!
3
2
1
–3
–2
–1
1
2
3
–1
–2
–3
2
1.8
1.6
1.4
(b)] O conjunto de todos os pontos para os quais a ordenada é 1 é uma
reta horizontal uma unidade acima do eixo x.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–3
–2
–1
0
1
x
2
3
3
(c) Se | y | < 1, então −1 < y < 1. Esta região consiste em todos os
pontos do plano cuja ordenada está entre −1 e 1, isto é, todos os pontos
que estão entre as retas horizontais y = 1 e y = −1. Na figura, estas retas
são indicadas por linhas pontilhadas para indicar que os seus pontos não
pertencem ao conjunto em questão.
2
1
–3
–2
–1
1
2
3
1
2
3
–1
–2
–3
3
2
(d) As desigualdades são equivalentes a −2 ≤ x ≤ 2 e −1 ≤ y ≤ 1.
Logo o gráfico deste conjunto consiste em todos os pontos (internos e da
fronteira) da região retangular mostrada na figura ao lado.
1
–3
–2
–1
–1
–2
–3
Exemplo 2 Esboce o gráfico da desigualdade x + 2 y > 5.
Solução Estamos interessados no gráfico do conjunto
{(x, y) ∈ R2 ; x + 2 y > 5}
Resolvendo a inequação para y, obtemos:
x + 2y > 5 ⇒ 2y > 5 − x ⇒ y >
5 x
− .
2 2
Compare esta desigualdade com a equação y = 52 − x2 , que representa
uma reta com declividade − 12 e interseção com o eixo y no ponto (0, 25 ). O
gráfico da desigualdade é o conjunto de todos os pontos cuja coordenada
y é maior que a dos pontos que estão sobre a reta y = − x2 + 25 . Assim,
o gráfico procurado é a região que está acima da reta, como mostra a
figura ao lado.
10
8
6
4
2
–20
–10
–2
–4
–6
–8
–10
10
20
W.Bianchini, A.R.Santos
2.6
25
Exercı́cios
1. (a) Mostre que o triângulo com vértices A(0, 2), B(−3, −1) e C(−4, 3) é isósceles.
(b) Mostre que os pontos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) e (−5, 3) são vértices de um quadrado.
(c) Prove que os pontos A(−1, 3), B(3, 11) e C(5, 15) são colineares mostrando que AB + BC = AC .
2. (a) Sabe-se que y = 2 x − b é positivo para x > 4 e negativo para x < 4. Quanto vale b?
(b) Se um conjunto de retas é descrito pelas equações y = mx + 1, y = mx + 2, y = mx + 3, etc... O que se
pode dizer a respeito dessas retas?
√
(c) Se duas retas são descritas pelas equações y = x + 3 e y = 3 x + 2, qual o ângulo que cada uma delas faz
com o eixo x ?
3. Determine os valores da constante k para os quais a reta
(k − 3) x − (4 − k 2 ) y + k 2 − 7 k + 6 = 0
(a) é paralela ao eixo x.
(b) é paralela ao eixo y.
(c) passa pela origem.
4. Ache a equação da reta que:
(a) passa por (−2, 3) e tem declividade −4.
(b) passa por (−4, 2) e (3, −1).
(c) tem declividade
2
3
e coeficiente linear −4.
(d) passa por (2, −4) e é paralela ao eixo x.
(e) passa por (1, 6) e é paralela ao eixo y.
(f) passa por (4, −2) e é paralela a x + 3 y = 7
(g) passa por (5, 3) e é perpendicular a y + 7 = 2 x.
(h) passa por (−4, 3) e paralela à reta determinada por (−2, 2) e (1, 0).
5. (a) Mostre que as retas 2 x − y = 4 e 6 x − 2 y = 10 não são paralelas e ache o seu ponto de intersecção.
(b) Se A, B, C e C ′ são constantes e A e B não são ambas nulas, mostre que as retas:
i. A x + B y + C = 0 e A x + B y + C ′ = 0 coincidem ou são paralelas.
ii. A x + B y + C = 0 e B x − A y + C ′ = 0 são perpendiculares.
2
6. (a) Mostre que o ponto médio do segmento de reta de extremidades P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) é ( x1 +x
,
2
(b) Ache o ponto médio do segmento de reta que une os pontos
i. (1,3) e (7,15)
ii. (−1, 6) e (8, −12).
7. (a) Mostre que as equações abaixo representam uma circunferência. Ache o seu centro e o seu raio.
i.
ii.
iii.
iv.
x2 + y 2 − 4 x + 10 y + 13 = 0
x2 + y 2 + 6 y + 2 = 0
x2 + y 2 + x = 0
2 x2 + 2 y 2 − x + y = 1
(b) Sob que condições sobre os coeficientes a, b e c a equação
x2 + y 2 + a x + b y + c = 0
representa uma circunferência? Neste caso, ache o seu centro e o seu raio.
y1 +y2
2 ).
26
Cap. 2. Revisão e Pré-Requisitos (2)
8. Nos ı́tens abaixo, você deve determinar a condição representada por cada um dos gráficos. Você pode testar a
sua resposta usando a versão eletrônica deste texto!
(a) Qual a condição representada pela parte escura do gráfico (1)?
(b) Qual a condição representada pela reta do gráfico (2)?
(c) Qual a condição representada pela parte escura do gráfico (3)?
3
2
4
1
2
2
1
–3
–2
–1
1
2
3
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
–4
–2
2
4
–1
–1
–2
–2
–4
–2
–3
(1)
2.7
(2)
(3)
Problemas
1. Esboce o gráfico dos conjuntos:
(a) W ={(x, y) ∈ R2 ; x = 4}
(b) W = {(x, y) ∈ R2 ; y = −3}
(c) W = {(x, y) ∈ R2 ; x y = 0}
(d) W = {(x, y) ∈ R2 ; | x | < 2, | y | > 1}
(e) W = {(x, y) ∈ R2 ; x y < 0}
(f) W = {(x, y) ∈ R2 ; | x | > 1 e | y | ≤ 2}
(g) O conjunto dos pontos eqüidistastes de (0, 1) e (1, 0).
(h) Escreva a condição do item (g) na forma mais simples possı́vel.
2. Esboce o gráfico das condições dadas abaixo hachurando, quando for o caso, a região definida pela condição:
(a) x2 + y 2 = 1
(f) x = −3
(b) y = 2 x2 − 1
(g) y = 2
(c) 3 y + x2 = 0
(h) x2 + y 2 < 1
(d) y = 3 x + 1
(i) x2 + y 2 > 1
(e) x = 2 e 0 ≤ y ≤ 2
(j) x2 + y 2 ≤ 1
3. Esboce a região limitada pelas curvas
(a) y = 3 x e y = x2
(b) y = 4 − x2 e x − 2 y = 2.
4. (a) Esboce o gráfico da equação y = |x|.
(b) Esboce o gráfico da equação | x | + | y | = 1.
5. Um raio luminoso se desloca segundo a reta x + y = 1, acima do eixo x, e é refletido ao tocar esse eixo. Sabendo
que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, escreva a equação da nova trajetória.
6. Mostre que uma reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) pode ser escrita na forma
x y
+ = 1.
a
b
Esta é a chamada forma segmentária da equação da reta. Escreva nesta forma a equação 4 x + 2 y = 6.
7. (a) Determine a equação da reta tangente à circunferência x2 + y 2 = 25 no ponto (3, 4).
(b) Você é capaz de determinar, por métodos geométricos, a equação da reta tangente à parábola y = x2 no
ponto (1, 1)? (Veja Atividades de Laboratório: Retas Tangentes - Atividade 2.)
8. Um carro parte do Rio de Janeiro às 14 horas e viaja a uma velocidade constante pela Rio-São Paulo. Ele passa
por Itatiaia (a 150 km do Rio) às 15:50hs.
(a) Expresse a distância percorrida em termos do tempo transcorrido.
W.Bianchini, A.R.Santos
27
(b) Esboce o gráfico da equação obtida em (a).
(c) Qual a declividade desta curva?
(d) O que representa esta declividade?
9. (a) Um sistema linear do tipo
{
a1 x + b1 y
a2 x + b2 y
= c1
= c2
pode ter uma, nenhuma ou uma infinidade de soluções. Interprete geometricamente, cada um desses casos
e deduza a condição algébrica que garante a existência de uma, nenhuma ou de infinitas soluções para esse
sistema.
(b) Uma equação da forma A x + B y + C z + D = 0, onde A, B e C não são simultaneamente nulos, representa
um plano no espaço tridimensional. Interprete geometricamente todas as possı́veis soluções para sistemas
lineares com duas equações e três variáveis, em termos das posições relativas entre dois planos. (Veja as
Atividades de Laboratório - Atividade 3.)
10. A parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a uma reta fixa r e a um
ponto fixo F são iguais. O ponto F chama-se foco da parábola e a reta r a sua diretriz.
(a) Deduza a equação da parábola no caso particular em que o foco é o ponto (0, 1) e a diretriz é a reta y = −1
e trace o seu gráfico.
(b) Deduza a equação da parábola com foco em F = (α, 0), com o eixo x perpendicular à diretriz e o eixo y
coincidindo com a mediatriz do segmento F F ′ , onde F ′ é a projeção ortogonal de F sobre a diretriz. Trace
o seu gráfico e responda às seguintes perguntas:
i.
ii.
iii.
iv.
Em que semi-plano está contida esta parábola?
Qual o seu eixo de simetria?
Qual o seu vértice?
Qual a equação da reta diretriz?
(Em todos os ı́tens, estude os casos α > 0 e α < 0.
(c) Suponha agora que o foco da parábola seja o ponto F (0, α). Deduza a equação da parábola no caso em
que o eixo y é perpendicular à diretriz e o eixo x coincide com a mediatriz do segmento F F ′ . Trace o seu
gráfico e responda às mesmas perguntas do item anterior.
2.8
Atividades de laboratório
Faça as atividades propostas no arquivo labrev2.mws da versão eletrônica.
2.9
Para você meditar: O gráfico da equação y =mx é sempre uma linha
reta?
Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar qualquer ponto do plano com um par de
números da seguinte maneira: dadas duas retas perpendiculares fixas e orientadas, ditas eixo x e eixo y, a coordenada
x ou abscissa de um ponto P é a distância desse ponto ao eixo y, e a coordenada y ou ordenada de P é a distância
desse ponto ao eixo x. Isto é, se P tem coordenadas x e y esses números representam as distâncias de P em relação
aos eixos y e x, respectivamente.
Sabemos, também, que o gráfico de uma equação y = f(x) é o conjunto de pontos no plano que satisfazem esta
relação, isto é, os pontos que pertencem ao gráfico dessa equação são os pontos do plano da forma (x, f(x)).
Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da equação y = x é uma reta que pode ser definida
como o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos eixos. Do mesmo modo, o gráfico da equação y = 2 x é a reta
definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância y ao eixo x é duas vezes a sua distância ao eixo y. Repare
que, nesse sistema, as distâncias são medidas a partir de retas paralelas aos eixos coordenados.
28
Cap. 2. Revisão e Pré-Requisitos (2)
4
2
Veja a figura ao lado onde traçamos, em conjunto, os
gráficos das funções y = x, y = 2 x e a malha retangular usada nesse sistema de coordenadas para medir as distâncias.
–2
–1
1
x
2
–2
–4
Vamos agora mudar o sistema de coordenadas. Em vez de duas retas perpendiculares vamos considerar um ponto
e uma reta fixa. O ponto fixo será chamado foco e a reta fixa diretriz e o sistema de coordenadas será chamado
foco-diretriz.
• No sistema de coordenadas foco-diretriz, qual será o gráfico
da equação y = x, isto é, qual o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual a sua distância à diretriz? (Lembre-se que enquanto no sistema de coordenadas
cartesianas as distâncias eram medidas por retas paralelas aos eixos coordenados, nesse sistema as distâncias serão
medidas por retas paralelas à diretriz e às circunferências
concêntricas ao foco.)
4
2
–4
–2
2 x
4
–2
–4
• Nesse mesmo sistema coordenado, identifique o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual a k
vezes a sua distância à diretriz. Estude os casos para k = 1, k < 1 e k > 1.
Um outro sistema de coordenadas pode ser definido a partir de uma reta fixa (eixo) e de um ponto fixo (pólo) sobre
essa reta. A coordenada x de um ponto nesse sistema seria o ângulo que o raio que une o ponto ao pólo faz com o
eixo, e a coordenada y a distância do ponto ao pólo. Esse sistema coordenado é dito Sistema de Coordenadas Polares.
• Como seria o aspecto da malha coordenada nesse novo sistema?
• Qual o gráfico da equação y = x nesse sistema, isto é, qual o lugar geométrico dos pontos cujo ângulo que a
direção ponto-pólo faz com o eixo é igual à distância do ponto ao pólo?
• Como você definiria um sistema de coordenadas bifocal? Como seria a malha coordenada nesse sistema? Como
você poderia interpretar geometricamente a relação y = x? Qual seria o gráfico desse lugar geométrico?
2.10
2.10.1
Projetos
Melhor qualidade de gravação
Os aparelhos comuns de video cassete têm três velocidades de gravação: SP (standard play), LP (long play) e EP
(extra long play). Usando uma fita comum de vı́deo (T 120) e a velocidade SP, podemos gravar programas de 2h de
duração. Esse tempo aumenta para 4h e 6h, respectivamente, se usarmos as velocidades LP e EP. O modo SP garante
a melhor qualidade de gravação. Quando os outros modos são usados, as informações são gravadas de modo mais
condensado na fita, com a conseqüente perda de qualidade.
Suponha que se deseja gravar, em uma única fita, um filme de 3h de duração, com a melhor qualidade possı́vel.
Isto quer dizer que, em algum momento, é necessário mudar a velocidade SP (maior qualidade) para a velocidade LP
(maior tempo de gravação). Se esse momento for corretamente calculado, a fita deve estar completamente preenchida
quando o filme terminar.
• A partir do inı́cio da gravação, decorrido quanto tempo se deve mudar para a velocidade LP?
• Supondo que a perda de qualidade entre os modos LP e EP é desprezı́vel a olho nu, resolva o mesmo problema
se mudarmos do modo SP para o modo EP.
2.10.2
Custo mı́nimo x aproveitamento máximo
Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua plantação e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro contém
3g de fósforo, 1g de nitrogênio e 8g de potássio e custa R$ 10,00 por quilo. O segundo tipo contém 2g de fósforo, 3g
de nitrogênio e 2g de potássio e custa R$ 8,00 por quilo. Sabe-se que 1 kg de adubo é suficiente para 10 m2 de terra e
W.Bianchini, A.R.Santos
29
que o solo onde estão suas plantações necessita de pelo menos 3g de fósforo, 1,5g de nitrogênio e 4g de potássio para
cada 10 m2 .
• Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2 de terreno, de modo a obter um custo
mı́nimo?
• Há muitas situações em que essa mesma espécie de análise é necessária. Se você ainda não o fez, formule um
modelo matemático formal que descreva situações desse tipo e dê exemplos de outros problemas onde esta análise
seja necessária.