Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Gabarito da 1a Prova de Geometria I - Matemática - Monica
11/04/2012
1a Questão: (4 pontos) (solução na folha 1)
Dê uma prova ou um contra-exemplo:
1. Por qualquer ponto de uma reta, passa uma única perpendicular a esta reta.
2. Existe um exemplo de uma ”geometria” com 7 pontos, em que são válidos os dois
axiomas de incidência e em que todas as retas tenham exatamente três pontos.
3. Dados dois triângulos ABC e EF G, se AB = EF , BC = F G e B ĈA = F ĜE então
ABC = EF G.
Solução
1. Ver prova no livro.
2. Um exemplo de uma ”geometria” seria o conjunto de pontos {A, B, C, D, E, F, G}
com as retas {A, B, C}, {A, D, E}, {A, F, G}, {B, D, F }, {B, E, G}, {C, D, G}, {C, E, F }.
3. A proposição descrita não é verdadeira. Um contra-exemplo pode ser construido da
seguinte forma: Construa um triângulo isósceles AEB com AB = EB. Escolha um
ponto C na semi-reta SEA , tal que A esteja entre C e E. Ligue o ponto C ao ponto
B. Fazendo B = F e C = G, obtemos dois triângulos ABC e EF G, com AB = EF ,
BC = F G e B ĈA = F ĜE. Mas ABC e EF G não são congruentes pois CA e GE
não são congruentes.
2a Questão: (4 pontos) (solução na folha 2)
Seja m uma reta, seja A um ponto de m e seja B um ponto que não pertence a m.
1. Defina a semi-reta SAB .
2. Defina o semi-plano PmB .
3. Prove que se l é a reta determinada por A e B, então SAB ⊂ (l ∩ PmB ).
4. Prove que se l é a reta determinada por A e B, então (l ∩ PmB ) ⊂ SAB .
5. Com as mesmas hipóteses sobre a reta m e os pontos A e B, prove o teorema a seguir:
Teorema Z : Seja C um ponto da reta m, diferente do ponto A e seja D um ponto
que não pertence a PmB . Então SAB ∩ SCD = ∅.
Solução
1. A semi-reta SAB é o conjunto dos pontos pertencentes ao segmento AB e dos pontos
da reta determinada por A e B tais que B está entre A e C.
2. O semi-plano PmB é o conjunto dos pontos pertencentes à reta m e dos pontos C tais
que o segmento CB não intersecta a reta m.
3. Seja P um ponto em SAB . Logo, P é um ponto da reta l e ou P = A, P = B, P está
entre A e B ou B está entre A e P . Se P = A, P ∈ m. Nos outros casos, o segmento
P B não estará intersectando a reta m, provando assim que P ∈ PmB e portanto,
P ∈ l ∩ PmB .
4. Seja P um ponto em (l ∩ PmB ). Como P ∈ l, existem apenas tres possibilidades: A
está entre P e B, P está entre A e B ou B está entre A e P . Se A está entre P e
B, o segmento P B corta a reta m no ponto A, mostrando que P ∈
/ PmB , o que vai
contra nossa hipótese. Portanto, P está entre A e B ou B está entre A e P , isto é,
P ∈ SAB , como querı́amos mostrar.
5. Seja C um ponto da reta m, diferente do ponto A e seja D um ponto que não pertence
a PmB . Seja l0 a reta determinada por C e D. Temos:
(a) SAB ∩ SCD = (l ∩ PmB ) ∩ (l0 ∩ PmD ) (pelos itens anteriores);
(b) (l ∩ PmB ) ∩ (l0 ∩ PmD ) = l ∩ l0 ∩ m (pois PmB ∩ PmD = m;
(c) Logo: SAB ∩ SCD = l ∩ l0 ∩ m = (l ∩ m) ∩ ((l0 ∩ m) = {A} ∩ {C} = ∅.
3a Questão: (2 pontos) (solução na folha 3)
Na figura abaixo, seja D o ponto médio do segmento BC e seja E o único ponto em SAD
tal que AD = DE. Prove que a soma dos ângulos internos do triângulo AEC é igual à
soma dos ângulos internos do triângulo ABC.
Sugestão: Examine os triângulos BDA e CDE e mostre que E ÂC + AÊC = B ÂC.
Solução Considere as correspondências: B ↔ C, D ↔ D e A ↔ E. Temos:
1. BD = CD (pois D é o ponto médio do segmento BC);
2. AD = ED (por hipótese);
2
3. B D̂A = C D̂E (pois são ângulos opostos pelo vértice).
Logo, pela congruência LAL, os triângulos BDA e CDE são congruentes. Em particular,
DB̂A = DĈE. A soma dos ângulos do triângulo ABC é igual a B ÂC + AĈB + C B̂A,
que é igual a (E ÂC + AÊC) + (AĈB + B ĈE), que é igual a (E ÂC + AÊC) + AĈE, que
é a soma dos ângulos do triângulo AEC.
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