DIMENSIONAMENTO DE EIXOS E ARVORES
Prof. Jose Maria Barbosa
24/01/13
Depto. Eng. Mecânica / UFPE - Elementos de Máquinas- Prof. José Maria Barbosa
A Wärtsilä RT-flex96C é um motor diesel
de dois tempos turbo de baixa velocidade
desenvolvido pela finlandesa fabricante
Wärtsilä
Suas dimensões são impressionantes,
possui 13,5 metros de altura, 27,3 de
comprimento, pesa mais de 2.300
toneladas e seus 14 cilindros, produzem
mais de 109.000 cavalos de potência.
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Definição Correta
Eixo (axle) : Membro não rotativo sobre o qual giram os componentes
mecânicos. Não transmite potência nem movimento.
Árvore (shaft) : Membro rotativo que recebe usado para transmitir
potência ou movimento.
Obs: A tradução do Shigley denomina Eixo para shaft e Eixo fixo para axle.
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Devo dizer Eixo de Manivelas ou Árvore de Manivelas ?
Inglês
Italiano
Francês
Espanhol
Alemão
Camshaft (e não camaxle)
Albero a camme (e não asse a camme)
Arbre à cames (e não essieu à cames)
Árbol de levas (e não eje de levas)
Nockenwelle (e não Nockenachse)
Errado
Eixo de manivelas
Eixo comando de válvulas
Eixo de transmissão
Semi-eixo (tração)
Semi-eixo (suspensão)
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Certo
Árvore de manivelas
Árvore de comando de válvulas
Árvore de transmissão (ou cardã)
Semi-árvore
Semi-eixo ( Fusca, na suspensão traseira)
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Árvore
• Membro rotativo;
• Em geral de seção circular;
• Transmite potência ou movimento.
Eixo
• Membro não rotativo;
• Em geral de seção circular;
• Não transmite potência ou movimento;
• Usado para para suportar elementos
rotativos. (Rodas, Polias)
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Eixos e árvores (axles and shafts)
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Configuração geométrica e componentes
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Elementos de transmissão de torque
• Chavetas
• Estrias
• Parafusos de fixação
• Pinos
• Ajustes de pressão e contração
• Ajustes cônicos
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Elementos de ancoragem axial
• Pino e arruela
• Porca e arruela
• Ressalto de eixo
• Anel e sulco
• Parafuso de fixação
• Colar e parafuso
• Pinos
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Dimensionamento de eixos e árvores
Em geral o dimensionamento de eixos e árvores deve levar em conta:
1. Tamanho e espaçamento dos componentes e as tolerâncias envolvidas;
2. Material e tratamentos dos materiais;
3. Tensão e resistência
a) Resistência estática;
b) Fadiga;
b) Confiabilidade;
4. Deflexão e rigidez
a) Flexão;
b) Torcional;
c) Cisalhante;
d) Angulo de inclinação nos mancais;
5. Análise de Vibração (frequencias críticas);
6. Restrições de Fabricação;
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Dimensionamento de eixos e árvores
Em geral o dimensionamento de eixos e árvores deve levar em conta:
1. Tamanho e espaçamento dos componentes e as tolerâncias envolvidas;
2. Material e tratamentos dos materiais;
3. Tensão e resistência
a) Resistência estática;
b) Fadiga;
b) Confiabilidade;
4. Deflexão e rigidez
a) Flexão;
b) Torcional;
c) Cisalhante;
d) Angulo de inclinação nos mancais;
5. Análise de Vibração (frequencias críticas);
6. Restrições de Fabricação;
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Configuração geométrica e componentes
A configuração do eixo deve ser especificada no processo projeto para a análise de
forças do diagrama de corpo livre e obtenção dos diagramas de momento e esforço
cortante.
Se não existir um projeto
anterior para se utilizar
como ponto de partida, a
determinação da geometria
do eixo poderá ter muitas
soluções!
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Materiais
A resistência da peça para suportar as tensões é afetada tremendamente
pelo material escolhido pelo projetista.
Já a deflexão não é afetada pela resistência mas pela rigidez (também
dependente do módulo de Young) que é controlada por decisões
geométricas.
Aço de baixo carbono (Low carbon steel)
ANSI 1020 - 1050
Aço trabalhado a frio (Cold-drawn steel)
Aço Laminado a quente (Hot-rolled steel)
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das deflexões
Devido a Flexão (Deflexão linear e Inclinação)
• Método analíticos (Funções
singulares);
• Tabelas apêndice A;
• Superposição;
• Métodos numéricos;
Devido a torção (Deflexão angular) - Considerar quando l/d < 10;
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo do uso das Tabelas A-9 com uma inclinação admissível.
z
A
B
Plano V
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C
A
B
Plano H
C
Eixos e árvores (axles and shafts)
Considerações em dimensionamento por deflexões
• A inclinação de uma linha de centro de eixo, com respeito a uma de centro de anel
externo de mancais de rolos cilíndricos, deve ser menor que 0,001 rad, e menor que
0,0005 rad, para mancais de rolos cônicos.
• Similarmente, deve ser inferior a 0,004 rad, para mancais de Rolos de sulco profundo e
pista profunda, e, tipicamente, inferior a 0,0087 rad, para mancais de esferas.
• Em um engrenamento,a inclinação relativa admissível de duas engrenagens retas com
dentes não coroados deve ser mantida inferior a 0,0005 rad.
• A distância entre centros de eixos que suportam engrenagens de precisão não devem
variar mais que 0,005” da dimensão teórica.
Recomendações de limites de deflexões (unidade/comprimento de viga)
Flecha devido a flexão
Precisão Geral: 0.0005 a 0.003 pol/pol;
Precisão Moderada: 0.00001 a 0.0005 pol/pol
Alta Precisão: 0.000001 a 0.0000 pol/pol
Rotação devido a Torção
Precisão Geral :0.001° a 0.017°/pol
Precisão Moderada: 0.00002° a 0.00047°/pol
Alta Precisão: 0.000001° a 0.00002° /pol
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exercicio
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo do diâmetro pelas das deflexões
Dados o diagrama de momento fletor e a geometria do eixo, a deflexão e a
inclinação em vários pontos podem ser encontradas. Se, ao examinar as deflexões,
qualquer valor encontrado for maior que a deflexão ou inclinação admissível, um
novo diâmetro poderá ser determinado.
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Dimensionamento usando deflexões
O eixo de aço mostrado na figura é sobressalente, em balanço no lado do mancal direito. Ele carrega duas engrenagens
retas, em Be em D. As forças radiais de 2000 e 1100 lbf situam no mesmo plano. Ambas as engrenagens sào de qualidade
comercial e têm um passo diametral de 8 e e não são mostrados mais detalhes. Devido ao uso de dentes não-coroados, as
inclinações estão limitadas a 0,0005 rad em cada engrenagem. Considerando uma deflexão transversal de 0,005” e fator
de projeto nd = 1,5, obtenha,
a) As distribuições do momento flexor M, do cisalhamento transversal V e do torque T.
b)O diâmetro de um eixo uniforme que evite as restrições nas engrenagens e aquelas decorrentes de mancais de rolos
cilíndricos.
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Dimensionamento usando deflexões
Estimativa inicial d = 1”
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Dimensionamento usando deflexões
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Dimensionamento usando deflexões
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Dimensionamento usando deflexões
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Dimensionamento usando deflexões
Pela inclinação nos mancais
Pela inclinação nas engrenagens
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Dimensionamento usando deflexões
Eixos e árvores (axles and shafts)
Tensões em eixos-árvores
MaC
σ a = Kf
I
TaC
τ a = K fs
J
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MmC
σ m = Kf
I
TmC
τ m = K fs
J
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Dimensionamento por resistência a fadiga
Tensão devido Flexão
Tensão devido Torção
Tensão devido Carga axial
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Dimensionamento por resistência a fadiga
Tensão devido Cortante
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Tensão equivalente de Mises
Estado plano:
Estado plano (flexão, torção, carga axial):
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Critérios falha por fadiga
**
**
** Mesmo sem apóstrofo são tensões equivalentes de Mises
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.
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo: Calcule a fórmula do diâmetro usando a parábola de Gerber.
(considere flexão e torção, eixo cilíndrico cheio)
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Expressões para os outros critérios.
ASME-Elíptico
Sodeberg
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Expressões para os outros critérios.
Goodman Modificado
Eixos vazados
d =>
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Expressões para os outros critérios.
Goodman Modificado
Eixos vazados
d =>
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Relação entre critérios de fadiga
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Relação entre critérios de fadiga
Amplitude e coordenadas estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para
critérios de falha de Langer e ASME elíptico.
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Relação entre critérios de fadiga
Amplitude e coordenada s estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para
critérios de falha de Langer e Gerber.
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Relação entre critérios de fadiga e ensaios experimentais
Diagrama normalizado de falha
por fadiga do projetista com dados
de ensaio para flexão inversa,
oposta e com torção fixa
(modelo DE-elíptico)
24/01/13
Fonte: ANSI/ASME Standard B106.1.M-1985, segunda impressão,"Design of Transmission Shafting".
Eixos e árvores (axles and shafts)
Relação entre critérios de fadiga e ensaios experimentais
Diagrama normalizado de falha
por fadiga do projetista com dados
de ensaio para flexão inversa,
oposta e com torção inversa,
oposta em fase.
(modelo DE-elíptico)
24/01/13
Fonte:ANSI/ASME Standard B106.1.M-1985, segunda impressão,"Design of Transmission Shafting".
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo
M
T
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo
a)
b)
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exemplo
24/01/13
Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas
Eixo com diâmetro uniforme
Equação de Rayleigh (massas discretizadas)
Uso da equação de Rayleigh para eixo
uniforme discretizado
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas
Uso dos coeficientes de influência: deflexão vertical do eixo na posição i,
devido a uma carga unitária na posição j
=
=
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=>
ou
Peso ou força centrífuga
Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas
Métdo de Dunkerley:
Problema de autovalor!!
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas
Cada massa agindo sozinha,
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=>
=>
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Primeira velocidade crítica
Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas
Equação de Dunkerley (Velocidade crítica fundamental):
Com a velocidade do eixo =>
Equação de Dunkerley – Carga equivalente
A eq. de Dunkerley não apresenta cargas aparecendo na equação,
possibilitando que cada carga possa ser posta em alguma posição
conveniente transformada em uma carga equivalente e a
velocidade crítica de uma série de cargas poderá ser encontrada
somando-se as cargas equivalentes, todas colocadas em uma única
localização.
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas - Exemplo
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas - Exemplo
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Depto. Eng. Mecânica / UFPE - Elementos de Máquinas- Prof. José Maria Barbosa
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas - Exemplo
24/01/13
Depto. Eng. Mecânica / UFPE - Elementos de Máquinas- Prof. José Maria Barbosa
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas - Exemplo
24/01/13
Depto. Eng. Mecânica / UFPE - Elementos de Máquinas- Prof. José Maria Barbosa
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas - Exemplo
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas - Exemplo
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Cálculo das velocidades críticas - Exemplo
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Considerações em dimensionamento de eixos e árvores
• Não há uma sequência precisa para o processo de dimensionamento;
• Por natureza o projeto é um processo iterativo no qual faz-se necessárias algumas
escolhas tentativas e construir um esqueleto de projeto determinando as partes críticas do
dimensionamento e as dependências entre elas;
• Muitos projetos de eixos são modificações de eixos existentes;
• Requisitos de Potência e Torque devem ser obtidos inicialmente determinando as
necessidades gerais do sistema.
• Elementos de Transmissão: Definição breve (sem especifica tamanho) de polias,
engrenagens, ressaltos, mancais, etc, são necessários para obtenção do torque e definir o
leiaute do eixo;
• O projetista dispõe de uma escolha entre projetar para resistência e verificar a distorção
e, ou projetar para distorção e verificar para resistência. A maioria dos eixos de
transmissão de potência apresenta uma restrição ativa de distorção, assim, projetar para
distorção e verificar para resistência pode ser atrativo;
• Análise de forças existentes e cálculo dos diagramas de momento e esforço cortante.
Eixos e árvores (axles and shafts)
Considerações em dimensionamento de eixos e árvores
•Encontre o diâmetro do eixo de diâmetro uniforme que satisfaz à deflexão e às
inclinações nos mancais e nos elementos de transmissão de potência.
•Considere os elementos de transmissão de potência, os ressaltos e os orifícios de cubo e
tome algumas decisões provisórias com relação à geometria de ressaltos
(diâmetrosecomprimentos). Agora, a geometria ficará mais clara.
•Tome sua ideia aproximada da geometria de eixo e proceda a uma análise de deflexão e
inclinação.
•Utilize as Equações adequadoa para encontrar uma maior razão d new/dold e então
multiplique o todos os diâmetros por essa razão. Veja exemplo 2 você terá um eixo
escalonado que satisfaz a todas as restrições de deflexão e inclinação. Verifique os novos
ressaltos (especialmente com mancais de rolos), afim de conferir se a altura dos ressalto
ainda se encontram dentro do intervalo recomendado pelo fabricante.
Eixos e árvores (axles and shafts)
Considerações em dimensionamento de eixos e árvores
• Inicie a análise de resistência empregando a teoria DE-Gerber ou DE-elíptica. Utilize
um material de eixo desejável que não venha a necessitar de tratamento térmico. Este
poderá aumentar a resistência, mas seu custo elevará várias vezes o custo do eixo.
Examine, por exemplo, elemento por elemento, ressalto dos mancais, ressalto das
engrenagens, rasgos de chavetas, localização de colares de eixo, localização de anéis de
pressão. Examine esses elementos com relação ao diâmetroa dequado, para ver se a
resistência do material ou do diâmetro necessita de melhoria. Esse exame de elemento a
elemento dirá ao projetista onde está o local crítico. Se o elemento crítico for de
resistência suficiente, o projetista terá uma imagem mais clara do projeto final. O
engenheiro poderá, agora, contar com um eixo satisfatório. Se algum material puder ser
aparado do eixo em outros elementos (ainda mantendo restrições relevantes folgadas),
considere-o. Em corridas com produções menores, em que métodos de conformação
inicial conservadores de volume não são utilizados, o custo de torneamento adicional
para remover material (fazer cavaco) pode operar contra qualquer redução de tamanho.
Eixos e árvores (axles and shafts)
Considerações em dimensionamento de eixos e árvores
• Inicie a análise de resistência empregando a teoria DE-Gerber ou DE-elíptica. Utilize
um material de eixo desejável que não venha a necessitar de tratamento térmico. Este
poderá aumentar a resistência, mas seu custo elevará várias vezes o custo do eixo.
Examine, por exemplo, elemento por elemento, ressalto dos mancais, ressalto das
engrenagens, rasgos de chavetas, localização de colares de eixo, localização de anéis de
pressão. Examine esses elementos com relação ao diâmetroa dequado, para ver se a
resistência do material ou do diâmetro necessita de melhoria. Esse exame de elemento a
elemento dirá ao projetista onde está o local crítico. Se o elemento crítico for de
resistência suficiente, o projetista terá uma imagem mais clara do projeto final. O
engenheiro poderá, agora, contar com um eixo satisfatório. Se algum material puder ser
aparado do eixo em outros elementos (ainda mantendo restrições relevantes folgadas),
considere-o. Em corridas com produções menores, em que métodos de conformação
inicial conservadores de volume não são utilizados, o custo de torneamento adicional
para remover material (fazer cavaco) pode operar contra qualquer redução de tamanho.
Eixos e árvores (axles and shafts)
Exercício: Estime a vida do Eixo da figura.
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Eixos e árvores (axles and shafts)
Exercício
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