Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Momento torsor
22 de abril de 2015
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Este capítulo é dividido em duas partes:
1
Torção em barras de eixo reto e seção transversal circular
(cheia) ou anular (coroa circular).
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2
D = 2R
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d = 2r D = 2R
Torção em tubos de paredes finas
T
T
τ
T
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
22 de abril de 2015
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Torção em eixos de seção circular
Barras sujeitas à torção pura: somente o efeito do momento
torsor (torque), sendo os demais esforços simples nulos.
Barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou
anular (coroa circular). Barras com estas características são
comumente denominadas de eixos
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D = 2R
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Momento torsor
d = 2r D = 2R
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Eixos sujeitos à momento torsor constante.
T
T
T
A
B
T
=
DMT
+
A
B
A
B
Pequenas deformações: as seções permanecem planas e
perpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas.
As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de
torção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em
relação a outra.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
..
z
y
dFx
P
dFz
x
z
dFy
T=
R
A
(τxy z − τxz y)dA
dF
y
T=
Momento torsor
R
A
ρτ dA
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Análise de tensões e deformações na torção
Figura : Mecanismo de deformação de um eixo solicitado por momentos
torsores.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
γ a distorção angular do “retângulo” abcd, contido em uma
superfície cilíndrica de raio ρ e comprimento dx.
dθ o deslocamento angular (ângulo de torção) elementar da
seção Sd em relação à seção Se.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
bb′ = ρdθ
′
bb
= γdx
(1)
(2)
Igualando as equações 1 e 2 tem-se:
γ=ρ
dθ
dx
Momento torsor
(3)
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Da Lei de Hooke tem-se:
τ = Gγ
lembrando que G é o módulo de elasticidade transversal.
Substituindo o valor de γ da equação 3 na equação 4 tem-se:
τ=ρ
dθ
dx G
֒→
constante
Momento torsor
(4)
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
dθ
dx G
= constante = K
⇓
τ = Kρ
Pode-se concluir então que τ é função somente de ρ, não é função de
θ, portanto constante em pontos de mesmo ρ ( 0 ≤ ρ ≤ R ), para
qualquer θ ( 0 ≤ θ ≤ 2π ) . Desta forma, a variação de τ com ρ é
linear
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Figura : Variação da tensão cisalhante em função de ρ para uma seção cheia.
Figura extraída de Hibbeler (2008).
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Cálculo da constante
K
R
τ = Kρ → T = A ρτ dA
T=
Z
A
ρτ dA =
Z
Z
ρ2 dA
|A {z }
ρKρ dA = (K
A
Momento de inercia polar: Io
Logo:
K=
T
Io
τ=
T
Io ρ
e:
Momento torsor
) = K.I0
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
τ=
T
Io ρ
Tensão cisalhante máxima se dá para ρ = R:
τmax =
T
R
Io
Razão entre Io e R é chamada de módulo de resistência à torção
(Wo ). Então:
T
τmax =
Wo
π 4
⋄ Seção circular → Io = 32
D
⋄ Seção anular, De o diâmetro externo, Di o diâmetro interno do
π 4
π
(D4e − D4i ) = 32
De (1 − n4)
eixo e n = Di /De → Io = 32
Momento torsor
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Exercícios
Ângulo de torção
Ângulo de torção é a rotação relativa entre duas seções distantes de L
unidades de comprimento.
Lei de Hooke
θ=
Z
0
L
dθ =
Z
L
0
γ
dx =
ρ
|{z}
Z
0
L
z}|{
τ
G
dθ
γ=ρ dx
Momento torsor
1
dx
ρ
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Exercícios
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Substituindo o valor de τ =
θ =
Tρ
I0
, a equação pode ser reescrita como:
Z
0
L
T
1
ρ
dx
Io G ρ
|{z}
τ= ITo ρ
θ=
TL
G Io
Momento torsor
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Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Torque Aplicado ao eixo na Transmissão de Potência
Momento torsor
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Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Em um eixo de tranmissão de potência, o trabalho executado pelo
momento torsor T, constante, é:
dW = Tdφ
onde φ é o deslocamento angular, em radianos.
Como potência é trabalho por unidade de tempo tem-se:
P=
dφ
dW
=T
= Tω
dt
dt
ou:
P = Tω
Momento torsor
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Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
P = Tω
(5)
Para se aplicar a expressão 5, que relaciona a pôtencia aplicada a um
eixo que gira com uma velocidade angular ω ao torque T, deve-se
observar as unidades, que devem estar no SI, ou seja:
Potência (P): Watt (1W = 1 Nm/s).
Velocidade angular ω = 2πf : rad/s.
Freqüência f : Hertz = Hz
Torque (T): Nm.
Se a potência for expressa em cavalos-vapor (CV) ou horse-power
(hp), então os fatores de conversão para W são, respectivamente:
1 CV = 736 W e 1 hp = 746 W
Momento torsor
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Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Exercícios
(1) Calcular os diâmetros externo e interno de um eixo de aço sujeito
a um torque de 25 kNm, de modo que a tensão máxima de
cisalhamento seja 84 MPa e o ângulo de torção seja de 2, 5 graus para
um comprimento de 3 m. Dado G = 84 GPa. Resposta: D = 137,5
mm e d = 110,5 mm.
Momento torsor
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Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
(2) A barra circular maciça BC, de aço, é presa à haste rígida AB, e
engastada ao suporte rígido em C, como mostra a Figura. Sabendo-se
que G = 75GPa, determinar o diâmetro da barra, de modo que, para
P = 450N, a deflexão do ponto A não ultrapasse 2mm e que a máxima
tensão de cisalhamento não exceda o valor de 100MPa. Resposta:
d = 40, 5mm.
Momento torsor
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Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
(3) Calcular o momento torsor máximo admissível e o correspondente
ângulo de torção em um eixo de comprimento de 2 m dados τadm = 80
MPa e G = 85 GPa e seção:
Circular, D = 250 mm; Resposta: T = 245,4 kNm e θ = 0,01506
rad.
Anular, com d = 150 mm e D = 250 mm;
Resposta: T = 213,4 kNm e θ = 0,01504 rad.
Momento torsor
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Exercícios
(7) No eixo representado na Figura calcular a tensão máxima em cada
trecho e o ângulo de torção C x A, dados: T1 = 6 kNm, T2 = 8 kNm.
AB alumínio, D1 = 100 mm, G1 = 28 GPa;
BC latão, D2 = 60 mm, G2 = 35 GPa;
Resposta: τAB = 71,3 MPa, τBC = 141,5 MPa e θ = 0,1318 rad.
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A
B
C
T2
1,0m
T1
0,60m
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
8) A haste da figura tem diâmetro de 12mm e peso de 80N/m.
Determine a tensão máxima de cisalhamento devido à torção na seção
A provocada pelo seu peso próprio.
Resposta: 159, 15MPa .
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
(11) Dimensionar o eixo de uma máquina, de 9 m de comprimento,
que transmite 200 CV de potência, dados τ = 21 MPa e G = 85 GPa a
uma freqüência de 120 rpm, e calcular o correspondente
deslocamento angular, adotando:
Seção circular cheia. Resposta: D = 142 mm, θ = 0, 03107 rad.
Seção anular com d/D = 0,5.
Resposta: D = 145 mm, θ = 0, 03048 rad.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
(14) O eixo sólido ABC da Figura de 50 mm de diâmetro é acionado
em A por um motor que transmite 50 kW ao eixo a uma frequencia de
10 Hz. As engrenagens B e C acionam maquinários que necessitam
de potência igual a 35 kW e 15 kW respectivamente. Calcule a tensão
máxima de cisalhamento no eixo e o ângulo de torção entre o motor
em A e a engrenagem em C, sabendo-se que o módulo tangente é de
80 GPa.
Figura : Figura extraída de Gere e Goodno (2009)
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Exercício extra
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do
motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175rpm e o aço
tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa,
determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm.
Momento torsor