CARREIRAS NÍVEL MÉDIO
Disciplina: Matemática
Tema: Sistemas de Equações
Prof.: Valdeci Lima
Data: 11/06/2007
Sistemas de Equações do 1º Grau Com Duas Variáveis
Afirmamos que duas equações do 1º grau formam um sistema quando possuem a mesma
solução.
x + y = 8
x − y = 2
Ex.: 
x + y = 8 → equação I; x + y = 2 → equação II
Ao resolvermos o sistema acima, encontraremos os mesmos valores para X e Y tanto em I como
em II.
X=5eY=3
V = {( 5, 3 )} →
Conjunto Solução ou Verdade
Solução (5, 3)
Variáveis
ariáveis
Forma geral do sistema de Equações simultâneas do 1º Grau com duas V
Exemplo:
ax + by = c

a′x + b′y = c′
a, b, a’, b’ → Constantes ou Coeficientes das Variáveis.
X e Y → Variáveis.
Exemplo:
a + b = 7

3a + 2b = 14
Coeficientes → 1, 1, 3 e 2; Variáveis → a e b
Métodos de resolução de um sistema de duas equações do 1º grau
1- Método de substituição: Neste método, isolamos uma das variáveis em uma das equações do
sistema e substituímos na outra equação.
x + y = 8
2 x + 3 y = 18
Ex.: 
x + y = 8 → equação I, 2x + 3y = 18 →equação II
Solução:
Isolaremos a variável “X” na primeira equação:
x + y = 8 → x = 8 – y, substituiremos na segunda equação:
2x + 3y = 18 →
2(8-y) + 3y = 18
16 – 2y + 3y = 18 → y = 18 – 16 → y = 2
Como: x = 8 – y → x = 8 – 2 → x = 6
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Data: 11/06/2007
V = {(6, 2)}
2- Método da Adição: Neste método, somaremos somar as duas equações, membro a membro.
Nessa operação, devemos eliminar uma das variáveis.
Exemplos:
 x + y = 10
x − y = 4
1) 
2x + 0y = 14
x + y = 10 → equação I; x - y = 4 → equação II
→ 2x = 14 →x = 7
Observe que somamos as duas equações membro a membro.
Para obtermos o valor de Y, basta substituirmos na equação I ou II.
Equação I → x + y = 10 → 7 + y = 10 → y = 3
S = {(7, 3)}
5 x + 3 y = 46
4 x + 6 y = 62
2) 
5x + 3y = 46 → equação I; 4x + 6y = 62 → equação II
Solução:
Note que no sistema acima as equações não possuem coeficientes opostos. Para resolvermos o
sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada. Multiplicaremos a equação I por (-2).
5 x + 3 y = 46

4 x + 6 y = 62
5x + 3y = 46
− 10 x − 6 y = −92
4 x + 6 y = 62
x (-2) → 
-6x + 6y = -30
x = -30 = 5
-6
Substituindo em II, temos:
4x + 6y = 62 → 4 . 5 + 6y = 62
6y = 42 → y = 7
S = {(5, 7)}
Exercícios Resolvidos:
 x + y = 17
2 x − y = 19
1) 
Solução:
Utilizaremos o método da adição.
3x + 0y = 36
Substituindo em I: 2x – y = 19
x = 12
2 . 12 – y = 19 → -y = -5 x (-1)
x=5
S = {( 12, 5 )}
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Prof.: Valdeci Lima
Data: 11/06/2007
11x + 3 y = 41
x − y = 5
2) 
Solução:
Utilizaremos o método da substituição. Isolaremos a variável X na equação II.
x – y = 5 → x = 5 + y, substituindo em I
11x + 3y = 41 → 11 . (5 + y) + 3y = 41
55 + 11y + 3y = 41
14y = -14
y = -1
Substituindo em II para encontrarmos o valor de X.
x – y = 5 → x – (-1) = 5
x+1=5→x=4
S = {(4, -1)}
3)
2x 3y
−
= −1
3
2
x + y =5
Solução:
Reduziremos a equação I ao mesmo denominador.
2x 3 y − 1
−
=
→ MMC (3, 2) = 6
3 2 23 16
4x − 9 y = − 6
→ 4x – 9y = -6
6
6
 4 x − 9 y = −6

x + y = 5
4 x − 9 y = −6

9 x + 9 y = 45
x + y = 5 x (9)
método da adição
Substituindo em II: x + y = 5 → 3 + y = 5 → y = 2
13x + 0y = 39
x=3
S = {(3, 2)}
4) Em um estacionamento há carros e motos, num total de 80 veículos e 260 rodas. Qual é o total
de carros e motos?
Solução:
Chamaremos o número de carros de “C” e o de motos de “M”
Carro → 4 rodas
Moto → 2 rodas
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C + M = 80

4C + 2 M = 260
C + M = 80
x (-2)
− 2C − 2 M = −160

4C + 2 M = 260
2C = 100 → C = 50
Substituindo em I
C + M = 80 → 50 + M = 80 ∴ M = 30
Carros = 50
Motos = 30
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) RESOLVA OS SEGUINTES SISTEMAS
x + y = 9
2 x − 3 y = 13
5 x = 3 y + 1
3 x − 15 = −4 y
b) 
c) 
d) 
x − y = 5
4 x + 3 y = −1
 y − 5x = 3
5 x + 4 y = 17
a) 
2) A soma de dois números é 186 e a sua diferença é 92. Quais são os números? (47 e 139)
3) Num caderno estão desenhados triângulos e quadrados, num total de 35 figuras e 125 lados.
Quantos são os triângulos e os quadrados?
4) Em um estacionamento há carros e motos, num total de 60 veículos e 200 rodas. Qual é o
número de carros e motos?
5) Um comércio vende suco e refrigerante, num determinado dia, vendeu-se um total de 60
produtos e foi a arrecadado um total de $ 84,00. Qual a quantidade de cada produto, sabendo-se
que o refrigerante custa $ 1,50 e o suco trinta centavos a menos ? (40r 20s)
6) Pagou-se a quantia de R$190,00 com 12 notas de duas espécies: umas de R$10,00 e outras de
R$20,00. Quantas eram as notas de cada espécie?
7) Ache os números cuja diferença é 11/3 sabendo-se que a soma do dobro do primeiro com o
triplo do segundo é igual a 17/3.
8) O grupo financeiro de uma empresa é composto de 42 funcionários classificados em 2 grupos
salariais: “A” e “B”. Cada elemento do grupo “A” recebe mensalmente R$3.250,00 e, do grupo
“B”, R$1.800,00. Se a última folha de pagamento totalizou R$93.000,00, então, o número de
funcionários do grupo “A” é:
9) Num estabelecimento existem bicicletas e triciclos, um total de 38 rodas e 14 assentos. O
número de bicicletas e de triciclos é respectivamente:
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10) Pedro quer dividir uma quantia de balas com os alunos de sua classe. Se der 12 balas a cada
aluno, ficará ainda com 60 balas. Para distribuir 15 balas para cada aluno precisará de mais 6
balas. Quantos são os alunos de Pedro?
GABARITO
GABARITO
1) a) v = (7, 2) b) v = ( 2, - 3 ) c) v = ( - 1, - 2) d) v = (1, 3)
2) 47 e 139 3) 15 triângulos e 20 quadrados 4) 40 carros e 20 motos 5) 40ref. e 20suc.
6) 5 de R$10,00 e 7 de R$20,00 7) 10/3 e – 1/3 8) 12 funcionários 9) 4 e 10, 10) 22
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