Exercícios de Sistemas Lineares
Álgebra Linear II (MAE125)
Prof. Marco Cabral (IM/UFRJ) e
Prof. Paulo Goldfeld (IM/UFRJ)
Licença Creative Commons
Exercícios de Fixação
Exercício 1. Sem fazer contas,1 determine
se os sistemas abaixo possuem uma única,
nenhuma
ou infinitas soluções.
x+y = 1
(a)
2x + 2y = 2
x+y = 1
(b)
2x − 3y = 2
x+y = 1
(c)
2x + 2y = 3
Exercício 2. Considere as seguintes operações em um sistema de quatro equações:
(a) trocar duas equações;
(b) descartar uma equação;
(c) substituir a terceira equação pela
soma da primeira com a segunda;
(d) substituir a quarta equação pela
sua soma com um múltiplo da segunda;
(e) multiplicar uma equação por −1;
(f) multiplicar uma equação por 0.
As operações
nunca alteram e as operações
podem alterar o conjunto-solução do sistema.
Exercício 3.
Considere o conjunto-solução
x − 2y = 3
(não resolva
do sistema
3x + y = 1
o sistema!). Se acrescentarmos a equação
2x +
y=
o conjunto solução não se
altera.
Exercício 4. Considere um triângulo ABC
não-degenerado (isto é, com interior não
vazio). Um sistema formado pelas três retas que contêm os lados de ABC possui
(nenhuma; três; uma única; infinitas) solução(ções). Já um sistema formado
por quaisquer duas destas retas possui
(nenhuma; três; uma única; infinitas) solução(ções).
1
Por “sem fazer contas”, queremos dizer, neste
e em outros exercícios, “sem fazer quaisquer contas que não possam ser feitas mentalmente com
facilidade”
Exercício 5. Sem fazer contas, determine
a condição em ξ para que os sistemas abaixo
sejam inconsistentes.
−x + y = 3
(a)
2x − 2y = ξ
−x + y = 3
(b)
2x + y = ξ
Exercício 6. Determine se é verdadeiro ou
falso:
(a) se durante o escalonamento uma
linha ficar zerada então o sistema possuirá
infinitas soluções;
(b) um sistema homogêneo possui sempre solução;
(c) um sistema não-homogêneo não pode
possuir infinitas soluções.
Exercício 7. Determine se é verdadeiro ou
falso:
(a) um sistema com 5 equações em 3
incógnitas é sempre inconsistente;
(b) um sistema com 3 equações em 5
incógnitas possui infinitas soluções;
(c) um sistema homogêneo com 3 equações em 5 incógnitas possui infinitas soluções;
(d) um sistema com 5 equações em 9
incógnitas possui pelo menos 4 variáveis
livres;
(e) um sistema com 9 equações em 9
incógnitas não possui variáveis livres.
Problemas
Problema 1. Para cada um dos sistemas
abaixo interprete cada equação como uma
reta em R2 , faça o gráfico e determine geometricamente
o número de soluções:
x+y = 3
(a)
;
x−y = 1
3x − y = 6
(b)
;
−6x + 2y = 6
2x − 3y = −1
(c)
;
−6x + 9y =
3

 2x + 2y = 6
x−y = 1 ;
(d)

x + 3y = 6
Problema 2. Um dado comum é um cubo
cujas 6 faces apresentam os números de
1 até 6, distribuídos de forma que faces
opostas somam sempre 7 (o 1 é oposto ao
6; o 2 oposto ao 5 e o 3 oposto ao 4). Vamos representar por “face 1” a equação do
plano que contém a face com o número 1,
por “face 2” a equação do plano que contém
a face com o número 2, etc.
Discuta o número de soluções de cada
um dossistemas abaixo:
face2
face3
(a)
; (b)
;
face6
face4


 face3
 face1
face5 ;
face3 ; (d)
(c)


face6
face5

 face1
face3 ;
(e)

face6
Problema 3. Encontre a forma totalmente
escalonada
 das matrizes
 abaixo:
1 2 3 4
(a)  4 5 6 7 
6 7 8 9


1 3 5 7
(b)  3 5 7 9 
5 7 9 1
Problema 4.
4.a. Encontre a forma totalmente escalonada da matriz aumentada:


0
1
2
1
1
6
 0 −2 −4 −2 −4 −18  .
0
1
2
2
3
13
4.b. O sistema linear acima tem solução?
Se sim, é única? (Justifique.)
4.c. Descreva, de forma paramétrica, o
conjunto-solução.
Problema 5. Sem fazer contas, discuta a
existência e a unicidade de solução dos sistemas abaixo. No caso de infinitas soluções,
determine
 de variáveis livres.
 ainda o número
1 4 6 2
 0 2 5 2 

(a) 
 0 0 3 1 
0 0 0 0


1 4 6 2
 0 2 5 2 

(b) 
 0 0 3 1 
0 0 0 1
0 1 0 2
(c)
0 0 1 2
Problema 6. Para cada um dos itens abaixo,
dê um exemplo de um sistema com as características pedidas ou explique por que tal
exemplo não pode existir:
6.a. (no equações) = (no incógnitas),
solução única;
6.b. (no equações) = (no incógnitas),
infinitas soluções;
6.c. (no equações) = (no incógnitas),
nenhuma solução;
6.d. (no equações) < (no incógnitas),
solução única;
6.e. (no equações) < (no incógnitas),
infinitas soluções;
6.f. (no equações) < (no incógnitas),
nenhuma solução;
6.g. (no equações) > (no incógnitas),
solução única;
6.h. (no equações) > (no incógnitas),
infinitas soluções;
6.i. (no equações) > (no incógnitas),
nenhuma solução;
Problema 7. Resolva cada um dos sistemas
abaixo:

0 1 −2 0 0
0 1 0 
(a) 0 0
0 0
0 0 1
0 1 −2 0 0
(b)
0 0
0 1 0


1 0 0 −1
3 
(c) 0 1 0
0 0 1
2


3 −4
2 0
 −9 12 −6 0 

(d)
 −6
8 −4 0 
0
0
0 0


2
6
3
1
4
 2
6
3 −2
10 

(e)
 −4 −12 −7
0 −10 
6
18 11
0
14
Problema 8.
8.a. Os sistemas abaixo são equivalentes
(o segundo está totalmente escalonado).


−2
1
2
41 0 0
 1
0 −2 −24 0 0 
1 −1
0 −17 13 0


1 0 −2 −24 0 0
 0 1 −2 −7 0 0 
0 0
0
0 1 0
Dê descrições paramétricas dos conjuntos-solução de ambos.
8.b. Encontre três soluções distintas para
o primeiro sistema.
Problema 9. Resolva os sistemas lineares
abaixo, escrevendo o conjunto solução em
equações
paramétricas:
2x − y + 2z =
1
;
(a)
−4x + 2y − 4z = −2

 x + y − 2z = −2
x−y =
0 ;
(b)

2x + y − 3z = −3
Problema 10. Encontre os valores de a
tais
que o sistema linear abaixo tenha solução.
x−y = a

x+y+z = a ;

2x + z = a
Problema 11. Determine os valores de m
para que o sistema abaixo possua
(a) uma única variável livre.
(b)
duas variáveis livres.
2x + 8y + 2z = 3
;
4x + m2 y + mz = 6
Problema 12. Determine todos os valores
possíveis para a, b, c, d ∈ R tais que o sistema abaixo possua:
(a) nenhuma solução;
(b)
 infinitas.
 x + 2y + 3z = a
5y + 6z = b

cz = d
Problema 13. (a) Qual a condição em b1 ,
b2 e b3 para que o sistema abaixo seja consistente?


2 −5 8 b1
 2
1 0 b2 
1 −4 6 b3
(b) Sem refazer todas as contas, diga se
o sistema é consistente com o lado direito
(3,5,-1).
Problema 14. Considere a parábola y(x) =
ax2 + bx + c que passa por (1, 2), (2, 4) e
(3, 8). Determine a, b, c ∈ R.
Problema 15. Seja y = β4 x4 + β3 x3 +
β2 x2 +β1 x+β0 um polinômio que passa por
5 pontos dados: (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ),
(a4 , b4 ), e (a5 , b5 ). Escreva a matriz ampliada (conhecida como matriz de Vandermonde) do sistema que determina as 5 incógnitas β4 , β3 , β2 , β1 , β0 . Note que os pares
(ai , bi ) são dados, e serão coeficientes da
matriz ampliada.
Problema 16. Resolva
os dois sistemas
6x + 3y = 9
6x + 3y = −3
e
4x + 3y = 5
4x + 3y =
1
simultaneamente colocando em forma totalmente escalonada a matriz
6 3 9 −3
.
4 3 5
1
Desafios
Desafio 1. Considere um sistema de n equações em n incógnitas. Prove a alternativa
de Fredholm:
(a) ou o sistema possui solução única
para todo lado direito;
(b) ou o sistema homogêneo associado
tem solução não-trivial.