PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA
DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof. Francisco Leal Moreira
2004/2
SUMÁRIO
1. OS CONJUNTOS
ℜ
2
E
2
ℜ
3
1.2. O CONJUNTO ℜ
1.1. O CONJUNTO
ℜ
3
.................................................................................................................. 1
............................................................................................................................. 1
............................................................................................................................. 1
2. SISTEMAS LINEARES ............................................................................................................................... 2
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 2
EQUAÇÃO LINEAR............................................................................................................................. 2
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................................................... 2
SISTEMAS EQUIVALENTES. ............................................................................................................. 3
SISTEMA LINEAR ESCALONADO. ................................................................................................... 3
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO....... 4
MÉTODO DE CASTILHOS................................................................................................................... 5
RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 7
3. ESPAÇOS VETORIAIS ................................................................................................................................ 8
3.1. ESPAÇO VETORIAL REAL ................................................................................................................. 8
3.2. REPRESENTAÇÕES DE UM VETOR................................................................................................ 11
3.3. VETOR NULO ..................................................................................................................................... 12
3.4. VETORES IGUAIS .............................................................................................................................. 12
3.5. VETORES OPOSTOS .......................................................................................................................... 12
3.6. OPERAÇÕES GEOMÉTRICAS E ALGÉBRICAS COM VETORES................................................. 12
3.7. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES ........................................................................................... 15
3.8. VETORES COLINEARES ................................................................................................................... 15
3.9. PARALELISMO DE DOIS VETORES................................................................................................ 16
3.10. RESPOSTAS ....................................................................................................................................... 17
3.11. PRODUTO ESCALAR ....................................................................................................................... 18
3.12. MÓDULO DE UM VETOR ................................................................................................................ 18
3.13. VETOR UNITÁRIO............................................................................................................................ 19
3.14. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ................................................................................................ 19
3.15. VERSOR DE UM VETOR .................................................................................................................. 19
3.16. ÂNGULO DE DOIS VETORES.......................................................................................................... 19
3.17. VETORES ORTOGONAIS................................................................................................................. 20
3.18. PROJEÇÃO DE UM VETOR.............................................................................................................. 20
3.19. RESPOSTAS ....................................................................................................................................... 21
3.20. PRODUTO VETORIAL...................................................................................................................... 22
3.21. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO P. V........................................................... 23
3.22. RESPOSTAS ....................................................................................................................................... 23
3.23. PRODUTO MISTO ............................................................................................................................. 24
3.24. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO.................................. 25
3.25. RESPOSTAS ....................................................................................................................................... 25
4. ESTUDA DA RETA NO ESPAÇO
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
ℜ
3
................................................................................................... 26
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA..................................................................................................... 26
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA ........................................................................................ 26
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA ............................................................................................... 27
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA ................................................................................................ 27
RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS ...................................................................... 28
RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS .................................................................. 28
ÂNGULO DE DUAS RETAS .............................................................................................................. 28
RETAS PARALELAS .......................................................................................................................... 29
4.9. RETAS ORTOGONAIS ...................................................................................................................... 29
4.10. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS............................................................................................. 29
4.11. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS................................................................................................... 30
4.12. RETAS COPLANARES...................................................................................................................... 31
4.13. RESPOSTAS ....................................................................................................................................... 32
5. ESTUDO DO PLANO NO ESPAÇO
ℜ
3
................................................................................................ 33
5.1. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO ........................................................................................................ 33
5.2. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO.................................................................................................. 33
5.3. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO ..................................................................................... 34
5.4. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS ................................................................... 34
5.5. PLANOS PARALELOS AOS PLANOS COORDENADOS ............................................................... 35
5.6. ÂNGULO DE DOIS PLANOS ............................................................................................................. 35
5.7. INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS................................................................................................... 36
5.8. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO .................................................................................. 36
5.9. INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO.......................................................................................... 37
5.10.RESPOSTAS........................................................................................................................................ 38
6. DISTÂNCIAS.............................................................................................................................................. 39
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ................................................................................................. 39
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA..................................................................................... 39
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO..................................................................................... 39
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS........................................................................... 40
DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PLANO.............................................................................. 40
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS ................................................................................................. 40
RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 40
7. SUBESPAÇO VETORIAL.......................................................................................................................... 41
7.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 41
7.2. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 42
8. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO ........................................................................................................ 43
8.1. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 43
9. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ...................................................................................... 44
9.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 44
9.2. PROPRIEDADES................................................................................................................................. 44
9.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 45
10. BASE E DIMENSÃO ................................................................................................................................ 46
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 46
BASE .................................................................................................................................................. 46
PROPRIEDADES............................................................................................................................... 46
DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL ..................................................................................... 47
RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 47
11. ORTOGONALIDADE .............................................................................................................................. 48
11.1. VETORES ORTOGONAIS................................................................................................................ 48
11.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL.............................................................................. 48
11.3. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 48
12. TRANSFORMAÇÕES LINEARES .......................................................................................................... 49
12.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 49
12.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR......................................................................................................... 49
12.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA ............................................................................. 50
12.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA................................. 50
12.5. COMPOSTA DE DUAS TL ............................................................................................................... 51
12.6. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 52
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS ......................................................................................... 53
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
13.6.
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 53
REFLEXÕES...................................................................................................................................... 53
DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES..................................................................................................... 55
CISALHAMENTOS........................................................................................................................... 56
ROTAÇÕES ....................................................................................................................................... 57
RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 59
14. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS.................................................................................... 62
14.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 62
14.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS ....................................................... 63
14.3. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 64
15. APÊNDICE................................................................................................................................................ 65
15.1. MATRIZES ........................................................................................................................................ 65
15.1.1. PROPRIEDADES............................................................................................................................ 66
15.1.2. RESPOSTAS ................................................................................................................................... 68
15.2. INVERSÃO DE MATRIZES ............................................................................................................. 69
15.2.1. MATRIZ INVERSA ........................................................................................................................ 69
15.2.2. PROPRIEDADES............................................................................................................................ 70
15.2.3. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ..................................................................... 70
15.2.4. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES ................................................. 70
15.2.5. RESPOSTAS ................................................................................................................................... 71
16. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 72
2
1. OS CONJUNTOS ℜ E ℜ
1.1. O CONJUNTO
ℜ
3
2
ℜ 2 = ℜx ℜ = {( x , y) / x , y ∈ ℜ}
y
y1
P(x1,y1)
O : origem
Ox : eixo das abscissas
0
x1
x
Oy : eixo das ordenadas
P(x,y) ∈ Ox ⇔ y = 0
P(x,y) ∈ Oy ⇔ x = 0
E1) Represente graficamente os conjuntos:
1) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y = x}
2) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y ≠ x}
3) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y < x}
4) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y = 3}
5) {(x,y) ∈ ℜ 2 / x = 2}
6) {(x,y) ∈ ℜ 2 / 1 ≤ y < 2 }
7) {(x,y) ∈ ℜ 2 / 2<x ≤ 4 e 1 ≤ y < 2 }
8) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y ≥ x 2 }
9) {(x,y) ∈ ℜ 2 / x2 + y2 ≥ 1}
1.2. O CONJUNTO
ℜ
3
ℜ 3 = ℜx ℜx ℜ = {( x , y, z) / x , y, z ∈ ℜ}
z
O : origem
yOz
Ox : eixo das abscissas
z1
Oy : eixo das ordenadas
P(x1,y1,z1
xOz
x1
y
O
Oz : eixo das cotas
xOy : plano que contém os eixos x e y
xOz : plano que contém os eixos x e z
xOy
yOz : plano que contém os eixos y e z
x
P(x,y,z) ∈ Ox ⇔ y = z = 0
P(x,y,z) ∈ Oy ⇔ x = z = 0
P(x,y,z) ∈ Oz ⇔ x = y = 0
P(x,y,z) ∈ xOy ⇔ z = 0
P(x,y,z) ∈ xOz ⇔ y = 0
P(x,y,z) ∈ yOz ⇔ x = 0
E2) Represente graficamente os pontos:
1) (0,2,0)
2) (-2,0,0)
3) (0,0,3)
7) (2,3,4)
8) (3,-2,-1)
9) (-1,-3,2)
1
4) (2,3,0)
5)(-1,0,2)
6) (0,-4,2)
10) (3,3,3)
11) (2,4,-3)
12) (-1,-2,-3)
2. SISTEMAS LINEARES
2.1. INTRODUÇÃO
O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra
Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou
independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a
matriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um
operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser
utilizado na resolução de sistemas de equações lineares.
2.2. EQUAÇÃO LINEAR
a1x1 + a 2 x 2 +
+ a n x n = b , com a 1 , a 2 ,
a n , b∈ℜ
Exemplos
a) No
ℜ 2 , x = 3 ⇔ 1x + 0y = 3
b) No ℜ 3 ,
x = 3 ⇔ 1x + 0y + 0z = 3
c) As seguintes equações não são lineares: x2 – 2x = 4 ,
x + y = 2 , cos x = 1, ey-3x = 0 e ln x + 4y = 3.
Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação.
Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção.
Exemplos
a) No ℜ , o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y) / y ∈ ℜ } e (3,5) é uma solução particular.
2
b) No ℜ 3 , o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y,z) / y,z ∈ ℜ } e (3,7,9) é uma solução particular.
2.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistema linear de m equações com n incógnitas
a11x1 + a12 x 2 +
+ a1n x n = b1
a 21x1 + a 22 x 2 +
+ a 2n x n = b2
a m1x1 + a m 2 x 2 +
+ a mn x n = b m
Solução de um sistema linear é uma seqüência de números que é solução de toda equação do sistema.
2
x − y − z =0
E1) A terna ( -1,2,-3) é solução do sistema x + 2 y + 3z = − 6 ?
− x − y + z = −6
E2) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U.
2 x − y =3
a)
x + y =0
d)
, U=ℜ
x + y − z =0
y= 2
2
b)
, U = ℜ3
2x −2 y=2
x − y =1
e)
, U =ℜ
x + 2 y + 2z =1
y + z =0
2
, U = ℜ3
c)
f)
x + y =3
2x + 2 y =3
x + z =3
x − z= 1
, U =ℜ
2
, U = ℜ3
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES:
determinado (solução única)
compatível
Sistema Linear
(possui solução) indeterminado (várias soluções)
incompatível (não possui solução)
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR.
A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é
nula, o sistema é chamado de homogêneo.
Um sistema homogêneo é sempre compatível:
- Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis
assumindo valor zero.
- Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias.
E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja:
a) compatível e determinado
b) compatível e indeterminado
c) incompatível
2.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.
Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes.
E4) Resolva, se possível, o sistema:
3x + y − z = 0
y + z =1
2z = 4
2.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.
Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não
nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no
exercício E4.
3
Exemplo:
3 1 −1 0
3x + y − z = 0
O sistema 0x + y+ z =1
do exercício E4, cuja matriz ampliada é
0 x + 0 y + 2z = 4
0
1
1 1
0
0
2 4
E5) Resolva o sistema:
x + 2 y−z+ t =1
z − t =2
2.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU
ESCALONAMENTO.
Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações:
a) Permutação de duas equações;
b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;
c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número
real diferente de zero.
Exemplo:
Resolva o sistema por triangulação:
2x +3y+z=0
Permutando as duas
primeiras
equações
x + y+z=0
x + y+2z=1
x+y+z = 0
x+y+z =0
Substituindo a 2o
eq. pela sua soma
com a 1o multiplicada por -2
2 x + 3y + z = 0
x + y + 2z = 1
x+y+z = 0
Substituindo a 3 o equação
pela sua soma com a 1 o
multiplicada por -1
y−z = 0
x + y + 2z = 1
y−z =0
z =1
O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é
determinado e seu conjunto solução é S = {(−2, 1, 1 )} .
A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada.
2
3 1 0
1 1 1 0
1 1 2 1
L 21
1 1 1
0
2 3 1
1 1 2
0
1
1 1
L 2 +(-2)L 1
1
0
0 1 −1 0
1 1 2 1
E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento:
4
1 1
L 3 +(-1)L 1
1
0
0 1 −1 0
0 0 1 1
x + y=1
a)
x − y+z=1
2x +3y−z=− 1
− x − z =− 4
b)
2 x + y− z = − 1
x + 2 y− 2 z = 2
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO.
Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondente
termo independente, o sistema é incompatível , exemplo o exercício E12 b. Caso contrário o sistema é
compatível:
- determinado , quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas
são as colunas da matriz dos coeficientes.
- Indeterminado , quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de
colunas da matriz dos coeficientes, exemplo o exercício E12 a.
Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado.
x + y + z= 2
E7) Determine o valor de “m” para que o sistema
x − y+mz=0
seja:
mx+2 y+z=3
a) Determinado;
b) Indeterminado;
c) incompatível.
x + y +3z =4
E8) Resolva, se possível, o sistema
2 x +3y + z =1
3x + y − 2z =5
2.7. MÉTODO DE CASTILHOS.
O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas
sobre as equações são representadas por determinantes de 2º ordem.
A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do exercício E8.
1º. Quadro
2º. Quadro
1
1
3
4
2
3
1
1
3
1
-2
5
1
-5
-7
-2
-11
-7
-21
-21
do 3º. quadro: z = 1
do 2º. quadro com z = 1 em qualquer equação: y = - 2
do 1º. quadro com y = -2 e z = 1 em qualquer equação: x = 3
3º. Quadro
S = {(3,− 2 ,1)}
5
E9) Resolva, se possível, os sistemas:
3x +5y+ z=4
2 x +4 y+ z=3
a)
2x + y − z = 0
b) y + z = 2
− x − 2 y+z=3
3x + 5 y = −5
x − y = −25
c)
x + y =1
2 x − 4 y −z = − 3
x+ y − z = 0
d)
x + 2 y = −4
2x − y + z = 0
1 2
3
x
e) 2 1
1
y = 0
1
1
z
1
1 −2
0
2
f)
3
0
3
3
−1 − 3
0
1
−3
0
x
4
5
y =
2
z
7
E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3.
−k
0
0 −1− k
2
2
x
0
y = 0
−k
0
2
0
z
0
2
3
E11) Se A = 1
2
1
2
−2
1
x
e
X = y , resolva:
z
a) A.X = X
b) A.X = 4.X
c) ( A – 2.I 3 ).X = 0
E12) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível:
x + 2 y + 5z = a
a)
x + y + 2 z + 3t = a
3y − 2z = b
b)
6 y − 4z = c
d)
1
−1
−1
2
2 −3
4 x − y + 5z = a
2y + z − t = b
c)
z−t =c
x
y
a
= b
c
2 x − y + 3z = c
2 −3
1
e)
− 3x + z = b
x
a
−2 −3
4
y = b
−1 −1
2
z
6
c
2.8. RESPOSTAS
E1) Não
E2) a) S={(1,-1)}
b) S={ (1 + y, y) / y ∈ ℜ }
e) S={ (1,− z, z) / z ∈ ℜ }
d) S={ (z,2, z) / z ∈ ℜ }
c) S={ }
f) S={ (2, y,1) / y ∈ ℜ }
E4) S={(1,-1,2)}
E5) S={ (3 − 2 y, y, t + 2, t ) / y, t ∈ ℜ }
E6) a) S={ (4 − z, z − 3, z) / z ∈ ℜ }
E7) a) m ≠ 0 e m ≠ 1
b) S={ }
b) m = 1
c) m = 0
E8) S={(3,-2,1)}
E9) a) S={ }
b) S={ (z − 1, 2 − z, z) / z ∈ ℜ }
d) S={ (0, z, z) / z ∈ ℜ }
e) S={(0,0,0)}
E10) k=-1, SCI, S={ (0, y, 0) / y ∈ ℜ } ;
E11) a) S={(0,0,0)}
f) S={ }
k=-2, SCI, S={ (− z, 0, z) / z ∈ ℜ } ;
b) S={ (4z,
E12) a) SI se c ≠ 2b e SCI se c=2b
c) S={ }
5z
, z) / z ∈ ℜ }
2
b) SCI, ∀a , b, c ∈ ℜ
d) SI, se a-b-c ≠ 0 e SCD se a-b-c=0
c) S={ (− z,
−3z
, z) / z ∈ ℜ }
2
c) SCD, ∀a , b, c ∈ ℜ
e)SCD, ∀a , b, c ∈ ℜ
7
k=3 , S={(0,0,0)}
3. ESPAÇOS VETORIAIS
3.1. ESPAÇO VETORIAL REAL
Seja um conjunto V ≠ φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar,
tais que
∀u,v ∈ V, u+v ∈ V e ∀α ∈ ℜ , ∀u ∈ V , αu ∈ V .
O conjunto V com as operações acima é chamado espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes
propriedades:
Em relação à adição:
A1 − u + v = v + u ,
∀u,v ∈ V (a adição deve ser comutatividade )
A2 − (u + v) + w = u + (v + w) , ∀u,v,w ∈ V (a adição deve ser associativa )
A3 − ∃ 0 ∈ V ,
A4 −
∀u ∈ V , u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição)
∀u ∈ V , ∃ (-u) ∈ V ,
u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V)
Em relação à multiplicação por escalar:
M1 − (α + β)u = αu + βu ,
∀α,β ∈ ℜ e ∀u ∈ V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição
de escalares)
Μ2 − α(u + v) = αu + αv , ∀α ∈ ℜ e ∀u,v ∈ V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição
de vetores)
M3 − (αβ)u = α(βu) , ∀α,β ∈ ℜ e ∀u ∈ V (a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação
de escalares)
M4 − 1u = u , ∀u ∈ V (o 1(um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar)
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.
Exemplos de espaços vetoriais:
1. O conjunto ℜ n das n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
2. O conjunto M mxn das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
n
3. O conjunto Pn ={a 0 x + a 1 x
n −1
+ ... + a n ; ai ∈ ℜ } dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo
o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
4. O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por
(f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (αf)(x) = αf(x) ,
∀ α ∈ℜ .
8
Nesta disciplina, estamos interessados somente no estudo dos espaços vetoriais ℜ 2 e ℜ 3 .
Como os elementos do ℜ 2 e ℜ 3 são representados, respectivamente, por pares (x,y) e ternas (x,y,z), estes
elementos podem ser interpretados como pontos ou vetores do respectivo espaço. Então, (x,y) e (x,y,z) são as
as coordenadas de um ponto que marca uma posição no espaço ou de um vetor que define um deslocamento
no espaço. Observe, no sistema de coordenadas abaixo, os significados de (5,3) ∈ ℜ 2 .
y
3
P(5,3)
v
0
5
x
Na figura acima temos: o ponto P de coordenadas (5,3) e o vetor v de coordenadas (5,3). Como v é o
deslocamento de O até P, é representado geometricamente pelo segmento orientado OP. Observe que v tem
direção, sentido e comprimento definidos, podendo ser aplicado sobre qualquer ponto do plano. Na figura
abaixo, temos a aplicação do vetor v = (1,2) sobre alguns pontos do espaço ℜ 2 .
y
0
x
Neste caso, dizemos que os segmentos orientados são representantes do mesmo vetor, pois expressam
o mesmo deslocamento aplicado em pontos distintos.
E1) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto onde foi aplicado o vetor (origem do segmento).
E2) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto obtido após a aplicação do vetor (extremidade
do segmento).
E3) Encontre as diferenças entre as coordenadas dos pontos extremidade e origem em cada segmento.
9
Indicaremos o vetor aplicado no ponto A com extremidade em B por AB ou B – A ou por qualquer
letra latina minúscula.
No ℜ 2 , se A(x1,y1) e B(x2,y2) então v = AB = B – A= (x2–x1 ,y2–y1 ).
No ℜ 3 , se A(x1,y1,z1) e B(x2,y2 ,z2 ) então v = AB = B – A= (x2–x1 ,y2–y1 , z2–z1).
E4) Sejam os pontos A(-1,2), B(4,5), C(-3,-2), D(1,2,3), E(0,-3,-4) e F(-1,6,-6). Encontre AB , BC , DE e EF .
Observações:
a) No sistema de eixos adotado adotado no ℜ 2 , temos dois deslocamentos padrão i(1,0) e j(0,1).
y
1 j(0,1)
1
0 i(1,0)
x
b) No sistema de eixos adotado adotado no ℜ 3 , temos três deslocamentos padrão i(1,0,0), j(0,1,0) e k(0,0,1).
z
x
1 k(0,0,1)
1
0 j (0,1,0)
1 i(1,0,0)
y
c) Os vetores i(1,0) e j(0,1) formam a denominada base canônica do ℜ 2 e os vetores i(1,0,0), j(0,1,0) e
k(0,0,1) formam a denominada base canônica do ℜ 3 . As bases serão objeto de estudo posteriormente.
d) Os vetores i, j e k também são representados, respectivamente, por e1 , e2 e e3 .
10
Exemplo:
Usando os vetores padrão i(1,0) e j(0,1), queremos encontrar o caminho mais curto para ir do ponto (-1,0)
até o ponto (3,3).
Solução:
y
0
x
O deslocamento total: 4 passos para direita mais 3 passos para cima ou 4i +3j .
Note que: (3,3) – (–1,0) = (4,3).
A resolução do exemplo acima, que não é única, foi feita mediante a decomposição do vetor (4,3) segundo
as direções dos vetores i e j, isto é, (4,3) = 4i +3j.
Importante:
a) Todo vetor do ℜ 2 pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i(1,0) e j(0,1).
v(a,b) ⇔ v = ai + bj
b) Todo vetor do ℜ 3 pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i(1,0,0), j(0,1,0) e k(0,0,1).
v(a,b,c) ⇔ v = ai + bj +ck
3.2. REPRESENTAÇÕES DE UM VETOR
Geométrica
ℜ2
Algébrica
Matricial
v = (x,y)
v=
x
y
x
ℜ
3
v= y
v = (x,y,z)
z
11
3.3. VETOR NULO
Vetor nulo é o vetor representado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 0 .
No ℜ 2 , 0 = (0,0) e no ℜ 3 , 0 = (0,0,0).
3.4. VETORES IGUAIS
Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
No ℜ 2 , se u = (x1,y1) e v = (x2,y2) então u = v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 .
No ℜ 3 , se u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2 ,z2 ) então u = v ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 .
E5) Encontre x e y para que os vetores u e v sejam iguais.
a) u =( x2 , -1) e v = ( 1, y3 )
b) u = ( x –2 , 3, 5) e v = (2x + 1, y +5, 5)
3.5. VETORES OPOSTOS
Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.
Indica-se o vetor oposto de v por -v.
No ℜ 2 , se v = (x,y) , -v = (-x,-y) e no ℜ 3 , se v = (x,y,z) , -v = (-x,-y,-z).
3.6. OPERAÇÕES GEOMÉTRICAS E ALGÉBRICAS COM VETORES
1. ADIÇÃO GEOMÉTRICA
u
v
Regra do Paralelogramo
B
u
Regra da Poligonal
D
B
u+v
v
u
u+v
A
v
C
A
12
C
2. ADIÇÃO ALGÉBRICA
No ℜ 2 , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ).
No ℜ 3 , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)
PROPRIEDADES:
a) Comutativa : u + v = v + u
b) Associativa : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
c) Elemento neutro : u + 0 = u
d) Elementos Oposto : u + (- u ) = 0
3. SUBTRAÇÃO GEOMÉTRICA
A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é u - v = u + (- v ).
4. SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA
No ℜ 2 , se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u – v = ( x1 – x2 , y1 – y2 ).
No ℜ 3 , se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u – v = ( x1 – x2 , y1 – y2 , z1 – z2)
E6) Determine o vetor x nas figuras abaixo :
a)
b)
x
u
x
u
v
v
w
E7)Sejam os pontos A (2,1,0) , B (2, -1, 2 ) e C (3, 4 , -2 ).
→
→
→
a)Determine as componentes dos vetores AB , AC e BC .
→
→
b) Determine o vetor v , tal que v = AB − BC .
→
→
c)Determine o ponto P, tal que AP = PB .
13
5. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR .
- Se α = 0 ou v = 0 , então αv = 0
- Se α
≠ 0 e v ≠ 0 , então αv é tal que
a) αv e v tem a mesma direção
b) αv e v tem o mesmo sentido se α >0 e sentido contrário se α <0
c) o comprimento de α v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de α .|
Exemplo:
2v
v
-3 v
6. MULTIPLICAÇÃO ALGÉBRICA DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR .
No ℜ 2 , se u(x1,y1) e α ∈ ℜ então
No ℜ 3 , se u(x1,y1,z1) e α ∈ ℜ então
u = ( x1 ,
y1 ).
u = ( x1 ,
y1 ,
z1).
PROPRIEDADES:
a) α ( u + v ) = αu + αv
b) ( α + β ) u = αu + β.u
c) 1. v = v
d) α ( β.v ) = (αβ) v = β ( αv )
E8) Dados os vetores abaixo, obtenha :
u
a) u + v + w
v
b) u - v
w
c) u - w + v
d) 2 u - 2 w
e) 2 v - w - 2 u
E9) Dados os vetores u =(1,-2,3) , v =(4,-1,-5) e w =(0,2,1), calcular:
a) u + v
b) u - v
c) 2 u + 3 v - w
d) t, tal que 3 u + v = 5 w - 4t
e) x , tal que w - v = u + 2 x
14
3.7. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam os vetores v1 , v 2 ,..., v n de um espaço vetorial V. Um vetor v ∈ V é combinação linear (CL) dos
vetores v1 , v 2 ,..., v n se existem os reais a1 , a 2 ,..., a n , tais que a 1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n = v .
E10) Verifique se o vetor v = (1,−8,−7) é combinação linear dos vetores v 1 = (3,−2,1) e v 2 = (4,1,5) . Em
caso afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de v1 e v 2 .
Importante:
A combinação linear a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... + a n v n = v pode ser representada matricialmente por
MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores v1 , v 2 ,..., v n , A é a matriz coluna
formada pelos coeficientes a1 , a 2 ,..., a n e V é a representação matricial do vetor v.
E11) Escreva o vetor v = (-3,2) como combinação linear dos vetores i(1,0) e j(0,1).
E12) Escreva o vetor v = (1,3,-2) como combinação linear dos vetores i(1,0,0), j(0,1,0) e k(0,0,1).
E13) Sejam os vetores v 1 = (2,−1,2) , v 2 = (0,3,−2) e v 3 = ( 4,2,0) .
a) Escreva, se possível, o vetor v = ( 2,5,−2) como CL dos vetores v1 e v 2 .
b) Escreva, se possível, o vetor v1 como CL dos vetores v 2 e v 3 .
c) Determine o valor de “m” para que o vetor u = (6,0, m) seja CL dos vetores v1 e v 2 .
3.8. VETORES COLINEARES
Vetores colineares são vetores que possuem representantes numa mesma reta.
E14) Quais vetores abaixo são colineares?
r
y
0
x
Importante:
As expressões vetores colineares, vetores múltiplos e vetores paralelos tem o mesmo significado.
15
3.9. PARALELISMO DE DOIS VETORES
Se dois vetores u e v são paralelos, então existe um número α , tal que u = α v .
No ℜ 2 , se u = ( x1 , y1 ) e v = ( x2 , y2 ) então ( x1 , y1 ) = α ( x2 , y2 ) e portanto x1 = α x2 e y1 = α y2 .
Logo
No ℜ 3 ,
x1
y
= 1 , isto é
x 2 y2
=
u // v ⇔
u // v ⇔
x1
y
= 1
x2 y2
x 1 y1 z 1
=
=
x 2 y2 z2
Observações:
a) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção).
b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor paralelo a v
também é nula.
c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos.
E15) Encontre o valor de x para que os vetores v e u ,sejam paralelos :
a) u = ( x - 2 , 1,0 ), v = ( 1 , 3,0 )
b) u = ( 0 , 5, 10 ), v = ( x , 2, 4 )
c) u = ( 5 ,0 ), v = ( x , 2 )
E16) Determinar m e n de modo que os vetores u =(1,-2,m) e v =(4,n,-5) sejam paralelos.
E17) Calcular a e b de modo que os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares.
E18) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ?
16
3.10. RESPOSTAS
E1) (-3,-1); (-1,0); (1,-2); (2,1)
E2) (-2,1); (0,2); (2,0); (3,3)
E3) (1,2)
E4) (5,3); (-7,-7); (-1,-5,-7); (-1,9,-2)
E5) a) x = 1 e y = –1
b) x = –3 e y = –2
E6) a) x = u – v
b) x = w – u – v
→
→
→
b) (-3,-1,8)
c) (14,-9,-10)
E7) a) AB = (0,-2,2) , AC = (1,3,-2) , BC = (1,5,-4)
E9) a) (5,-3,-2)
b) (-1,-7,6)
d) (−
7 17 1
, , )
4 4 4
E10) v = 3v1 - 2v2
E11) v = -3i + 2j
E12) v = i + 3j –2k
E13) a) v=v1+2v2
b) Impossível
c) m=4
E14) TODOS
E15) a) x =
7
3
b) x = 0
E16) n = -8 e m = −
E17) a =
c) NÃO EXISTE
5
4
1
5
e b =−
2
2
E18) SIM
17
c) (2,0,1)
e) (−
5 5 3
, , )
2 2 2
3.11. PRODUTO ESCALAR
Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por
u . v ou < u , v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
Se u = (x1, y1) ∈ ℜ 2 e v = ( x2, y2 ) ∈ ℜ 2 então u.v = x1.x2 + y1.y2 .
Se u = (x1, y1 , z1) ∈ ℜ 3 e v = ( x2, y2 , z2) ∈ ℜ 3 então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.
E1) Determinar u . v ,sabendo que u =(1,-2) e v =(4,2).
→
→
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular AB . BC
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
a) u . v = v . u
b) u .( v + w ) = u . v + u . w
c) α ( u . v ) = ( α u ). v = u .( α v ), com α ∈ ℜ
d) u.u = | u |2
3.12. MÓDULO DE UM VETOR
Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v.v .
No ℜ 2 , se v =(x,y ) então | v | = x 2 + y 2
No ℜ 3 , se v =(x,y,z ) então | v | = x 2 + y 2 + z 2
E3) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,3), calcular | u | e | v | .
→
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que | AB | = 7.
PROPRIEDADES DO MÓDULO:
a) | u | ≥ 0 e | u | = 0 ⇔ u = 0
b) | -u | = | u |
c) | αu | = | α |.| u |
d) | u + v | ≤ | u | + | v |
18
3.13. VETOR UNITÁRIO
Chama-se vetor unitário qualquer vetor v de comprimento igual a 1(um), isto é | v | =1.
4
E5) Determinar o valor de n para que o vetor w = (n , ) seja unitário.
5
3.14. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
→
A distância d entre dois pontos A e B é o comprimento do vetor AB .
→
No ℜ 2 , se A(x1, y1 ) e B( x2, y2 ) então AB =(x2 -x1 , y2 -y1 ) e dAB = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 .
→
No ℜ 3 , se A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) então AB =(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e
dAB = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 .
E6) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5).
E7) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2).
3.15. VERSOR DE UM VETOR
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .
versor de v =
v
|v|
E8) Determinar os versores dos vetores u = (0,-3,4) e v = (-1,1).
3.16. ÂNGULO DE DOIS VETORES
Se u ≠ 0 , v ≠ 0 e θ é o ângulo dos vetores u e v , com 0° ≤ θ ≤ 180° .
V
θ
v–u
u
Da lei dos co-senos: |u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cos θ (1)
Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u –2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2)
Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cos θ ou cos θ =
E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se 0° < θ < 90° .
E10) O que se pode afirmar sobre u.v, se 90° < θ < 180° .
19
u.v
.
| u |.| v |
E11) O que se pode afirmar sobre u.v, se θ = 90° .
E12) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ = 0° .
E13) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ = 180° .
E14) Calcular os ângulos entre os vetores u e v , sendo:
a) u =(1,2) e v =(-1,2)
b) u =(2,-1) e v =(1,2)
c) u =(0,2) e v =(0,1)
d) u =(1,1,4) e v =(-1,2,2)
e) u =(2,-1,2) e v =(-1,2,2)
f) u =(0,2,4) e v =(0,1,2)
E15) Sabendo que o ângulo entre os vetores u =(2,1,-1) e v =(1,-1,m+2) é
π
3
, calcular m.
3.17. VETORES ORTOGONAIS
Se u é ortogonal a v , o ângulo θ entre os vetores u e v é 90o e portanto, u .v = 0.
u ⊥ v ⇔
u.v=0
E16) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais.
E17) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo ?
E18) Determinar um vetor ortogonal ao vetor w = (−3,1,2) .
E19) Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:
→
→
→
a) as componentes de 3 AB− 2 BC+ 5 CA
→
→
b) o módulo de BC
c) o versor de CA
E20) Dados os vetores u = 3i + 3 j , v = 2i + j − 2k e w = 3i + 4 j − 5k , determinar:
a) u.w
b) u.( v + w )
c)o ângulo entre u e v
d) o versor de u
e) o valor de m para que o vetor p = mi + 5 j + 4k seja ortogonal a u - v
3.18. PROJEÇÃO DE UM VETOR
u
u-w
w é a projeção de u sobre v . Como ( u - w ). v = 0 (1) e w = α . v (2),
substituindo a (2) em (1) e isolando α ,vem: α =
v
w
Substituindo o α encontrado em (2), conclui-se que
w = proj v u =
E21) Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo:
a) u = (1,1) e v = (2,0)
b) u = (1,1,1) e v = (3,3,0)
20
u.v
v.v
u.v
.v
v.v
3.19. RESPOSTAS
E1) 0
E2) -1
E3) 3 e 5
E4) m = -3 ou m = 9
E5) n = ±
3
5
E6) (0,2,0)
E7) (1,-2)
1
1
3 4
E8) (0,− , ) ; (−
,
)
5 5
2
2
E9) u.v > 0
E10) u.v < 0
E11) u.v = 0
E12) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido.
E13) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários.
E14) a) θ = arc cos (3/5)
b) 90o
c) 0o
d) 45o
e) 90o
f) 0o
E15) m = -4
E16) m = -3
E17) SIM
E18) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c
E19) a) (-9,1,3)
b) 3
E20) a) 21
b) 30
E21) a) (1,0)
c) (−
2 2 1
,− ,− )
3 3 3
c) 45o
d) (
b) (1,1,0)
21
2
2
,
,0)
2
2
e) m = -18
3.20. PRODUTO VETORIAL
Dados os vetores u = (x1, y1 , z1) e v = ( x2, y2 , z2), chama-se produto vetorial de u por v , nesta ordem,
ao vetor representado por u x v e calculado por:
i
j
k
u x v = x 1 y1 z1
x2 y2 z2
O produto vetorial não está definido no ℜ 2 .
E1) Determinar u x v ,sabendo que u =(1,-2,4) e v =(4,2,-5).
→
→
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular AB x BC
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
a) u x u = 0
b) u x v = - v x u
c) u x( v + w ) = u x v + u x w
d) α ( u x v ) = ( α u )x v = u x( α v ), com α ∈ ℜ
e) u x v = 0 se e somente se, um dos vetores é nulo ou os dois são colineares.
f) u x v é simultaneamente ortogonal aos vetores u e v e o sentido de u x v é dado pela “regra da mão
direita” ou pela “regra do saca rolhas”.
g) | u x v | = | u |.| v |.sen θ
u xv
π
v
θ
u
Importante: Da propriedade e, u // v ⇔ u x v = 0
E3)Dados os vetores u = 3i + 4 j + 2k e v = 2i + j + k , determinar:
a) u x v
b) v x u
c) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u - v e v + u
d) o valor de m para que o vetor w = (9 + m)i + 2 j + ( m − 5)k seja paralelo a u x v
22
3.21. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO P. V.
O módulo do produto vetorial de dois vetores u e v é igual a área do paralelogramo cujos lados são
determinado pelos vetores u e v .
C
v
A
Importante:
θ
da propriedade g, | u |. | v |. sen θ = | u x v |
h
B
u
AABC =
AABCD = | u |. h = | u |. | v |. sen θ
D
Logo
AABCD = | u x v |
| u xv |
2
E4) Dados os pontos A(2,1,3), B(6,4,1) e C(-6,-2,6), determinar:
→
→
a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC ;
→
→
→
b) a altura do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC relativa ao lado AB ;
c) a área do triângulo de vértices A, B e C.
3.22. RESPOSTAS
E1) (2,21,10)
E2) (9,-7,1)
E3) a) (2,1,-5)
E4) a) 13
b) (-2,-1,5)
b)
13 29
29
c) (±
c)
30
30
30
,±
,±
)
15
30
6
13
2
23
d) m = -5
3.23. PRODUTO MISTO
Dados os vetores u = (x1, y1 , z1), v = ( x2, y2 , z2) e w =(x3, y3 ,z3) , chama-se produto misto dos vetores
u , v e w , nesta ordem, ao número real representado por ( u , v , w ) e calculado por u .( v x w ) ou
x1
y1 z1
(u,v,w)= x 2
y2 z2
x3
y3 z3
O produto misto não está definido no ℜ 2 .
E1) Dados os vetores u =(-2,1,2) , v =(1,-1,1) e w = (1,1,1) , calcular:
a) ( u,v,w)
b) (v,u,w)
c) (v,w,u)
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO
a) (u,v,w) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares.
b) Na permutação de dois dos três vetores , o produto misto ( u,v,w) muda de sinal.
c) α (u,v,w) = ( α u,v,w) = (u, α v,w) = (u,v, α w),com α ∈ ℜ .
Importante: Vetores coplanares são vetores que possuem representantes num mesmo plano.
a) Dois vetores são sempre coplanares.
b) Três vetores u, v e w do ℜ 3 são coplanares se (u,v,w) = 0.
c) Três vetores u, v e w do ℜ 3 são coplanares se u = av + bw.
d) Quatro pontos do ℜ 3 são coplanares se três vetores formados por eles são coplanares.
E2)Verificar se são coplanares os vetores:
a) u =(1,-1,0) , v =(2,1,3) e w = (3,2,1)
b) u =(1,-1,-2) , v =(3,-2,5) e w = (5,-4,1)
E3)Qual deve ser o valor de n para que os vetores u =(3,n,2) , v =(4,0,1) e w = (2,-1,-2) para que os vetores
sejam coplanares ?
E4)Verificar se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão num mesmo plano.
24
3.24. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO
O módulo do produto misto (u,v,w) é igual ao volume do paralelepípedo cujas arestas são determinadas
pelos vetores u, v e w.
θ
Sb = |vxw| e h = | u |.|cos θ |
V = Sb.h ,
v xw
V = | v x w |. | u |.|cos θ |
V = | | v x w |. | u |.cos θ |
h
u
V = | u.( v x w )||
w
V= |(u,v,w ) |
v
E5) Dados os pontos A(1,1,-1), B(2,2,-1) , C(3,1,-1) e D(2,3,1), determinar:
→
→
→
a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB , AC e AD .
→
→
→
b) a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores AB , AC e AD relativa a face determinada por
→
→
AB e AC .
c) o volume do tetraedro cujos vértices são: A, B, C e D(o volume do tetraedro de vértices A, B e C é a
→
→
→
sexta parte do volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB , AC e AD ).
E6) Dados os vetores u =(x,5,0) , v =(3,-2,1) e w = (1,1,-1), calcular o valor de x para que o volume do
paralelepípedo determinado por u , v e w seja 24 u.v.
E7) Determinar o valor de α para que:
a) ( α ,3,-7)x(11,1,10) =(37,-87,-32)
b)(10, α ,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36
E8) Dados os vetores u = 3i + 4 j + 2k e v = 2i + j + k , determinar ( u x v ).( u - v ).
E9) Dados os pontos A(1,0,-1), B(0,2,-1) , C(1,1,-1) e D(0,0,1), determinar:
→
→
→
a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB , AC e AD .
→
→
b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC .
E10)Determine o valor de p e q para que:
a)(p,5,q).(2,4,6) = 30
b)(p,q,-7)x(11,1,10) = (37,-87,-32)
c)(10,q,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36
3.25. RESPOSTAS
E1) a) 8
b) –8
c) 8
E5) a) 4
b) 2
c)
E9) a) 2
b) 1
E8) 0
2
3
E2) a) NÃO
b) SIM
E6) x = 4 ou x = -44
E10) a) p = 5 – 3q
25
E3) n =
1
2
E7) a) α = 1
b) p = 1 e q = 3
c) q = 16
E4) SIM
b) α = 16
4. ESTUDA DA RETA NO ESPAÇO ℜ
3
4.1. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Seja A um ponto de uma reta r que tem a direção de um vetor v ≠ 0. Se um ponto P pertence a r
→
→
então os vetores AP e v são colineares, isto é, existe um real t , tal que AP = t v ou P = A + tv.
z
P(x,y,z)
°
A(x1,y1,z1)
°
r
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c)
v =(a,b,c)
v: vetor diretor da reta
y
0
t: parâmetro
x
E1)Determine a equação vetorial da reta que passa:
a)
pelo ponto A(2,3,5) e tem a direção do vetor v = (1,-1,2)
b) pelos pontos A(1,2,3) e B(-1,-1,4)
4.2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Da equação vetorial da reta r, vem:
x = x 1 + at
y = y1 + bt
z = z 1 + ct
E2)Determine as equações paramétricas da reta:
a) que passa pelo ponto A(4,-3,2) e tem a direção do vetor v = (2,-1,-3)
b) que passa pelos pontos A(1,0,3) e B(-1,-1,4)
c)cuja equação vetorial é (x,y,z) = (1,4,5) + t(2,0,1)
x = 2t
E3)Dadas as retas r: (x,y,z) = (1,0,2) + t(4,2,-1) e s: y = 1 − t determine:
z=3
a)um vetor diretor de r
b)um vetor diretor de s
c)dois pontos da reta r
d) dois pontos da reta s
e)a equação vetorial da reta s
f)as equações paramétricas da reta r
26
4.3. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Admitindo-se a, b e c não nulos nas equações paramétricas e isolando o parâmetro t, vem:
x − x 1 y − y1 z − z 1
=
=
a
b
c
E4)Determine as equações simétricas da reta:
a)que passa pelo ponto A(5,-3,-2) e tem a direção do vetor v = (4,-1,3)
b)que passa pelos pontos A(1,0,3) e B(3,-1,6)
c)cuja equação vetorial é (x,y,z) = (1,0,0) + t(2,7,1)
x = 1 − 2t
d)cujas equações paramétricas são y = − t
z = 3 + 5t
x+2
z
, determine:
= y −1 =
3
−4
a)um vetor diretor de r
b)dois pontos da reta r
E5)Dada a reta r:
c)a equação vetorial da reta r
d)as equações paramétricas da reta r
4.4. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA
Nas equações simétricas, escrevendo-se y como função de x e z como função de x, vem:
y = mx + n
z = px + q
E6)Determine as equações reduzidas da reta:
a)que passa pelo ponto A(0,-1,-2) e tem a direção do vetor v = (2,-3,7)
b)que passa pelos pontos A(-1,0,4) e B(2,-1,6)
c)cuja equação vetorial é (x,y,z) = (1,2,0) + t(-2,3,1)
x = 1 + 3t
d)cujas equações paramétricas são y = −2t
z = 3 − 4t
e)cujas equações simétricas são
E7)Dada a reta r:
y = 6x − 2
z = 1− x
a)um vetor diretor de r
x+2
z
= y −1 =
3
−4
, determine:
b)dois pontos da reta r
d)as equações paramétricas da reta r
c)a equação vetorial da reta r
e)as equações simétricas da reta r
27
4.5. RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS
r // Ox ⇔ v // i ⇔ r :
y = y1
r // Oy ⇔ v // j ⇔ r :
z = z1
x = x1
z = z1
r // Oz ⇔ v // k ⇔ r :
x = x1
y = y1
E8) Determine as equações da reta que passa pelo ponto A(2,4,3) e é paralela ao eixo:
a)Ox
b)Oy
c)Oz
E9) Represente graficamente as retas do E8.
Importante: Se duas componentes do vetor diretor forem nulas, a reta é paralela ao eixo correspondente a
componente não nula.
4.6. RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS
x = x 1 + at
r // xOy ⇔ v ⊥ k ⇔ v = (a,b,0) ⇔ r : y = y1 + bt
z = z1
x = x 1 + at
r // xOz ⇔ v ⊥ j ⇔ v = (a,0,c) ⇔ r : y = y1
z = z 1 + ct
x = x1
r // yOz ⇔ v ⊥ i ⇔ v = (0,b,c) ⇔ r : y = y1 + bt
z = z 1 + ct
E10) Determine as equações da reta que passa pelo ponto A(1,3,5) e tem a direção do vetor:
a) v= (2,1,0)
b) v = (0,4,3)
c) v = (-1,0,-2)
E11) Represente graficamente as retas do E10.
Importante: Se uma das componentes do vetor diretor é nula, a reta é paralela ao plano correspondente as
componentes não nulas.
4.7. ÂNGULO DE DUAS RETAS
O ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado por dois vetores diretores das retas.
r2
v2
θ
r1
cos θ =
| v 1 .v 2 |
| v1 | . | v 2 |
v1
28
, 0≤θ≤
π
2
E12)Calcule o ângulo entre as retas r1 e r2:
x = 3+ t
a) r1: y = t
z = −1 − 2t
b) r1:
y = −2 x + 1
z = 4x
e
x + 2 y−3 z
=
=
−2
1
1
r2:
e
r2:
c) r1: (x,y,z) = (0,0,1) + t(0,-3,3)
x = 3 − 2t
y = 4+ t
z=t
x =5
r2 : y = t
z = 1− t
e
4.8. RETAS PARALELAS
r1 // r2 ⇔ v1 // v 2
4.9. RETAS ORTOGONAIS
r1 ⊥ r2 ⇔ v1 ⊥ v 2
4.10. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Seja r é uma reta ortogonal à duas retas nâo paralelas r1 e r2 com vetores diretores v1 e v2.
r
r2
v =v1x v2
v2
v1
r1
Vetor diretor de r é qualquer vetor com a direção de v = v 1 x v 2 .
E13)Encontre as equações da reta r que passa pelo ponto A(-2,1,3) e é simultaneamente ortogonal às retas:
x = 2−t
x −1 z
r1:
= e y = 2 e r2: y = 1 + 2t
3
1
z = −3t
29
4.11. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS
Sejam r1 e r2 duas retas concorrentes.
r1
r2
I(x1,y1,z1)
I é a solução do sistema formado pelas equações das retas r1 e r2 .
E14)Verifique se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determine o ponto de intersecção:
a) r1:
b) r1:
c) r1:
x = 3+ t
y = 1 + 2t
z = 2− t
y = 2x − 3
z = −x
y = −3x + 2
z = 2x − 5
e
e
r2:
x = 3 + 3t
y = −7 − 2t
z = 6+t
r2:
x = −t
y = 4−t
z = 2 + 2t
e
r2:
x + 2 y −1 z
=
=
2
−6
4
E15)Sejam os pontos A(-1,1,4) e B(1,-1,3).
a) Encontre as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta r que passa por A e B.
b) Escreva as equações de uma reta paralela à reta r.
c) Escreva as equações de uma reta ortogonal à reta r.
x=t
d) Determine o ângulo entre a reta r e a reta s: y = 4
z=2
e) A reta r e a reta r1: x = y + 2 = z – 2 são concorrentes ? Em caso afirmativo determine o ponto de
intersecção das retas r e r1 .
30
4.12. RETAS COPLANARES
Duas retas são coplanares se são paralelas ou concorrentes.
π
A1
A2
u
v1
r1
v2
r3
( v1 , v2 , u ) = 0
r2
Observação: Duas retas não-coplanares são chamadas reversas
x = 5+ t
x −2 y z−5
E16) As retas r1:
e r2: y = 2 − t
= =
2
3
4
z = 7 − 2t
E17) Determine o valor de m para que as retas r1:
são coplanares ?
y = mx + 2
z = 3x − 1
x=t
e r2: y = 1 + 2t
z = −2t
sejam coplanares.
x=t
E18)Determine m para que as retas r : (x,y,z) =(1,0,2) + t(2,1,3) e s : y = 1 + mt sejam coplanares, e
z = −1 + 2 t
nesse caso estude sua posição relativa(paralelas, ortogonais ou concorrentes).
Importante: Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares.
31
4.13. RESPOSTAS
E1) a) (x,y,z) = (2,3,5) + t(1,-1,2)
b) (x,y,z) = (1,2,3) + t(-2,-3,1)
x = 4 + 2t
E2) a) y = −3 − t
z = 2 − 3t
x = 1 − 2t
b) y = − t
z = 3+ t
E3) e) (x,y,z) = (0,1,3) + t(2,-1,0)
x = 1 + 4t
b) y = 2t
z = 2− t
E4) a)
x −5 y+3 z+2
=
=
4
−1
3
b)
x −1 y z − 3
=
=
2
−1
3
E6) a)
z=
3
x −1
2
7
x−2
2
x 1
−
3 3
b)
2
14
z = x+
3
3
y=−
c)
x −1 y
= =z
2
7
3
7
x+
2
2
c)
x 1
z=− +
2 2
y=−
2
2
x+
3
3
d)
4
13
z=− x+
3
3
d) y = −2 + 6 t
e) x =
z = 1− t
E8) a)
y=4
b)
z=3
E12) a) 60o
b) 90o
c) 0o
E13)
x=2
z=3
x = −1 + 2t
E15) a) (x,y,z) = (-1,1,4) + t(2,-2,-1) ,
y = 1 − 2t ,
z = 4−t
d) arc cos
2
3
c)
x + 2 y -1 z − 3
=
=
-2
8
6
e) I(1,-1,3)
E17) m = -3
32
x=2
y=4
x −1 z − 5
=
c) − 1
−2
y=3
E14) a) I(0,-5,5)
x + 1 y -1 z − 4
=
=
,
2
-2
-1
E16) SIM
y=
y + 2 z -1
=
6
-1
y−3 z −5
=
b)
4
3
x =1
x −1
= y−3
E10) a) 2
z=5
x −1 y z − 3
=
=
−2
−1
5
x 5
+
3 3
e)
4
8
z=− x−
3
3
y=−
x=t
E7) c) (x,y,z) = (0,-2,1) + t(1,6,-1)
d)
x = −2 + 3t
d) y = 1 + t
z = −4t
E5) c) (x,y,z) = (-2,1,0) + t(3,1,-4)
y=−
x = 1 + 2t
c) y = 4
z = 5+ t
b) NÃO
c) NÃO
y = −x
z=−
x 7
+
2 2
E18) m = 0 , concorrentes
5. ESTUDO DO PLANO NO ESPAÇO ℜ
3
5.1. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Seja A um ponto de um plano π e n um vetor não nulo ortogonal a π . Um ponto P pertence a π se
→
→
os vetores n e AP são ortogonais, isto é, n.AP = 0
n = (a,b,c)
A(x1,y1,z1)
π
π : ax + by + cz + d = 0
P(x,y,z)
n: vetor normal ao plano.
E1) Determine a equação geral do plano π que :
a)passa pelo ponto A(2,3,5), sendo n = (1,-1,2) um vetor normal a π
b) passa pelo ponto A(1,-2,3) e é paralelo aos vetores v 1 = (1,1,1) e v 2 = (1,-1,2)
c) passa pelos pontos A(2,1,0) , B(1,0,2) e C(0,0,1)
d) passa pelos pontos A(2,1,0) , B(1,0,2) e é paralelo ao vetor v = (2,-1,-3)
e)contém as retas r1:
y = 2x − 1
z = x +1
x = 1− t
f)contém as retas r1: y = t
z = 3− t
e r2:
e
x −1 y +1
=
=z
2
3
r2: x – 2 = – y = z
x=2
g) passa pelo ponto A(1,0,1) e é perpendicular à reta y = 1 − t
z = 3t
5.2. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO
Sejam A um ponto de um plano π e, u e v são dois vetores não colineares paralelos a π . Se o ponto P
→
pertence ao plano π então existem dois números reais h e t, tais que AP = h.u + t.v ou P = A + h.u + t.v.
A
v
π
tv
P
u
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2)
hu
33
E2) Determine a equação vetorial do plano π que :
a) passa pelo ponto A(1,2,-1) e é paralelo aos vetores v 1 = (2,0,1) e v 2 = (-1,1,0)
b) passa pelos pontos A(1,-1,0) , B(0,1,-1) e C(1,0,1)
5.3. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO
Da equacão vetorial do plano, vem:
x = x1 + a 1h + a 2 t
y = y1 + b1 h + b 2 t
z = z 1 + c1 h + c 2 t
E3) Determine as equações paramétricas dos planos do exercício anterior.
5.4. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS
a) Se um plano π é paralelo ao eixo Ox, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor i, e portanto,
n = (0,b,c). Neste caso, a equação de π tem a forma by + cz + d = 0.
b) Se um plano π é paralelo ao eixo Oy, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor j, e portanto,
n = (a,0,c). Neste caso, a equação de π tem a forma ax + cz + d = 0.
c) Se um plano π é paralelo ao eixo Oz, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor k, e portanto,
n = (a,b,0). Neste caso, a equação de π tem a forma ax + by + d = 0.
Importante: Se uma das componentes do vetor normal é nula, o plano é paralelo ao eixo correspondente a
componente nula(a variável ausente na equação, indica o eixo ao qual o plano é paralelo).
E4) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A e B e é paralelo ao eixo:
a) Ox, sendo A(0,2,0) e B(0,0,3)
b) Oy, sendo A(2,0,0) e B(0,0,3)
c) Oz, sendo A(0,5,0) e B(-4,0,0)
E5) Represente graficamente os planos de E4.
34
5.5. PLANOS PARALELOS AOS PLANOS COORDENADOS
a) Se um plano π é paralelo ao plano xOy, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor k, e
portanto, n = (0,0,c). Neste caso, a equação de π tem a forma cz + d = 0.
b) Se um plano π é paralelo ao plano xOz, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor j, e
portanto, n = (0,b,0). Neste caso, a equação de π tem a forma by + d = 0.
a) Se um plano π é paralelo ao plano yOz, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor i, e
portanto, n = (a,0,0). Neste caso, a equação de π tem a forma ax + d = 0.
Importante: Se duas componentes do vetor normal forem nulas, o plano é paralelo ao plano correspondente as
componentes nulas(as variáveis ausentes na equação, indicam o plano coordenado ao qual o plano
é paralelo).
E6)Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A(3,1,-2) e é paralelo ao plano:
a)xOz
b)xOy
c)yOz
E7) Represente graficamente os planos de E6.
E8)Determine a equação geral do plano:
a)xOz
b)xOy
c)yOz
d) que passa pelo ponto A(1,-1,1) e é paralelo aos vetores v 1 = i − j e v 2 = i + j
5.6. ÂNGULO DE DOIS PLANOS
O ângulo entre dois planos π 1 e π 2 é a medida do ângulo entre duas retas r1 e r2, respectivamente,
perpendiculares a π 1 e π 2 .
r1
π2
π1
n1
r2
θ
θ
cos θ =
n2
Importante: π 1 // π 2 ⇔ n 1 // n 2 e π 1 ⊥ π 2 ⇔ n 1 ⊥ / n 2
35
| n 1 .n 2 |
| n1 | . | n 2 |
, 0≤θ≤
π
2
E9) Determine a medida do ângulo entre os planos π 1 : y – z + 2 = 0 e π 2 : x + y – 3 = 0
E10) Determine o valor de p de modo que os planos π 1 : x + 2y + pz - 3 = 0 e π 2 : x + py + 2z = 0 sejam:
a)paralelos
b)perpendiculares
5.7. INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS
r
π1
A intersecção dos planos π 1 e π 2 é a reta r cujas equações são
obtidas resolvendo-se o sistema formado pelas equações de π 1 e π 2
π 1 : a 1 x + b 1 y + c1 z + d 1 = 0
(1)
π 2 : a 2x + b2 y + c2z + d 2 = 0
π2
Observação: Sejam
y = mx + n
as equações reduzidas da reta r, intersecção dos planos π 1 e π 2 .
z = px + q
Cada equação de r pode ser obtida através da eliminação no sistema (1) da variável
ausente na equação.
E11)Determine as equações da reta intersecção dos planos:
a) π 1 : 2x – 3y + z – 2 = 0 e π 2 :x + 2y – 2z = 0
b) π 1 : 3x – y + z – 3 = 0 e π 2 :x + 3y + 2z + 4 = 0
5.8. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO
O ângulo φ (fi), da reta r com o plano é o complementar do ângulo entre a reta r e uma reta s
perpendicular a π , com 0 ≤ φ ≤
n
s
2
.
r
cos θ =
π
θ
v
φ
36
| v.n |
| v|.| n |
e φ = 90o - θ
E12) Determine o ângulo da reta r com o plano π :
x=t
a) r : y = 2 − t e π : x – 2 = 0
z=5
b) r:
x −1 y + 2
, z = 3 e π : x + 2y – 3z + 12 = 0
=
2
−1
c) r:
y = x−2
e π : 2x + 2y – 2z + 5 = 0
z = 1− x
5.9. INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO
r
π
I é a solução do sistema formado pelas equações da reta r e do plano π .
I(x1,y1,z1)
E13)Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π :
x = 1− t
a) r: y = 2t
e π : 2x + 3y – z + 2 = 0
b) r:
z=5
y = 2x − 1
e π : 3x – 2y + 2z – 3 = 0
z = x+2
E14)Represente graficamente os planos:
a) 2x – y + 3z – 6 = 0
b) x + 2y – 1 = 0
c) x + y + z – 2 = 0
d) x – 1 = 0
x −1 y − 4
=
,z = 3.
−2
−1
a)Determine o ponto do plano π que tem abscissa zero e ordenada igual ao triplo da cota
E15) Sejam o plano π : x –3y + 2z + 2 = 0 e a reta r:
b)A reta r está contida no plano ? Justifique.
c)Escreva as equações de uma reta que é perpendicular ao plano π
d)Encontre a intersecção do plano de equação 2x + y – 3z + 3 = 0 com o plano π
e)Encontrar o ângulo entre o plano de equação 2x + y – 3z + 3 = 0 e o plano π
y = 2−x
f)Achar a intersecção da reta s :
x − 1 com o plano π
z=
2
g)Achar a medida do ângulo da reta x = y = z com o plano π
h)Quais as posições dos planos π 1 : y – 4 = 0 e π 2 : 2x + 3z –1 = 0 em relação aos eixos coordenados ?
E16)Calcule o ponto de intersecção da reta que passa pelos pontos A(0,0,1) e B(2,8,-1) com o plano
π : x + 4y – z + 7 = 0.
37
5.10.RESPOSTAS
E1) a) x – y + 2z – 9 = 0
e) – x + y – z + 2 = 0
b) 3x – y – 2z + 1 = 0
c) x – 3y – z + 1 = 0
f) 3x + 4y + z – 6 = 0
g) y – 3z + 3 = 0
E4) a) 3y + 2z – 6 = 0
b) 3x + 2z – 6 = 0
d) 5x + y + 3z – 11 = 0
c) 5x – 4y + 20 = 0
E6) a) y – 1 = 0
b) z + 2 = 0
c) x – 3 = 0
E8) a) y = 0
b) z = 0
c) x = 0
d) z – 1 = 0
E9) 60o
E10) a) p = 2
b) p = −
5x
−1
4
E11) a)
7x
z=
−1
4
b)
E12) a) 45o
b) 0o
y=
E13) a) I
3 1
, ,5
4 2
6 2
E15) a) 0, ,
7 7
f) (1,1,0)
1
4
y = x−2
z = −2 x + 1
c) 90o
b) I(-3,-7,-1)
12
7
d)
11
z = x+
7
h) π 1 ⊥Oy e π 2 // Oy
y=x+
b) NÃO
g) 0o
1 4 4
E16) − ,− ,
3 3 3
38
e) 60o
6. DISTÂNCIAS
6.1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
A distância entre dois pontos A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) é
d(A,B) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2
E1) Determine no eixo das cotas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,2) e B(2,4,-3).
6.2. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
A distância de um ponto P a uma reta r é d(P,r) =
| v x AP |
|v|
P
d
A
r
v
E2) Determine a distância do ponto P(1,-3,2) à reta r:
y = 2x − 1
z = −2 x + 3
6.3. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO
P
d
n
→
→
→
d(P, π ) = | AP | e AP é a projeção de BP sobre n .
→
π
B
→
d(P, π ) = BP.
A
d(P, π ) =
Para P(xo,yo,zo) , n =(a,b.c) e B(x,y,z) :
n
.n =
n.n
n
2
BP .n
=
| ax o + by o + cz o + d |
E3)Determine a distância do ponto P(1,-3,2) ao plano π : 2x – 4y + 4z – 4 = 0
39
→
BP. n . n
a 2 + b2 + c2
n
6.4. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
A distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma das retas à outra.
E4) Determine a distância entre as retas r:
y = 2x − 1
z = −2 x + 3
e s: x =
y−3 z−2
=
2
−2
6.5. DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PLANO
Dada uma reta r paralela a um plano π , a distância entre uma reta r e o plano π é a distância de
qualquer ponto da reta r ao plano π .
E5) Determine a distância entre a reta r:
y = 2x − 1
z = −2 x + 3
e o plano π : 4x + y + 3z – 1 = 0
6.6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS
Dados dois planos paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto de um dos planos ao
outro.
E6)Determine a distância entre os planos π 1 : 2x – y + 3z – 1 = 0 e π 2 : 2x – y + 3z + 3 = 0
6.7. RESPOSTAS
E1) (0,0, −
3
)
2
E2)
53
3
E3) 3
E4)
53
3
40
E5)
7 26
26
E6)
2 14
7
7. SUBESPAÇO VETORIAL
7.1. INTRODUÇÃO
Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que
sejam também, espaços vetoriais.
1. SUBESPAÇO VETORIAL
Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também
espaço vetorial com as mesmas operações definidas em V.
Como S ⊂ V , os axiomas A1 , A2 , M1 , M2 , M3 e M4 , da definição, são verificados pois todos os vetores de
S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os axiomas A3
e
também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaixo.
2. SUBESPAÇO VETORIAL
Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse:
i) ∀u , v ∈ S , u + v ∈ S
ii) ∀ α ∈ ℜ
, ∀u ∈ S
, α u ∈S
E1) Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.
{
}
a) S = ( x , y) ∈ ℜ2 / y = 2 x ; V = ℜ
b) S=
{(x , x + 1) / x ∈ ℜ} ;
{
c) S = ( x , y, z) ∈ ℜ3 / y = x
V= ℜ
e
2
2
}
z = −x ; V = ℜ 3
{
}
ℜ3
d) S = ( x, y, z) ∈ ℜ3 / 2 x + y − z + 1 = 0 ; V =
{
}
e) S = ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / x + y − z = 0 ; V = ℜ
3
Importante:
a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V.
O subespaço {0} é chamado de subespaço nulo.
b) Qualquer reta do ℜ 2 que passa pela origem é um subespaço vetorial do ℜ 2 e qualquer reta do
passa pela origem é um subespaço vetorial do ℜ .
3
c) Qualquer plano do
ℜ 3 que passa pela origem é um subespaço vetorial do ℜ 3 .
41
ℜ 3 que
A4
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO
ℜ2
a) Triviais: ℜ e {(0,0)}
b) Não triviais: S = ( x, y) ∈ ℜ 2 / Ax + By = 0 (retas que passam pela origem)
2
{
}
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO
ℜ3
a) Triviais: ℜ e {(0,0,0)}
b) Não triviais: S = ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / y = mx e z = px ou S = ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / ax + by + cz = 0 ( retas e planos
que passam pela origem)
3
{
}
{
}
E2)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.
{
}
a) S = ( x, x 2 ) / x ∈ ℜ ; V= ℜ
2
b) S é o conjunto solução do sistema
c) S = {( y + 1, y ) / y ∈ ℜ} ; V = ℜ
y−x =1
x − y = −1
;V= ℜ
2
2
d) S = {( x ,2 x , z) / x , z ∈ ℜ} ; V = ℜ3
e) S = {(z,− z, z) / z ∈ ℜ} ; V = ℜ
3
f) S = {( x , y, x − y) / x , y ∈ ℜ} ; V = ℜ 3 .
{
}
g) S = ( x, y) ∈ ℜ 2 / x ≥ 0 e y ≥ 0 ; V = ℜ
2
7.2. RESPOSTAS
E1) a) Sim
b) Não
c) Sim
d)Não
E2) a) Não
b) Não
c) Não
d) Sim
e) Sim
e)Sim
42
f) Sim
g) Não
8. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
E1) Sejam os vetores v 1 = (2,−1,2) , v 2 = (0,3,−2) e v 3 = (4,2,0) .
a) Determine os vetores do ℜ3 que podem ser escritos como CL dos vetores v1 , v 2 e v3 .
b) Determine os vetores do ℜ3 que podem ser escritos como CL dos vetores v 3 e v 4 = (2,1,0) .
Sejam A = {v1 , v 2 ,.., v n } um
conjunto
de vetores de um
espaço vetorial V , e
S = {v ∈ V / v = a 1v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n , a i ∈ ℜ} . O conjunto S também representado por G(A)
ou [ v1 , v 2 ,..., v n ] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores v1 , v 2 ,..., v n .
E2) Se V = ℜ2 , determine o subespaço gerado por:
(Quais são os subespaços do ℜ 2 ? Veja página 42 )
a) v 1 = (1,2)
b) v 1 = (1,−2) e v 2 = (−1,2)
d) v 1 = (1,2) , v 2 = (1,1) e v 3 = ( −1,1)
c) v 1 = (1,0) e v 2 = ( 2,2)
e) v 1 = (1,2) e v 2 = (0,−1)
E3) Se V = ℜ 3 , determine o subespaço gerado por:
(Quais são os subespaços do ℜ 3 ? Veja página 42)
a) v 1 = (1,3,2)
b) v 1 = (1,3,2) e v 2 = (−2,−6,−4)
d) v 1 = (1,−1,1) , v 2 = (−2,2,−2) e v 3 = (1,1,1)
c) v 1 = ( −1,1,2) e v 2 = (1,1,1)
e) v 1 = (1,0,0) , v 2 = (0,2,0) e v 3 = (0,0,3)
f) v 1 = (1,1,0) , v 2 = (0,1,1) , v 3 = (1,1,1) e v 4 = (2,0,−1)
8.1. RESPOSTAS
E1) a) ∀v ∈ ℜ 3
{
b) v=(2y,y,0) , y ∈ ℜ
E2) a) ( x, y) ∈ ℜ 2 / y = 2x
}
{
b) ( x, y) ∈ ℜ 2 / y = −2 x
{
E3) a) ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / y = 3x e z = 2x
{
}
c) ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / x − 3y + 2z = 0
}
}
c) ℜ 2
d) ℜ 2
{
e) ℜ 2
b) ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / y = 3x e z = 2x
{
d) ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / z = x
43
}
e) ℜ 3
}
f) ℜ 3
9. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
9.1. INTRODUÇÃO
Em nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de
vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência e
independência linear.
Sejam os vetores v1 , v 2 ,..., v n de um espaço vetorial V e a equação a 1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n = 0 (1).
Os vetores v1 , v 2 ,..., v n são linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita apenas a
solução trivial a 1 = a 2 = ... = a n = 0 .
Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, isto é, a 1 ≠ 0 , então os vetores v1 , v 2 ,..., v n são
linearmente dependentes (LD).
E1) Verifique se os vetores são LI ou LD.
a) v1 = (1,2,3) e v 2 = (−2,−4,−6)
b) v1 = (0,1,2) , v 2 = (1,2,3) e v 3 = (1,3,0)
c) v1 = (1,−1,2) , v 2 = (2,0,3) e v 3 = (0,−2,1)
9.2. PROPRIEDADES
a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais.
b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD.
E2) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação
ℜ2
y
v3
v1
v4
0
a) 0 é LD
v2
b) v1 é LI
x
c) v 2 e v 4 são LD
d) v1 e v 2 são LI
f) v1 , v 2 , v 3 e v 4 são LD
44
e) v1 , v 2 e v 3 são LD
E3) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação.
z
v5
v3
0
v1
v2
v4
x
a) 0 é LD
xoy
b) v1 é LI
f) v1 , v 2 e v3 são LI
y
c) v 3 e v 5 são LD
g) v1 , v 2 , v3 e v 4 são LD
d) v1 e v 3 são LI
e) v1 , v 2 e v 4 são LD
h) v1 , v 2 , v3 , v 4 e v5 são LD.
E4) Complete a tabela abaixo:
número de vetores
LD
1
ℜ2
2
3 ou mais
1
ℜ3
2
3
4
ou
mais
9.3. RESPOSTAS
E1) a) LD
b)LI
c) LD
45
LI
10. BASE E DIMENSÃO
10.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, os
menores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear
de um deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores
que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial
V e o número de vetores desses conjuntos de dimensão de V.
10.2. BASE
Seja B = {v1 , v 2 ,...v n } um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se:
a) B é LI;
b) B gera V.
E1) Sejam os vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do ℜ 2 .
a) B = { v1 }
b) B = { v1 , v 2 }
c) B = { v1 , v 2 , v 3 }
d) B = { v1 , v 3 }
E2) Sejam os vetores v1 = (1,2,0) , v 2 = (0,1,1) , v 3 = (−1,0,0) e v 4 = (1,1,−1) .Verifique se B é uma base do ℜ 3 .
a) B = { v1 }
b) B = { v 1 , v 2 }
c) B = { v1 , v 2 , v 3 }
d) B = { v1 , v 2 , v 4 }
e) B = { v1 , v 2 , v 3 , v 4 }
E3) Seja o conjunto B = {(1,-3,-2),(2,-1,1)}.
B é LI ou LD ? B é uma base do ℜ 3 ? Qual é o subespaço S do ℜ 3 gerado por B ? B é uma base de S ?
10.3. PROPRIEDADES
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado.
E4) Seja o conjunto B do exercício E3 anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S , o
o conjunto resultante será LI ou LD?
2. Se B = { v1 , v 2 ,..., v n } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de
“n” vetores é LD.
46
3. Se B = { v1 , v 2 ,..., v n } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo
único como combinação linear dos vetores de B, isto é, existe uma única n-upla ( a1 , a 2 ,..., a n ), tal que
a 1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n = v .
4. Todas as bases de um espaço vetorial V, têm o mesmo número de vetores.
Exemplo: Qualquer base do ℜ 2 tem 2 vetores e qualquer base do ℜ 3 tem 3 vetores.
10.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V.
Exemplo: dim ℜ 2 = 2 e dim ℜ 3 = 3
A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V.
Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de “n” vetores de V é uma base de V.
E5) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:
{
}
{
}
a) S1 = ( x, y) ∈ ℜ 2 / y = 2x
b) S 2 = ( x, y) ∈ ℜ 2 / y = − x
{
}
c) S 3 = ( x, y, z) ∈ ℜ 3 / 2x − y − z = 0
E6) Determine um vetor “u”, tal que B= {u,(1,0,2),(0,1,1)} seja uma base do ℜ 3 .
E7)Encontre uma base para o ℜ
3
que inclua:
a) (-1,2,0)
b) (-1,2,0) e (1,0,3)
10.5. RESPOSTAS
E1) a) Não
b) Não
c) Não
d) Sim
E2) a) Não
b) Não
c) Sim
d) Não
E3) LI, Não, S = { (x,y,z) ∈ ℜ 3 /x + y – z = 0}, Sim
E4) LD
E5) a) 1
b) 1
c) 2
47
e) Não
11. ORTOGONALIDADE
11.1. VETORES ORTOGONAIS
Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v=0 .
u ⊥ v ⇔ u.v = 0
E1) Verifique se os vetores do espaço vetorial V são ortogonais
a)
u = (-1,2) , v = (2,1) , V = ℜ 2
b) u = ( -1,3,-4), v = (2,-2,1), V = ℜ 3
11.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL
Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais, isto é
vi.vj = 0 para i ≠ j.
Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários,
isto é vi.vj =0 para i ≠ j e vi.vj = 1 para i=j.
E2)Construa uma base ortogonal do ℜ 2 .
E3)Construa uma base ortonormal a partir da base considerada no exercício E2.
E4)Repita os exercícios E2 e E3 para o ℜ 3 .
Nos exercícios E5 a E8, considere V= ℜ 3 .
E5)Determine o vetor v3 de modo que B={v1=(2,-2,1), v2=(1,2,2),v3} seja uma base ortogonal.
E6)Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E5.
E7)Determine os vetores v2 e v3 de modo que B={v1=(1,2,-1),v2,v3} seja uma base ortogonal.
E8)Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E7.
E9)Determine uma base ortogonal para cada um dos seguintes subespaços:
a)
S={(x,y,z) ∈ ℜ 3 / x-y+z = 0}
b)
S={(x,y,z) ∈ ℜ 3 / z=2x }
E10)Construa bases ortonormais para os subespaços do exercício E9.
11.3. RESPOSTAS
E1) a) SIM
b) NÃO
48
12. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
12.1. INTRODUÇÃO
As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são
espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes são
vetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a
multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física,
Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática.
12.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL) , se
i) f(u+v) = f(u) + f(v) , ∀u , v ∈ V
ii) f( α u) = α f(u), ∀α ∈ ℜ e ∀u ∈ V
No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V.
E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares. .
a) f: ℜ → ℜ , dada por f(x) = 2x
b) f: ℜ 2 → ℜ 2 , dada por f(x,y) = (x ,0).
E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?
a) f(x)= 2x + 1
b)f(x,y) = xy
c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z )
d)f(x,y) = | x+y |
E3) Numa TL. f: V → W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule :
a) f(u+v)
b) f(3u)
c) f(u -v)
d) f(2u+5v)
PROPRIEDADES
a) Se f: V → W é uma TL então f(0V) = 0W.
b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação
linear das
imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn).
E4) Seja f: ℜ3 → w a projeção ortogonal do ℜ3 sobre o plano xy, indicado por w .
a)Encontre a f(x,y,z)
b)Determine f (2,-1,3)
E5) Se f: ℜ2 → ℜ3 é linear e u=(1,2), v=(-1,3), f(u)= (2,-1,-2) e f(v)=(-2,-4,-3) calcule:
a) f(u+v)
b) f(3u)
c) f(2,4)
49
d) f(2u-3v)
12.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA
2 −1
x
Seja a matriz A= 3 0 . Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v =
,
y
5 −4
2x − y
por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av = 3x
. Logo, a matriz A define uma transformação
5x − 4 y
f: ℜ2 → ℜ3 , onde f(v)= A.v ou f(x,y) = (2x-y,3x,5x-4y). Pode-se mostrar que essa transformação é linear.
Toda matriz Amxn define uma TL f: ℜn → ℜ m , com f(v)= A.v. Neste caso, A é chamada matriz natural
ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f]. As linhas de A são, respectivamente,
os coeficientes das componentes da imagem de f.
E6) Seja a matriz A=
1
2
−3
4 5
3
a) a lei da TL definida por A.
, determine :
b) a imagem de v=(1,-1,1), usando a matriz A.
c) a imagem de v=(1,-1,1), usando a lei.
d) o vetor u , tal que f(u)=0
E7) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y)=(x+2y,x-y,3x-5y)
E8) Escreva a matriz natural associada a transformação linear :
a)f(x,y,z)=(x+y-z,0)
b)f(x)=(2x,0,-x)
c)f(x,y)=x+y
E9) Um operador linear no ℜ2 é definida pela matriz [f ] =
a) f(u)=u
−1 2
0 1
−1 1
2
1 − 2 − 1 . Determine v e w tal que:
1
0
−3
b) f(w) = (2,-1,-3)
E11)Um operador linear é definido pela matriz A=
a) Av = 5v
. Determine u e v , tal que :
b) f(v)=-v
E10)Um operador linear no ℜ3 é definido pela matriz A =
a) f(v) = 0
d)f(x)=3x
2 1
3 4
b) Au = -2u
. Determine v ≠ 0 e u ≠ 0 tal que:
12.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA
Uma TL f está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica
do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da
matriz canônica de f.
50
E12) Seja f: ℜ2 → ℜ3 a TL definida por f(1,0) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4,-3). Determine:
a) f(5,4)
b) f(x,y)
c) f(5,4) pela lei
E13) Seja f: ℜ3 → ℜ 2 a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre
f(x,y,z) e [f].
E14) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f].
E15) Seja f a TL definida por f(1,0,0) = (1,0), f (0,1,0) = (2,-1) e f(0,0,1) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f].
12.5. COMPOSTA DE DUAS TL
Sejam f1: V → W e f2: W → U transformações lineares. A composta de f2 com f1 é a TL f2of1: V → U
definida por (f2of1)(v) = f2(f1(v)).
W
w=f1(v)= [f1].v
f1
[f1]
[f2]
V
v
f2of1
[f2of1] = [f2]. [f1]
f2
U
u= f2(w)= [f2].[f1].v
Importante:
A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.
E16) Sejam os operadores lineares definidos por f1(x,y) = (3x+y , y-x) e f2(x,y) = (2x-y , 3x).
a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
E17) Sejam as TL dadas por f1(x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f2(x,y,z) = ( x-y , y-z). Determine:
a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
51
12.6. RESPOSTAS
E2) a) Não
b) Não
c) Sim
d) Não
E3) a) 2u + 3v
b) 6u
c) 2u – 3v
d) 4u + 15v
E4) a) (x,y,0)
b) (2,-1,0)
E5) a) (0,-5,-5)
b) (6,-3,-6)
c) (4,-2,-4)
d) (10,10,5)
E6) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z)
1
2
E7) A = 1 − 1
3 −5
E8) a) A =
E9) a) (y , y) , y ∈ ℜ
b) (-4,2)
1
1 −1
0 0
b) A =
0
2
0
d) (-7z,5z,z) , z ∈ ℜ
c) A = [1 1]
d) A =[3]
−1
b) (x , 0) , x ∈ ℜ
E10) a) (3z , z , z) , z ∈ ℜ
b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z ∈ ℜ
E11) a) (x , 3x) x ∈ ℜ
b) NE
E12) a) (7 , 26 , -7)
c) (-4,2)
b) f(x,y) = (3x – 2y , 2x + 4y , x – 3y)
E13) f(x,y,z) = (2x – 4y –2z , 3x + y – z )
[f]=
c) (7 , 26 , -7)
2 −4 −2
3
1
−1
3 4
E14) f(x,y) = (3x + 4y , -2x , x + 2y)
[ f ] = −2 0
1 2
E15) f(x,y,z) = (x + 2y + 4z , – y + 3z )
E16) ) a)
2
E17) a) 1
9 −3
1
1
e
7 1
9 3
[f]=
1 2 4
0 −1 3
b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)
1 −3
0
2 −2
1 2
−1 e
−1 1
0
b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)
52
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
13.1. INTRODUÇÃO
Nesta secção, apresentaremos alguns operadores lineares f : ℜ 2 → ℜ 2 utilizados na
computação gráfica bidimensional. A computação gráfica tem importante papel nas áreas
de videogames e de efeitos especiais para a indústria cinematográfica.
E1) Seja o operador linear f definido por f(1,0) = (-2,5) e f(0,1) = (3,4). Encontre f(x,y) e [f].
13.2. REFLEXÕES
1. Reflexão em relação ao eixo das abscissas.
y
e2
f(e1)=e1
o
x
f(e2)=-e2
f(e1) = (1,0) f(e2) = (0,-1)
[f] =
1
0
0 −1
,
f(x,y) = ( x,-y)
,
f(x,y) = (-x,y)
2. Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
y
f(e2)=e2
f(e1)=-e1
o
e1
x
f(e1) = (-1,0) f(e2) = (0,1)
[f] =
−1 0
0 1
E2) Esboce a imagem do ponto P(-2,3), através de:
a) reflexão em torno do eixo x;
b) reflexão em torno do eixo y;
3. Reflexão em relação à origem
y
e2
f(e1)=-e1
o
e1
x
f(e2)=-e2
f(e1) = (-1,0) f(e2) = (0,-1)
[f] =
−1 0
0 1
53
,
f(x,y) = (-x,-y)
4. Reflexão em relação à reta y = x.
y
f(e1)=e2
o
f(e2)=e1
x
f(e1) = (0,1) f(e2) = (1,0)
[f] =
0
1
1
0
,
f(x,y) = (y,x)
5. Reflexão em relação à reta y = -x.
y
f(e2)=-e1 o
e2
e1
x
f(e1)=-e2
f(e1) = (0,-1) f(e2) = (-1,0)
[f] =
0 −1
,
0
−1
f(x,y) = ( -y,-x)
E3) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) reflexão em torno da origem;
b) reflexão em torno da reta y=x;
c) reflexão em torno da reta y=-x.
E4) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de uma
reflexão em relação à reta y=-x.
54
13.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES
1. Dilatação e Contração de fator α
Contração: 0 ≤ α < 1
y
e2
f(e2)
o f(e1) e1
x
f(e1) = αe1
f(e2) = αe 2
f(e1) = αe1
f(e2) = αe 2
Dilatação: α >1
y
f(e2)
e2
o
e1 f(e1)
x
f(e1) = ( α ,0) f(e2) = (0, α )
[f] =
α
0
0 α
f(x,y) = ( αx , αy )
,
2. Dilatação e Contração na direção do eixo das abscissas.
y
f(e2)=e2
o
y
f(e2)=e2
e1 f(e1) x
o f(e1)
α >1
f(e1) = ( α ,0) f(e2) = (0,1)
e1
x
f(e1) = αe1
0 ≤α <1
[f] =
55
α
0
0
1
,
f(x,y) = ( αx ,y)
3. Dilatação e Contração na direção do eixo das ordenadas.
y
y
f(e2)
e2
e2
o
f(e1)=e1
f(e2)
o
x
α >1
f(e1) = (1,0) f(e2) = (0, α )
1
[f] =
f(e1)=e1
0 ≤α <1
0
,
0 α
x
f(e2) = αe 2
f(x,y) = (x, αy )
E5) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) contração de fator 1/2 na direção x;
b) dilatação de fator 2 na direção x;
c) contração de fator 1/3 na direção y;
d) dilatação de fator 3 na direção y.
E6) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo y, seguida de uma
reflexão em relação à reta y=x e, finalmente uma dilatação de fator 3 na direção x.
13.4. CISALHAMENTOS
1. Cisalhamento na direção do eixo das abscissas
y
e2
f(e2)
o α f(e1)=e1
x
f(e1) = (1,0) f(e2) = ( α ,1)
[f] =
1 α
,
0 1
f(x,y) = (x+ α y,y)
2. Cisalhamento na direção do eixo das ordenadas.
y
f(e2)=e2
α
o
f(e1)
e1
x
f(e1) = (1, α ) f(e2) = (0,1)
[f] =
56
1
0
α
1
,
f(x,y) = (x, αx +y)
E7) Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:
a) cisalhamento por um fator 3 na direção x;
b) cisalhamento por um fator 1/2 na direção x;
c) cisalhamento por um fator 2 na direção y;
d) cisalhamento por um fator 1/3 na direção y.
E8) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de uma
dilatação de fator 2 na direção y e, finalmente um cisalhamento de fator 3 na direção y.
13.5. ROTAÇÕES
1. Rotação no sentido anti-horário.
y
e2
f(e2)
f(e1)
θ
θ
o
e1
x
f(e1) = ( cos θ , sen θ ) f(e2) = ( − sen θ , cos θ )
f θ ( v) = [f θ ].v, onde [f θ ] =
cos θ
− sen θ
sen θ
cos θ
, 0 ≤ θ < 2π
2. Se θ < 0(sentido horário) considera-se o ângulo - θ .
y
e2
f(e2)
θ
o
θ e1
x
f(e1)
[f (−θ ) ] =
f(e1) = ( cos θ ,- sen θ ) f(e2) = ( sen θ , cos θ )
cos θ
sen θ
− sen θ
cos θ
E9) Ache a matriz que gira um ponto do plano em torno da origem um ângulo de:
a) 450
b) -600
E10)Esboce a imagem do vetor:
a)v=(2,4) através de uma rotação de 900
b)v=(3, 3 ) através de uma rotação de –300.
57
E11) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) reflexão em torno do eixo x;
b) reflexão em torno do eixo y;
E12) Esboce a imagem da reta y=2x, através de:
a) relexão em torno do eixo das abscissas
b) reflexão em torno da origem;
c) reflexão em torno da reta y=x;
d) reflexão em torno da reta y=-x.
E13) Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:
a) contração de fator 1/3 na direção x;
b) dilatação de fator 2 na direção x;
c) contração de fator 1/2 na direção y;
d) dilatação de fator 3 na direção y.
E14) Seja o triângulo de vértices A(0,0), B(2,0) e C(0,2). Esboce a imagem do triângulo através de uma
contração de fator 1/2 na direção y, seguida de uma reflexão em relação ao eixo x e, finalmente
um cisalhamento de fator 1/2 na direção x.
E15) Determine, em cada item, a matriz que representa a seqüência de operações indicada:
a) efetuar uma rotação de 300, depois cisalhar por um fator –2 na direção y; e finalmente dilatar por
um fator 3 na direção y.
b) comprimir por um fator 1/2 na direção x; a seguir dilatar num fator 5 na direção y.
c) refletir em torno de y=x; a seguir, girar um ângulo de 1800.
E16) Ache a matriz de cisalhamento na direção x que transforma o triângulo de vértices (0,0),(2,1) e (3,0)
num triângulo retângulo cujo ângulo reto está na origem.
y
3
2
-1
0
2
3
x
E17)Encontre a figura resultante das imagens dos vértices da figura acima através de:
a)reflexão em torno do eixo x;
b) reflexão em torno do eixo y;
c) reflexão em torno do eixo y;
d) contração por um fator 1/2;
e) dilatação de fator 2;
f) contração por um fator 1/2 na direção do eixo x;
g) dilatação por um fator 2 na direção do eixo y; h) cisalhamento por um fator 2 na direção do eixo x;
i) rotação de 450;
j) rotação de -900.
58
13.6. RESPOSTAS
E1) f(x,y) = (-2x + 3y , 5x + 4y ) e [f] =
E2) a)
v
-2
f(v)
E3) a)
−2
3
5
4
y
3
y
3
b)
v
0
x
f(v)
-2
0
2
x
y=x
c)
y= -x
-3
y
b)
y
v=(2,1)
x
0
f(v)=(1,2)
v=(2,1)
x
0
f(v)=(-2 ,-1)
E4)
E5)
y
v=(2,1)
x
0
f(v)=(-1,-2)
0 1
−1 0
a) y
f(v)=(1,1) v=(2,1)
0
d)
x
y
b)
y
v=(2,1)
c)
f(v)=(4,1)
0
y
v=(2,1)
x
f(v)=(2,1/3)
x
0
f(v)=(2,3)
v=(2,1)
0
E6)
x
0 3
−1 0
E7) a)
y
b)
1
0
y
1
1
2
3
4
5
x
0
59
1/2
1
3/2
2
5/2
x
c) y
5
d)
y
4
5/3
1
2/3
1
0
E8)
1
1
2
x
0
1
2
x
0
3 −2
E9) a)
E10)
2
2
2
2
−
2
2
b)
2
2
−
a)
1
2
3
2
3
2
1
2
y
b)
y
v=(2,4)
f(v)=(-4,2)
v=(3, 3 )
f(v)=( 2 3 ,0)
0
E11)
E12)a)
a)
y
v
0
-1
2
f(v)
y
2
-1
0
b)
1
s=f(r)
x
-2
r
0 1
y
f(v)
x
x
b)
1
v
0
2
y
2
x
-1
f(r) = r
0 1
-2
60
x
x
c)
y
r
f(r)=s
0
s: y=x/2
d)
y=x
x
E13) a) y
1
c)
2/3 2
x
d)
r
f(r)=s
0
x
y
1
0
y
y
s: y=x/2
b)
0
y= -x
2
4
x
y
3
1
1/2
1
0
E14)
2
x
0
2
x
y
2
1
0
1
2
x
(-1/2 ,-1)
E15) a)
E16)
3
2
3−6 3
2
−
1
2
6+3 3
2
1
b) 2
0
0
5
1 −2
0
1
61
c)
0 −1
−1
0
14. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS
14.1. INTRODUÇÃO
Em muitos problemas aplicados, apresenta-se um operador linear f e a necessidade de
encontrar os escalares para os quais a equação f(v) = λ v possui soluções não-nulas. Tais
questões aparecem em aplicações envolvendo vibrações, em aerodinâmica, elasticidade,
física nuclear, mecânica, engenharia, biologia e equações diferenciais.Outra aplicação
importante é a classificação de cônicas e quádricas. Nela, vetores e valores próprios
são usados para encontrar mudanças de referencial que permitam identificar quais as
figuras geométricas que representam certas equações no plano e no espaço.
Seja f:V → V um operador linear. Um vetor não-nulo v ∈ V é chamado vetor próprio ou autovetor de f
se existe
λ ∈ ℜ , tal
que f(v) = λ v. O real
λ
é chamado valor próprio ou autovalor de f associado ao
vetor próprio v.
E1) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e os valores próprios correspondentes do
operador linear f.
y
f(v2)
v3
f(v3)
v1
v2
0
x
f(v1)
E2) Mostre que se v é um vetor próprio de um operador linear f associado ao valor próprio λ então qualquer
vetor α v, com α ≠ 0 , é também vetor próprio associado ao mesmo λ .
E3) Sejam v1 = (2,3) e v2 = (1,-1) vetores próprios de um operador linear associados aos λ 1 = 4 e λ 2 = -1,
respectivamente. Encontre:
a) f(4 , 6)
b) f(2 , -2)
c) f(2/3 , 1)
d) f(1/2 , -1/2)
E4) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A, em caso afirmativo, determine o valor próprio
correspondente.
a) v = (5 , 2) , A =
4 5
2 1
b) v = (1 , 2) , A =
62
1 2
3 2
14.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS
Seja f:V → V um operador linear e [f] = A.
Valores próprios:
f(v) = λ v
⇔ A.v = λ v
A.v - λ v = 0
A.v - λ I.v = 0
(A - λ I).v = 0
O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v ≠ 0 , se det(A - λ I) = 0 (1).
A equação (1) é chamada “equação característica de f ” e suas raízes são os valores próprios de f.
Vetores próprios:
Os vetores próprios são as soluções da equação (A - λ I).v = 0 para cada valor próprio encontrado.
Exemplo: Encontre os valores e vetores próprios do operador linear definido por f(x,y) = (3x,4x+y).
Solução:
Cálculo dos valores próprios :
det(A - λ I) = 0
A=
3 0
4 1
det(A - λ I) =
3−λ
0
4 1− λ
A- λI=
3−λ 0
= 0 ⇔ λ 2 − 4λ + 3 = 0 ,
4 1− λ
λ 1= 1 ou λ 2= 3
Cálculo dos vetores próprios:
(A - λ I).v = 0
Para λ 1= 1 e v = (x,y)
(A - λ I).v = 0 ⇔
2 0
4 0
.
x
y
=
0
v = (0,y) com y ≠ 0
,
0
Para λ 2=3 e v = (x,y)
(A - λ I).v = 0 ⇔
0
0
4 −2
.
x
y
=
0
0
,
v = (x,2x) com x ≠ 0
63
E5) Calcule os valores e vetores próprios :
a)
do operador linear definido por f(x,y) = (4x + 5y , 2x + y)
b) do operador linear definido por f(x,y) = (x + 2y , 3x + 2y)
c)
do operador linear definido por f(x,y,z) = (x , -2x - y , 2x + y + 2z)
0 0 0
d) da matriz A = 0 0 9
0 4 0
3 2 1
E6) Sabendo que λ = 2 é valor próprio de A = 1 4 1 calcule os vetores próprios
1 2 3
correspondentes.
14.3. RESPOSTAS
E1) v1=(2,2) , λ 1 = −1 e v2=(4,2) , λ 2 = 2
E3) a) (16,24)
E4) a) Sim
λ=6
b) (-2,2 )
c) (8/3,4)
d) ( -1/2 , 1/2 )
b) Não
E5) a) λ1 = −1 , v 1 = ( x ,− x ), x ≠ 0 e λ 2 = 6 e v 2 = (5t,2 t ) , t ≠ 0
b)
λ1 = −1 , v1 = ( x ,− x ), x ≠ 0 e λ 2 = 4 e v 2 = (2t ,3t ) , t ≠ 0
c)
λ1 = −1 , v 1 = (0, − 3z, z), z ≠ 0 e λ 2 = 1 e v 2 = (− z, z, z) , z ≠ 0 e λ 3 = 2 , v 3 = (0,0, z ), z ≠ 0
d) λ1 = −6 , v 1 = (0, 3t ,−2 t ), t ≠ 0 e λ 2 = 0 e v 2 = ( x ,0,0) , x ≠ 0 e λ 3 = 6 , v 3 = (0,3t ,2 t ), t ≠ 0
E6)
v= (x ,y ,- x - 2y) com x e y não simultaneamente nulos
64
15. APÊNDICE
15.1. MATRIZES
Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno,
revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas
propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear.
Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares,
mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações
lineares.
E1) Construa uma matriz:
a) Retangular (mxn, com m ≠ n )
b) Linha(mxn, com m = 1)
d) Nula(a i j = 0, para quaisquer i e j)
c) Coluna(mxn, com n = 1)
e) Quadrada(mxn, com m = n)
E2) Identifique a ordem(mxn) de cada matriz do exercício E1.
E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos a i j .
E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A, isto é A = [a i j ] e –A = [-a i j ] ) de cada matriz de E1.
E5) Construa a matriz
A= [aij]mxn
tal que:
0,se i < j
a) m = n = 4
e a i j = 1,se i = j
b) m = 2, n = 3
e a i j = (− 1)i + j (i − j)3
2,se i > j
E6) No exercício E5a, identifique a diagonal principal(a i j , tal que i = j) e a diagonal secundária(a i j , tal que
i + j = n + 1).
E7) Escreva uma matriz diagonal (D=[aij] nxn e a ij =0 se i ≠ j) de ordem 3.
E8) Escreva a matriz identidade ( I n =[aij] nxn , a ij =
1,se i = j
) para n = 4.
0,se i ≠ j
E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij] nxn , a ij =0 se i>j) de ordem 3.
E10)Escreva uma matriz triangular inferior ( A=[aij] nxn , a ij =0 se i<j) de ordem 4.
65
E11) Encontre
a) A =
x, y, z e w de forma que A=B(A=[aij] , B=[bij], aij = bij ), tal que sendo:
− 22
1
sen 300
3− 2
42
b) A =
50
13
3z + 2 w
,
4
4x + y
8
E12) Dadas as matrizes A =
,
1
−2
B=
B=
x
y
z
w
1
2
4
4x + 5y
9
7
2z + 3w
2 0
−2 1 3
,B=
4 5
− 5 0 −1
e C=
1 −1
(Se A=[aij] e B=[bij] são
3 −2
matrzes de mesma ordem, então A + B =[aij + bij] , A – B =[aij – bij] e α.A =[ α.aij ], sendo α uma
constante), determine a matriz:
a) A + 2B + (-A) + (-B)
b) A – B +
B−A
2
c) 3( C – 2I 2 )
15.1.1. PROPRIEDADES
1. Propriedades da Adição
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) A + O = A
d) A + (– A) = O
sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem
2. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real
a) (αβ)A = α(βA)
b) α(A + B) = αA + αB
c) (α + β)A = αA + βA
d) 1A = A
sendo A e B matrizes de mesma ordem e α,β ∈ℜ
66
2
E13) Sejam as matrizes A = 3
1
−1
−3
5
0
1 1 −1
1
4 ,B= 2 0
2 e C=
−2
−1
3 −1 4
2
3
4
1
( Se A=[aij] e B=[bij] são
matrzes de ordem mxn e nxp, respectivamente, então A. B =[cij ] , tal que cij é a soma dos produtos dos
elementos correspondentes da linha de ordem i da A com a coluna de ordem j de B), determine:
a) A.B
b) A.C
c) C.A
d) (A – I 3 ). (B + I 3 )
3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes
a) ABC = (AB)C = A(BC)
b) A(B+C) = AB + AC
c) (A+B)C = AC + BC
d) α(AB) = (αA)B = A(αB) , α ∈ ℜ
e) AO = O
f) AI = IA = A
E14) Use V ou F :
a) Se existem AB e BA então AB = BA
(
)
b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O
(
)
E15) Encontre a matriz transposta( a transposta de A é a matriz que se obtém, trocando ordenadamente as
linhas pelas colunas de A) de:
1 2 3
a) A =
b) B =
0 5 4
2 0
4 −2
−1
5
3
6
7
4. Propriedades da Transposta
t
t
a) (A ) = A
t
b) (A + B) = A t + B t
t
t
c) (AB) = B A
t
d) (αA) = αA
t
t
, α ∈ℜ
67
2 1
4 −2
1 2
, B=
e C=
, determine:
0 3
5 −1
3 4
E16) Sejam as matrizes A =
t
a) ( A– B) (B – C)
t
b) [(2A – I 2 ) + (C + I 2 )]
t
t
c) (AB C)
t
E17) Construa uma matriz simétrica (A = A) de ordem 3.
t
E18) Construa uma matriz anti-simétrica (A = -A) de ordem 4.
15.1.2. RESPOSTAS
a11
E3)
a12
a1n
a 21 a 22
a 2n
a m1 a m 2
a mn
1 0 0 0
2
E5) a)A=
1 0 0
0
−1
b)A=
2 2 1 0
2 2 2 1
1
0
−8
1
E6) a)Dp = { 1, 1, 1, 1 } e Ds= { 2, 2, 0, 0 }
1
0
E8) a)I4=
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E11) a) x=-4, y=1, z=2 e w=
E12) a) B
0
1 3 1 −3
6
2 3 4
b)
c) 3
b) NE
7
2
E14) a) F
c)
5
−1
−1
3 −4
11
8 5
9 − 5 15
b) F
2
1 0
E15) a)At= 2 5
b)Bt=
3 4
E16) a)
b) x=2, y=1, z=1 e w=2
2 −4
E13) a) 9 − 1
8
1
9
14
21
− 7 − 14
b)
5 3
4 10
4 3
0 −2 7
−1
5 6
c)
33 − 15
48 − 24
68
0
0
−3
d) 10 − 5
9
6
−1
8
t
15.2. INVERSÃO DE MATRIZES
No início desta secção, o aluno encontrará alguns exercícios que possibilitam
revisar o cálculo de determinantes, importante para a identificação de uma matriz
inversível. O estudo de matriz inversa tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por
exemplo, na mudança de base de um espaço vetorial e resolução de equações matriciais.
E1) Calcule os determinantes:
a) − 2
b)
2
1
−1
3
c)
1
5
2
4
0
1
3
−2
4
d)
1 −1
0
4
0
−1
3
6
e)
0 3
0
1
0 =0
x
1 2 3− x
2x 9
b)
= 2 3 1
2 x
3 1 2+x
2x 0
c) 4
0
3 0
1
5
3
=
4
6
0
0
0
10
0
1
10
0
2
− sen x
cos x
cos x
sen x
15.2.1. MATRIZ INVERSA
Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz quadrada B tal que AB = BA = I.
A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por A
E3) Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A =
a
c
−1
.
b
d
Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer.
DISPOSITIVO PRÁTICO
a b
Se A =
e det A
c d
≠ 0 , então A −1 =
d −b
1
a
det A − c
∃A −1 ⇔ det A ≠ 0
E4) Calcule as inversas das matrizes A =
3
2
−2
−1
e
69
B=
−1 5
.
−2 7
0
−3
E2) Resolva as equações:
4 −5
x
a) − 1
0 −1
0
15.2.2. PROPRIEDADES
a) (A
−1
)
−1
= A
−1
b) I n = I n
c) (αA)
−1
= (1/α)A
d) (AB)
−1
=B
−1
A
−1
, α≠ 0
−1
15.2.3. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ
L ij
kL i
- Permutação das linhas de ordem i e j.
- Multiplicação da linha de ordem i por k ≠ 0.
L i + kL j - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k ≠ 0.
E5) Complete corretamente as matrizes:
A=
2 5
1 3
L 12
.... ....
.... ....
L 2 - 2L 1
.... ....
.... ....
.... ....
.... ....
-L2
L 1 - 3L 2
1 0
0 1
Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na
matriz I
E6) Aplique a seqüência L 12 , L 2 - 2L 1 , - L 2 , L 1 - 3L 2 na matriz
1 0
0 1
L 12
.... ....
.... ....
L 2 - 2L 1
.... ....
.... ....
1 0
0 1
.
.... ....
.... ....
-L2
L 1 - 3L 2
=B
E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6. O que se pode concluir ?
15.2.4. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES
A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I n , transforma I n em A
[A
I n ] seqüência de operações elementares
70
[In
A
−1
]
−1
.
E8) Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas:
0
A= 1
−2
1
4
5
0
−1
3
,
1 2
B=
3 5
,
C=
0 2 1 0
0 1 0 0
e
1 0 3 0
1 0 2 1
1 −1
D= −2
0
4
0
0
2
−3
E9) Mostre que (A t ) −1 = (A −1 ) t .
E10) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo-se que A, B, C e X são matrizes inversíveis:
a) AX = B
b) AXB = C
c) X
−1
AB
−1
=C
d) (AX
−1
t
) =B
e) AXB = BA
t
15.2.5. RESPOSTAS
E1) a) –2
b) 7
c) –16
E2) a) x = 1/4 ou x = 1
E3) A-1=
d) 12
e) –120
b) x = 0 ou x = 3
c) x = -1/6
3 2
1
1
7
B = 3
2
3
−1 2
E4) A =
−2 3
-1
− 17
E8) A-1=
1
− 13
E10) a) X=A-1B
-1
3 1
0 0
2 1
B-1=
5
3
1
−
3
−
−5
2
3 −1
b) X=A-1CB-1
C-1=
−3
6
1
0
0
1
0
0
1 −2
1 −2
c) X= AB-1C-1
0 0
−1 1
d) X=(Bt)-1A
71
0
D-1= − 1
0
3
2
3
2
2
1
1
1
e) X=A-1BAB-1
t
f) A X = B
f) X=BtA-1
16. BIBLIOGRAFIA
ANTON, Howard, RORRES, Chris. Algebra Linear com aplicações. 8.ed. Ed. New York : Bookman.
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues;Ribeiro,Vera Lúcia S.S.;Wetzler,Henry G.
Algebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.
BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo:
Makron Books do Brasil, 1997.
FOLEY, James, VAN DAM, Andries, FEINER, Steven, HUGHES, John. Computer graphics:
pinciples and practice. New York: Addison-Wesley, 1997.
KOLMAN , Bernard . Introdução à Algebra Linear com aplicações. 6.ed. Ed.PHB – Prentica-Hall do
Brasil ,1998.
LAY, David C. Algebra Linear e suas aplicações. 2. Ed. LTC-Livros Técnicos e Científicos S. A.
1999.
MORTENSON, Michael. Computer graphics handbook: geometry and mathematics. New York:
Industrial Press, 1990.
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. São Paulo: McGraw- Hill, 1987.
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo : Makron, 2000.
72