Curso
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
1 FGV.
FGV. Seja f uma função tal que f(xy) =
f (x)
para
y
todos os números reais positivos x e y.
5 Insper.
Insper. O conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} foi
representado duas vezes, na forma de diagrama,
na figura abaixo.
Se f(300) = 5, então, f(700) é igual a:
A) 15/7
B) 16/7
C) 17/7
D) 8/3
E) 11/4
2. Esboce o gráfico e determine os conjuntos
domínio e imagem da função y =
25 − x 2
Para definir uma função sobrejetora f : A → A ,
uma pessoa ligou cada elemento do diagrama A1
com um único elemento do diagrama A2, de modo
que cada elemento do diagrama A2 também ficou
ligado a um único elemento do diagrama A1. Sobre
a função f assim definida, sabe-se que:
• f(f(3)) = 2
• f(2) + f(5) = 9
Com esses dados, pode-se concluir que f(3) vale:
A) 1
3. O conjunto dos valores de x para os quais está
definida
a
função
f (x) = 5 − x + x − 1
é
o
B) 2
C) 3
intervalo:
D) 4
A) [0,5]
E) 5
B) [1,5]
C) [–1,5]
D) [–5,5]
E) [0,+∞]
4 Unifesp.
Unifesp. Seja f : ℤ → ℤ uma função crescente e
6. Sendo A, B e C os respectivos domínios das
funções y=(x–4)–1, y=(x–4)1/2 e y=(x–4)−1/2 pode-se
sobrejetora, onde ℤ é o conjunto dos números
inteiros. Sabendo-se que f (2) = −4 , uma das
concluir que:
possibilidades para f(n) é:
A) A = B∪C
A) f(n) = 2(n – 4)
B) B = A∪C
B) f(n) = n – 6
C) C = A∪B
C) f(n) = – n – 2
D) A = B∩C
D) f(n) = n
E) C = A∩B
E) f(n) = – n2
1
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7 UFTM. A figura indica o gráfico da função
9.
contínua f, de domínio [–12, 16] e imagem [–5, 16].
x +1
f (x) =
5
Dadas
duas
e
funções
de
g(x) = 100x 2 − 16 ,
domínio
assinale
real:
a
alternativa com a composição que define a função
h(x) = 4x 2 + 8x − 12 .
A) f◦g(x)
B) g◦f(x)
C) f◦f(x)
D) f –1◦g(x)
E) f –1◦f(x)
De acordo com o gráfico, o número de soluções da
equação f(f(x)) = 5 é:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
8 UFSM.
UFSM. Os praticantes de exercícios físicos se
10 Fuvest.
Fuvest. Sejam f (x) = 2x − 9 e g(x) = x 2 + 5x + 3 .
preocupam com o conforto dos calçados utilizados
em cada modalidade. O mais comum é o tênis, que
A soma dos valores absolutos das raízes da
equação f (g(x)) = g(x) .
é
A
A) 4
numeração para esses calçados é diferente em
B) 5
vários países, porém existe uma forma para
C) 6
converter essa numeração de acordo com os
D) 7
tamanhos. Assim, a função g(x) = x/6 converte a
E) 8
utilizado
em
corridas,
caminhadas,
etc.
numeração dos tênis fabricados no Brasil para a
dos tênis fabricados nos Estados Unidos, e a
função f(x) = 40x + 1 converte a numeração dos
tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos
tênis fabricados na Coreia. A função h que converte
a numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis
coreanos é
11 UFBA.
UFBA. Determine f
–1(x),
função inversa de
x
1 
f : ℝ − {3} → ℝ −   , sabendo que f (2x − 1) =
,
3x − 6
3
para todo x ∈ ℝ − {2} .
2
Curso
Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
13.
13. Dada a função f(x) =
2x − 5
, determine:
x +1
3 ⋅ x + 6 , então a medida, em
16. Sendo f(x) =
graus, do ângulo agudo determinado pelas retas
a) O domínio da função f.
que, em um mesmo sistema de coordenadas
ortonormais, representam os gráficos das funções
f(x) e f –1(x) é:
b) A função inversa de f.
A) 15º
B) 30º
C) 45º
c) O conjunto imagem da função f.
D) 60º
E) 75º
17. Considere a função f(x) = –2x2 –8x + 42, bem
14 UFABC.
UFABC. Calcule a área do trapézio em
destaque na figura, assumindo que os valores
numéricos
no
plano
cartesiano
estão
em
centímetros.
como a parábola que representa y = f(x) no plano
cartesiano e determine:
a) O domínio da função.
b) A raízes da função.
c) As coordenadas do vértice da parábola.
d) O valor máximo da função.
e) O conjunto imagem da função.
f) O ponto em que a parábola intercepta o eixo das
ordenadas.
18. Determine a expressão y = f(x) da função cujo
gráfico é representado por uma parábola que:
a) Intercepta os eixos nos pontos (0,–3), (0,1) e
(6,0)
y
6
–3
15 Mack. Na figura, considere os gráficos das
0
1
x
b) Tem vértice (5,1) e intercepta o eixo Oy em (0,2)
funções f(x) = ax + b e g(x) = mx + n. Se P =
a+n
7 1
é:
 ,  , o valor de
b⋅m
4 2
y
A) 3
B) 2
C) 6
D) 5
E) 1
2
1
0
5
x
3
Curso
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19 Puc.
Puc. Considere que o material usado para
21 Fuvest.
Fuvest. A função f : ℝ→ℝ tem como gráfico
confecção de certo tipo de tapete tem um custo de
uma parábola e satisfaz f(x+1) – f(x) = 6x – 2, para
R$ 40,00 por tapete. O fabricante pretende colocar
todo número real. Então, o menor valor de f(x)
cada tapete à venda por x reais e, assim, conseguir
ocorre quando x é igual a:
vender (100 – x) tapetes por mês.
A) 11/6
a) Escreva a função que expressa o lucro obtido na
b) 7/6
venda de cada tapete em função do preço x.
c) 5/6
b) Escreva a função que expressa o lucro mensal do
d) 0
fabricante em função do preço x.
e) –5/6
c) Determine qual deverá ser o preço de cada
tapete afim de que o lucro mensal do fabricante
seja máximo.
20 FGV.
FGV. Segundo um analista de mercado, nos
22 Unicamp.
Unicamp. Um jogador de futebol chuta uma
últimos 7 anos, o preço médio dos imóveis por
bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve
metro
ser
uma trajetória parabólica, passa por cima da trave
representado pela equação abaixo (em que t
e cai a uma distância de 40 m de sua posição
representa o tempo, em anos, variando de t = –3
original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava
em 2004 a t = 3 em 2010):
a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada
quadrado
(em
R$
100)
pode
esteve entre:
De acordo com o analista, houve uma crise no
mercado imobiliário nesse período, em um ano em
que o preço dos imóveis por metro quadrado
atingiu o valor máximo, decaindo no ano seguinte.
Em que ano ocorreu a referida crise?
A) 4,1 e 4,4 m.
B) 3,8 e 4,1 m.
C) 3,2 e 3,5 m.
D) 3,5 e 3,8 m.
4
Curso
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23.
23. Em um experimento de laboratório, ao
25. Uma empresa tem um custo de produção de x
disparar um cronômetro no instante t = 0 s,
registra-se que o volume de água de um tanque é
de 60 litros. Com a passagem do tempo,
identificou-se que o volume V de água no tanque
(em litros) em função do tempo t decorrido (em
segundos) é dado por V(t) = at²+bt+c, com a, b e c
reais e a ≠ 0. No instante 20 segundos registrouse que o volume de água no tanque era de 50
litros, quando o experimento foi encerrado. Se o
experimento continuasse mais 4 segundos, o
volume de água do tanque voltaria ao mesmo nível
do início. O experimento em questão permitiu a
montagem do gráfico indicado.
unidades de um determinado produto expresso
3
pela função: C(x) = 2x + 1200x . Já a receita obtida
por essa empresa na venda de x unidades desse
mesmo produto é expressa pela função:
R(x) = 4x 3 − 200x 2 + 4400x .
Supondo que a empresa venda tudo o que
produz então, a quantidade x que deve ser
produzida para que a empresa tenha lucro deverá
ser:
A) menor que 20 ou maior que 80.
B) menor que 30 ou maior que 50.
C) maior que 20 e menor que 50.
D) maior que 30 e menor que 50.
E) maior que 20 e menor que 80.
26 Unifesp.
Unifesp. Pesquisa feita por biólogos de uma
reserva florestal mostrou que a população de uma
a) Calcule o tempo decorrido do início do
experimento até que o tanque atingisse seu menor
volume de água.
b) Calcule o volume mínimo de água que o tanque
atingiu nesse experimento.
certa espécie de animal está diminuindo a cada
ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa,
o número de exemplares desses animais é dado
aproximadamente pela função f (t) = 750 × 2− (0,05)t ,
com t em anos, t ≥ 0.
Determine, com base na função, em quantos anos
a população de animais estará reduzida à metade
da população inicial.
24.
24. Resolver, no universo dos números reais, às
seguintes inequações:
a) x2 – 9 < 0
b) x2 – 5x > 0
27 FGVFGV-RJ.
RJ. O número N de habitantes de uma
cidade cresce exponencialmente com o tempo, de
modo que, daqui a t anos, esse número será
N = 20 000(1+ k)t , onde k é um número real. Se
daqui a 10 anos a população for de 24 000
habitantes, então daqui a 20 anos ela será de:
A) 28 000 habitantes
c) x3 ≥ 4x
B) 28 200 habitantes
C) 28 400 habitantes
D) 28 600 habitantes
d)
x −3
≤0
x+2
E) 28 800 habitantes
5
Curso
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28 UFU. Na elaboração de políticas públicas que
30 Unifesp.
Unifesp. A figura 1 representa um cabo de
estejam
legislação
aço preso nas extremidades de duas hastes de
urbanística de uso e ocupação do solo em regiões
mesma altura h em relação a uma plataforma
metropolitanas, é fundamental o conhecimento de
horizontal. A representação dessa situação num
leis
sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de
em
conformidade
descritivas
do
com
crescimento
a
populacional
urbano.
fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as
Suponha que a lei dada pela função p(t) = 0, 5 ⋅ (2 )
bases das hastes como dois pontos, A e B; e
expresse um modelo representativo da população
considera o ponto O, origem do sistema, como o
de uma cidade (em milhões de habitantes) ao longo
ponto médio entre essas duas bases (figura 2).
kt
do tempo t (em anos), contados a partir de 1970,
isto é, t = 0 corresponde ao ano de 1970, sendo k
uma constante real. Sabendo que a população
dessa cidade em 2000 era de 1 milhão de
habitantes:
a) Extraia do texto dado uma relação de forma a
obter o valor de k.
b) Segundo o modelo de evolução populacional
dado, descreva e execute um plano de resolução
que possibilite estimar em qual ano a população
desta cidade atingirá 16 milhões de habitantes.
O
comportamento
do
cabo
é
descrito
x
29 Unicamp.
Unicamp. Em uma xícara que já contém certa
quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a
seguir representa a função exponencial M(t), que
fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em
gramas), t minutos após o café ser despejado.
matematicamente
pela
função
1
f (x) = 2x +   ,
2
com domínio [A, B].
a) Nessas condições, qual a menor distância entre
o cabo e a plataforma de apoio?
b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura,
qual
deve
ser
a
distância
entre
elas,
se
o
comportamento do cabo seguir precisamente a
função dada?
Pelo gráfico, podemos concluir que:
A) M(t) = 2
B) M(t) = 2
(4 − t / 75)
(4 − t / 50)
C) M(t) = 2
(5 − t / 50)
D) M(t) = 2
(5 − t / 150)
6