MANIPULAÇÃO DO JOGO TANGRAM PARA A EXPLORAÇÃO DOS
CONCEITOS MATEMÁTICOS
Valdirene da Rosa Rocho1 - IFC
Adriano Eusébio dos Santos2 - IFC
Daniela Roxo Pereira3 - IFC
Elizete Maria Possamai Ribeiro4 - IFC
Lucilene Alexandre PereiraArâmbula5 - IFC
Grupo de Trabalho: Teorias, Metodologias e Práticas
Agência Financiadora: PIBID/CAPES
Resumo
As diretrizes curriculares nacionais apontam para a necessidade de contextualizar os
conteúdos básicos da Matemática oportunizando ao aluno estabelecer a relação entre seu
contexto e os conceitos formais. Estudar as formas geométricas e suas características é
importante para que o estudante observe as semelhanças e diferenças entre as várias formas
encontradas na natureza e nas construções em geral. Assim este relato é resultado do
planejamento de uma oficina utilizando o jogo Tangram. Este é um recurso didático lúdico
que possibilita explorar diversos conceitos matemáticos que permite relacionar as diversas
figuras que compõe o jogo na construção e consolidação dos seguintes conceitos: figuras
geométricas planas, classificação das figuras geométricas, medidas, razão e proporção,
operações básicas com números racionais, perímetro e área. Ainda destacamos que este pode
ser usado em diferentes conteúdos de maneira interdisciplinaridade com as disciplinas de artes
e história, tendo inúmeras possibilidades exploratórias. Neste relato, apresenta-se o
planejamento de uma oficina para os professores dos anos iniciais da Rede Municipal de
Sombrio/SC, cidade onde está localizado o Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado
Sombrio. A escolha do tema permite-nos apresentar a seguinte problemática “O uso do jogo
Tangram pode contribuir para a compreensão dos conceitos básicos da Matemática?” Esta
problemática tem como objetivos identificar as ideias que estão relacionadas às operações
básicas matemáticas, reconhecer as diversas formas geométricas e relacioná-las entre si por
Mestra em Matemática Aplicada pela UFRGS. Professora do Instituto Federal Catarinense – Câmpus
Avançado Sombrio (IFC). Professora supervisora do projeto PIBID. E-mail: [email protected]
2
Acadêmico do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense – Câmpus Avançado
Sombrio (IFC). Bolsista do Projeto PIBID. E-mail: [email protected].
3
Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense – Câmpus Avançado
Sombrio (IFC). Bolsista do Projeto PIBID. E-mail: [email protected]
4
Doutora em Engenharia Mecânica pela UFRGS. Professora do Instituto Federal Catarinense – Câmpus
Avançado Sombrio (IFC). Coordenadora de área do projeto PIBID. E-mail: [email protected].
5
Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense – Câmpus Avançado
Sombrio (IFC). Bolsista do Projeto PIBID. E-mail: [email protected]
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ISSN 2176-1396
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meio de medidas, razão e proporção existentes entre elas. Quanto aos resultados esperados
pressupõe-se que os professores participantes da oficina compreendam os conceitos básicos
de Matemática por meio da manipulação das peças do jogo Tangram para a posterior
aplicação deste conhecimento em suas práticas pedagógicas.
Palavras-chave: Figuras geométricas planas. Jogo Tangram. Conceitos básicos de
matemática.
Introdução
Pela ótica dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997) o estudo da
matemática deve ser um referencial para a construção de uma prática que favoreça o acesso ao
conhecimento matemático que possibilite de fato a inserção dos alunos como cidadãos, no
mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura. A Matemática está presente na vida das
pessoas, como por exemplo, localizar um objeto no espaço, quantificar, fazer mapas, entre
outros.
No entanto todas as ciências têm raízes na história do homem. A Matemática, que é
considerada uma ciência que une a clareza do raciocínio à síntese da linguagem originou-se
do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário e empírico.
Contudo, o ser humano é capaz de transformar sua curiosidade em questões objetivas e de
buscar ferramentas para respondê-las. Foi, talvez, através da curiosidade e a capacidade de
resolver problemas que pudemos nos adaptar as condições de vida neste planeta, enquanto
tantas outras espécies pereceram. Muitas das perguntas humanas são respondidas por meio de
conceitos matemáticos. E na fantástica história do conhecimento humano a geometria merece
um destaque especial.
Segundo Wagner e Martins (2013) o homem pré-histórico desenvolveu métodos para
mensurar objetos, e as primeiras unidades de medida utilizadas tiveram como base as partes
do corpo humano. No entanto, cada ser humano tem um tamanho diferente, e obviamente
essas medidas nem sempre podem ser quantificadas com números naturais. Mediante tal
situação, e também problematização surge os números racionais que indicam medidas de
partes.
De acordo com as orientações curriculares de Matemática do ensino fundamental anos
iniciais, em relação à geometria têm-se alguns de seus objetivos assim identificados:
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 Observar as formas geométricas presentes em elementos naturais e nos
objetos criados pelo homem e de suas características.
 Identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e
diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias,
ampliações e reduções.
 Construir e representar as formas geométricas (BRASIL, 1997, p. 51).
Os PCN (BRASIL, 1997, p. 55) destacam que “os conceitos geométricos constituem
parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles,
o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e
representar de forma organizada, o mundo em que vive”. Além de ser um campo fértil para
trabalhar com situações problemas sendo este, um tema pelo qual os estudantes se interessam
naturalmente.
A abordagem dos números racionais de acordo com os PCN (BRASIL, 1997) tem
como objetivo principal levar os alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos,
são insuficientes para resolver determinados problemas, assim como o contato dos alunos, no
que se refere à representação fracionária dos números racionais. É pouco frequente na vida
cotidiana, pois se limita a metades, terços, quartos, o que, na maioria das vezes, é vivenciada
apenas pela linguagem oral e não pelas representações.
Wagner e Martins (2013) definem como número racional o resultado de uma divisão
entre dois números inteiros, sendo que o divisor deve ser diferente de zero, ou ainda, podemos
destacar que um número racional é uma forma de representar a quantidade de partes de um ou
mais inteiros. Para a oficina, planejou-se um conjunto de atividades que possibilitem o estudo
de números racionais, em especial operações entre frações (adição e subtração), de forma
dinâmica e instigante, utilizando o jogo o Tangram.
O Tangram, de acordo com Ribeiro et al. (2012), é um quebra-cabeça chinês de
origem milenar. A parte final da palavra gram significa algo desenhado ou escrito como um
diagrama. Já a primeira parte Tan é muito duvidosa e especulativa, existindo várias tentativas
de explicação. Ao contrário de outros quebra-cabeças, ele é formado por apenas sete peças,
com as quais é possível criar e montar cerca de 1700 figuras entre animais, plantas, pessoas,
objetos, letras, números, figuras geométricas e outros.
De acordo com os PCN (BRASIL, 1997), um aspecto relevante nos jogos é o desafio
genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso é importante que os
jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade
educativa dos mesmos.
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Para Flemming, Luz e Mello (2005) os jogos didáticos são uma tendência que vem
ganhando destaque. Pode-se utilizar estes como estratégias para o desenvolvimento de
ambientes de aprendizagem que propiciem a criatividade, não só para crianças, mas também
para adolescentes e adultos. O uso destes em sala de aula é defendido em vários referenciais
teóricos e as evidências parecem justificar a importância e a validade nas propostas de ensino
da Matemática.
De acordo com os PCN (BRASIL, 2014), o uso de jogos didáticos pode propiciar tanto
a construção de conhecimentos novos, como aprofundar o que já foi estudado ou ainda a
revisão dos conceitos que já foram aprendidos, promovendo a avaliação processual pelo
professor e a auto avaliação pelo estudante. Além destes, trabalhando de forma adequada, o
jogo proporciona aos alunos a capacidade de organização, análise, reflexão, argumentação e
interação social.
O jogo Tangram pode ser utilizado em aulas de Matemática, uma vez que o mesmo
estimula os alunos a desenvolverem a criatividade e o raciocínio lógico, habilidades
essenciais no estudo desta disciplina. As regras desse jogo consistem em usar as sete peças em
qualquer montagem, colocando-as lado a lado, sem sobreposição.
A realização deste trabalho fundamenta-se no desenvolvimento de um estudo
envolvendo os conceitos básicos de Matemática nos anos inicias do ensino fundamental, onde
são abordadas as primeiras representações geométricas com a construção e visualização de
figuras planas e não planas e ainda as operações básicas. Nos anos finais, aprofunda os
conceitos de área, perímetro, razão, proporção e medida de ângulo.
Pensando em relacionar os conceitos matemáticos com o uso de material concreto,
organizou-se uma sequência didática a partir da seguinte problemática: O uso do jogo
Tangram pode contribuir para a compreensão dos conceitos básicos da Matemática? Para
responder a problemática proposta têm-se os seguintes objetivos: identificar as ideias que
estão relacionadas às operações básicas matemáticas, reconhecer as diversas formas
geométricas e relacioná-las entre si por meio medidas, razão e proporção existentes entre elas.
Para alcançar os objetivos propostos, manipulou-se o quebra-cabeça Tangram para
trabalhar com frações, frações equivalentes, ensinar operações com números racionais e o
cálculo de área e perímetro.
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Metodologia
O estudo foi realizado em duas etapas, tomando como base a metodologia da
Engenharia Didática. Segundo Flemming (2004) o termo surgiu na França na década de 80
fazendo uma analogia da didática da Matemática com a engenharia. O termo engenharia é
lembrado, pois se estabelece uma relação com o planejamento e execução de um projeto. Ou
seja, a engenharia didática se constitui como uma metodologia de pesquisa aplicável a um
determinado método de pesquisa didática. Como o estudo foi baseado na Engenharia
Didática, projetou-se as seguintes etapas: etapa inicial (a priori), etapa experimental e etapa a
posteriori.
Na primeira, foi realizado um estudo bibliográfico em livros didáticos do ensino
fundamental, onde buscou-se analisar como é explorado os conceitos de perímetro e área de
superfícies planas, frações e operações básicas com números racionais para dar suporte na
elaboração das atividades aplicadas na etapa experimental.
A etapa experimental está relacionada à aplicação da sequência didática. Nesta etapa
será executada uma oficina aos professores dos anos iniciais da Rede Municipal de Sombrio SC executando atividades com o Tangram, como metodologia de ensino. A ideia contida
nesta proposta é de ressaltar a importância de utilizar materiais manipuláveis.
A etapa a posteriori refere-se à validação dos resultados obtidos após a aplicação da
oficina que é parte efetiva da etapa experimental deste estudo. Esta etapa será executada ao
longo do primeiro semestre de 2015.
Desenvolvimentos das Atividades
Para realizar a oficina propriamente dita, foi necessário estudar os conceitos de
quadrado e triângulos. Ainda, esclarecer que podemos relacionar o conceito de adição ao
perímetro e o de multiplicação para o cálculo de área de superfícies planas. Perímetro é a
medida do comprimento de um contorno, ou seja, a soma de todos os lados que compõem
uma determinada figura geométrica. Área é a medida da extensão de uma superfície, expressa
em uma unidade padrão preestabelecida (Paiva, 2009).
Para calcular o perímetro do quadrado, por exemplo, basta somarmos a medida dos
quatro lados, supondo que o quadrado tem lado , então:
. Para
determinar o perímetro de qualquer figura geométrica, basta somar a medida de todos os
lados, independente do formato que a mesma possui.
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Segundo Iezzi et al. (2013) cada figura plana tem formas específicas para calcular a
medida da área das superfícies planas, por exemplo, como todo quadrado é um retângulo cuja
medida da base
é igual a medida de sua altura
, a fórmula da área de um retângulo
pode ser usada para obter área do quadrado de medida , ou seja,
.
Iezzi et al. (2013), Musse e Luiz (2011) e Paiva (2009) e definem que triângulos são
figuras geométricas e utilizadas em diversas aplicações práticas, como por exemplo, no
cálculo de distância, na construção civil, na astronomia. Para determinar a medida de área
dessa superfície plana temos que, a área de um triângulo é igual à metade do produto da
medida da base pela medida da altura, ou seja,
. A área de um paralelogramo é igual
ao produto da medida da base pela medida da altura, ou seja,
. E, a área de um
trapézio é igual à metade do produto da medida de suas bases (base maior
) pela medida da altura, isto é,
e base menor
.
A oficina será conduzida com a construção do jogo Tangram, desenvolvida a partir das
etapas indicadas por Miranda (2015):
Quadro 1- Construção do jogo Tangram
Passos para construir o Tangram
1º) Recorte o EVA em forma de um
quadrado de dimensões 20cm x 20cm.
Marcando A, B, J e H nos vértices.
2º) Trace um segmento de reta que
vai do vértice B a H, dividindo o
quadrado em dois triângulos ABH e
BHJ,
sendo
estes
triângulos
isósceles.
3º) Para encontrar o ponto médio do
segmento de reta BH, pegue o vértice
A e dobre até o segmento BH. O
ponto de encontro do vértice A e BH
será o ponto médio de BH, chamamos
de ponto D.
5º) Dobre o vértice J até o ponto D
formando dois pontos, um no
segmento BJ (ponto E) e outro no
segmento HJ (ponto I).
4º) Agora trace um segmento de reta
que vai do vértice A ao ponto D,
formando três triângulos: ABD, ADH
e BHJ.
7º) Dobre o ponto J até o segmento
de reta EI, definindo o ponto médio,
ou seja, o ponto G. Trace uma reta
perpendicular do ponto D ao
segmento EI.
8º) Trace dois segmentos de reta
paralelas ao segmento DG e outro
ao lado AH.
9º) Nomeação das figuras planas. Os dois triângulos
maiores serão chamados TG, os dois menores TP, o
médio TM, o quadrado Q e o paralelogramo de P.
Fonte: Miranda (2015).
10º) Recorte todas as figuras geométricas e obtenha as
sete peças do jogo Tangram.
6º) Agora trace um segmento de reta
do ponto E ao ponto I.
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Seguindo os dez passos, respectivamente, obtêm-se êxito na construção do quebra
cabeça, ou seja, materializa-se as peças do jogo Tangram (Figura 1).
Figura 1 - Jogo Tangram: peças identificadas de acordo os tamanhos e formatos
Fonte: Os autores.
O jogo Tangram é composto por sete peças, e a partir deste é possível formar diversas
figuras sendo que a regra é usá-las sem sobreposições. Dentre elas temos dois triângulos
grandes que nomeamos de (TG), um triângulo médio (TM), dois triângulos pequenos (TP),
um quadrado (Q) e um paralelogramo (P).
A ideia contida nesta proposta é utilizar materiais manipuláveis. No caso do jogo é
possível demonstrar a relação existente entre as peças. Por exemplo, na Figura 2 a peça TM,
corresponde a
do Tangram, ou seja, cabem oito peças de TM no mesmo.
Figura 2 - Decomposição do jogo Tangram em peças triângulos médios (TM)
Fonte: Os autores.
Seguindo a mesma ideia citada anteriormente, na Figura 3 temos que no jogo Tangram
a peça que corresponde o triângulo pequeno (TP) é
, ou seja, se existisse a possibilidade
de sobrepor as peças ou se existisse a possibilidade de no jogo ter muitas imagens iguais,
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poderíamos destacar que no quadrado utilizado para a construção deste material, teríamos
dezesseis triângulos TP que formaria um quadrado com as mesmas dimensões.
Figura 3 – Decomposição do jogo Tangram em triângulos pequenos (TP)
Fonte: Os autores.
O jogo permite explorar de forma lúdica a equivalência das frações, assim como o
procedimento a ser tomado sem que seja necessário encontrar o mínimo múltiplo comum,
para efetuar as operações com frações de denominadores distintos. Por exemplo, umas das
atividades propostas por Wagner e Martins (2013) e desenvolvidas pelos autores é
apresentada a seguir:
Atividade 1: Você deverá manipular as peças do Tangram e registrar suas respostas
apresentando suas conclusões.
b)
c)
Outra atividade realizada com o Tangram, parte da ideia de Musse e Luiz (2011) que
a divisão, em primeiro momento está relacionada à subtração, assim como a multiplicação
está associada à adição. A divisão pode ser entendida como a retirada de parcelas de um total
conhecido. Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando um
exercício de repartir (Figura 4).
Figura 4 – Tangram
Fonte: Os autores.
Ao proceder-se com as atividades, será solicitado aos professores que registrem a
medida de cada lado das figuras que compõe o jogo Tangram. Após esse registro trabalha-se
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com o perímetro de cada figura. Após esse registro trabalhou-se com o perímetro de cada
figura. Cabe ressaltar que ao unir peças e formar nova imagem o perímetro não é o resultado
da soma dos lados de cada uma delas. Por exemplo, ao unir dois triângulos pequenos (TP) um
de cada lado, ao quadrado (Q), obtém-se um trapézio (Figura 5). Não pode-se somar o
perímetro do quadrado ao perímetro de cada um dos triângulos e definir que o perímetro é a
soma do perímetro dessas figuras, individualmente. Deve-se, sim, ao formar a nova imagem,
desconsiderar a aresta que une as duas peças e forma a nova imagem. Para obter a área total
dessa superfície que exemplifica a situação citada acima, deve-se fazer a soma das áreas do
quadrado e dos dois triângulos.
Figura 5 – Trapézio
Fonte: Os autores.
Para finalizar as atividades será proposto ao grupo que utilize todas as peças do jogo
Tangram para construir algumas figuras como, por exemplo, indicadas na Figura 6. Após a
imagem formada, foi calculado seu perímetro e comparado com a ilustração do colega para
verificar qual deles era maior ou menor. A constatação a que o grupo chegou foi de que,
independente da imagem criada, o perímetro varia, mas a área da superfície permanece a
mesma.
Figura 6 – Exemplos de imagens construídas com as peças do jogo Tangram.
Fonte: Miranda (2015)
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Ao concluir o conjunto de atividades propostas na sequência didática os autores
refletiram sobre as possibilidades de uso do Tangram na sala de aula como um recurso
pedagógico.
Considerações Finais
Ao concluir esta proposta de atividade para a aplicação de uma oficina com
professores dos anos iniciais, espera-se que estes apliquem em suas aulas e também que os
alunos compreendam o significado de alguns conceitos básicos de Matemática por meio do
uso do jogo Tangram.
Em um primeiro momento o estudo apresenta uma abordagem didática diferenciada
para definir os conceitos matemáticos aplicados na sala de aula de forma significativa, criativa
e dinâmica.
No segundo, promove a interação social, permitindo a socialização entre os
envolvidos.
Por fim, almeja-se que os conhecimentos fomentados na oficina a ser realizada com os
professores seja extensiva a sua prática pedagógica, permitindo aos alunos uma aprendizagem
qualitativa dos conceitos matemáticos.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto
Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Jogos na alfabetização matemática. Brasília:
MEC/SEB, 2014.
FLEMMING, Diva Marília. Didática da matemática: livro didático do Curso de
Especialização em Educação Matemática. Tubarão: UNISUL, 2004.
FLEMMING, Diva Marília; LUZ, Elisa Flemming; MELLO, Ana Cláudia Collaço de.
Tendências em educação matemática. 2. ed. Palhoça: UnisulVirtual, 2005.
IEZZI, Gelson. Matemática: ciência e aplicações. v. 2. São Paulo: Saraiva, 2013.
MIRANDA, Daniele de. Como construir o tangram? [site]. Disponível em:
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/como-construir-tangram.htm. Acesso em:
18 mar. 2015.
33450
MUSSE, Jorge de Oliveira; LUIZ, Learcino dos Santos. Conteúdos e metodologias do ensino
de matemática I. Caderno Pedagógico. Florianópolis: DIOESC, 2011.
PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2009.
RIBEIRO, Elizete Maria Possamai et al. Sequência didática: Tangram. Sombrio: IFC, 2012.
WAGNER, Débora Regina; MARTINS, Fernanda Medeiros Alves Besouchet. Conteúdos e
metodologias do ensino de matemática IV. Caderno Pedagógico. DIOESC: Florianópolis,
2013.