INTRODUÇÃO
Este conjunto de testes formativos para a cadeira de Geometrização baseiase na matéria do livro
Geometria,
Barnett Rich,
Schaum’s easy outlines,
McGraw Hill.
Com este conjunto de testes formativos visa-se atingir três objectivos:
• Fornecer provas para alguns dos resultados apresentados sem demonstração no livro.
• Apresentar alguns exercı́cios resolvidos.
• Dar uma ideia do formato dos exames.
Sobre o último ponto, convém esclarecer que os exames não vão ser cópias
dos testes, nem tão pouco matérias não tratadas nos testes ficam fora da
matéria a avaliar em exame. Estes testes devem ser vistos como guias aproximados mas não modelos exactos dos exames.
Sobre os dois pontos iniciais, serão posteriormente fornecidos mais elementos de estudo na página da cadeira que ficará em
http://www.univ-ab.pt/~mjoao/Geometrizacao.html
Os alunos são convidados a enviar perguntas por email para
[email protected]
Estas perguntas terão sempre resposta. Algumas por telefone, outras por
email e outras, se assim se justificar, serão acrescentadas e respondidas na
página da cadeira.
A propósito e a despropósito podem os alunos contactar o professor da
cadeira pelo telefone 213150039
Segundas Feiras 10h-17:30h
Terças Feiras 10h-12h.
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Desejo-lhes as maiores felicidades e bom estudo.
Com os meus cumprimentos,
João Araújo
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1o TESTE FORMATIVO
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1. Sejam C1 e C2 duas circunferências distintas e exteriores uma à outra.
Indique uma construção que lhe permita determinar a menor distância
entre elas.
R: A menor distância entre duas circunferências exteriores é a medida
do menor segmento que une as duas figuras (ver página 42 do manual).
Seja C1 uma cricunferência de raio r1 e centro O1 . Seja C2 uma cricunferência de raio r2 e centro O2 . Traçamos o segmento O1 O2 que
corta C1 em A1 e corta C2 em A2 . Vamos provar que A1 A2 é o menor
segmento que une as duas cricunferências.
Seja B1 um ponto de C1 e B2 um ponto de C2 . Vamos provar que
B1 B2 ≥ A1 A2 .1 Temos de considerar dois casos.
Caso 1: O segmento B1 B2 corta A1 A2 no ponto D. Neste caso temos
DA1 + r1 ≤ DB1 + r1 porque num triângulo a medida de um lado é
inferior à soma dos outros dois lados.
Analogamente, temos DA2 + r2 ≤ DB2 + r2 porque num triângulo a
medida de um lado é inferior à soma dos outros dois lados. Logo
DA1 + r1 ≤ DB1 + r1
DA2 + r2 ≤ DB2 + r2
implica
DA1 + r1 + DA2 + r2 ≤ DB1 + r1 + DB2 + r2
1
Representamos um segmento de extremos A e B por AB. A medida do segmento AB
representa-se por AB.
4
donde resulta
DA1 + DA2 ≤ DB1 + DB2
e bem assim
A1 A2 ≤ B1 B2 ,
porque DA1 + DA2 = A1 A2 e DB1 + DB2 = B1 B2 .
Caso 1
B
1
D
A
A
1
O
1
O
2
2
B
2
Caso 2: O segmento B1 B2 não corta A1 A2 . Neste caso consideramos
l, a perpendicular a A1 A2 no ponto médio de A1 A2 , digamos D. Seja
E o ponto em que B1 B2 corta l. Neste caso EO1 ≥ DO1 , porque
DO1 é um cateto de um triângulo rectângulo e EO1 é a hipotenusa
do mesmo triângulo e, num triângulo rectângulo, a hipotenusa é maior
que qualquer um dos catetos.
Caso 2
B
B
2
1
E
O
1
D
A
1
A
2
O
2
Da mesma forma se prova que DO2 ≤ EO2 . Portanto DO1 + DO2 ≤
EO1 + EO2 .
5
Por outro lado EO1 ≤ EB1 + r1 , porque num triângulo cada lado mede
menos que a soma dos outros dois. Seja EC1 o ponto em que EO1 corta
C1 . Claramente EEC1 +r1 = EO1 ≤ EB1 +r1 e portanto EEC1 ≤ EB1 .
Da mesma forma se prova que EEC2 ≤ EB2 . Agora temos
O1 O2 ≤ O1 E + O2 E ≤ r1 + B1 B2 + r2
o que implica
A1 A2 = O1 O2 −r1 −r2 ≤ O1 E−r1 +O2 E−r2 = E1 EC1 +E2 EC2 ≤ B1 +B2 .
Está provado que A1 A2 ≤ B1 B2 e portanto a distância entre C1 e C2 é
A1 A2 .
2. Usando os critérios de congruência de triângulos, prove que a diagonal
de um paralelogramo divide-o em dois triângulos congruentes.
R: Seja ♦ABCD um paralelogramo e AC uma diagonal. Temos 6 CAB ∼
=
6 ACD, porque são ângulos alternos internos. Analogamente, 6 ACB ∼
=
6 CAD. Portanto podemos aplicar a.l.a., dado que o lado AC é comum
aos dois triângulos.
3. Prove que uma tangente a uma circunferência faz uma ângulo de 90o
com o raio que liga o ponto de tangência ao centro da circunferência.
R: Aplica-se a Propriedade 9 na página 70. Neste caso a corda é o
diâmetro da circunferência. O arco, portanto, mede 180o ; logo o ângulo
mede 180o /2=90o . A tangente é perpendicular ao diâmetro.
4. Seja ∆ABC um triângulo rectângulo em B. Seja D um ponto no segmento AC tal que o ângulo 6 ADB mede 90o . Prove que os triângulos
∆BDA e ∆BCD são semelhantes.
R: Temos que os triângulos ∆ABC, ∆ADB e ∆CBD são todos rectângulos.
Mais ainda, ∆ABC e ∆ADB têm um ângulo comum, o ângulo de
vértice em A. Logo, pela Propriedade 6 (página 80), os dois são semelhantes. De forma análoga se prova que ∆ABC e ∆CBD são semelhantes. Portanto, ∆ABC ∼ ∆ADB e ∆ABC ∼ ∆CBD, implicam,
pela Propriedade 8 (página 80), que temos ∆ADB ∼ ∆CBD.2
2
Note-se que este resultado sai directamente da Propriedade 9 (página 80).
6
5. Sejam H1 e H2 dois hexâgonos de lado l1 e l2 , respectivamente. Supondo
que l1 = 2l2 , diga qual é a relação entre as áreas de H1 e H2 .
R: No hexâgono, pelas páginas 94-95, temos A = 12 pr. Como o lado
de H1 mede l1 , temos A1 = 21 (6l1 )r. Resta-nos determinar o r em
√
√
função de l1 . Pela página 94, r = 21 R 3 e R = √l1 . Logo r = 12 l1 3,
√
1
1
1
3 3 2
pelo que
temos
A
1 = 2 (6l1 )r = 2 (6l1 ) 2 l1 3 = 2 l1 . Analogamente,
√
A2 = 3 2 3 l22 .
Agora, como l1 = 2l2 , temos
√
√
√
√
3 3 2 3 3
3
3
3
3
A1 =
l1 =
(2l2 )2 =
4(l2 )2 = 4
(l2 )2 = 4A2 .
2
2
2
2
6. Considere uma circunferência de raio 3 e um quadrado inscrito. Determine a medida da área exterior ao quadrado e interior à circunferência.
R: Seja ♦ABCD um quadrado inscrito numa circunferência de centro
O. O ângulo 6 AOB mede 90o e por isso o sector definido por ele
4
tem área A = 360
π32 (ver Propriedade 2, página 98). Por sua vez o
2
triângulo ∆AOB tem área 32 . Logo a área no interior da circunferência
2
4
e no exterior do ∆AOB é a = 360
π32 − 32 . Como esta área é um
quarto da área pretendida na pergunta, multiplicamos a por 4, obtendo
2
16
16
4a = 360
π32 − 4 32 = 360
π32 − 18.
7. Construa um triângulo equilatero.
R: Com uma régua constroi-se um segmento AB. Com um compasso
constroi-se um circunferência de centro em A e raio AB. Com a
mesma abertura constroi-se uma circunferência de centro em B. As
circunferências cruzam-se em dois pontos, digamos C, D. Com a régua
traçam-se os segmentos AC e BC.
Como C pertence à circunferência de centro em B e raio AB, temos
que BC = AB. Analogamente, C pertence à circunferência de centro
em A e raio AB. Logo AC = AB. Está provado que AB = BC = AC.
8. Prove que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o .
R: É a demonstração 2 na página 126. Em todos os exames sairá
uma demonstração similar a alguma das demonstrações do Apêndice
B. Convém pois conhecê-las todas em pormenor.
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