Capı́tulo 3 - Desigualdades Geométricas
3.1 Definição. Se C esta entre B e D então ACD e um ângulo externo do triângulo ABC.
3.2 Teorema. (Teorema do Ângulo Externo) Um ângulo externo de um triângulo é maior
que qualquer um dos seus ângulos internos não adjacentes.
3.3 Corolário. Se um triângulo tem um ângulo reto, então os seus outros dois ângulos são
agudos.
3.4 Teorema. Por um ponto não pertencente a uma reta, existe uma única reta perpendicular
à reta dada.
3.5 Definição. Uma altura de um triângulo é um segmento que une um dos vértice do
triângulo à reta que contém o lado oposto, sendo perpendicular à esta reta.
3.6 Teorema. (Caso L.A.A. de Congruência de Triângulos) Sejam ABC e DBF dois
b∼
beC
b∼
triângulos tais que AB ∼
= DE, B
=E
= Fb. Então 4ABC ∼
= 4DEF .
3.7 Teorema. (Teorema da Hipotenusa e do Cateto) Sejam ABC e DBF dois triângulos
retângulos. Se a hipotenusa e um cateto do triângulo ABC são congruentes com as partes
correspondentes do triângulo DEF , então os dois triângulos são congruentes.
3.8 Teorema. Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a
estes lados não são congruentes, e o ângulo maior é o oposto ao lado maior.
3.9 Teorema. Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a
eles não são congruentes, e o lado maior é o oposto ao ângulo maior.
3.10 Corolário. Em todo triângulo retângulo cada cateto é menor que a hipotenusa.
3.11 Corolário. Dada uma reta e um ponto fora dela, o menor segmento com uma extremidade nesse ponto e a outra na reta é aquele que é perpendicular a ela.
3.12 Definição. Definimos distância de um ponto P a uma reta r dada, o que denotamos
por d(P,r) como:
a) d(P, r) = 0, se P está em r;
b) d(P, r) = P P 0 , onde P 0 é o pé da reta perpendicular a r passando por P , se P está fora de
r.
3.13 Teorema. (Desigualdade Triangular) A soma dos comprimentos de dois lados
quaisquer de um triângulo é maior que o comprimento do terceiro lado.
3.14 Teorema. Se dois lados de um triângulo são congruentes respectivamente a dois lados
de um segundo triângulo, e o ângulo compreendido do primeiro triângulo é maior que o ângulo
compreendido do segundo, então o lado oposto do primeiro triângulo é maior que o lado oposto
do segundo.
3.15 Teorema. Se dois lados de um triângulo são congruentes respectivamente a dois lados
de um segundo triângulo, e o terceiro lado do primeiro triângulo é maior que o terceiro
lado do segundo, então o ângulo compreendido no primeiro triângulo é maior que o ângulo
compreendido no segundo.