X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
UM EXEMPLO DO USO DA PROPOSTA DE POLYA PARA A RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS: A CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Francinildo Nobre Ferreira
Universidade Federal de São João del-Rei - UFSJ
[email protected]
Flávia Cristina Figueiredo Coura
Universidade Federal de São João del-Rei - UFSJ
[email protected]
Resumo: Apresentamos neste texto um exemplo do uso da Resolução de Problemas
(POLYA, 1945) como metodologia de trabalho para o desenvolvimento do conceito e dos
três casos de Congruência de triângulos. A primeira versão desta proposta foi escrita para
compor o material impresso de uma disciplina de um Curso de Especialização oferecido na
modalidade à distância, no qual estão inscritos, principalmente, professores que lecionam
Matemática na Educação Básica. Alguns dos aspectos que motivaram a escolha de um
conteúdo da Geometria e da Resolução de Problemas como método também estão
destacados. Finalmente, indicamos brevemente algumas considerações que fizemos a
respeito da similaridade da presente proposta com os princípios da Resolução de
Problemas apontados pelos PCN (BRASIL, 1998).
Palavras-chave: Resolução de problemas; Congruência de triângulos.
Introdução
Apresentaremos a seguir um exemplo do uso da Resolução de Problemas
(POLYA,1945) como metodologia de trabalho para o desenvolvimento do conceito e dos
três casos de Congruência de triângulos, tópico da Matemática estudado na Educação
Básica.
Escrevemos a primeira versão deste texto para compor o material impresso de uma
disciplina – Ensino de Matemática via Resolução de Problemas – inserida no Curso de
Especialização em Matemática oferecido na modalidade à distância pelo Departamento de
Matemática, Estatística e Ciência da Computação da Universidade Federal de São João
del-Rei (DEMAT-UFSJ) no Sistema UAB (Universidade Aberta do Brasil). A
Especialização, que começou em agosto de 2008, atende principalmente professores que
lecionam Matemática na Educação Básica, em escolas públicas e particulares de
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
municípios próximos a 12 cidades-pólo1. Na ocasião do oferecimento da disciplina, em
dezembro de 2009 e janeiro de 2010, aproximadamente 400 pós-graduandos se
inscreveram, que representam cerca de 90 por cento dos alunos do curso.
Nesse contexto, nosso objetivo era apresentar um exemplo de como “trabalhar um
tema da Educação Básica, segundo a metodologia de Resolução de Problemas de Polya”
(COURA; FERREIRA, 2009, p. 53).
A escolha da Resolução de Problemas como método de trabalho para o
desenvolvimento do conteúdo, além de uma proposta da disciplina, fundamentou-se na
possibilidade de mostrar a Matemática não apenas como uma ciência dedutiva, sistemática,
mas também como uma ciência indutiva, experimental. Mostrar a Matemática no processo
de ser inventada (POLYA,1985) é uma prática pouco comum em nossas escolas.
Acreditamos que essa seja uma das razões pelas quais muitas vezes tenhamos em nossas
salas de aula alunos desmotivados: geralmente apresentamos a eles a Matemática como
uma ciência pronta, acabada, não os incentivando para descobertas.
Nessa perspectivas, optamos por abordar um tema da Geometria - Congruência de
triângulos - porque, apesar de se tratar de um ramo importante da Matemática, professores
do Ensino Fundamental frequentemente apontam problemas relacionados tanto ao seu
ensino quanto à sua aprendizagem (ALMOULOUD et al, 2004). Assim, quando
propusemos desenvolver um tema da Geometria estudado na Educação Básica por meio da
Resolução de problemas, pretendíamos oferecer uma contribuição para a prática
pedagógica do docente que enfrenta tais problemas diariamente em sua sala de aula, no
sentido de ilustrar a utilização do método proposto por Polya.
Com esse foco, neste trabalho, registramos o desenvolvimento de uma atividade
intitulada “Trabalhando com triângulos”, na qual utilizamos a Resolução de Problemas
com o objetivo de que os estudantes consigam compreender que existem condições
mínimas que, se satisfeitas, garantem a Congruência de triângulos – os casos de
congruência. Tentamos com isso apresentar um exemplo de como a Matemática pode ser
vista de uma forma diferente daquela que muitas vezes foi nos apresentada.
1
São cidades-pólo do curso: Barroso, Campo Belo, Ouro Preto, Pompéu, Timóteo, Sete Lagoas e Tiradentes,
em Minas Gerais, e Franca, Matão, Mirandópolis, São José do Rio Preto e Serrana, no estado de São Paulo.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Trabalhando com triângulos
Sabemos da Geometria Plana que, intuitivamente, dois triângulos ABC e EFG são
congruentes, quando existe uma posição na qual conseguimos sobrepor um triângulo sobre
o outro e constatamos com isso que eles são exatamente iguais. Matematicamente, isso
significa que existe uma correspondência biunívoca (bijetora) entre os vértices de modo
que os ângulos e lados correspondentes são congruentes. Em outras palavras:
Se ABC2 e EFG são dois triângulos congruentes e se A
E, B
FeC
G éa
correspondência que define a congruência, então valem simultaneamente, as seis seguintes
relações (FIG 1):
AB = EF, Â = Ê; BC = FG, B̂ = F̂ ; AC = EG, Ĉ = Ĝ .
FIGURA 1 – Exemplo de dois triângulos congruentes
A partir das considerações anteriores, mais especificamente com relação à definição
de congruência de triângulos, consideremos o seguinte problema:
Dentre as seis condições que definem a congruência de triângulos, que condições
mínimas precisamos ter a fim de que os triângulos sejam congruentes?
Ao estudar Geometria Plana, vimos também que não é necessário verificar as seis
relações acima para garantir que dois triângulos são congruentes. É suficiente analisarmos
três condições: são os casos de congruência de triângulos que, de acordo com Barbosa
(2004), estão enunciados a seguir.
2
Neste texto, utilizamos, a exemplo de Barbosa (2004) a notação ABC para denotar o triângulo cujos
vértices são os pontos A, B e C. A notação AB se refere ao segmento cujas extremidades são os pontos A e B
e também à medida desse segmento. O ângulo cujo vértice é o ponto A é representado por Â, que também
indica a medida desse ângulo.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Primeiro caso: Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, AC = EG e  = Ê,
então ABC = EFG.
Segundo caso: Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, Â = Ê e B̂ = F̂ ,
então ABC = EFG.
Terceiro caso: Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB = EF, AC = EG e BC =
FG, então ABC = EFG.
Na Geometria Euclidiana, geralmente, se admite o primeiro caso como um axioma
e se demonstra os outros dois casos de congruência. Uma vez satisfeita uma das hipóteses
dos três enunciados anteriores, os triângulos analisados são congruentes. Entretanto,
consideramos de fundamental importância para o aluno compreender porque eles,
geralmente, estudam apenas esses três casos. Com esse norte, desenvolvemos nosso
trabalho através de perguntas feitas a partir das relações presentes na definição de
congruência de triângulos.
Pergunta 1: Tome dois triângulos ABC e EFG. Se eles possuem apenas um par de
lados correspondentes congruentes, esses triângulos são congruentes?
A resposta é não e para justificá-la utilizaremos um contra-exemplo. Considerando
os triângulos ABC e EFG com AB = EF, é imediato construir triângulos não congruentes,
como ilustramos na FIG. 2.
FIGURA 2 – Exemplo de dois triângulos com um par de lados de mesma medida que não
são congruentes
Pergunta 2: Considere dois triângulos ABC e EFG. Se eles possuem apenas dois
pares de lados correspondentes congruentes, esses triângulos são congruentes?
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A resposta novamente é não. Analisando os triângulos ABC e EFG, com AB = EF,
AC = EG, podemos verificar que embora tenham dois pares de lados correspondentes
congruentes, isso não garante que o terceiro par de lados tenha medidas iguais. Como
podemos verificar por meio da FIG.3.
FIGURA 3 – Exemplo de dois triângulos com dois pares de lados de mesma
medida que não são congruentes
Pergunta 3: Dados dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem os três pares de
lados correspondentes congruentes, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes?
Sim, essa condicionante corresponde ao terceiro caso de congruência que enunciamos
anteriormente.
Pergunta 4: Tome dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem um, dois ou três
pares de ângulos correspondentes com medidas iguais, esses triângulos são congruentes?
Para ilustrar os três casos indicados na hipótese, considere os triângulos ABC e EFG
(FIGURAS 4 e 5).
Caso 1: Â = Ê (um par de ângulos côngruos)
FIGURA 4 – Exemplo de dois triângulos com um par de ângulos de mesma medida que
não são congruentes
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Como podemos verificar observando a FIGURA 4, os triângulos ABC e EFG não
são congruentes. Isso mostra que a existência de um par de ângulos côngruos não garante
que os triângulos sejam congruentes.
Caso 2: Â = Ê e Bˆ
Fˆ (dois pares de ângulos côngruos)
Nesse caso, temos também que Cˆ
Gˆ , que decorre do fato de que a soma dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Assim, do caso em que temos dois
pares de ângulos de mesma medida decorre que teremos três pares de ângulos côngruos.
Contudo, não podemos afirmar que ABC e EFG sejam congruentes. Um exemplo que
ilustra esse caso são os triângulos ABC e EFG da FIGURA 5, que são eqüiláteros –
portanto, eqüiângulos – mas não são congruentes, pois os pares de lados correspondentes
não têm a mesma medida.
FIGURA 5 – Exemplo de dois triângulos com dois pares de ângulos de
mesma medida que não são congruentes
Pergunta 5: Dados dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem um par de ângulos
correspondentes congruentes e um par de lados correspondentes de mesma medida, esses
triângulos são congruentes?
Não. A FIGURA 6 ilustra dois triângulos que têm um par de lados correspondentes
de mesma medida e um par de ângulos correspondentes côngruos, que não são
congruentes.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
FIGURA 6 – Exemplo de dois triângulos com um par de ângulos e um
par de lados de mesma medida que não são congruentes
Pergunta 6: Considere dois triângulos ABC e EFG. Se eles possuem um par de
ângulos correspondentes congruentes e dois pares de lados correspondentes de mesma
medida, esses triângulos são congruentes?
Se o ângulo for adjacente aos lados, esses triângulos serão congruentes, como uma
conseqüência do primeiro caso de congruência. Entretanto, se o ângulo não for adjacente
aos lados, os triângulos não são necessariamente congruentes, conforme ilustramos na FIG.
7, em que AB=FE, BC=FG e Â=Ê, mas os triângulos ABC e EFG não são congruentes.
FIGURA 7 – Exemplo de dois triângulos com um par de lados e dois
pares de ângulos de mesma medida que não são congruentes
Pergunta 7: Dados dois triângulos ABC e EFG, se eles possuem dois pares de
ângulos correspondentes côngruos e também um par de lados correspondentes de mesma
medida, esses triângulos são congruentes?
Sim.
Pois,
se
dois
pares
ângulos
correspondentes
são
congruentes,
consequentemente, o terceiro par de ângulos correspondentes será congruente, já que a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Como temos um par de
lados correspondentes com mesma medida, teremos o segundo caso de congruência de
triângulos.
Observe que aqui está incluído o caso em que dois triângulos possuem dois ângulos
correspondentes congruentes e também dois lados correspondentes congruentes.
Algumas considerações
O leitor atento e conhecedor da Resolução de Problemas, tal como proposta por
Polya, deve estar se questionando a respeito da utilização desse método, principalmente
pelo fato de que as quatro etapas – compreender o problema, estabelecer um plano de
solução, executar o plano estabelecido e fazer um retrospecto da resolução completa – não
estão explicitamente delimitadas no texto.
Para esclarecer a esse respeito, procuramos considerar outras características que
sinalizem um trabalho que utiliza a Resolução de Problemas como metodologia para o
processo de ensino e de aprendizagem da Matemática.
Nesse sentido, vamos considerar alguns dos princípios da proposta dos PCN
(BRASIL, 1998) para o uso da Resolução como eixo norteador do ensino de Matemática:
• o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las;
• o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que
lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações
sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de
problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para
resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo
um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática;
• o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas
constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de
problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros
conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações;
• a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
(BRASIL, 1998, p. 32-33, grifo nosso).
Na medida em que utilizamos uma questão – Dentre as seis condições que definem
a congruência de triângulos, que condições mínimas precisamos ter a fim de que os
triângulos sejam congruentes? – para propor o trabalho a ser desenvolvido pelos alunos e
que ela não constitui um exercício, pois não permite a utilização mecânica de
procedimentos ou fórmulas, consideramos que nossa proposta utiliza um problema como
ponto de partida para a atividade matemática.
Para elaborar uma resposta, o estudante precisa mobilizar os conhecimentos que já
possui e construir um campo de conceitos – os casos de congruência de triângulos – que
poderá utilizar não somente como resposta para esse problema, mas para um campo de
problemas. Além disso, é possível verificar que o processo desencadeado pelas perguntas
exige que os estudantes interpretem e estruturem a situação apresentada, realizem
transferências, retificações, rupturas e generalizações com fins de oferecer uma resposta
para a questão inicial.
Desse modo, é possível considerar que nosso trabalho representa uma proposta que
busca ensinar Matemática por meio da Resolução de Problemas, o que significa considerar
que os problemas são importantes não somente para se aprender matemática, mas, também,
como um primeiro passo para se fazer isso.
Esse olhar a respeito da Resolução de Problemas foi compartilhado por grande
parte dos estudantes que cursaram a disciplina.
Referências
ALMOULOUD, S. A et al. A geometria no ensino fundamental: reflexões sobre uma
experiência de formação envolvendo professores e alunos. In: Revista Brasileira de
Educação,
São
Paulo.
n.
27,
set-dez
de
2004.
Disponível
em
http://www.scielo.br/pdf/rbedu/n27/n27a06.pdf. Acesso em 01 mar. 2010.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
BARBOSA, L. M. Geometria euclidiana plana. 7. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004. 222 p.
(Coleção professor de matemática).
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
COURA, F. C. F; FERREIRA, F. N. Ensino de matemática via resolução de problemas.
São João Del-Rei: UFSJ, 2009.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de
Araújo. Rio de Janeiro: Interciências, 1945.
_______. O ensino por meio de problemas. Revista do professor de Matemática, Rio de
Janeiro, n. 7, 2 sem. 1985.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Relato de Experiência
10