Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP
Através de Modelos
Resumo:
Um modelo concreto é proposto para ser utilizado pelo aluno em sala de
aula, de maneira a compreender os conceitos de Razão e Proporção entre segmentos, necessários nas definições de semelhança e congruência
de triângulos. Tais definições são fundamentais no uso dos demais modelos aqui apresentados: Casos de Congruência de Triângulos e Relação
entre as áreas de dois triângulos semelhantes. Na descrição dos modelos
são apresentados os objetivos a serem alcançados com a aplicação desses
em sala de aula, assim como as respectivas propriedades de cada modelo.
Congruência e Semelhança de Triângulos...
Congruência e Semelhança de Triângulos
Palavras-chave: congruência; semelhança; triângulos
Introdução
dologias de ensino que consiga despertar o interesse dos alunos. Isso se agrava quando
particularizamos para a área de matemática, a geometria. Neste sentido, este trabalho
apresenta exemplos do que chamamos de modelos concretos de geometria. Apresentamos, em particular, os modelos específicos: Razão e Proporção entre segmentos, Casos
de Congruência de Triângulos e Relação entre as áreas de dois triângulos semelhantes.
Observamos que, em geral, os alunos do ensino fundamental confundem os conceitos de
congruência e semelhança de triângulos. Com a utilização desses modelos como recurso
didático em sala de aula é possível despertar interesse no aluno, auxiliá- lo na compreensão dos conceitos de semelhança e congruência de triângulos e obter dele próprio as
propriedades geométricas relacionadas com esses modelos, as quais serão descritas no
objetivo do respectivo modelo e nos resultados.
Os modelos são construídos com materiais de baixo custo como: papel cartão, EVA,
cola, tesoura e canudos.
Semelhança e Congruência de Triângulos
Inicialmente serão introduzidos os conceitos de Razão e Proporção entre segmentos
para melhor entendimento das definições de semelhança e congruência de triângulos a
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Departamento de Matemática, UNESP-São José do Rio Preto
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A situação atual do ensino público é preocupante. O professor necessita de meto-
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serem utilizados nos modelos dos casos de congruência de triângulos e de relação entre as
áreas de dois triângulos semelhantes.
Modelo - Razão e Proporção
Nesse modelo são utilizados canudos de tamanhos distintos (ver tabela a seguir) para
representar os segmentos.
Objetivo
Com a aplicação desse modelo pretende-se que o aluno entenda o que são segmentos
proporcionais e a razão entre as medidas de dois segmentos.
Modo de utilizar
1. Corte os canudos de acordo com a tabela:
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Quantidade
Cor
Medida
11
Vermelho
4 cm
3
Azul
8 cm
2
Verde
16 cm
1
Amarelo
18 cm
2. Quantos canudos vermelhos é preciso agrupar, sem sobreposição, para obter a medida do canudo azul?
Considerando que o canudo azul representa um segmento com medida AB e o canudo
vermelho representa um segmento com medida CD, o número que você obteve é chamado
razão entre AB e CD, ou seja, AB .
CD
3. Repita o passo 2 com os demais canudos de modo a completar as relações a seguir:
Azul = .....vermelho
Razão ...
Verde = .....vermelho
Razão ...
Amarelo = ......vermelho
Razão ...
Verde = ......azul
Razão ...
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CD
GH
Definição: Os triângulos ABC e EFG são semelhantes se possuem ângulos correspondentes congruentes (ângulos com a mesma medida) e lados correspondentes proporcionais.
Por exemplo, se nos triângulos ABC e EFG
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
AB
e
ˆ
EF
ˆ
AC
=
EG
=
BC
FG
=k
Congruência e Semelhança de Triângulos...
AB
Definição: A Razão k entre as medidas de 2 segmentos AB e CD é dada por k=
CD
Se AB = EF , dizemos que os segmentos AB e CD são proporcionais à EF e GH.
então os triângulos ABC e EFG são semelhantes. Neste caso utilizamos a notação
ABC ~ EFG . Observamos que na notação ABC ~ EFG está embutido a correspondência
entre os ângulos congruentes e lados proporcionais dos triângulos.
Por exemplo, se nos triângulos ABC e EFG
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
e
AB = EF
BC = FG
AC = EG
então os triângulos ABC e EFG são congruentes. Neste caso utilizamos a notação
ABC { EFG, na qual também está embutido a correspondência entre os ângulos e lados
congruentes dos triângulos.
É importante observarmos que dois triângulos congruentes são semelhantes. Basta
para isso considerarmos na definição de triângulos semelhantes k= 1. No entanto, dois
triângulos semelhantes nem sempre são congruentes. Isso pode ser verificado na apresentação do modelo de área de triângulos semelhantes a seguir.
Concretamente, dois triângulos são congruentes se é possível a sobreposição dos triângulos. Uma vez obtida a sobreposição fica definida a correspondência entre os ângulos
e lados. Dois triângulos são semelhantes se tem a mesma forma sendo possível obter um
deles ampliando ou reduzindo as medidas dos lados do outro (multiplicando as medidas
ou dividindo as medidas dos lados pelo mesmo número).
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Definição: Dois triângulos são congruentes se possuem ângulos congruentes e lados
correspondentes congruentes (lados com mesma medida).
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Modelo- Casos de Congruência de Triângulos
Esse modelo foi construído utilizando papel cartão como base e sobrepondo EVA, de
forma a obter 3 grupos de triângulos (I, II e III) (Figura1) . Em cada grupo são dadas
medidas específicas como as medidas dos lados do triângulo, e utilizada a mesma cor para
representar ângulos congruentes (Figura 2). O aluno deve receber o modelo como indicado na Figura 2.
Objetivo
Aplicando o modelo apresentado na Figura 2 o aluno deve conseguir visualizar os casos
de congruência de triângulos a partir apenas da definição de congruência de triângulos e
da interpretação de congruência através da sobreposição.
Modo de utilizar
1. Observe o grupo I.
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2. Os três triângulos são congruentes? Por quê? Você deve manipular os triângulos.
3. Existem dois triângulos congruentes? Por quê?
4. O que observamos em relação às medidas dadas nos triângulos?
5. Registre uma propriedade que pode facilitar a verificação da congruência de dois
triângulos.
6. Repetir os passos de 2 a 5 para os grupos II e III.
Figura 1- Composição do modelo.
Figura 2- Casos de Congruência de Triângulos.
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Esse modelo é composto de 14 triângulos congruentes construídos com papel cartão
(de preferência de cores distintas) (Figura 3). Essa atividade pode ser desenvolvida com
mais de 14 triângulos e também com outros polígonos.
Objetivo
Considerando um triângulo do modelo (Figura 3) construir triângulos semelhantes a este
com os demais triângulos para visualizar a relação entre as áreas de triângulos semelhantes.
Congruência e Semelhança de Triângulos...
Modelo- Relação Entre Área de Triângulos
Semelhantes
Modo de Utilizar
1. Observe um dos triângulos do modelo, e chame-o de T1.
3. Compare a área de T2 com a área de T1. Registre a relação obtida.
4. Construa um triângulo T3 semelhante a T1, triplicando as medidas dos lados correspondentes.
5. Compare a área de T3 com a área de T1. Registre a relação obtida.
6. Se construirmos um triângulo TN semelhante a T1, multiplicando a medida dos
lados de T1 n vezes, qual a relação entre a área de TN e T1?
Figura 3- Composição do modelo.
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2. Utilizando os triângulos do modelo construa um triângulo semelhante a T1, dobrando as medidas dos lados correspondentes, chamando-o de T2.
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Resultados
A utilização desses modelos como recurso didático em sala de aula ajudam a despertar o interesse do aluno pela geometria. É possível obter do próprio aluno, as propriedades geométricas relacionadas com o modelo trabalhado, além de resgatar o conhecimento prévio do aluno relacionado ao conteúdo vinculado ao modelo. Em particular,
com o modelo de Razão e Proporção é possível que os alunos compreendam a definição
de segmentos proporcionais, fundamentais nas definições de semelhança e congruência
de triângulos.
Com o modelo de Congruência de Triângulos é possível que os alunos consigam visualizar os casos de congruência de triângulos a seguir.
1º CASO: LAL (lado, ângulo, lado): Se dois triângulos têm respectivamente dois lados
correspondentes e o ângulo entre eles congruentes, então esses triângulos são congruentes.
2º CASO: ALA (ângulo, lado ângulo): Se dois triângulos têm respectivamente dois
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ângulos correspondentes e o lado entre eles congruentes, então esses triângulos são congruentes.
3º CASO: LLL (lado, lado, lado): Se dois triângulos têm respectivamente três lados
correspondentes congruentes, então esses triângulos são congruentes.
Observamos que em cada grupo de triângulos uma situação problema foi colocada. Em
resoluções de exercícios os alunos cometem o erro de dizer que dois triângulos tendo dois
lados com a mesma medida e um ângulo com a mesma medida são congruentes. Com o modelo
apresentado é possível ele verificar concretamente que isso não é o que ocorre.
Finalmente, com a aplicação do modelo da Relação entre as áreas de triângulos semelhantes os alunos devem apresentar os triângulos como na Figura 4, possibilitando ao
aluno verificar concretamente que ao duplicar os lados correspondentes de um triângulo
para obter o triângulo semelhante a ele, a área não duplica, como é a resposta de muitos
alunos a princípio, e sim quadruplica. Analogamente, quando triplicamos o lado ele consegue visualizar a relação entre as áreas e muitos conseguem generalizar o resultado como
solicitado em 6 no modo de utilizar do modelo.
Embora neste trabalho foi apresentado somente o modelo com uma medida específica
para cada lado das figuras envolvidas, na prática é importante que o mesmo aluno trabalhe
com mais de um modelo em uma mesma atividade e com medidas distintas. Isso leva o
aluno a perceber que a mesma propriedade pode ser obtida em cada modelo, podendo
assim formalizar as propriedades. Após a formalização das propriedades pelo aluno há
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antes a propriedade, o que aumenta o seu interesse em verificar a sua validade.
Congruência e Semelhança de Triângulos...
necessidade de demonstrá-las. No entanto, foi dada a oportunidade ao aluno de visualizar
Figura 4- Triângulos Semelhantes.
Ensino intitulado “Material Concreto para o Ensino de Geometria”, coordenado pela autora deste trabalho e com a colaboração dos docentes de matemática das escolas citadas e
dos estagiários do projeto, sendo esses alunos da Licenciatura da Matemática da UNESP
de São José do Rio Preto.
A figura 5 apresenta fotos das escolas durante a aplicação dos modelos apresentados e
da exposição realizadas na UNESP sobre o projeto anteriormente citado.
Na exposição foram apresentados os trabalhos desenvolvidos durante a aplicação do
projeto nas escolas e os modelos puderam ser manipulados pelos visitantes. Foram convidados para a exposição os alunos das próprias escolas envolvidas no projeto e os alunos da
UNESP de São José do Rio Preto. Essa atividade foi importante no desenvolvimento do
projeto. A exposição foi agendada desde o início e os alunos mostraram interesse em divulgar o que conseguiram fazer. Ajudou incentivá-los a desenvolver as atividades propostas em sala de aula. Houve também a troca de experiência entre os trabalhos das diferentes
escolas. Para os alunos da UNESP foi dada a oportunidade de conhecerem como podem
trabalhar nas escolas utilizando novas metodologias de ensino.
379
Durante o ano de 2007 essa metodologia de ensino foi aplicada com êxito na Escola
Estadual Profa. Maria de Lourdes Murad de Camargo e nas Escolas Municipais Darcy
Ribeiro e Michel Pedro Sawaya de São José do Rio Preto, através do projeto do Núcleo de
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Figura 5- Fotos das escolas e exposição.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004.
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Coleção: A escola é nossa- Matemática 4ª série. São Paulo: Scipione, 2003.
[3] DOLCE, OSVALDO e Pompeo, J.N. Fundamentos da Matemática Elementar. V.9,
São Paulo: Atual, 2003.
[4] IEZZI, GELSON; Dolce, O. e MACHADO, A. Matemática e Realidade- ensino
Fundamental. São Paulo: Atual, 2005.
[5] IMENES, JAKUBO, LELLIS. Coleção: Para que serve Matemática? Semelhança. São
Paulo: Atual, 1992.
[6] LINDQUIST, M. M. & SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando a Geometria. São
Paulo: Atual, 1998.
[7] Secretaria de Estado da Educação - São Paulo. Experiências Matemáticas – 6a, 7ª e 8ª
Série. São Paulo: SE/CENP, 1998.