Potenciação
a.a.a.a......a
  a
n
n vezes
a é a base e n é chamado de expoente.
Ex.: 2³ = 2 . 2 . 2 = 8
Atenção: - 2² = - ( 2. 2 ) = - 4
Não esqueça: a) 0a = 0
b) 1a = 1
c) a0 = 1
d) a1 = a
e) 10³ = 1000 (O expoente indica o número de zeros)
Notação Cientifica
Todo número N, não nulo pode ser escrito numa das formas:
N = a . 10m
ou
N = - a . 10m
Com ( 1 ≤ a <10)
2° caso – Os radicais tem índices diferentes
Neste caso, reduzimos os radicais ao mesmo índice e a seguir procedemos como no caso anterior. Ex.: 2. 3 2  6 23 . 6 22  6 23  2  6 25
Divisão
1° caso – Radicais com o mesmo índice
Ex.: 3 20 : 3 10  3 2
2° caso – Radicais com índices diferentes
Ex.: 2 : 3 2  6 23 : 6 22  6 23  2  6 2
Potenciação de radicais
Conservamos o índice do radical e elevamos o radicando à potência
indicada.
Ex.:
m
 a
n
 4
4
 n am
2

4
42  4 16  2
Radiciação
Devemos multiplicar os índices dos radicais e conservar o radicando.
Propriedades da Potenciação:
m
n
m n
2° - a : a  a
n
 
3° - am
a

b
n
4° - 
 am.n
b 
 
a
n
4 3
Ex.:
1° - am. an  am  n
x 
2.4.3
x 
24
x
Racionalização de denominadores
1° caso –O denominador é um radical de índice 2.
Ex.: 4 . 2  4 2  4 2  2 2
2
2
2
4
2° caso – O radical não é de índice 2.
2
Ex.:
5
7
2

5
73
5
3
7

2 5 73
5
7

5
2 5 73
7
n
an
a
 n

b
b
3° caso – O denominador é uma soma ou uma diferença entre dois
termos, sendo que pelo menos um deles é um radical.
5° 
n
n
n
2
6° (a.b) = a . b
7 3
Radicais
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita, sob forma de radical e todo radical pode ser escrito em forma de potência
com expoente fracionário.
6
Ex.:
Ex.: 2
Genericamente temos: n am  a , onde :
n é chamado de índice da raiz
m
a é o radicando
Propriedades dos Radicais
n
a

b
n
3º 
np
4º 
5º 
n
a.b 
2º 
a.b b
n
a
n
b
amp  n am
 a
n
n m
m
a 
 n am
n.m
a
Simplificação de radicais:
Ex.:
8

7 3
4
m
n
1º 
7 3
49  9
2
76  7 2

23  22.2  2 2
Introdução do fator externo no radical
Ex.: a b  a2 .b
Lembre que, introduz-se o fator com o expoente igual ao índice da
raiz.
.
7 3
7 3
  2

2


7 3
73

7 3

7 3 .

7 3



7 3
2
Casos de fatoração
Caso 1 – Fator comum em evidência
Coloca-se os termos comuns da expressão.
Ex.: 1) 3a + 3b = 3.(a + b)
2) a² + 3a = a.(a + 3)
Caso 2 – Agrupamento
Ex.: ax + ay + bx + by =
a(x + y) + b(x + y)= (a + b).(x + y)
Ex.: ax – bx + 2a – 2b =
x(a - b) + 2(a - b) = (a - b).(x + 2)
Caso 3 – Diferença de dois quadrados
Ex.:
x² - 9 = x² - 3² = (x + 3).(x -3)
Caso 4 – Trinômio quadrado perfeito
Ex.:
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Ex.:
x² - 2xy + y² = (x – y)²
Caso 5 Soma e diferença de cubos
a3 + b3 = (a + b).(a² - ab + b²)
a3 – b3 = (a - b). (a² + ab + b²)
Caso 6 Cubo da soma e da diferença
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)3
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
Radicais semelhantes
Ex.: 2 3 e -4 3 , são semelhantes, pois possuem o mesmo radicando
Operações com Radicais
Adição e Subtração
Multiplicação
1° caso - Os radicais tem o mesmo índice
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos
Ex.: 4 2. 4 8  4 16  2
Números proporcionais
Razão: A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo
segundo. Assim, a razão entre os números a e b, nesta ordem, é o
quociente:
Proporção: Denomina-se proporção a igual-dade entre duas ou mais
95
Desvio Padrão : Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos
dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão
com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da
razões.
A igualdade
é uma proporção que é lida da seguinte forma: a está para b à
mesma proporção que c está para d.
Regra de três simples
É o processo utilizado para resolver problemas com duas grandezas,
podendo ser diretamente ou inversamente proporcional.
Regra de três composta
A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução
de problemas que envolvem mais de duas grandezas.
variância e obtemos o desvio padrão:
DP  VA
Estudo das funções
Definição de Função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f de A em B
(escreve-se f: A— B) é uma relação que associa cada elemento x e A
a um único elemento y e B:
Porcentagem.
O termo percentual (%), refere-se a uma fração de denominador 100.
Ex. 25% é o mesmo que 25/100
Cálculo do percentual de uma quantia.
Determine 5% de 20:
5/100. 20 = 100/100 = 1
JUROS SIMPLES (não há a incidência de juros sobre juros no período)
J = CIT
M= C+J
JUROS COMPOSTOS ( Há a incidência de juros sobre juros no
período )
M = C(1+ I)T
J=M– C
Nos
dois
exemplos
a
f: A → B não representam funções:
seguir,
as
relações
Note que -1 A não tem elemento de B relacionado; logo, como nem
todo elemento x
 A tem correspondência com y  B,
f: A → B não representa função.
Para ambos os casos temos:
J = juro
C = capital
t = tempo
M = montante
i = taxa( que deve ser usada na forma nominal, 25% = 0,25)
Estatística
Medidas de tendência central:
Média, Moda e Mediana.
Média aritmética simples: Define-se co-mo média aritmética simples
dos números x1, x2 , x3 ....xn ao número Ma, tal que:
Média aritmética ponderada: Define-se como média ponderada ou
média aritmética ponderada dos números x1 , x2, x3 , ..., xn, com pesos
P1 , P2, P3,....,Pn respectivamente, ao número Mp , tal que:
Como 2 A está relacionado com dois elementos em B (3 e 4), não é
função, pois cada x e A deve ter um único elemento y em B relacionado.
Dominio, contradominio e imagem
Considerando o diagrama a baixo, temos:
MÉDIA GEOMÉTRICA: Consideremos uma coleção formada por n
números racionais não negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses
números, isto é:
G=
n
x1 .x 2 .x 3 ....x n
MÉDIA HARMÔNICA: A média harmônica de n números reais positivos x1, x2,... , xn é o número real positivo H, definido por:
MODA: Chama-se Moda de um conjunto de dados ao dado que
ocorre com maior frequência.
MEDIANA: É o elemento que ocupa a posição central do conjunto,
estando os elementos organizados em ordem crescente ou decrescente. Obs.: Quando o conjunto possuir um número par de elementos a
mediana é a média aritmérica dos dois elementos que ocupam a
posição central.
Medidas de dispersão
Variância: A variância é definida como sendo “a média dos quadrados
dos desvios em relação a média aritmética”. Por desvio entende-se a
diferença entre um valor do conjunto e a média.
N
∑( xi
VA = i =1
N
96
μ) 2
Domínio D(f) = A = {-1,0,1,2}
Imagem Im(f) = {7,8,9,10}
Contradomínio
CD(f) = B = {5,6,7,8,9,10,11}
Função Constante
Uma função f: IR → IR é denominada função constante quando
assume a forma
y = f(x) = k, onde k é um número real.
Diagrama
Gráfico
xv  
b
2a
Yv  

4a
 A imagem da função é dada a partir do Yv, podemos ter os seguintes casos:
Função do 1° Grau ou Afim
y = f(x) = ax + b
Coef. Linear
Coef. angular
Na representação gráfica podemos ter:
a>0
a<0
y
y
b
b
-b/a
-
x
x
Crescente
Decrescente
IMPORTANTE: * O gráfico de uma função de 1° grau é uma reta. * O
termo independente (b), indica onde o gráfico corta o eixo y. * A reta
corta o eixo x, no ponto (-b/a; 0), onde –b/a é a “raiz” da função.
Função do 2° Grau ou Função Quadrática
y = f(x) = ax² + bx + c
Na representação gráfica podemos ter:
Função Par
Uma função f é denominada função par se, e somente se, elementos opostos quaisquer do domínio possuem imagens iguais:
f (-x ) = f (x)
Ex.: f(x) = x²
Se x = 2, temos f(2) = 2² = 4
Se x = -2, temos f(-2) = (-2)² = 4
Função Ímpar
Uma função f é denominada função ímpar se, e somente se, elementos opostos quaisquer do domínio possuem imagens opostas:
f(-x) = - f(x)
Ex.: f(x) = x³
Se x = 2, temos f(2) = 2³ = 8
Se x = - 2, temos f(- 2) = (-2)³ = -8
Observações:
* a função trigonométrica f(x) = senx, é uma função ímpar, pois:
sen(x) = - sen (-x)
* A função trigonométrica f(x) = cosx, é uma função par, pois:
cos(x) = - cos(x)
Composição de funções
Uma função composta é uma função que substitui as aplicações
sucessivas de duas funções.
Dadas duas funções f(x) e g(x), podemos ter:
f(g(x)) ou fog(x), é a f(x) composta com g(x).
g(f(x)) ou gof(x), é a g(x) composta com f(x).
Importante:
 Os valores x’ e x” são chamados de raízes da equação, para encontrá-los aplicamos a fórmula de baskhara na equação:
ax² + bx + c = 0.
 O gráfico da função é chamado de parábola, podendo ter concavidade para cima (a > 0) , neste caso temos um ponto mínimo ou
para baixo (a < 0) neste caso temos um ponto máximo.
 Para encontrar as Coordenada do vértice:
Exemplo: Sendo f(x) = 2x² e g(x) = x + 1, obtenha (g o f)(x).
Resolução: (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = f(x) + 1
(gof)(x)= 2x² + 1
97
Função Injetora
Uma função é classificada como injetora, quando, valores diferentes
de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠f(x2)
Progressão aritmética
Definição: Uma seqüência (a1, a2 , a3,....) é uma progressão aritmética
(PA) se, e somente se, cada termo, a partir do segundo, for igual à
soma do termo anterior com uma constante “r” denominada razão da
PA.
r = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = ...
Função Sobrejetora
Quando o contradominio da função for igual ao conjunto imagem,
tal função é dita sobrejetora.
Cálculo da Razão
Note que:
A2 = a1 + r
A3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
A4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
A5 = ............................. = a1 + 4r
A6 = ............................. = a1 + 5r
Logo:
an = a1 + (n - 1).r → termo geral.
Elementos: an = termo geral
a1 = primeiro termo
n = número de termos
r = razão
Notações Especiais
Ex.: A função f: IR → [1,+∞) é sobrejetora
 PA com 3 termos:
(x - r, x, x + r) razão → r
Função Bijetora e Função Inversa
Uma função f: A → B é bijetora, se ela for, simultaneamente, injetora e sobrejetora.
Dada uma função f: A → B, bijetora, chamaremos de função inversa de f à função g: B → A tal que se f(a) = b, então g(b) = a, quaisquer que sejam a  A e b B. A função inversa de f será denotada
(ou representada) por f -1 (x).
Para encontrarmos a inversa de uma função bijetora, seguimos um
procedimento prático: trocar as variáveis (trocar x por y e y por x);
isolar y
Função Modular
Uma função f: IR → IR definida por:
f(x) = │x│ é dita função modular.
O gráfico da função modular é construído, atribuindo-se valores a
x, ou seja:
 PA com 4 termos:
(x - 3t, x - t, x + t, x + 3t) razão → 2t
 PA com 5 termos:
(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r) razão → r
Propriedades
 P1: Termo Médio Dados três termos consecutivos em PA, o termo
do meio é média aritmética dos outros dois. Se (...,a, b, c,...) é PA,
então:
 P2: Soma dos Termos Equidistantes dos Extremos Em toda PA
finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à
soma dos extremos.
Interpolação Aritmética
Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre os números a e b
significa construir uma PA com k + 2 termos, onde a é o primeiro
termo e b é o último.
Equação Modular
Uma equação é classificada como modular, quando a variável estiver dentro de módulos.
Exemplo: Resolva a equação │x – 4│ = 3
Podemos ter:
x–4=3
ou
x-4=-3
x=7
x=-1
S{-1, 7}
98
K=n-2
Soma dos termos:
A soma Sn dos n primeiros termos de uma PA é dada por:
Progressão geométrica
Definição: Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5,...) é uma progressão
geométrica (PG) se, o somente se, cada termo, a partir do segundo,
for igual ao produto do termo anterior por uma constante “q” denominada razão do PG.
Cálculo da razão:
q 
a2
a1

a3
a2

a4

a3
a5
 .....
a4
Inequações exponenciais
Caso 1 → 2x + 2 > 8
x+2
2
> 2³
x+2>3
x > 1.
Caso 2
1 
 
3
Note que:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q²
a4 = a3 . q = a1 . q² . q = a1 . q³
a5 = ............................= a1 . q4
a6 = ............................= a1 . q5
logo: an = a1 . qn - 1
1 
 
3
x+1
x+1
1
  
9
1
  
3
-2x+3
-4x+6
x + 1  - 4x + 6
x + 4x  6 - 1
→ termo geral da PG
Notações Especiais
Para resolvermos problemas de PG com 3, 4 ou 5 termos desconhecidos, é conveniente utilizarmos as seguintes notações:
 PG de 3 termos:
Note que, quando a
base é um número
compreendido entre
0 e 1, quando cancelamos as bases,
invertemos o sinal da
desigualdade
5x  5  x  1
Logaritmos
Definição de Logaritmo
Dados dois números reais positivos a e N, com a ≠ 1, denominase logaritmo de N na base a o expoente x ao qual deve-se elevar a
base a para obter-se o número N.
 PG de 4 termos:
(a > 0, a ≠ 1, N > 0)
 PG de 5 termos:
Propriedades
 P1: Termo médio: Dados três termos consecutivos em PG, o
termo do meio é média geométrica dos outros dois. Sendo
( ... , a, b, c, ...) uma PG, temos:
 P2: Produto dos termos equidistantes dos extremos: Em toda
PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual
ao produto dos extremos.
Exemplos:
 log28 = 3, pois 23 = 8
 log464 = 3, pois 4³ = 64
 log1/216 = - 4, pois (1/2)-4 = 16
Conseqüências da definição:
A partir da definição provam –se as seguintes igualdades:
loga1 = 0 logaa = 1
logaan = n alogax = x
Obs.: Dois sistemas de logaritmos destacam-se por sua ampla utilização: sistema decimal e sistema neperiano.
 Sistema decimal
No sistema de base 10, por convenção, pode-se omitir a base do
logaritmo: log x = log10 x
Interpolação Geométrica
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os números a e b
dados, significa construir uma PG com k + 2 termos, onde a é o
primeiro termo e b é o último.
 Sistema neperiano: O sistema neperiano é o sistema de base e,
onde e = 2,718..., dado por: logex = ln x
Propriedades:
 P1 - logaritmo de produto:
 P2 - logaritmo do quociente:
K=n-2
Soma dos termos de uma pg finita (sn )
 P3 - logaritmo da potência:
ou então por:
Obs.: quando q = 1, a soma é dada por:
Sn = n . a1
Som a dos infinitos termos de uma pg (s∞)
sendo -1 < q < 1
Equações exponenciais
É toda aquela em que a variável se apresenta no expoente.
x–1
Exemplo → 3
= 27 →
3 x – 1 = 33 para resolver
igualamos
x–1= 3
as base
x = 4 → S = {4}
Cologaritmo
Mudança de base
Importante: Uma conseqüência de mudança de base é:
 Equações Logarítmicas
Equação logarítmica é toda equação que pode ser reduzida à forma
logaX = logaY.
↕
X=Y
Exemplo: log3 (x - 7) = log3 9
x-7=9
x = 16
99
 Inequações Logarítmicas:
Podemos ter 2 casos;
• C1
LogaX > logaY → com a > 1
↕
X >Y
• C2
LogaX > logaY → com 0 < a < 1
↕
X< Y
Funções Exponenciais
Sendo a (a > 0 e a ≠1) um número real, denomina -se função exponencial de base a, a função f: IR→ IR*+, definida por:
y = f(x) = ax
O gráfico de f(x) pode é uma assíntota, crescente ou decrescente,
observe:
Gráfico 1 - base maior que 1
Importante:
1. O gráfico das funções y = ax e y = logax, são simétricos em relação
a reta y = x.
2. a Função exponencial é a inversa da função logarítmica.
Unidades de medida
Geometria plana
a>1
Teorema de talles
Abaixo o gráfico da função f(x) = 2x
Gráfico 2 - base entre 0 e 1
0<a<1
Abaixo o gráfico da função f(x) = (1/2)x
Um feixe de retas paralelas, interceptando duas retas transversais,
determina nessas transversais segmentos proporcionais.
Triângulo retângulo
Como podemos observar, se:
Teorema de pitágoras:
a² = b² + c²
 Relações métricas:
Função Logaritmica
Sendo a IR, onde a > 0 e a ≠1, define-se, como função logarítmica de base a, toda sentença f: IR* + → IR, que a cada x  IR faz
corresponder um y IR, ou seja:
Obs.:
1) O domínio de uma função logarítmica é IR* +.
2) O conjunto imagem de uma função logarítmica é IR.
A curva que representa o gráfico da função logarítmica pode ser:
 Crescente: a > 1
Poligonos convexos:
Polígonos convexos são os polígonos
simples tais que toda a reta que passa
por dois vértices consecutivos deixa todos
os outros vértices num mesmo semiplano.
* Um polígono convexo é regular se todos os
lados forem congruentes e todos os ângulos também forem congruentes.
Número de diagonais de um poligono convexo:
Soma dos ângulos internos de um poligono convexo: Si = 180° .
(n-2)
Soma dos ângulos externos de um poligono convexo: se = 360°
 Decrescente: 0 < a < 1
100
• Se o polígono convexo é regular, cada ân-gulo interno tem medida í,
em que:
• Se o polígono convexo é regular, cada ân-gulo externo tem medida
ê, em que:
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS:
1. Triângulo:
Circunferência:
Circunferência é o conjunto dos pontos de um
plano cuja distância a um ponto dado desse
plano é fixa. O ponto é o centro, e a distância
fixa é o raio.
2. Paralelogramo:
Circulo:
Círculo é o conjunto dos pontos de um plano
cuja distância a um ponto dado desse plano é
menor ou igual a uma distância (não-nula)
fixa.
Comprimento da circunferência
Área do círculo
3. Retângulo
Área de um Setor Circular
Efetuamos os cálculo por regra de três:
4. Quadrado
Potência de um Ponto:
5. Losango
Obs.: Se um dos segmentos for tangente, a relação será:
6. Trapézio
101
Ângulos na circunferência:
A medida de um ângulo inscrito numa cinunferência é a metade da
medida do correspondente ângulo central:
Unidades usadas para medir arcos e ângulos:
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o
radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são
o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Obs.: O grau possui submúltiplos: minuto( ’ ) e o segundo ( ” ), com
as seguintes equivalências:
1° = 60’ e 1’ = 60”
Conversão de unidades
Relações métricas nos
Poligonos regulares
Trigonometria no Triângulo retângulo
 3
h 3
2
Triângulo Eqüilátero
r 
1
h
3
R
2
h
3
a
R
2
S
23
Ângulo
3
Lado adjacente
C
c cateto oposto
b cateto adjacente
B
b cateto oposto
c cateto adjacente
4
Razões Trigonométricas
Notação
Quadrado
d  4 2
Lado oposto
R 
4 2
2
medida do cateto oposto a Ө
sen(Ө)
medida da hipotenusa
S  24
a
Definição
R 2
2
medida do cateto adjacente a Ө
cos(Ө)
medida da hipotenusa
Hexágono Regular
 3
r  6
2
R  6
a
R 3
2
medida do cateto oposto a Ө
tan(Ө)
medida do cateto adjacente a Ө
Ângulos notáveis
 2 3 

S  6
 4 


Trigonometria
Medidas de arcos e ângulos
A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central.
Circunferência trigonométrica
Consideremos uma circunferência de raio unitário (R = 1), associada a
um sistema de eixos cartesianos ortogonais, para a qual valem as
seguintes convenções:
102
I. A origem do sistema coincide com o centro da circunferência.
Secante e cossecante
II. O ponto A de coordenadas (1, 0) é a origem de todos os arcos a
serem medidos na circunferência.
III. O sentido positivo de percurso é o anti-horário e o negativo é o
horário,
Obs.: O ponto A está associado ao arco de 0°. Os pontos B, C e D
estão associados, respectivamente, às extremidades dos arcos de 90°,
180° e 270°.
Cotangente
Expressão geral dos arcos côngruos
Dado um arco θ no ciclo trigonométrico, tal que: 0° < θ < 360°
A expressão geral de todos os arcos que são côngruos a θ é dada
por:
EG = Ө + 360°.k
(em graus)
ou
EG = Ө + 2 .K
(em radianos)
Onde Ө é a menor determinação do arco e K Є Z.
Obs.: entenda por arcos côngruos aqueles que possuem os mesmos
extremo no ciclo trigonométrico.
Ex: Obter a menor determinação e dar a expressão geral de todos os
arcos côngruos do arco de 1 210°:
Variação do sinal nos quadrantes
Cosseno
Seno
Logo: EG = 130° + 360°k
Razões trigonométricas no
Ciclo trigonométrico
Tangente
Redução de arcos ao 1º quadrante:
Para reduzir um arco “Ө” qualquer pertencente ao 2º, 3º ou 4º
quadrantes, a um correspondente arco no primeiro quadrante, com o
mesmo valor da razão trigonométrica (em módulo):
(1) localize o quadrante em que está o arco a ser reduzido;
(2) verifique o sinal da razão trigonométrica no referido quadrante;
(3) faça a redução do arco conforme segue:
103
Funções trigonométricas
Função Cosseno:
Operações com Arcos
sen(a ± b) = sen(a)cos(b) ± sen(b)cos(a)
cos(a ± b) = cos(a)cos(b)
sen(a)sen(b)

tan(a) ± tan(b)
Gráfico (Cossenóide)
tan(a ± b)=
1

tan(a)tan(b)
Arcos duplos
sen 2a = sen ( a + a)
= sena.cosa + sena.cosa = 2.sena.cosa
cos 2a = cos (a + a)
= cosa.cosa – sena.sena = cos² a – sen² a
tan 2a = tan(a + a)
=
Função Seno:
Gráfico (Senóide)
tan a  tan a
2. tan a
=
1  tan a. tan a
1  tan²a
Relações Trigonométricas
sen² x = 1 - cos² x
sen² x + cos² x = 1
cos² x = 1 – sen² x
Trigonometria em Triângulo Qualquer
Lei dos senos:
Obs.:
 Em ambas as funções temos a imagem sendo [-1 , 1]
 O período e a imagem das funções da forma
y = a + b.sen(mx+n)
ou
y = a + b.cos(mx+n),
com b ≠ 0 e m ≠ 0, são dados por:
b deve ser tomado em módulo.
Função Tangente
Gráfico (tangentóide)
Propriedades:
1. O domínio da função tangente é formado por todos os arcos que
são diferentes  /2 rad e 3  /2 rad e de seus arcos côngruos, ou
seja:
2. A imagem da função é IR.
3. tg(x) é uma função ímpar, pois:
tg(x) = - tg(-x)
104
Lei dos cossenos:
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER:
Se em um triângulo qualquer, são conhecidos as medidas de dois
lados e do ângulo formado por estes dois lados, podemos calcular sua
área da seguinte maneira:
Im(z)
P
b
│Z
θ
a
Números complexos
Número complexo é todo aquele que pode ser escrito na forma:
Z = a + bi
Com a, b IR, i =
1
Obs:
1) O número complexo é real, se: Z e IR →b=0
2) No número complexo Z = a + bi, temos: a: parte real de Z; b:
parte imaginária de Z
3) Um número complexo Z = a + bi é dito imaginário puro se, e
somente se, a = 0 e b≠0.
4) Todo número real é complexo.
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
Dados dois complexos Z1 = a1 + b1i e
Z2 = a2 + b2i, teremos:
Re(z)
1 - θ é chamado de argumento do número complexo.
2 - │Z│ é o módulo do complexo,
Z│² = a² + b²,
3 - O ponto P é chamado de afixo de Z
4 - Todos os números reais têm seus afixos no eixo real.
5 - Os números imaginários puros têm seus afixos no eixo imaginário.
Forma trigonométrica
Z
Z=
(cos Ө + i . sen Ө )
Operações na Forma Trigonométrica
Multiplicação
z1.z2  z1 . z2 (cos(1   2 )  i.sen(1  2 ))
Divisão
z
z1
 1 (cos(1   2 )  i.sen (1   2 ))
z 2 z2
Potenciação
n
z n  z .(cos( n )  i.sen(n ))
Polinômios
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número comploxo Z, na forma algébrica Z = a + bi, com a,b
e IR, define-se o complexo conjugado de Z como sendo:
Z = a - bi
Operações na forma algébrica:
A adição (ou subtração) e a multiplicação de números complexos
da forma a + bi são efetuadas de forma análoga às operações envolvendo binômios da forma a + bx.
Divisão: A divisão entre dois números complexos, escritos na forma, algébrica, é efetuada multiplicando-se o numerador e o denominador da divisão, pelo conjugado do denominador.
Potências da unidade imaginária
Vamos considerar a unidade imaginária i, e sua potências para expoentes naturais:
i0 = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i². i¹ = - 1. i = - i
i4 = i³ . i¹ = - i. i = - i² = - ( - 1 ) = 1
i5 = i4 .i1 = 1 . i = i
i6 = i5 . i¹ = i . i = i² = - 1
Observe que à medida que o expoente vai aumentando, os resultados vão se repetindo periodicamente:
1; i ; - 1 ; - i
Com o período de repetição de 4 unidades.
Assim para calcular i722 , procedemos da seguinte forma
722 4
2
logo i722 = iresto = i2 = - 1
180
O Plano Complexo ou
Plano de Argand – Gauss
Representando-se graficamente o complexo Z = a + bi, temos:
Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda
função definida pela relação
P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0
Onde: an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados
coeficientes. n  IN e x é a variável.
Grau de um Polinômio: Grau de um polinômio é o expoente máximo
que ele possui. Se o coeficiente an0, então o expoente máximo n é
dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n.
Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.
b) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.
Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
Valor Numérico
Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
3
2
P(x)= x +2x +x - 4
P(2)= 23 +2.22+2 - 4
P(2)= 14
Obs.: Se P(a) = 0, o número a é chamado raiz ou zero de P(x).
Operações com Polinômios
Por meios de exemplos, vamos mostrar a adição, subtração e multiplicação de polinômios, e em seguida estudaremos detalhadamente
a divisão.
1°) Se P(x) = 3x² + 2x – 1 e Q(x) = - x3 + 4x² - 2x – 5, temos:
P(x) + Q(x)
= 3x²+2x–1-x3+4x²-2x–5=-x3 +7x² - 6
2°) Se P(x) = 3x² - 4x + 1 e Q(x)=5x²-3x+4, temos
P(x) – Q(x)
=3x²-4x+1– (5x² - 3x + 4) = - 2x² - x – 3
3°) Se P(x)=3x – 4 e Q(x) = - 2x + 5, temos:
P(x).Q(x)=(3x–4)
(-2x+5)=-6x²+15x+8x–20=-6x²+23x–60
Divisão
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e
R(x), tais que:
105
* Quando R(x) = 0, P(x) é divisível por D(x)
Dispositivo de Briot – Ruffini
Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x + a) ou (x - a)
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3 - 5x2 + x - 2 por (x - 2).
Resolução:


2
RAIZ DO DIVISOR
COEFICIENTES DE P(x)

3
5
1
2

3.(2)  5
4 

COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(x)
RESTO
Divisibilidade pelo produto
Se um polinômio é divisível separadamente pelos binômios x – a e x –
b coma a ≠ b, então P(x) é divisivel por
(x – a ).(x – b )
Equações algébricas
Chamamos de EQUAÇÃO POLINOMIAL ou ALGÉBRICA de grau n
toda equação do tipo:
P(x) = 0. Onde P(x) é um polinômio de grau n(n > 0) na variável x.
Importante:
1) O número de raízes de uma equação é sempre igual ao grau da
equação e estas raízes serão reais ou complexas.
2)
O
número
real
a
é
a
raiz
da
equação
P(x) = 0 se e somente se P(a) = 0.
3) Toda equação algébrica admite ao menos uma raiz.
4) Se o número complexo z=a+bi é raiz da equação P(x)=0, de
coeficientes reais, então seu conjugado |z|=a+bi também é raiz desta
equação.
Teorema da Decomposição
Toda equação algébrica de grau n(n ≥ 1), pode ser decomposta em
n fatores do 1° grau, na forma:
an.(x - R1) .(x - R2)(x - R3 )(x - R4)......(x – R0 )
onde: R1 , R2, R3 R4 , ..... R0 são raízes
Multiplicidade de uma Raiz
Indica o número de vezes que um determinado valor é raiz da equação.
(x-1). (x-1) .(x+2) .(x+2) .(x+2) (x-3) = 0
(x - 1)2 . (x+2)3 . (x - 3) =0
S =(1, -2, 3} número de raízes: 6
1: raiz de multiplicidade dois
- 2: raiz de multiplicidade três
3: raiz simples
Relações de Girard
3.(2)  2
3
13

Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual
ao valor numérico de P para x = -b/a, ou seja.
Resto = P(-b/a).
Equação do 2° grau:
1.(2)  1
Análise combinatória
Fatorial (!)
Sendo n  N chama-se fatorial de n ao produto do número n pelos
seus antecessores até atingir a unidade.
n! = n(n-1)(n-2)(n-3).............. 3, 2,1
Ex. 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
0!  1

1!  1
IMPORTANTE
Pricípio multiplicativo da contagem:
Considere um acontecimento que pode ser dividido em dois eventos
consecutivos. Se para realizar o 1° evento existem “m” possibilidades
e, para realizar o 2° evento, “n” possibilidades, então para a ocorrência desse evento existem:
m.n possibilidades
Permutação
É um tipo de grupamento em que todos participam modificando
apenas pela ordem (posição) de seus elementos.
Pn  n!  n.(n  1).(n  2)....3.2.1
Ex.: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra
AMOR.
P 4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 anagramas
Perm utação com Repetição
n!
Pn,, ,... 
 !! !...
Importante: ,β,γ,... indicam o n° de repetições de determinados
elemento.
Ex.: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra
MICHIGAN?
8! 8.7.6.5.4.3.2!
P 2

 20160
8
2!
2!
Arranjo Simples: É o tipo de grupamento sem repetição em que
um grupo DIFERE de outro pela ordem (posição) de seus elementos.
A pn  A n,p 
Equação do 3° grau
n!
(n  p)!
Ex.: Em um colégio há 8 alunos, concorrendo à presidência e vicepresidêcia do grêmio estudantil. De quantas formas os cargos podem ser preenchidos?
8!
8.7.6 !
2
A 

 56
8
(8  2) !
6!
Com binação Simples
É o tipo de grupamento sem repetição em que um grupo NÃO difere
do outro pela ORDEM de seus elementos.
106
Cpn  Cn,p 
( x + a )n → ( coeficiente do 1º + coeficiente do 2º)n
n!
P!(n  p)!
Ex: Determinar a soma dos coeficientes dos binômios:
( x + 2 )3 = ( 1 + 2 )3 = 33 = 27
Ex.: De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de
salão dispondo de 8 atletas.
C vaga
candidato
C 58 

8.7.6.5.4
 56
5.4.3.2.1
e, ou
Muito Cuidado
Restrição
Em um hospital há 7 médicos e 10 enfermeiras. Quantas comissões
de 3 médicos e 4 enfermeiras podemos formar sendo que o médico
chefe e a enfermeira chefe participam de todas as comissões.
4 1
C 37 11 e C10-1
C
2
6

Matrizes
Definição: Chama-se matriz do tipo m x n uma tabela de números
dispostos em m linhas e n colunas.
C
3
9
Indicam-se os seus elementos por aij, sendo i o número da linha e j
o número da coluna. Os elementos da matriz podem ser dados por
uma lei de formação, por exemplo:

6.5 9.8.7


 1260
2.1 3.2.1
Probabilidade
Experimento Aleatório: São os resultados, que podem ser diferentes, quando repetidos nas mesmas condições.
Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório por isso também é chamado equiprovável
quando todos tem as mesmas chances de ocorrer.
Evento: É um subconjunto do espaço amostral. Ex.
número par no lançamento de um dado E = { 2, 4, 6 }
Tipos de matrizes
Matriz Nula: é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a
zero.
Ocorrer um
Matriz Quadrada: Se m = n
Evento Certo: é o próprio espaço amostral
Evento Complementar: É o subconjunto do espaço amostral do qual
não poderá ocorrer o evento Ec = { 1, 3, 5 }
Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos são mutuamente
exclusivos quando não apresentam resultados em comum, ou seja:
A∩B=Ø
Probabilidade de que ocorra um Evento: É o quociente entre o
número de eventos favoráveis pelo número de eventos do espaço
amostral
P(E) 
n(E)
no Favorável
 Probabilidade  o
n(S)
n Possíveis
Probabilidade de União de Dois Eventos
a) Mutuamente exclusivo
P( A  B) = P(A) + P(B)
b) Ocorrência simultânea
P ( A  B) = P(A) + P(B)  P( A  B )
Matriz Identidade: é a matriz quadrada em que os elementos da
diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são iguais a zero.
Matriz Transposta: é a matriz que se obtém a partir de uma matriz
dada, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
Igualdade de Matrizes: Duas matrizes do mesmo tipo mxn, A e B são
iguais, se, e somente se, aij = bij
Probabilidade Condicional
Sendo A e B dois eventos não impossíveis a probabilidade de ocorrer
A dado que B ocorreu antes, é:
P(A / B) 
P(A  B)
P(B)
Propriedade das Probabilidades
• P1 – A probabilidade de ocorrer um evento certo é 1
Operação com Matrizes
Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes
A e B, elas devem ser do mesmo tipo e cada elemento é obtido
somando-se ou subtraindo-se os elementos respectivos.
• P2 – A probabilidade de ocorrer um evento impossível é 0.
• P3 – Qualquer que seja o evento A, sua probabilidade é um número
que varia de 0 a 1(0% a 100%).
• P4 – A probabilidade de ocorrer um evento A somada com a probabilidade de não ocorrer A é 1(100%).
Produto de um número real pela matriz: Se k é um número real
qualquer, então k.A é uma matriz em que cada elemento é obtido
multiplicando-se os elementos de A pelo número k.
Binômio de newton
n
 x  a
 Conxn.a0  C1nxn1.a1  C2nxn2.a2  ...  Cnnx0.an
TERMO GERAL
 x  a
n
 Tk 1  Cnk ak .x n k
Propriedades:
•P1 – O desenvolvimento de (x+a)n possui n+1 termos
Multiplicação: Dadas duas matrizes A e B, respectivamente do tipo
mxn e nxp, chama-se produto de A por B, nessa ordem, a matriz C
em que cada elemento de C é a soma dos produtos dos elementos
das linhas de A pelos elementos das colunas de B.
•P2 - Em (x + a)n os expoentes de a crescem de 0 a n, e os expoentes de x decrescem de n a 0.
•P3 - SOMA DOS COEFICIENTES
107
Matriz inversa
Geometria analítica
Dada uma matriz quadrada A, chama- se matriz inversa de A a matriz
A-1, tal que:
A . A-1 = I
Sistema Cartesiano Ortoqonal
É o sistema formado pelos eixos perpendiculares, de origem O e de
mesma unidade.
Regra prática para obter uma matriz inversa de ordem 2.
1°- encontre o determinante da matriz.
2°- divida todos os elementos da matriz pelo determinante.
3°- inverta de posição os elementos da diagonal principal e de sinal os
elementos da diagonal secundária.
Determinante
É um número associado aos elementos de uma matriz quadrada.
Representa-se por:
Det A =
Na figura temos:
Determinante de 1ª ordem: Se A = [a11], então detA = a11
Determinante de 2ª ordem: Se
então detA = a11 . a22 - a12 . a21
Determinante de 3 ordem (Sarrus): Se
Det A =
detA = a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13a21a32 — a13a22a31 — a11a23a32
— a12a21a33
Propriedade dos determinantes
• Filas paralelas iguais → determinante é zero.
• Filas paralelas proporcionais → determinante é zero.
• Troca de filas paralelas → determinante muda de sinal.
• det (k . A) = kn . det A (n: ordem da matriz A e k um número real).
• Terorema de Binet det (A.B)=detA . detB
•Teorema de Jacobi: det At = detA
1
det A
Sistemas lineares
É todo conjunto de m equações lineares e n incógnitas, da forma:
a11x  a12 y  a13z.....  b1

a x  a y  a z.....  b
21
22
23
2

a31x  a32 y  a33z.....  b3

..................................
Solução  Regra de Cramer
x
x
y
z
, y=
, z=
,...



Classificação
Um sistema linear pode ser:
Se ∆ ≠ 0 → Possível e determinado(solução única)
 e ∆x, ∆y, ∆z ,...= 0 → Possível
 e indeterminado (infinitas
 soluções)
Se ∆ = 0
 e ∆x ou ∆y ou ∆z ,...≠ 0
 impossível (não admite
 solução)
108
Ox é o eixo das abcissas.

Oy é o eixo das ordenadas.

O é a origem.

O número real xp é a abscissa do ponto P.

O número real yp a ordenada do ponto P.
Quadro resumo
Então:
det A 1 

No item 20 temos:
Geometria dos sólidos
Poliedros convexos
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo de V vértices, A arestas e E faces vale a
relação V+F = A+2
Paralelepípedo
Diagonal: D² = a²+b²+c²
Área total: At = 2(ab + ac + bc)
Volume: V = a.b.c
Cubo ou hexaedro regular
No item 7, baricentro é o ponto de intersecção das medianas. No tem
10, temos a figura:
Diagonal da base: d= a√2
Diagonal do cubo: D = a√3
Área total: At = 6a²
Volume: V = a³
Cilindro circular reto
No item 18, distância de um ponto a uma reta é a medida do segmento perpendicular à reta que une o ponto e a reta. Temos a figura:
Área lateral
Al = 2 rh
Área total
At = 2 rh +
2 r ²
Volume
V=
 r ².h
Importante: Um cilindro é eqüilátero quando o diâmetro coincide com
a altura(geratriz).
No item 19 temos a figura:
109
Pirâmide regular
Partes da Esfera:
Cunha esférica
Volume e área são
proporcionais ao
ângulo 
Calota esférica
Área lateral: Al = Pb x . ap
Área total: At = Al + Abase
Volume: V  1 .A
3 base
Cone circular reto
Relação: g² = h² + r²
Área lateral : Al = rg
Volume: V 
AS =
.h
2 rh
Troncos
Tronco de cone
Tronco de pirâmide
1
.r².h
3
Esfera
Área da superfície
A S  4 r²
Volume
V
110
4
r³
3
Em qualquer caso o volume do sólido sombreado(tronco) é dado por:
V = Sólido maior – Sólido menor