Questão 11
No dia do aniversário dos seus dois filhos gêmeos, Jairo e Lúcia foram almoçar em um
restaurante com as crianças e o terceiro filho
caçula do casal, nascido há mais de 12 meses.
O restaurante cobrou R$ 49,50 pelo casal, e
R$ 4,55 por cada ano completo de idade das
três crianças. Se o total da conta foi de
R$ 95,00, a idade do filho caçula do casal, em
anos, é igual a
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
Nas condições dadas, a altura h da mesa, em
cm, é igual a
a) 85.
b) 78.
c) 76.
d) 72.
e) 66.
alternativa D
Admitindo que as faces visualizadas dos dois blocos são congruentes, sejam x e y, em centímetros, conforme as figuras a seguir:
alternativa D
Sendo x e y, em anos, respectivamente, a idade
de cada um dos filhos gêmeos e do filho caçula,
temos:
49,50 + 4,55 ⋅ (2x + y) = 95 ⇔ 2x + y = 10 ⇔
⇔ y = 10 − 2x
Assim,
10
x >y
x > 10 − 2x
x >
⇔
⇔
3 ⇔x =4
y >0
10 − 2x > 0
x <5
e a idade do caçula é y = 10 − 2 ⋅ 4 = 2 anos.
Temos x + h = 87 + y (I) e y + h = 57 + x (II).
Somando (I) e (II):
x + h + y + h = 87 + y + 57 + x ⇔ 2h = 144 ⇔
⇔ h = 72 cm
Questão 13
Questão 12
Dois blocos idênticos foram posicionados em
uma mesa de altura h, conforme indica a figura 1. Em seguida, a posição dos blocos foi
modificada, conforme indica a figura 2.
A parábola determinada pela função f:IR→IR
tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tem vértice de coordenadas (4, 2). Se o ponto de coordenadas (2, 0) pertence ao gráfico dessa função, então o produto a.b.c é igual a
a) −12.
b) −6.
c) 0.
d) 6.
e) 12.
alternativa E
Como 2 é uma das raízes de f(x) e a abscissa do
vértice da parábola é x = 4, a outra raiz r de f(x) é
2 +r
tal que
= 4 ⇔ r = 6.
2
Assim, f(x) = a(x − 2)(x − 6) e, sendo (4; 2) um
ponto do gráfico de f(x), a(4 − 2)(4 − 6) = 2 ⇔
1
⇔a=− .
2
1
1
Logo f(x) = − (x − 2)(x − 6) = − x 2 + 4x − 6
2
2
⎛ 1⎞
e a ⋅ b ⋅ c = ⎜ − ⎟ ⋅ 4 ⋅ ( −6) = 12 .
⎝ 2⎠
matemática 2
Questão 14
Questão 15
Uma partícula se move ao longo do primeiro
quadrante do plano cartesiano ortogonal a
partir do ponto (0, 0), conforme indica o gráfico a seguir.
Todas as permutações com as letras da palavra SORTE foram ordenadas alfabeticamente, como em um dicionário. A última letra da
86.ª palavra dessa lista é
a) S.
b) O.
c) R.
d) T.
e) E.
alternativa B
O total de anagramas da palavra SORTE que começam pela letra E é 4! = 24. Analogamente,
existem 24 anagramas que iniciam pela letra O e
outros 24, por R, num total de 72 anagramas.
Dos iniciados por S, temos 3! = 6 que começam
por SE e mais 6 que começam por SO, totalizando
84 anagramas. Logo o 85 o anagrama será
SREOT e o 86o , SRETO, cuja última letra é O.
O deslocamento de 1
unidade (vertical ou
horizontal) do plano
é feito em 1 minuto
pela partícula, com
velocidade constante.
Mantido o mesmo padrão de movimento, a
partícula atingirá o ponto (50, 50), a partir do
início do deslocamento, em exatas
a) 42 horas e meia.
b) 38 horas.
c) 36 horas e meia.
d) 27 horas.
e) 19 horas e meia.
alternativa A
A soma dos comprimentos dos segmentos horizontais e verticais, excetuando-se os segmentos
unitários sobre os eixos, até a partícula atingir o
ponto (50; 50) é:
1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + K + 49 + 49 + 50 =
= (1 + 2 + 3 + K + 49) + (1 + 2 + 3 + K + 49 +
+ 50) = 1 225 + 1 275 = 2 500 unidades
Como os segmentos unitários sobre os eixos são
marcados alternadamente, a soma dos comprimentos de todos eles até o ponto (50; 50) é
50 ⋅ 1 = 50 unidades.
Portanto o comprimento da trajetória procurada é
2 500 + 50 = 2 550 unidades e o tempo gasto
para percorrê-la é 2 550 minutos, ou seja,
2 550
= 42,5 horas.
60
Questão 16
Se 2 2008 − 2 2007 − 2 2006 + 2 2005 =
= 9 k ⋅ 2 2005 , o valor de k é
1
1
a)
.
b)
.
c) 1.
log 3
log 4
d)
1
.
2
e)
1
.
3
alternativa D
2
2 008
−2
2 007
− 2 2 006 + 2 2 005 =
= 9k ⋅ 2 2 005 ⇔ 2 2 005 (2 3 − 2 2 − 2 + 1) =
= 9k ⋅ 2 2 005 ⇔ 3 = 9k ⇔ 31 = 3 2k ⇔
1
⇔ 2k = 1 ⇔ k = .
2
Questão 17
π
, C é o centro
2
do círculo, AB tangencia o círculo no ponto A,
os pontos B, C e D estão alinhados, assim
como os pontos A, C e E.
Na figura indicada, 0 < α <
matemática 3
Uma condição necessária e suficiente para
que as duas áreas sombreadas na figura sejam iguais é
a) tg α = α .
b) tg α = 2α.
c) tg α = 4α .
α
e) tg
= α.
d) tg 2α = α .
2
b)
alternativa B
Sendo P o ponto de intersecção de CB com a circunferência, P ≠ D, o menor setor circular CPA é
congruente ao menor setor circular CDE.
Assim, para que as áreas sombreadas sejam
iguais, a área do setor CPA deve ser a metade da
área do triângulo CBA. Logo:
α
1 AB ⋅ AC
⋅ π(AC) 2 =
⋅
⇔
2π
2
2
1
AB
⇔ α ⋅ (AC) 2 =
⋅ AB ⋅ AC ⇔
= 2α ⇔
2
AC
⇔ tgα = 2 α
c)
d)
Questão 18
Considere a transformação de coordenadas
cartesianas (x, y), dos pontos que compõem a
figura a seguir, em coordenadas (x’, y’), através da operação matricial indicada ao lado da
figura.
1
⎡ x’ ⎤ ⎡
⎢
=
6
⎢ y’ ⎥
⎣ ⎦ ⎢⎣ x
0⎤ x
⎡ ⎤
⎥⋅⎢ ⎥
−1 ⎥ ⎣y ⎦
⎦
Com essa transformação, a figura que se obtém no plano (x’, y’) é
a)
e)
alternativa C
As coordenadas nos dois sistemas satisfazem
0⎤ x
⎡1
x ⎤
x’
⎡ x’ ⎤ ⎢
⎥⋅⎡ ⎤ ⇔⎡ ⎤ =⎡
=
6
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ y’ ⎥ ⎢
⎢
⎥ ⇔
−
1
⎥ ⎣y ⎦
⎣ y’ ⎦ ⎣6 − y ⎦
⎣ ⎦
⎣x
⎦
x’ = x
para todo (x; y) ∈R 2 .
⇔
y’ = 6 − y
Adotando como unidade de medida o lado do quadrado menor do desenho, o quadrado da figura
tem vértices nos pontos (2; 2) = A, (2; 4) = B,
matemática 4
(4; 4) = C e (4; 2) = D, sendo este último um
extremo do segmento cuja outra extremidade é
(6; 2) = E. Assim, os pontos A’ = (2; 6 − 2) =
= (2; 4), B’ = (2; 6 − 4) = (2; 2), C’ = (4; 6 − 4) =
= (4; 2), D’ = (4; 6 − 2) = (4; 4) e E’ = (6; 6 − 2) =
= (6; 4) representam a figura no novo sistema de
coordenadas x’0y’ encontrada na alternativa C.
Logo a probabilidade de ter saído um número 2
em ao menos um dos três lançamentos é dada
8
.
por
15
Questão 20
Questão 19
Um dado convencional e honesto foi lançado
três vezes. Sabendo que a soma dos números
obtidos nos dois primeiros lançamentos é igual
ao número obtido no terceiro lançamento, a
probabilidade de ter saído um número 2 em
ao menos um dos três lançamentos é igual a
91
7
8
a)
.
b)
.
c)
.
216
15
15
7
3
.
e) .
d)
12
5
alternativa C
Sejam a e b os números obtidos nos dois primeiros lançamentos e c o número obtido no terceiro
lançamento. Como a + b = c , listamos na tabela a
seguir as possibilidades para a, b e c.
a 1 2 1 2 3 1 1 4 2 3 3 4 2 5 1
b 1 1 2 2 1 3 4 1 3 2 3 2 4 1 5
c 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6
Temos, assim, 15 possibilidades para a terna
(a, b, c) e 8 dentre elas contêm o número 2.
O triângulo ABE e o quadrado ABCD estão
em planos perpendiculares, conforme indica
a figura.
Se EA = 3 e AB = 5, então ED é igual a
b) 5.
c) 3 3 .
d) 4 2 .
e) 34 .
a) 24 .
alternativa E
Como ABCD é um quadrado e AB = 5, temos
AD = 5. Já que o triângulo ABE e o quadrado
ABCD estão em planos perpendiculares,
EA ⊥ AD. Sendo EA = 3, aplicando o teorema de
Pitágoras ao triângulo retângulo EAD,
(ED) 2 = (EA) 2 + (AD) 2 ⇔ (ED) 2 = 3 2 + 5 2 ⇔
⇔ ED = 34 .