Tópicos de Física Moderna – Engenharia Informática:
EXAME - ÉPOCA DE RECURSO
17 de Julho de 2007
1. Indique, de entre as afirmações seguintes, as que são verdadeiras e as que são falsas.
a) Não existe nenhuma experiência em que possa ser medido o valor da energia potencial, uma
vez que apenas é possível medir a diferença de energia potencial entre dois pontos no
espaço. VERDADE. A energia potencial é definida a menos uma constante aditiva.
Experimentalmente, mede-se apenas derivada da energia potencial, i.e. a força.
b) Em encriptação quântica, usa-se o facto de os qubits de informação transmitida só
assumirem valores exactos no acto da medição, não estando definidos durante a fase da
transmissão. VERDADE.
c) Em física quântica, o efeito de difracção pode ser observado com ondas mas não com
partículas. FALSO. De acordo com o princípio de dualismo da matéria cada objecto de
natureza tem propriedades de uma onda e as de partícula ao mesmo tempo.
d) A energia potencial da Lua no campo gravítico da Terra é dada pela equação U = mgh , em
que m é a massa da Lua, g é a aceleração de gravidade e h é a distância da Lua à Terra.
FALSO. U = mgh é apenas uma aproximação para h<<R (R é o raio da Terra). A equação
universal para a energia potencial associada à interacção entre dois corpos é
U (r ) = −G
m1m2
+ const .
r
e) O comprimento de onda de uma partícula é dado pela expressão λ =
h
. VERDADE. Esta é
p
a famosa expressão para o comprimento de onda de DeBroglie que reflecte a dualidade da
natureza.
f) Se a velocidade de uma onda num meio não depender do comprimento de onda, a
velocidade de grupo é igual à velocidade de fase. VERDADE. Velocidade de grupo está
relacionado coma velocidade de fase através da equação u = v - λ
dv
.
dλ
g) O sistema cujas oscilações se descrevem com a equação x(t ) = e −λ t ⋅ cos(ω t ) é um sistema
conservativo. FALSO. Existe perda de energia nesse sistema: a amplitude das oscilações
diminui exponencialmente com o tempo (oscilações amortecidas). Este é o efeito de atrito
no sistema.
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h) A velocidade de uma onda sonora é a velocidade com que oscilam as moleculas do meio.
FALSO. Uma coisa não tem nada a ver com a outra. A velocidade de onda é a velocidade
de fase (a velocidade com que se propaga a forma e não matéria).
i) A interferência construtiva de duas ondas tem lugar quando a diferença de fases destas num
dado ponto do espaço é igual a 2π n , onde n = 0, ± 1, ± 2, ... VERDADE. Se os argumentos
dos senos das duas ondas se diferem por 2π n , os senos são iguais, i.e. o somatório de duas
ondas dá uma onda com a mesma fase e o dobro da amplitude.
j) O efeito de ressonância consiste em um aumento da frequência de oscilações sob a acção de
uma força exterior ao sistema oscilatório. FALSO. Consiste em um aumento da amplitude
de oscilações e não da frequência. A frequência é a da força exterior (próxima dela, mais
precisamente).
k) Os estados de Bell são uma sobreposição dos estados quânticos de um sistema. VERDADE.
Este é o propósito – misturar os estados próprios do sistema quântico para que cada estado
de Bell continha “um pouco” de cada estado próprio do sistema.
l) Na equação de Schroedinger, a interacção entre os constituintes do sistema é introduzida
através da energia potencial e não através da força. VERDADE. A parte esquerda da
equação tem dois termos – energia cinética mais energia potencial.
(continua na página seguinte)
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2. Indique, para cada questão, a resposta correcta:
(m) Seja ψ ( x) a função de onda de uma partícula num sistema quântico. A probabilidade de
encontrar a partícula no intervalo x ∈ [a, b] ao efectuar uma medição é
b
A) ∫ψ ( x)dx
a
b
B)
∫ ψ ( x)
2
Resposta correcta é B
dx
a
C) ψ ( x) ⋅ (b − a )
2
D) ψ ( x) ⋅ (b − a )
(n) A equação da onda que se propaga no sentido positivo do eixo dos xx, com velocidade 10 m/s é:
A) Φ ( x, t ) = A ⋅ sin (10 x + 10t )
B) Φ ( x, t ) = A ⋅ sin (10 x − 10t )
Resposta correcta é C: x − vt = x − 10t
C ) Φ ( x, t ) = A ⋅ sin[10( x − 10t )]
D) Φ ( x, t ) = A ⋅ sin[10( x + 10t )]
(o) Numa experiência com uma fenda dupla (sendo a largura das fendas comparável com o
comprimento de onda da onda incidente), qual das imagens melhor corresponde à intensidade
de luz observada no ecrã ?
A) figura A
B) figura B
C) figura C
D) figura D
A
Resposta correcta é D
B
C
D
(p) Sendo q1 > 0 e q2 > 0 duas cargas eléctricas pontuais e estando uma delas em x = 0, qual é o
gráfico para a energia potencial em função da distância entre as cargas para este sistema ?
A) gráfico A
U(x)
B) gráfico B
C) gráfico C
U(x)
U(x)
U(x)
0
x
0
x 0
x 0
D) gráfico D
A
B
C
x
D
Resposta correcta é D: este é o gráfico da energia potencial correspondente à repulsão em todo o
espaço.
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Problema 3. Duas partículas clássicas de massas iguais,
m = 2 kg, movem-se num campo de forças conservativo,
sendo a função energia potencial descrita pela equação
(ver figura):
 U 0 ⋅ ( x − a )2 ,
x ∈ (0, a)
U


 πx 
U ( x) =  0 ⋅ 1 − sin , x ∈ [a, 5a ]
 2a  
 2 
x ≥ 5a
 0,
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Energia, J
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7
6
U (x )
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
x ,12m
onde U0 = 2 J e a = 2 m são constantes. No instante inicial
t = 0 as partículas encontram-se em x0 = 12 m e movem-se no sentido negativo dos xx com
velocidades v1 = - 1 m/s e v2 = - 2 m/s, respectivamente.
a) Determine a energia cinética e a energia mecânica iniciais das partículas;
b) Determine a coordenada x dos pontos de retorno de cada partícula;
c) Descreva qualitativamente o carácter de movimento de cada partícula (i.e. movimento
acelerado, uniforme, v=0 etc.) em todo o espaço a partir do t = 0;
d) Faça um esboço da energia cinética em função de x para cada partícula;
e) Determine o valor da força nos pontos de retorno, para cada partícula;
f) Discuta as condições em que a partícula 2 pode formar um estado ligado em torno de
x = 2 m. Considere a possibilidade de actuação de forças dissipativas.
Problema 4. As cordas de uma guitarra têm comprimento L = 65 cm. A massa por unidade de
comprimento das duas cordas mais finas é 0,39⋅10-3 kg/m e 0,78⋅10-3 kg/m, respectivamente, e as
tensões respectivas são 71,6 N e 80,4 N.
a) Determine a velocidade de propagação de ondas para cada uma das cordas;
b) Determine a frequência fundamental de cada corda;
c) Quando a corda mais grossa é dedilhada a uma distância ∆L e percutida, observa-se a
ressonância da corda mais fina. Determine ∆L;
d) Escreva a equação da onda na corda mais fina quando esta vibra com a sua frequência
fundamental, especificando os valores numéricos dos parâmetros envolvidos (exceptuando a
amplitude e a fase);
e) Determine os valores numéricos da amplitude e da fase, sabendo que em t = 0 o desvio do
ponto médio da corda da posição de equilíbrio é ∆z = 2 mm e a sua velocidade é v0 = 6,2 m/s.
(continua na página seguinte)
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Problema 5 (suplementar).
Pretende-se determinar a distância entre riscas de uma rede de difracção. Faz-se, então, a seguinte
experiência. Um feixe estreito da luz de comprimento de onda λ = 600 nm faz-se incidir, na
perpendicular, na rede e observa-se a imagem num ecrã que se coloca paralelamente à rede a uma
distância L. Mede-se essa distância e, também, a distância a entre o ponto luminoso central e o
primeiro máximo de difracção no ecrã. As medições resultaram nos seguintes valores
L = (20.0±0.5) cm e a = (10.9±0.2) cm.
a) Faça um esboço do arranjo experimental e da imagem observada no ecrã;
b) A partir dos resultados experimentais, determine a distância entre riscas da rede;
c) Determine a incerteza na distância entre as riscas da rede, tomando em conta as incertezas
experimentais em L e em a. Considere o comprimento de onda como um número exacto.
(fim da prova)