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Questão 01)
O polinômio p(x) = x3 + x2 – 3ax – 4a é divisível pelo polinômio q(x) = x2 – x – 4.
Qual o valor de a?
a)
b)
c)
d)
e)
a = –2
a = –1
a=0
a=1
a=2
TEXTO: 1
Para fazer um estudo sobre certo polinômio P(x), um estudante recorreu ao gráfico
da função polinomial y = P(x), gerado por um software matemático.
Na figura, é possível visualizar-se a parte da curva obtida para valores de x, de –5
até 2,7.
Questão 02)
Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x – 3, o resto de sua
divisão por D(x) = x – 5 é
01)
02)
03)
04)
–22
–34
–40
–56
1
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05) –60
Questão 03)
Em uma maratona de conhecimentos, o vencedor da prova sobre expressões
algébricas encontrou corretamente o resto da divisão do polinômio x10 + x9 + x8 +...
+ x – 9 por x2 − 1.
Esse resto é
01.
02.
03.
04.
05.
5x − 4
4x + 5
− 5x
9
0
Questão 04)
Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x4 –
x3 – 9x2 – 3x + 7 por g(x) = 2x2 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e
r(x) é igual a:
a)
−
7
3
b) 3
c) 3
5
d) 5
e) 5
3
Questão 05)
A equação x5 = 8x2 possui duas raízes imaginárias, cuja soma é
a)
b)
c)
d)
e)
-2.
-1.
0.
1.
2.
Questão 06)
O resto da divisão do polinômio
2
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x −1
f = −3
−2
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
x −1
0
−1 x −1
por g = x2 – 1 é
6x – 3
6x + 3
3x – 6
6x
–3
Questão 07)
Na divisão do polinômio P(x) por x - 3, encontramos o quociente Q(x) e resto 2.
Sabendo-se que Q(7) = 10, o valor de P(7) é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
36
32
28
42
46
Questão 08)
Sobre os polinômios A(x) = x3 – x e B(x) = x – 1, são feitas as seguintes
afirmações:
I.
Em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos A(x) e B(x) se interceptam em
três pontos.
II. Os dois polinômios não possuem raízes em comum.
III. O resto da divisão de A(x) por B(x) é zero.
IV. A soma das raízes dos dois polinômios vale 1.
Associando V para as afirmações verdadeiras ou F para as falsas obtemos,
respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
I - F ; II - F ; III - V e IV – V.
I - F ; II - V ; III - F e IV – V.
I - F ; II - F ; III - V e IV – F.
I - V ; II - F ; III - V e IV – V.
I - V ; II - F ; III - V e IV – F.
Questão 09)
Sabe-se que o polinômio f = 4x 4 + 4x3 − 9 x 2 − x + k , no qual k é um coeficiente real,
é divisível por (x − 1) (2x − 1). A forma fatorada de f é
3
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a)
b)
c)
d)
e)
(x − 1) (2x − 1) (x − 2) (2x +1)
(x − 1) (2x − 1) (x + 1) (2x +1)
(x − 1) (2x − 1) (x + 2) (2x +1)
(x − 1) (2x − 1) (x + 3) (2x +1)
(x − 1) (2x − 1) (x − 3) (2x +1)
Questão 10)
Se R(x) é o resto da divisão de x25 + x23 + x2 – x – 1 por x2 – 1, então R(2) vale:
a) – 1
b) 1
c) 0
d) 2
e) – 2
Questão 11)
Se o polinômio f = x³ - 2x² + ax + b é divisível pelo polinômio g = 2x² - x + 1, então
os números reais a e b são tais que
a) a + b = 2
b) a − b = −
1
2
15
16
a
5
=−
b
3
c) a.b =
d)
e) a = -2b
Questão 12)
Sejam f e g polinômios não nulos. Se f é divisível por g e g é divisível por
f, então, é correto afirmar que:
a) f é igual a g
b) f tem mais raízes que g
c) f tem menos raízes que g
d) f e g têm graus diferentes
e) f e g têm as mesmas raízes
Questão 13)
Na divisão do polinômio
a) x, o resto é 1
b) x – 1, o resto é 2
c) x + 2 , o resto é 1
d) x − 3 , o resto é 9
2
p= x + x−1
pelo binômio
4
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e)
x + 4,
o resto é −8
Questão 14)
Sobre os polinômios p = x² + x – 2 e q = x² - 3x + 2, é correto afirmar que seu
a) mínimo múltiplo comum é (x – 2).(x² - 1)
b) máximo divisor comum é (x + 1)
c) mínimo múltiplo comum é (x – 1) . (x – 4)
d) máximo divisor cumum é (x – 2)
e) mínimo múltiplo comum é (x² - 4).(x – 1)
Questão 15)
O resto da divisão de p(x) = x5 + 4x4 + 2x3 + x2 + x – 1 por q(x) = x + 2 é:
a) 17
b) 15
c) 0
d) – 15
e) – 17
Questão 16)
Dividindo-se o polinômio f = x4 – 2x3 + 8x – 2 por g = x2 + x – 1 obtêm-se quociente q
e resto r. O resto da divisão de q por r é
a) 14
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
Questão 17)
Se o polinômio p(x) = x4 + 2x³ + ax² + bx + c é divisível por q(x) = x2 – x – 2, então
a + b vale:
a) – 11
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 11
Questão 18)
O polinômio p(x) = x4 + x³ - x² - 2x – 2 é divisível por x² + a, para um certo número
real a. Pode-se, pois afirmar que o polinômio p:
a) não tem raiz reais.
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b)
c)
d)
e)
tem uma raiz real
tem exatamente duas raízes reais distintas
tem exatamente três raízes reais distintas
tem quatro raízes reais distintas
Questão 19)
O quociente da divisão de
a) 2x − 1
b) 1 − 2x
c) 2x + 1
d) −1 − 2x
e) 2x
P( x ) = 2 x 4 + 3x 3 − 4 x 2 − 3x + 2
por
( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x + 2)
é igual a:
Questão 20)
Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x² - 3x + 1, obtém-se o quociente 3x + 1 e resto
– x + 2. Nessas condições, o resto da divisão de p(x) por x – 1 é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) – 1
e) – 2
Questão 21)
Ao dividir o polinômio A(x), que possui grau 4 e coeficientes reais, pelo polinômio
B(x) = x3 - 4x, obtêm-se quociente Q(x) e resto R(x). Sabe-se que 2 é uma raiz de
R(x). Assim, sendo n o número total de raízes reais de A(x), conclui-se que o
conjunto de todos os valores que n pode assumir é
a)
b)
c)
d)
e)
{0, 2, 4}.
{0, 2}.
{0, 4}.
{2, 4}.
{4}.
Questão 22)
O resto da divisão do polinômio P(x) = x100por x + 1 vale:
a) -100
b) -1
c) 0
d) 1
e) 100
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Questão 23)
Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 12x3 – 16x2 – 3x + 4 = 0. Podemos
afirmar que:
a) S ⊂ ]-1, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]1, 2[
b) S ⊂ ]-2, -1[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]3, 4[
c) S ⊂ [0, 4]
d) S ⊂ ]-2, -1[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]3, 4[
e) n.d.a.
Questão 24)
Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da
equação 12(33x) – 19(33x) + 8(3x) –1 = 0 somam:
a) – log312
b) 1
1
3
c) − log 312
d) -1
e) log37
Questão 25)
Se a, x, y, z são números reais tais que
a)
b)
c)
d)
e)
z=
2 x − 2 y + ax − ay 2 + a
:
,
a 3 − a 2 − a +1 a 2 −1
então z é igual a
x−y
a −1
x−y
a 2 −1
x+y
a +1
x+y
a −1
( x − y) ⋅ (a + 1)
a −1
Questão 26)
Se x2 + 2x + 5 divide x4 + px2 + q exatamente (isto é, o resto da divisão do segundo
polinômio pelo primeiro é zero), então:
a) p = - 2 e q = 5;
b) p = 5 e q = 25;
c) p = 10 e q = 20;
d) p = 6 e q = 25;
e) p = 14 e q = 25;
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Questão 27)
Considere os polinômios p(x) = -x + 1 e q(x) = x3 – x. É correto afirmar:
a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum.
b) O gráfico p(x) intercepta o gráfico de q(x).
c) O polinômio p(x) possui ima raiz dupla.
d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero.
e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla.
Questão 28)
Os valores de a e b que tornam o polinômio P(x) = x4 – ax³ - 8x² + 8x + b divisível
por x² - 1 são tais que:
a) seu produto é 12
b) sua soma é 12
c) seu produto é 50
d) sua soma é 15
e) seu produto é 15
Questão 29)
Sejam os polinômios P(x) = x4 + ax2 + bx – 1 e Q(x) = x3 + x2 + x + 1. Se P(x) é
divisível por Q(x), então a afirmativa correta é:
a) a = 0 e b = -1
b) a = 0 e b = 0
c) a = 0 e b = 1
d) a = 1 e b = 0
e) a = 1 e b = 1
Questão 30)
Dividindo o polinômio p (x) = xn + xn–1 + .... + x + 1 por (x – m), (x – r) ou (x – s)
com m, r, s todos distintos, obtemos sempre resto zero. É correto afirmar que n é:
a) maior que 3.
b) maior ou igual a 3.
c) igual a 2.
d) igual a 1.
e) igual a zero.
GABARITO:
1) Gab: E
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2) Gab: 04
3) Gab: 01
4) Gab: D
5) Gab: A
6) Gab: A
7) Gab: D
8) Gab: D
9) Gab: C
10) Gab: D
11) Gab: D
12) Gab: E
13) Gab: C
14) Gab: E
15) Gab: A
16) Gab: A
9
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17) Gab: A
18) Gab: C
19) Gab: A
20) Gab: B
21) Gab: D
22) Gab: D
23) Gab: A
24) Gab: A
25) Gab: A
26) Gab: D
27) Gab: B
28) Gab: D
29) Gab: B
30) Gab: B
10