UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
CAP. 03 – Parte II
CMA – CIÊNCIA DOS MATERIAIS
1º Semestre de 2014
Prof. Júlio César Giubilei Milan
ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Célula unitária
• Pequenas unidades que se repetem;
• Maioria – paralelepípedos ou prismas
conjuntos de faces paralelas;
com 3
• Unidade estrutural básica e define a estrutura
cristalina;
• Vértices coincidem com o centro dos átomos.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
• Convenção → três números inteiros ou índices para
designar direções ou planos;
• Sistema de coordenadas – x, y, z;
• Origem em um dos vértices;
• Direções coincidem com as arestas da célula unitária
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Uma célula unitária com os eixos coordenados x, y e z, mostrando os
comprimentos axiais (a, b e c) e os ângulos interaxiais (α, β e γ)
Callister
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Direções cristalográficas
• Direção → uma linha entre dois pontos, vetor; *
• Passa pela origem;
• Comprimento das projeções do vetor sobre cada
um dos três eixos;
• Menor valor inteiro;
• [u v w] → projeções nos eixos x y z
* Pode ser transladado por toda a rede cristalina sem sofrer
alterações, desde que o paralelismo seja mantido.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Direção [1 1 1]
z
Direção [1 1 0]
Direção [1 0 0]
y
x
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Família de direções → <
>
• Conjunto de direções;
• Direções equivalentes;
• Espaçamento entre os átomos ao longo de cada
direção é o mesmo.
• Ex. família de planos <1 0 0>, nos cristais cúbicos.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
família de planos <1 0 0>
[1 0 0], [1 0 0], [0 1 0], [0 1 0], [0 0 1], [0 0 1]
z
y
x
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Determine os índices da direção mostrada na
figura
z
y
[1 2 0]
x
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Cristais hexagonais;
• Sistema de quatro eixos: a1, a2 e a3 (mesmo plano)
• 120°
• z - perperndicular
[u v t w]
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Sistema de eixos coordenados para uma célula unitária hexagonal
Callister
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Conversão do sistema com 3 índices para sistema com
4 índices:
[u’ v’ w’]→ [u v t w]
u = n/3(2u’-v’)
v = n/3(2v’-u’)
t = -(u+v)
w = nw’
n – fator para reduzir u, v, t e w aos menores
números inteiros
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Ex:
[0 1 0]
u = n/3(2u’-v’)
=
v = n/3(2v’-u’)
=
t = -(u+v)
w = nw’
=
=
[1 2 1 0]
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
O terceiro algarismo deve ser sempre a soma dos dois
primeiros com sinal invertido
• ex: se os dois primeiros são 3 e 1 o terceiro deve ser ?
• Considerando o plano basal para simplificação (z = 0),
qual a direção do eixo a1
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
a3
Considerando o plano
basal para simplificação
(z = 0), qual a direção do
eixo a1
a2
a1
a1= [2 1 1 0]
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Determine as direções dos eixos a2 e a3
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
EXEMPLO:
(a) Converta a direção [111] ao sistema de
quatro índices para cristais hexagonais.
(b) Desenhe esta direção no sistema
coordenadas com escala reduzida
de
(c) Desenhe a direção [111] em uma célula
unitária hexagonal que utilize um sistema de
coordenadas com três eixos (a1, a2, z)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
EXEMPLO:
Determine os índices
direcionais (sistema
de quatro índices)
para a direção
mostrada na figura
a seguir
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos cristalográficos
• Maneira semelhante
• Três índices (h k l)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos cristalográficos
• Qualquer plano paralelo é equivalente e tem os mesmos
índices;
• O plano cristalográfico ou intercepta ou é paralelo a cada um
dos três eixos;
• Se o plano passar pela origem, nova origem deve ser
selecionada;
• O comprimento da interseção planar para cada um dos eixos é
determinada em termos dos parâmetros de rede a, b e c;
• Valores inversos desses números são calculados e tomados;
• Para plano paralelo ao eixo, interseção no ∞ - índice 0;
• Redução para os menores inteiros.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Nos cristais cúbicos
• Planos
e índices
PERPENDICULARES
com
os
mesmos
índices
z
• Ex: (1 1 1) e [1 1 1]
y
Mostre que são
perpendiculares
x
são
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Determine os índices de Miller para o plano mostrado abaixo
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
(0 1 2)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Arranjos atômicos
• Depende da estrutura cristalina;
(1 1 0)
CFC
CCC
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Família de planos
• Contém
todos
aqueles
planos
cristalograficamente equivalentes;
que
Possuem mesmo empacotamento atômico
{1 0 0}
são
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Família de planos
• Família {1 1 1} →
(111), (111), (111), (111), (111), (111),
(111), (111)
z
Somente no sistema cúbico os
planos com mesmos índices
(independentemente da ordem e
do sinal) são equivalentes
y
Ex.: (1 2 3) e (3 1 2)
x
Mostrar!
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Cristais Hexagonais
• Equivalente ao que ocorre com as direções;
• Quatro índices (h k i l);
• i = -(h + k)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Densidade atômica linear e planar
• Equivalência direcional está relacionada a densidade
atômica linear;
• Direções equivalentes = densidades idênticas
• Planos cristalográficos equivalentes
atômica planar
= densidade
Densidade planar = fração da área cristalográfica
planar total que está ocupada por átomos
Análogos unidimencional e bidimensional do fator de
empacotamento atômico.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Ex.: Calcular a densidade planar para o
plano (1 1 0) para estrutura cristalina CFC
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Estruturas cristalinas compactas
• CFC e HC → FEA = 0,74 (maior possível)
• Estrutura pode ser descrita em termos de planos
compactos de átomos (densidade máxima de
empacotamento dos átomos).
(a) Uma fração de um plano compacto de átomos; as posições A, B e C estão
indicadas. (b) A sequência de empilhamento AB para planos atômicos
compactos.
Callister
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Estruturas cristalinas compactas
Sequência de empilhamento AB de planos compactos para a estrutura
hexagonal compacta.
Callister
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Estruturas cristalinas compacta
Plano (111)
triângulo
(a) Sequência de empilhamento para planos compactos para a estrutura
cúbica de faces centradas. (b) um vértice foi removido para mostrar a relação
entre o empilhamento de planos atômicos compactos e a estrutura cristalina
CFC.
Callister
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Estruturas cristalinas compacta
HC
CFC
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
INTERSTÍCIO
Espaços entre os átomos da rede, nos quais é possível
existir átomos menores.
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
INTERSTÍCIO
Espaços entre os átomos da rede, nos quais é possível
existir átomos menores.
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
INTERSTÍCIOS
CFC
CCC
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Monocristais
• Arranjo que se estende ao longo da totalidade de
uma amostra;
• Existem naturalmente;
• Produzidos artificialmente.
Quando se deixa crescer um monocristal, sem
restrições externas, o cristal irá assumir uma forma
geométrica regular, possuindo faces planas
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Monocristais
Monocristal de garnet
Callister
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Materiais policristalinos
• Muitos pequenos cristais ou grãos;
• Maioria dos sólidos cristalinos;
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Pequenos
núcleos de
cristalização
(cristalitos).
Ao se completar
a solidificação,
ocorreu a
formação de
grãos com
formatos
irregulares.
Crescimento
dos cristalitos,
obstrução de
grãos
adjacentes.
Estrutura de
grãos como
ela apareceria
ao
microscópio.
Diagramas esquemáticos de vários estágios na solidificação de um material policristalino; os
retículos quadrados representam as células unitáriasMonocristal de garnet.
Callister
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Aço 1020.
Ferro fundido
maleável.
Aço 1045
Aço 1045
Exemplos de materiais policristalinos – micrografias obtidas em microscópio ótico
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Anisotropia
• Propriedades dependem das direções
• Módulo de elasticidade, condutividade elétrica,
índice de refração podem ter valores diferentes nas
direções [100] e [111]
diferença de espaçamento atômico conforme a
direção
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Anisotropia
Valores de Módulo de elasticidade para vários metais em várias orientações
cristalográficas.
Callister
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Isotropia
• Simetria da estrutura cristalina;
• menor a simetria → maior a anisotropia.
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Material policristalino é ISOTRÓPICO ou
ANISOTRÓPICO?
Por que?
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Sólidos não cristalinos
• Não tem arranjo regular ao longo de distâncias
atômicas relativamente grandes
AMORFOS
(líquidos superresfriados)
Ex. SiO2 ambos estados
cristalino
amorfo
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Sólidos não cristalinos
Ex. SiO2
Esquemas bidimensionais da estrutura do (a) dióxido de silício cristalino e (b) do
dióxido de silício não-cristalino.
Callister
MATERIAIS CRISTALINOS E NÃO CRISTALINOS
Sólidos não cristalinos
• Resfriamento rápido – favorece a formação do sólido
não cristalino;
• Metais
→ cristalinos
• Cerâmicas
→ cristalinos
→ amorfo – vidros inorgânicos
• Polímeros
→ cristalinos
→ amorfo
→ amorfo/cristalino
EXERCÍCIOS
1. Qual a diferença entre estrutura atômica e estrutura
cristalina?
2. Considere os sistemas cristalinos
(a) Cúbico Simples (CS),
(b) Cúbico de Faces Centradas (CFC) e
(c) Cúbico de Corpo Centrado (CCC).
Para cada um dos sistemas relacionados determine:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Os átomos básicos;
O número de coordenação;
A relação entre raio atômico e o parâmetro de rede (a);
Relação entre o raio atômico e a diagonal do cubo;
O fator de empacotamento atômico;
As densidades do ouro, nióbio e zinco.
3. Desenhe os seguintes planos e direções em uma célula
unitária tetragonal: (0 0 1), (0 1 1), (1 1 3), [1 1 0],[2 0 1],
[1 0 1]. Mostre os eixos.
EXERCÍCIOS
4. Mostre por meio de um corte no plano (1 1 0) que a direção
[1 1 1] é perpendicular ao plano (1 1 1) no sistema cúbico,
mas não, em geral no sistema tetragonal.
5. No desenho de um prisma hexagonal, indique os seguintes
planos e direções (1 -2 1 0), (1 0 -1 2), (-1 0 1 1), [1 1 -1] e [0
2 1]. Mostre os eixos.
6. Desenhe uma célula unitária mostrando as direções
compactas de um cristal cúbico de corpo centrado, CCC.
Identifique todas essas direções com seus índices
apropriados.
7. Desenhe uma célula unitária mostrando as direções
compactas de um cristal cúbico de face centrada, CFC.
Identifique todas essas direções com seus índices
apropriados.