Sistemas Numéricos
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Módulo III - Sistemas Númericos e Códigos
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SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO
O sistema numérico mais simples que usa notação posicional é o sistema numérico binário. Como o próprio nome diz, um
sistema binário contém apenas dois elementos ou estados. Num sistema numérico isto é expresso como uma base dois, usando os
dígitos 0 e 1. Esses dois dígitos têm o mesmo valor básico de 0 e 1 do sistema numérico decimal.
Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam o sistema binário de numeração para manipular dados. Dados binários são
representados por dígitos binários chamados "bits". O termo "bit" é derivado da contração de "binary digit". Microprocessadores
operam com grupos de "bits" os quais são chamados de palavras.O número binário 1 1 1 0 1 1 0 1 contém oito "bits".
Notação Posicional
Tal qual no sistema numérico decimal, cada posição de "bit" (dígito) de um número binário tem um peso particular o qual
determina a magnitude daquele número. O peso de cada posição é determinado por alguma potência da base do sistema numérico.
Para calcular o valor total do número, considere os "bits" específicos e os pesos de suas posições (a tabela abaixo mostra uma
lista condensada das potências de 2). Por exemplo, o número binário 110101 pode ser escrito com notação posicional como segue:
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)
Potências de 2
=
Para determinar o valor decimal ao número binário 1101012, multiplique
cada "bit" por seu peso posicional e some os resultados.
=
(1x32)+(1x16)+(0x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) =
32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310
=
=
=
20
110
21
210
22
410
23
810
24
1610
=
=
=
=
=
25
3210
26
6410
27
12810
28
25610
29
51210
Números Fracionários (Potências Negativas de 2)
Números binários fracionários são expressos como potências negativas de dois. A tabela abaixo fornece uma lista
condensada das potências negativas de dois. Na notação posicional, o número binário 0.11012 pode ser expresso como se
segue:(1x2-1) + (1x2-2) + (0x2-3) + (1x2-4)
Potências Negativas de 2
Para determinar o valor decimal do número binário 0·11012,
multiplique cada "bit" por seu peso posicional e some os resultados.
No sistema numérico binário, o ponto base é chamado de ponto
binário.
2-1 =
1/2
0,510
=
1/4
0,2510
2-3 =
1/8
0,12510
-2
2
Conversão entre os Sistemas Numéricos Binário e Decimal
No trabalho com microprocessadores, geralmente será necessário determinar o valor decimal de números binários. Além disso,
também será necessário converter um específico número decimal no seu equivalente binário. Os próximas tópicos trataremos de
informações que mostram como tais conversões são feitas.
Conversão Binária para Decimal;
Conversão Decimal para Binária; e
Conversão Binária para Decimal (fração).
Conversão Binária para Decimal
Para converter um número binário no seu equivalente decimal, some todos os pesos das posições no número onde os l's binários
aparecem. Os pesos das posições inteiras e fracionárias são indicadas a seguir.
INTEIRAS
FRACIONÁRIAS
27
26
25
24
23
22
21
20
128
64
32
16
8
4
2
1
ponto
binário
.
2-1
.5
2-2
.25
2-3
.125
Exemplo 1: Converter o número binário 1010 no seu equivalente decimal. Desde que nenhum ponto binário é mostrado, o
número é suposto ser um número inteiro, onde o ponto binário está à direita do número.
O "bit" mais a direita, chamado o bit menos significativo ou (LSB) tem o menor peso inteiro de 20 = 1.
O "bit" mais a esquerda é o bit mais significativo ou (MSB) pois ele comporta o maior peso na determinação do valor do número
neste caso, ele tem um peso de 23 = 8.
Para avaliar o número, some os pesos das posições
onde os l's binários aparecem. Neste exemplo, l's
Notação Posicional
27-03-2008 08:36
Sistemas Numéricos
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Número binário
aparecem nas posições 23 e 21. O equivalente decimal é
dez.
1
0
3
2
1
0
1
Pesos posicionais
2
2
2
20
Equivalente decimal
8+
0+
2+
0=
1010
Exemplo 2: Para ressaltar este processo, converter o número binário 101101.11 2 no seu equivalente decimal:
Número binário
1
0
Notação Posicional
1
1
0
1
.
1
1
Pesos posicionais
25
24
23
22
21
20
.
2-1
2-2
Equivalente decimal
32+
0+
8+
4+
0+
1
.
0,5+
0,25=
45,7510
Conversão Decimal para Binária
Um número inteiro decimal pode ser convertido para uma base diferente através de divisões sucessivas pela base desejada. Para
converter um número inteiro decimal no seu equivalente binário, divida o número por 2 sucessivamente e anote os restos. quando se
divide por 2, o resto será sempre 1 ou 0. Os restos formam o número binário equivalente.
Como um exemplo, o número decimal 25 é convertido no seu equivalente binário.
Divisões
25/2 = 12
12/2 = 6
6/2 = 3
3/2 = 1
1/2 = 0
Resto
1
0
0
1
1
Divida o número decimal por dois e anote o resto. Então
LSB divida o quociente por dois e novamente anote o resto.
Continue este processo de divisão até resultar zero. Então
pegue os restos começando pelo último ou o "bit" mais
significativo (MSB) e continue até o primeiro ou "bit" menos
significativo (LSB).
O número 110012 = 2510.
MSB
Observe que os restos são coletados em ordem reversa. Ou seja, o primeiro resto torna-se o "bit" menos significativo,
enquanto o último resto torna-se o "bit" mais significativo.
Para
ressaltar,
o
número
175
é
convertido
no
seu
equivalente binário.
O processo de divisão
continua até que seja
atingido
0
como
quociente. Os restos são
coletados para produzir
o número 101011112 =
17510.
Divisões
175/2 = 87
87/2 = 43
43/2 = 21
21/2 = 10
10/2 = 5
5/2 = 2
2/2 = 1
Resto
1
1
1
1
0
1
0
1/2 = 0
1
LSB
MSB
Nota: não tente usar calculadora para realizar esta conversão. Ela poderia apenas fornecer-lhe resultados confusos.
Conversão Decimal para Binário de um número Fracionário
Para converter uma fração decimal para uma base diferente, multiplique a fração sucessivamente pela base desejada e guarde as
partes inteiras produzidas pela multiplicação. Para converter a fração decimal 0,3125 na sua equivalente binária multiplique
repetidamente por dois. Estas multiplicações irão resultar em números com 1 ou 0 na posição das unidades (a posição a esquerda do
ponto decimal). Pela gravação dos valores da posição das unidades, pode-se constituir a fração binária equivalente.
multiplicações
0,3125 X 2 = 0,625 = 0,625
0,625 X 2 = 1,250 = 0,250
0,250 X 2 = 0,500 = 0,500
inteiro
0 MSB
1
0
0,500 X 2 = 1,000 = 0
1 LSB
Quando 0,3125 é multiplicado por 2, a parte inteira é
0. Isto resulta o "bit" mais significativo (MSB) da fração
binária equivalente. Então 0,625 é multiplicado por 2 e o
produto é 1,25, a parte inteira é 1. Quando a parte inteira
for 1, ela é subtraída do produto e o 1 é guardado. Portanto,
apenas 0,25 é multiplicado por 2 no próximo processo de
multiplicação.
O método continua até que resulte um número sem parte fracionária. É importante observar que não se pode obter sempre 0
(zero) quando se multiplica por 2. Portanto, deve-se apenas continuar o processo de conversão até a precisão que se deseja. Colete
os números inteiros começando pelo ponto binário com o MSB e continuando até o LSB. Esta é a mesma ordem na qual as partes
inteiras são produzidas. O número 0·01012 = 0,312510.
Para ilustrar este processo, a fração decimal 0,90625 é
convertida no seu equivalente binário.
O processo de multiplicação continua até que zero ou a
precisão desejada é obtida. Os inteiros são então coletadas
começando com o MSB no ponto binário e seguindo até o
LSB.
O número 0.111012 = 0,9062510.
multiplicações
0,90625 X 2 = 1,8125
0,81250 X 2 = 1,6250
0,62500 X 2 = 1,2500
0,25000 X 2 = 0,5000
0,50000 X 2 = 1,0000
=
=
=
=
=
0,8125
0,6250
0,2500
0,5000
1
inteiro
1 MSB
1
1
0
1 LSB
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Se o número decimal apresenta uma parte inteira e uma fracionária, deve-se separar as partes inteiras e fracionárias usando o
ponto decimal como ponto de separação. Então realiza-se a conversão apropriada em cada parte. Após se converter à parte inteira e
a parte fracionária, deve-se juntá-las.
Por exemplo, o número
decimal 14,375 é convertido
no seu equivalente binário.
14,375 = 1410 + 0,37510
Operações
14 ÷ 2 = 7
7÷2=3
resto
0 LSB
1
3÷2=1
1
1÷2=0
0,375 X 2 = 0,750
0,750 X 2 = 1,500
1 MSB
inteiro
0 MSB
1
0,500 X 2 = 1,000
1 LSB
Resultado geral
ICEA/EAD © 2005
resultados parciais
1410 = 11102
0,37510 = 0,0112
14,37510 = 1110.0112
Hexadecima
l
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