Apostilas Objetiva - Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária – SEAP - SP - Concurso 2014
Índice
Pg.
Operações com Números Reais..................................................................................... 02
• Números Naturais........................................................................................................... 05
• Números Inteiros............................................................................................................ 19
• Números Racionais (Frações)........................................................................................ 37
• Números Decimais......................................................................................................... 57
• Números Irracionais........................................................................................................ 63
Razão............................................................................................................................. 64
Proporção....................................................................................................................... 70
Divisão Proporcional...................................................................................................... 76
Porcentagem.................................................................................................................. 80
Regra de Três (Simples e Composta) ............................................................................... 88
Médias (Simples, Ponderada, Harmônica, Geométrica) ....................................................... 96
Juros Simples................................................................................................................. 99
Equação do 1º Grau (Sistemas do 1º Grau) .................................................................... 115
Equação do 2º Grau (Problemas do 2º Grau) ......................................................................... 127
Grandezas Proporcionais............................................................................................... 131
Sistemas de Medidas Usuais (Comprimento, Superfície, Capacidade, Massa, Tempo) ....... 136
Noções de Geometria..................................................................................................... 148
Teorema de Pitágoras.................................................................................................... 183
Coletânea de Exercícios Gerais .................................................................................... 190
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OPERAÇÃO COM NÚMEROS REAIS (IR)
O conjunto dos números reais (IR) é uma expansão do conjunto dos números naturais (N),
racionais (Q) que engloba não só os inteiros (Z) e os fracionários, positivos e negativos, mas também
todos os números irracionais (I). Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta
que é chamada reta real.
Portanto, é a união de todos os conjuntos que observaremos a seguir, representado pela letra IR.
Observe o diagrama:
REAIS: OPERAÇÕES
Números Reais
Os números reais podem ser representados numa reta de tal modo que a todo número real corresponde
um ponto na reta e a todo ponto da reta corresponde um número real.
Números Irracionais
Facilmente podemos construir números decimais não exatos e não periódicos. Veja, por exemplo:
0,101001000100001... em que o número de "zeros" aumenta 1 unidade após cada algarismo 1. Números
como esse, cuja representação contém infinitas casas decimais após a vírgula e em que não ocorre
repetição de período como as dízimas, são chamados de irracionais.
Veja mais alguns exemplos de números Irracionais:
π = 3,14159265 ...; 2 = 1,4142135 ... ; 3 = 1,7320508 ...
Representaremos o conjunto dos números Irracionais por I.
Assim, temos que R = { x | x é racional ou x é irracional}.
Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais
compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo
sendo a diferença p – q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado;
caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo define os diversos tipos de intervalos.
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TIPOS
Intervalo Fechado
Intervalo Aberto
Intervalo Fechado à esquerda
Intervalo Fechado à direita
Intervalo semifechado
Intervalo semifechado
Intervalo semiaberto
Intervalo semiaberto
REPRESENTAÇÃO
[p;q] = {x∈ R; p ≤ x ≤ q }
(p;q) = {x∈ R; p < x < q }
[p;q) = {x∈ R; p ≤ x < q }
(p;q] = {x∈ R; p < x ≤ q }
[p; 00) = {x∈ R; x ≥ p }
(- 00;; q) = {x∈ R; x ≤ p }
(- 00;; q) = {x∈ R; x < p }
(p; 00) = { x > p }
OBSERVAÇÃO
Inclui os limites p e q
exclui os limites p e q
inclui p e exclui q
exclui p e inclui q
Valores maiores ou iguais a p
Valores menores ou iguais a q
Valores menores do que q
Valores maiores do que p
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais (o conjunto R) pode ser representado na forma
de intervalo como:
R = (- 00; + 00).
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS REAIS
Os números reais positivos podem ser representados no sistema decimal por uma sequência de
algarismos - elementos do conjunto {0, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9} -, separados por uma vírgula.
Assim, se aN, aN-1, ..., a0, a-1, a-2.a-3 , ..."são algarismos quaisquer um número real positivo representado no sistema decimal tem a forma:
aN, aN-1 aN-2 ...a1a0,a-1a-2 a-3 , ... onde aN>0. Nessa representação, à esquerda da vírgula temos
sempre um número finito de algarismos, porém à direita podemos ter uma infinidade de algarismos, por
exemplo, 783.5231 representa o número obtido como resultado da expressão:
7 x 102 + 8 x 101 + 3 x 10() + 5 x 10-1 + 2 x 10-2 + 3 x 10-3+ x 1 x 10-4
Por outro lado, a fração 154/999 tem representação decimal 0,1545454 ... com uma infinidade de
algarismos à direita. Essa representação se traduz como resultado de uma expressão com infinitas
parcelas.
1x 10-1 + 5 x 10-2 + 4 x 10-3 + 5 x 10-4 + 4 x 10-5 + 5 x 10-6 +5 x 10-7 +5 x 10-8
Essa expressão significa exatamente que se quisermos aproximar
no sistema decimal com
"precisão de 8 casas decimais, por exemplo, devemos tomar como aproximação o número 0,15454545,
que é resultado da expressão:
1 x 10-1 + 5 x 10-2 + 4 x 10-3 + 5 x 10-4 + 4x 10-5 + 5 x 10-6+ x 4 x 10-7 + 5 x 10-8
Claro, o número 0,1545454 ... é o que chamamos de uma dízima periódica e por isso pode ser obtido
154
como uma fração
999
O que acontece no caso de uma dízima não-periódica? Neste caso, assim como na periódica, temos uma
infinidade de algarismos à direita da vírgula e assim só nos é possível escrever a representação decimal
até uma certa casa decimal. Porém, diferentemente do que acontece no caso periódico, não há repetição
indefinidamente de um determinado grupo de algarismos e, assim, o número em questão não pode ser
obtido como uma fração
p
com p e q diferentes de 0. Os números que podem ser obtidos como frações
q
são chamados racionais; os que não podem ser obtidos como frações são chamados irracionais.
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Exercícios pertinentes
1) Resolver as expressões:
a) 1 + 3,75 : 0,5
b) 10,2 - 2, 4 : 12
c) 0,16: (0, 2)3 + 1, 4. 2
d) 6 . 3, 14 – 1, 2 . (0,3)2
f) (0,003)2
g) -32
h) [(- 4)2]3
i) 03
j) 231()
1
k)  
2
−1
l) 311
m) (-0,2)2
n) (-0,02)3
2) Calcular os produtos, sem efetuar os cálculos:
a) 4,932 . 100
b) 2,37. 10
c) 0,032 . 1000
d) 1,483 . 103
e) 12,96 . 104
f) 0,34 .105
g) 5,935 . 10-2
h) 0,002 . 10-3
i) 254,1 . 10-1
3) Calcular as divisões, sem fazer os cálculos:
a) 3,4 : 10
b) 298 : 1000
c) 0,38 : 10
d) 0,7 :102
e) 2875 : 103
f) 4 : 104
g) 5,2 : 10-3
h) 32,4 :10-2
i) 0,002 : 10-3
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