Professor Menezes
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 1-1
Sistemas de Numeração
Observe que alguns números decimais a possuem uma representação muito
curiosa no sistema binário:
1 decimal = 1 binário;
2 decimal = 10 binário
3 decimal = 11 binário
4 decimal = 100 binário
O texto a seguir procura mostra como os vários sistemas de numeração põem
ser utilizados para facilitar a leitura e o armazenamento de informação nas
palavras do computador. É destacada a notação posicional dos sistemas de
numeração que é o elo entre os sistemas de diferentes bases. Os conceitos de
bit, byte e palavra, fundamentais na computação, são também apresentados.
Número e numeral
Quando dizemos “o número 10” estamos cometendo um abuso de linguagem,
e para sermos corretos deveríamos dizer: “o número que representamos pelo
numeral 10”. O numeral é o símbolo gráfico que usamos para representar a
idéia comum aos dois conjuntos que estamos comparando: o número.
Assim, três, 2 + 1, Treis, Three, 3, ....,III, são numerais distintos que
representam a mesma idéia – o número três.
Os sistemas de numeração na história
Alguns historiadores supõem que o sistema foi adotado pelo homem primitivo
por compatibilidade com o número de dedos das mãos, artifício usado no
princípio para contar as coisas do mundo, como seus bens, rebanho e dinheiro.
O sistema base 10 competiu, para se tornar o sistema padrão, durante uma
fase longa da história da humanidade com o sistema de numeração base 60,
cujos resquícios ainda são vistos no sistema de divisão do tempo, 1 minuto de
sessenta segundos e 1 hora de sessenta minutos, e na trigonometria, onde o
círculo é dividido em 360 graus (660).
O sistema baseado em 60 é interessante porque 60 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6,
10, 12, 15, 20 e 30, enquanto que 10 é divisível somente por 2 e 5. O maior
número de divisores torna o sistema em base 60 muito mais prático para a
divisão de grandezas (pesos, medidas, etc).
Introdução à Ciência da Computação
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2-2
Professor Menezes
Nesta figura podemos ver o formato e seqüência
corretas da grafia manuscrita medieval dos números
ou algarismos arábicos do sistema decimal que
aparecem na página de título do livro " Libro
Intitulado Arithmetica Practica " por Juan de Yciar,
matemático e calígrafo Basco, Saragossa 1549.
No início dos anos 1600, ocorreu uma importante
modificação no formato da grafia do décimo número
ou do zero, que inicialmente tinha o formato
pequeno e circular « o ». Posteriormente, evoluiu
para o formato oval atual « 0 » desta forma foi
possível a sua distinção quanto a grafia da letra
« o » minúscula, ou da letra « O » maiúscula.
Notação posicional e o sistema de base decimal
Valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que ele se encontra
no conjunto de símbolos que representa uma quantidade. O valor total do
número é a soma dos valores relativos de cada algarismo (decimal). Ou seja, a
ordem dos algarismos (números) que estamos acostumados a usar; 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 0.
No sistema de numeração decimal,
735=700+30+5
Neste exemplo temos que o algarismo 5 representa 5 unidades. E o algarismo
3 representa 3 dezenas (ou 3 grupos de dez unidades). E por último que o
algarismo 7 representa 7 centenas (ou 7 grupos de cem unidades).
573=500+70+3
Neste outro exemplo temos que o algarismo 3 representa 3 unidades. E o
algarismo 7 representa 7 dezenas (ou 7 grupos de dez unidades). E,
finalmente, que o algarismo 5 representa 5 centenas (ou 5 grupos de cem
unidades).
O Sistema Binário
O sistema binário é um sistema de numeração posicional em que todas as
quantidades se representam utilizando como base o número dois, com o que
se dispõe das cifras: zero e um (0 e 1).
Introdução à Ciência da Computação
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3-3
Professor Menezes
Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão,
pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso,
apagado). Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o
cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito
binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8
bits corresponde a um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits é
chamado de nibble.
O sistema binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole matemático inglês), que permite fazer operações lógicas e aritméticas usandose apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou
nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Toda eletrônica digital e computação está
baseada nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar
por circuitos eletrônicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres,
realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores são
codificados sob forma binária e armazenados nas mídias (memórias, discos,
etc) sob esse formato.
Matematicamente o sistema mis natural de todos seria o binário, com apenas
dois dígitos o 0 e o 1. Como expressar 1968 no sistema binário?
Solução: 111101100000 , de fato
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + : 1 x 210 = 1024 +
1000000000
: 1 x 29 = 512
100000000
: 1 x 28 = 256
10000000
: 1 x 27 = 128
0000000
: 0 x 26 =
0
100000
: 1 x 25 =
32
10000
: 1 x 24 =
16
0000
: 0 x 23 =
0
000
: 0 x 22 =
0
00
: 0 x 21 =
0
0
: 0 x 20 =
0
____________________________________
11110110000
Introdução à Ciência da Computação
1968
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4-4
Professor Menezes
O processo de conversão de decimal para binário consiste em representar o
número decimal como uma soma de potências de dois. Isto pode ser feito
através de divisões sucessivas por 2, até que o quociente seja igual a zero. O
resto da última divisão representa o dígito menos significativo ( mais à direti) do
número binário, o resto da próxima divisão o próximo dígito e assim por diate.
Observe que o resto da divisão por 2 será sempre 0 ou 1:
1968
16
8
0
2
984
18
4
0
2
492
9
12
0
2
246
4
6
0
2
123
3
1
2
61
1
2
30
10
0
2
15
1
2
7
1
2
3
1
2
1
1
2
0
Logo 196810 = 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 02
O sistema binário é extremamente prático quanto às operações de soma e
multiplicação (ao contrário das 200 fórmulas o sistema decimal, só existem 8
para serem decoradas) . As Operações são definidas pelas tabelas.
+
1
0
1
10
1
0
1
0
X
1
0
1
1
0
0
0
0
Sistema Hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal utiliza 16 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, A, B, C, D, E, F) cujas correspondências aos sistemas decimal e binário
estão abaixo, na próxima página.
Observe que com quatro dígitos binários podemos representar todos os dígitos
hexadecimais.
Com isto, a conversão binário hexadecimal é feita
simplesmente separando-se o número binário em gruos de 4 dígitos e
substituindo-se cada grupo pelo dígito hexadecimal equivalente (ver tabela
abaixo).
A conversão hexadecimal binário é igualmente simples. Cada dígito
hexadecimal é substituído pelo número binário de 4 dígitos equivalente.
Introdução à Ciência da Computação
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 5-5
Professor Menezes
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Binário
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Para somar números hexadecimais a tabela a seguir será de grande valia.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A B
A B
B C
C D
D E
E F
F 10
10 11
11 12
12 13
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18 19
19 1A
Tabela para multiplicação.
X
1
2
3
4
5
6
7
8 9
A B C D E
F 10
1
1
2
3
4
5
6
7
8 9
A B C D E
F 10
2
2
4
6
8
A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 20
3
3
6
9
C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 30
4
4
8
C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 40
5
5 A
F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 50
Introdução à Ciência da Computação
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
Professor Menezes
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 6-6
6
6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 60
7
7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4E 54 5D 62 69 70
8
8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 80
9
9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 90
A A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 A0
B B 16 21 2C 37 42 4E 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 B0
C C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 C0
D D 1A 27 34 41 4E 5D 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 D0
E E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 E0
F F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 F0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 C0 D0 E0 F0 100
Sistema Octal
Sistema Octal é um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8
símbolos para a representação de quantidade. No ocidente, estes símbolos são
os algarismos arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 7
O octal foi muito utilizado em informática como uma alternativa mais compacta
ao binário na programação em linguagem de máquina. Hoje, o sistema
hexadecimal é mais utilizado como alternativa ao binário.
Este sistema também é um sistema posicional e a posição de seus algarismos
determinada em relação à vírgula decimal. Caso isso não ocorra, supõe-se
implicitamente colocada à direita do número. A aritmética desse sistema é
semelhante a dos sistemas decimal e binário, o motivo pelo qual não será
apresentada.
Exemplo: - Qual o número decimal representado pelo número octal 4701?
Utilizar o TFN. 4 x 8³ + 7 x 8² + 0 x 8¹ + 1 x 8° = = 2048 + 448 + 0 + 1 = 2497
Conversão de Base
Como a base 10 é a que nos é mais familiar, serão mostrados a seguir
procedimentos para conversão de números numa base b qualquer para a base
10 e vice-versa. Serão consideradas as partes inteiras e fracionárias dos
números.
Conversão de Decimal para Base b
i)
Parte Inteira: Dividir o número decimal pela base b obtendo
quociente e resto. Dividir o quociente obtido pela base b obtendo
novo quociente e novo resto.
Repetir o processo até que o
quociente seja 0.
Introdução à Ciência da Computação
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 7-7
Professor Menezes
128010 N8
Essa operação vale para qualquer base
128010 = 24008
1280
48
0
8
160
0
8
20
4
8
2
2
8
0
ii)
0,8125
2
1,625
2
1,25
2
0,5
2
1,0
x
Retirar somente a
parte inteira de
cada resultado
x
x
Parte Fracionária: Multiplicar a
parte fracionária por base b.
Multiplicar a nova parte
fracionária obtida por base b.
Repetir o processo até que a
parte fracionária seja nula ou
atingir a precisão desejada.
x
0,812510 = 0,11012
Conversão da base b para Decimal
2
5
10
4
14
5
70
0
70
5
350
1
351
x
i)
Parte Inteira: Multiplique o dígito mais à esquerda pela
base b e some o próximo dígito à direita. Multiplique a
soma pela base b e some o próximo dígito. Repita o
processo até que o dígito mais à direita tenha sido
adicionado.
+
x
+
24015 N10
x
N10 = 351
+
2
0,2
0,1325 --> N10
0,4
3
3,4
0,2
0,68
1
1,68
0,2
N10= 0,336
x
+
x
+
x
Introdução à Ciência da Computação
ii)
Parte Fracionária: Multiplique o dígito
mais à direita por 1/b e some o
próximo
dígito
à
esquerda.
Multiplique a soma por 1/b e adicione
o próximo dígito. Repita o processo
até que o último dígito tenha sido
adicionado e a soma multiplicada por
1/b.
Professor Menezes
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 8-8
Operações com binários
Binários a decimais
Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escrever
cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base = 2),
elevado à posição que ocupa. Uma posição à esquerda da vírgula representa
uma potência positiva e à direita uma potência negativa. A soma de cada
multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número
real representado. Exemplo:
1011(binário)
1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 11
Portanto, 1011 é 11 em decimal
Decimais em binários
Dado um número decimal inteiro, para convertê-lo em binário, basta dividi-lo
sucessivamente por 2, anotando o resto da divisão inteira:
12(dec) -> bin
12 / 2 = 6 + 0
06 / 2 = 3 + 0
03 / 2 = 1 + 1
01 / 2 = 0 + 1
12(dec) = 1100(bin)
Observe que os números devem ser lidos de baixo para cima: 1100 é 12 em
decimal.
Existe um método muito simples para converter binário em decimal, e viceversa.
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
0 0 0 0 1 0 1 0 = 10 (2+8=10)
0 0 0 1 1 0 0 0 = 24 (8+16=24)
1 1 0 0 0 0 0 0 = 192 (64+128=192)
1 0 1 1 1 0 1 0 = 186 (2+8+16+32+128=186)
Decimais fracionários em binários
Exemplo I
0.562510
Parte inteira = 0 10 = 02
Parte fracionária = 0.562510
Multiplica-se a parte fracionária por 2 sucessivamente, até que ela seja igual a
zero ou cheguemos na precisão desejada.
Introdução à Ciência da Computação
Professor Menezes
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 9-9
fração x 2 = vai-um + fração seguinte
0.5625 x 2 = 1 + 0.1250
0.1250 x 2 = 0 + 0.2500
0.2500 x 2 = 0 + 0.5000
0.5000 x 2 = 1 + 0.0000 <-- nesta linha a fração zerou, finalizamos a conversão
Anotando a seqüência de vai-um (carry) na ordem de cima para baixo, temos:
1001
Portanto, 0.562510 = 0.10012
No entanto, é mais comum nunca zerarmos a fração seguinte da
multiplicação.
Neste caso, devemos parar as multiplicações quando atingirmos uma certa
precisão desejada.
Exemplo II
67.57510
Parte inteira = 6710 = 10000112
Parte fracionária = 0.5752
fração x 2 = vai-um + fração seguinte
0.5750 x 2 = 1 + 0.1500
0.1500 x 2 = 0 + 0.3000
0.3000 x 2 = 0 + 0.6000 <--- esta fração e suas subseqüentes serão repetidas em breve.
0.6000 x 2 = 1 + 0.2000
0.2000 x 2 = 0 + 0.4000
0.4000 x 2 = 0 + 0.8000
0.8000 x 2 = 1 + 0.6000 <--- a partir daqui repetimos a fração 0.6000 e suas subseqüentes
0.6000 x 2 = 1 + 0.2000
Ou seja, entramos em um ciclo sem fim. Escolhemos uma precisão e
finalizamos o processo quando esta precisão for atingida, então na ordem de
cima para baixo, temos: 100100112
Soma de Binários
Para somar dois números binários, o procedimento é o seguinte:
Exemplo 1:
*
1100
+ 111
----= 10011
Explicando: Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois
algarismos: 0 (zero) ou 1 (um). Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se
soma 1 com 1, o resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0
(zero) e passa-se o outro 1 para a "frente", ou seja, para ser somado com o
próximo elemento, conforme assinalado pelo asterisco.
Exemplo 2:
Introdução à Ciência da Computação
Professor Menezes
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 10-10
**
1100
+ 1111
----= 11011
Explicando: Nesse caso acima (exemplo 2), na quarta coluna da direita para a
esquerda, nos deparamos com uma soma de 1 com 1 mais a soma do 1 ( * )
que veio da soma anterior. Quando temos esse caso (1 + 1 + 1), o resultado é
1 e passa-se o outro 1 para frente.
Subtração de Binários
Para subtrair dois números binários, o procedimento é o seguinte:
* ***
1101110
- 10111
------= 1010111
Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos "emprestar" do elemento
vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número
binário. Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita
foi 2 - 1 = 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo"
e valia 1 passa a valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que
"emprestaram" para seus vizinhos. Perceba, que, logicamente, quando o valor
for zero, ele não pode "emprestar" para ninguém, então o "pedido" passa para
o próximo elemento e esse zero recebe o valor de 1.
Multiplicação de Binários
A multiplicação entre binários é similar a realizada normalmente. A única
diferença está no momento de somar os termos resultantes da operação:
1011
x1010
--------0000
+ 1011
+ 0000
+1011
--------------=1101110
*
Perceba que na soma de 0 e 1 o resultado será 1, mas na soma de 1 com 1, ao
invés do resultado ser 2, ele será 0 (zero) e passa-se o 1 para a próxima
coluna, conforme assinalado pelo asterisco. Nota que se a soma passar de 2,
deve-se somar o número em binário correspondente ( ex. 4 = 100, 3 =11).
111
x 111
Introdução à Ciência da Computação
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 11-11
Professor Menezes
--------111
+
111
+ 111
--------------= 110001
No caso, a terceira coluna a soma dá 4 (com mais um da anterior), que
adiciona um "1" duas colunas depois (100).
Divisão de Binários
Essa operação também é similar a realizada entre números decimais:
110 |__10__
- 10 11
-010
- 10
-00
Deve-se observar somente a regra para subtração entre binários. Nesse
exemplo a divisão de 110 por 10 teve como resultado 11.
Exercício
1. Converter para o equivalente no sistema decimal:
a) 11001100
b) 110110
c) 111000111
d) 11011
e) 101010
2. Converter os números decimais abaixo para os binários equivalentes:
a) 285
b) 473
C) 694
3. Achar as diferenças binárias:
a) 11100111 x 11
b) 111011 x 1011
c) 11101 x 1101
4. Converter para decimal:
a) 42056 b) 1420325
c) 153B16
5. O que está errado?
a) 15324
b) 21937
c) 10132
6. Reescreva o número decimal 3263 nas bases:
a) 83
b) 4
Introdução à Ciência da Computação
c) 12 (use A = 10 e B = 11)