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História dos racionais
O homem introduziu o uso de fracções quando começou a medir e representar medidas.
Os egípcios usavam, em geral, fracções com numerador 1 e denominador um número
inteiro, como por exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...
Os babilónios usavam em geral fracções com denominador 60. É provável que o uso do
número 60 pelos babilónios se deva ao facto que é um número menor do que 100 com maior
quantidade de divisores inteiros.
Os romanos, por sua vez, usavam fracções com denominador 12.
Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar fracções. O
representação que hoje usamos data do século XVI.
Os números decimais têm origem nas fracções decimais. Por exemplo, a fracção 1/2
equivale à fracção 5/10 que equivale ao número cuja representação decimal é 0,5.
Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 utilizou um método para efectuar
todas as operações usando números inteiros, sem o uso de fracções, no qual escrevia os números
naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada
pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por
John Napier, matemático escocês.
1437
1000
1,
1
2
3
4
3
7
A representação dos algarismos decimais, provenientes de fracções decimais, recebia
um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
437
100
= 4,37
Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de
uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Durante muito tempo os números decimais foram usados apenas para cálculos
relacionados com a astronomia, com a introdução de novos métodos de calculo
nomeadamente o cálculo efectuado por meios mecânicos e electrónicos. Por último as
unidades internacionais de medida suportam-se fortemente no sistema de representação
decimal contribuindo fortemente para a universalização do uso deste sistema de
representação dos números.
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Tarefa 1
Observa a figura seguinte onde um quadrado foi dividido em vários quadriláteros
rectângulos.
1. Qual é a característica comum a todos os quadriláteros em que o quadrado foi
dividido.
2. Todos os quadriláteros em que o quadrado foi dividido tem dimensões diferentes?
3. A semelhança dos egípcios escreve uma fracção que represente a área de cada um
dos quadriláteros rectângulos tomando como unidade o maior rectângulo, não
quadrado, da figura acima.
4. Com ajuda da figura e lápis de cor representa cada uma das fracções seguintes,
ordenando-as de seguida.
1/2, 8/9, 3/4, 3/5, 6/7, 1/3, 5/8
5. Considerando que a área total da figura mede 100 determina uma fracção que
represente a área de cada uma das peças.
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Tarefa 2
Observa um relógio analógico, o ponteiro das horas dá uma volta inteira em doze horas
enquanto o ponteiro dos minutos dá uma volta inteira numa hora.
O relógio está dividido em 12 sectores geometricamente iguais para indicar as horas e em
60 sectores geometricamente iguais para indicar os minutos.
1. Indica uma fracção própria que represente o sector percorrido pelo ponteiro das horas
numa hora e pelo ponteiro dos minutos num minuto.
2. Utiliza fracções para preencher as tabelas de modo que estas representem o sector
percorrido por cada um dos ponteiros nos intervalos de tempo indicados.
a.
Intervalo de tempo
Ponteiro dos minutos
Um quarto de hora
15
60
Vinte minutos
Meia hora
Quarenta e cinco minutos
b.
Intervalo de tempo
Ponteiro das horas
Duas horas
4
12
Três horas
Quatro horas
Meio-dia
3. O sector ilustrado na figura abaixo (equivalente ao sector do relógio percorrido pelo
ponteiro das horas numa hora ou o ponteiro dos minutos em cinco minutos) pode ser
representado por duas fracções 1/12 (um doze avos) e 5/60 (cinco sessenta avos).
De modo análogo indica, na tabela abaixo, várias fracções que representem o sector
percorrido pelos ponteiros do relógio.
Intervalo de tempo
Ponteiro dos minutos
Ponteiro das horas
Um quarto de hora
Vinte minutos
Meia hora
Quarenta e cinco minutos
Uma hora
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Tarefa 3
Observa a imagem que mostra os diversos formatos normalizados de papel.
Podes observar que um A0
corresponde ao dobro do A1, de
outro
modo,
o
formato
A1
corresponde a metade do A0
podemos escrever que A1=
Raciocinando
análogo
A7 =
1
8
de
um
poderias
1
2
A0 .
modo
dizer
que
A4 .
1.
relações
Usando
as
diferentes
entre
os
formatos
normalizados de papel completa
a tabela seguinte:
A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
A0
1
2
A1 1/2 1
A2
A3
A4
1
1
1
A5
1
A6
A7
8
1
1/8
1
2. Na tabela anterior encontras algum padrão entre os números racionais que escreveste?
Justifica.
3. O formato A8 tem 74mm de comprimento por 52mm de largura. Será que dezasseis formatos
A8 tem área equivalente a um formato A4 ? Justifica a tua resposta.
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Tarefa 4
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Tarefa 5 - Percentagens
Estudo das percentagens.
As percentagens são um conceito muito utilizado no nosso quotidiano, estreitamente
relacionada com este conceito está o estudo das proporções. Os aumentos dos ordenados e
pensões, as reduções de preços, as taxas de sucesso, o tempo de pertença da bola relativo a
uma equipa num jogo de futebol, são factos que, em regra geral, são expressos em
percentagens. Neste
contexto poder-se-á dizer que o uso das percentagens é uma das
aplicações da matemática elementar mais vulgarizada no nosso quotidiano.
Para entenderes melhor o conceito de percentagem, na figura seguinte encontra-se uma
grelha de 10x10 nessa grelha estão escritas letras de A a J. Existem ao todo 100 maiúsculas na
grelha, dessas 100 maiúsculas 10 são a letra A, dizemos então que há dez A’s em 100 maiúsculas,
isto é, 10% ( dez por cento) das maiúsculas são a letra A. Uma outra tradução para 10 em 100 é a
razão 10/100. O número de A’s correspondem a décima parte das maiúsculas assim 10%
corresponde ao número decimal 0.1, ou seja a razão, 1/10. Será que podes dizer o mesmo para as
outras maiúsculas? Qual a percentagem de maiúsculas que são vogais na tabela?
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A
C
D
E
F
G
H
I
J
A
B
D
E
F
G
H
I
J
A
B
C
E
F
G
H
I
J
A
B
C
D
F
G
H
I
J
A
B
C
D
E
G
H
I
J
A
B
C
D
E
F
H
I
J
A
B
C
D
E
F
G
I
J
A
B
C
D
E
F
G
H
J
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Área
total
razão
%
100/100
100%
Depois de ler o segundo período do texto tenta preencher a tabela à direita da grelha.
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2. Observa o esquema, da imagem abaixo,
designada por Bauhütte:
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obtido da composição de Almada Negreiros
a. Investiga a percentagem do
quadrado ocupada por cada
um dos três triângulos que o
formam.
b.
Utilizando
instrumentos
de
medida de comprimento e de
ângulos investiga qual a área
do
triangulo
exterior
ao
quadrado.
3. Um muro, de forma quadrangular e de 10m de lado, tem a configuração que a seguir se
apresenta:
a. Qual será a escala usada para
representar o muro?
b. Investiga qual a percentagem
que cada um dos rectângulos. não
quadrados. representa em relação
ao total do muro ( Podes usar a
régua graduada para medir).
3. Organiza um horário das tarefas
que hoje tens de realizar. Qual a
percentagem do dia que cada
uma das tarefas te ocupa?
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Tarefa 6 – Proporções e Escalas
1. O pavilhão 1 da EB23 da Maia, em planta, aproxima-se de um quadrado com 30 metros de
lado aproximadamente. Na imagem aérea seguinte podes observar a tua escola.
a.
Indica medidas aproximadas dos outros pavilhões da escola.
b.
A escola tem um portão junto ao pavilhão desportivo, indica um valor aproximado
para o trajecto entre o portão de entrada da escola e o portão das traseiras da escola. Justifica.
c.
A escola terá de ser ampliada pelo que se prevê construir um pavilhão semelhante ao
pavilhão 1 a direita do edifício central, desenha-o se possível.
d.
Qual a medida a que corresponde na realidade a um centímetro sobre a imagem?
2. No mapa do concelho da maia que a seguir se apresenta 1cm correspondera a quantos
metros na realidade?
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