Sistemas Numéricos
Nos primórdios os homens primitivos não tinham a
necessidade de contar, porém este conceito foi se
transformando com o decorrer da história, o surgindo a
escrita e do comércio nas civilizações mais antigas
impulsionaram a necessidade de se trabalhar com números,
surgindo os primeiros sistemas de numeração de que se tem
notícia. No mundo atual diariamente trabalhamos com
números, seja a quantidade de açúcar que colocamos em
nosso café da manhã, o quanto estamos atrasados para o
trabalho ou ainda quanto dinheiro teremos que deixar para
as verduras da feira.
Pense, seria possível viver na sociedade atual sem um
sistema de numeração?
Sistemas Numéricos
“Creio que sua resposta é não”. Sendo partidário desta
opinião, nos deparamos com a necessidade de
dominarmos os sistemas de numeração existentes,
facilitando nossos relacionamentos no dia a dia.
O número é algo abstrato que representa a idéia de
quantidade, expressos através de símbolos previamente
acordados.
O sistema de numeração é o conjunto desses símbolos,
destacando as regras que definem a forma de
representação e correlação entre eles.
Sistemas Numéricos
Em geral, os sistemas de numeração definem dois grupos de
regras para representação de quantidade, os sistemas
“posicionais” e os “não posicionais”.
Nos sistemas “não posicionais” como o sistema de algarismos
romanos frequentemente encontrados na atualidade, cada
símbolo tem um valor fixo, não importando a posição ocupada
no número.
Já em “sistemas posicionais”, o valor de cada símbolo é obtido
de acordo com a sua posição no número. O sistema decimal
amplamente difundido em nossa sociedade baseia-se na
posição do símbolo dentro do número para determinar o seu
valor.
Sistemas Numéricos
Base
A base em um sistema de numeração determina a
quantidade de símbolos disponíveis para
utilização.
Ex: Base 10 (Decimal) é composto por 10 símbolos
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Binário
Muito utilizado para representar circuitos
eletrônicos, visto uma associação natural existente
entre seus dois símbolos (0 e 1) com presença ou
não de pulsos elétricos no circuito. Em geral, a
presença de pulsos é representada pelo elemento 1
e a falta deste, ou um pulso em menor voltagem, ou
ainda voltagem negativa são representadas pelo 0.
Base 2 - Composto pelos símbolos 0 e 1.
Octal
A representação com apenas dois símbolos como acontece
no sistema binário é trabalhosa, para representar grandes
quantidades, necessitados de diversos 0s e 1s. Para
facilitar a representação de grandes quantidades, o
Sistema Octal é uma alternativa interessante, visto que
conseguimos representar qualquer número Binário de 3
dígitos com um único em Octal.
Ex:
000 (Binário) = 0 (Octal)
111 (Binário) = 7 (Octal)
Base 8 - Composto pelos símbolos 0,1,2,3,4,5,6 e 7.
Decimal
Sistema de Numeração mais difundido e utilizado pelo
homem, possui grande facilidade de manipulação e
regras simples de posicionamento de símbolos.
Base 10 - Composto pelos símbolos
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Hexadecimal
Utilizado com a mesma finalidade do Sistema Octal,
facilitar a representação de grande quantidades oriundas
do Binário. Porém neste, conseguimos representar
números Binários de até 4 dígitos com um único em
Hexadecimal.
Ex:
0000 (Binário) = 0 (Hexadecimal)
1111 (Binário) = F (Hexadecimal)
Base 10 - Composto pelos símbolos
0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9,A,B,C,D,E e F.
Conversão de Binário/Decimal
Para conversão de Binário para Decimal pode ser aplicado
o Teorema Fundamental da Numeração (pesquisar).
Qualquer número Binário pode ser convertido para
Decimal multiplicando-se todos os dígitos binários por 2(n1) e ao final somando os resultados obtidos. (onde “n” é
igual a posição do digito no número)
Ex:
101 (Binário) = 1x22 + 0x21 + 1x20 = 5 Decimal
1111 (Binário) = 1x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 15 Decimal
Conversão de Binário/Decimal
(Fracionários)
Para conversão de Binário fracionário para Decimal também
aplicamos o Teorema Fundamental da Numeração. Qualquer
número Binário fracionário pode ser convertido para Decimal,
separando-se a parte inteira da fração. Para a parte inteira do
número, utilizar o método anterior, já para a fração devemos
multiplicar todos os dígitos binários por 2(-n) e ao final
somando os resultados obtidos. (onde “n” é igual a posição do
digito no número após a virgula)
Ex: 101,01 (Binário) = 1x22 + 0x21 + 1x20 , 0x2 -1 + 1x2-2
=4+0+1,
0
21
= 5,25 (Decimal)
+
1
22
Conversão de Decimal/Binário
A conversão do sistema Decimal para o Binário é realizado por
sucessivas divisões por 2, ou seja, pegar um número em
decimal e dividi-lo sucessivamente por 2 até que o quociente
seja igual a 0.
O número Binário correspondente é obtido ao coletar todos os
restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última
divisão até o resto da primeira.
Ex:
7
2
1
3
2
1
1
2
1
0
7 (Decimal) = 111 (Binário)
22
2
0
11
2
1
5
2
1
2
2
0
1
2
1
0
22 (Decimal) = 10110 (Binário)
Conversão de Decimal/Binário
Para conferir se a conversão está correta:
7 (Decimal) = 111 (Binário)
1x22 + 1x21 + 1x 20 => 4 + 2 + 1 = 7 (Decimal)
22 (Decimal) = 10110 (Binário)
1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 => 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22 (Decimal)
Conversão de Decimal/Binário
(Fracionários)
Qualquer número Decimal fracionário pode ser convertido para
Binário separando-se a parte inteira da fração. Para a parte inteira
do número, utilizar o método anterior de divisões sucessivas por 2,
já para a fração devemos multiplicar sucessivamente todo o valor
fracionário por 2. Quando o resultado atingir o número 1, e a parte
do número após a virgula não for nula, separamos esta última e
reiniciamos todo o processo, até que a parte após a virgula seja nula.
O número Binário correspondente é obtido ao coletar todos os
números inteiros obtidos nas operações, do primeiro para o último.
Ex: 7,625 (Decimal)
Parte Inteira =>
7
2
1
3
2
1
1
2
1
0
7 (Decimal) = 111 (Binário)
Conversão de Decimal/Binário
Parte Fracionária =>
(Fracionários)
0,625
x 2
1,250
0,250
x 2
0,500
0,625
x 2
1,000
Coletando os inteiros do último para o primeiro temos 101=0,625, agora é só
agrupar o resultado da parte inteira com a fracionária, logo temos:
7,625 = 111,101
Conversão de Decimal/Binário
(Fracionários)
Existirão casos onde o valor após a virgula nunca será nula, deste modo
perceberemos que repetitivamente estaremos passando pelos mesmos
valores, isso é equivalente a uma dizima periódica.
Ex:
Converter 0,8 Decimal em Binário.
0,8
x2
1,6
0,4
x2
0,8
0,6
x2
1,2
0,8
x2
1,6
Começou a repetição,
a mesma será infinita.
0,2
x2
0,4
Portanto, quando nos deparamos como a repetição que indica uma dizima,
podemos parar e aceitar o resultado da seguinte maneira:
0,8 (Decimal) = 0,110011001100... (Binário)
Conversão de Octal/Decimal
Para conversão de Octal para Decimal pode ser aplicado o
Teorema Fundamental da Numeração. Qualquer número
Octal pode ser convertido para Decimal multiplicando-se
todos os seus dígitos por 8(n-1), somando ao final os
resultados obtidos. (onde “n” é igual a posição do digito
no número)
Ex:
66 (Octal) = 6x81 + 6x80 => 48 + 6 = 54 Decimal
123 (Octal) = 1x82 + 2x81 + 3x80 => 64 + 16 + 3 = 83 Decimal
Obs- Para números fracionários, multiplicar cada digito da
parte fracionária por 8 (-n) , conforme visto na conversão de
Binário fracionário para Decimal.
Conversão de Decimal/Octal
A conversão do sistema Decimal para o Octal é realizado por
sucessivas divisões por 8, ou seja, pegar um número em
decimal e dividi-lo sucessivamente por 8 até que o quociente
seja igual a 0.
O número Octal correspondente é obtido ao coletar todos os
restos obtidos nas operações, iniciando-se pelo resto da última
divisão até o resto da primeira.
Ex:
125
8
5
15
8
7
1
8
1
0
125 (Decimal) = 175 (Octal)
725
8
5
90
8
2
11
8
3
1
8
1
0
725 (Decimal) = 1325 (Octal)
Conversão de Hexadecimal/Decimal
Para conversão de Hexadecimal para Decimal também
podemos aplicar o Teorema Fundamental da Numeração
(pesquisar). Qualquer número Hexadecimal pode ser
convertido para Decimal multiplicando-se todos os seus
dígitos por 16(n-1), somando ao final os resultados obtidos.
(onde “n” é igual a posição do digito no número)
BABA (Hexa) = Bx163 + Ax162 + Bx161 + Ax160 =>
11x4096 + 10x256 + 11x16 + 10x1 =>
45056 + 2560 + 176 + 10 = 47802 (Decimal)
25 (Hexa) = 2x161 + 5x160 => 32 + 5 = 37 (Decimal)
Obs- Para números fracionários, multiplicar cada digito da parte
fracionária por 16(-n) , conforme visto na conversão de Binário
fracionário para Decimal.
Conversão de Decimal/Hexadecimal
A conversão do sistema Decimal para o Hexa é idêntico ao processo
realizado de Binário e Octal para Decimal, porém as sucessivas
divisões são por 16. Neste, além de coletar todos os restos obtidos
nas operações, iniciando-se pelo resto da última divisão até o resto
da primeira, os restos com valores entre 10 e 15 deverão ser
convertidos da seguinte maneira:
10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F.
140
12
16
8
8
16
0
140 (Decimal) = 8C (Hexal)
1547
16
11
96
8
0
6
6
8
0
1547 (Decimal) =60B (Hexa)
Conversão de Binário/Hexa
Como sabemos, o sistema Hexadecimal procura
facilitar a representação de grandes quantidades
em binário. Para cada 4 dígitos Binários temos um
único Hexa. Devido a relação citada, a conversão de
Binário para Hexa é simples e rápida, basta separar
o número Binário de quatro em quatro dígitos,
começando do dígito menos significativo. Após a
separação, cada dígito terá seu equivalente em Hexa
de acordo com a tabela ao lado:
Ex:
11010011001101 (Binário)
=> 11 - 0100 - 1100 - 1101
=> 3 – 4 – C – D
11010011001101 (Binário) = 34CD (Hexa)
Binário
Hexa
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
8
1001
9
1010
A
1011
B
1100
C
1101
D
1110
E
1111
F
Conversão de Hexadecimal/Binário
Visto a relação existente entre os sistemas, basta utilizar a
tabela anterior para conversão de qualquer Hexadecimal em
Binário, lembrando-se de que para cada dígito Hexa, teremos 4
em Binário.
7B (Hexa) => 7 = 0111 e B = 1011, logo:
7B (Hexa) = 1111011 (Binário)
66C (Hexa) => 6 = 0110 e C = 1100, logo:
66C (Hexa) = 11001101100 (Binário)
Obs – Este método de conversão é válido também para conversões entre
Binário e Octal, atentar-se apenas ao fato da tabela ir de “0” até o número
“7” ao invés do “F” do Hexadecimal.
Exercícios
1) Converter o número Binário 100011 para
Decimal.
2) Qual o valor do número Binário 101001 em
Hexadecimal?
3) O número 0x600 equivale a qual número em
Decimal?
4) Quanto vale o número 30 Decimal em Octal?
5) Converter 64202 base 10 em Hexadecimal.
Obs- Utilizar a calculadora apenas para conferir
os resultados, os métodos de conversão
apresentados devem compor sua resposta.
Respostas (Exercício 1)
1- Passo um, utilizar o Teorema Fundamental da Numeração,
multiplicando todos os dígitos Binários por 2(n-1), onde n é igual
a posição do dígito dentro do número:
100011 (Binário) = 1x25, 0x24, 0x23, 0x22, 1x21 e 1x20 =>
32, 0, 0, 0, 2 e 1
2- Passo dois, somar a seqüência de números obtida:
32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35 (Decimal)
Resposta = O Binário 100011 é igual ao Decimal 35.
Respostas (Exercício 2)
1- Passo um, quebrar o número Binário de quatro em quatro
dígitos, começando do dígito menos significativo:
101001 => 0010 - 1001
2- Passo dois, utilizar a tabela para converter grupos de 4
Binários em Hexadecimal:
0010 (Binário) = 2 (Hexa)
1001 (Binário) = 9 (Hexa)
3- Passo três, agrupar os números obtidos:
29
Resposta = O Binário 101001 é igual ao Hexadecimal 29.
Respostas (Exercício 3)
1- Passo um, utilizar o Teorema Fundamental da Numeração,
multiplicando todos os dígitos Binários por 2(n-1) , onde n é igual
a posição do dígito dentro do número:
600 (Hexa) = 6x162, 0x161 e 0x160 => 1536, 0 e 0.
2- Passo dois, somar a seqüência de números obtida:
1536 + 0 + 0 = 1536 (Decimal)
Resposta = O Hexadecimal 600 é igual ao Decimal 1536.
Respostas (Exercício 4)
1- Passo um, dividir sucessivamente o número Decimal por 8, até que
o quociente seja igual a 0:
30
8
6
3
8
3
0
2- Passo dois, agrupar os números obtidos:
36
Resposta = O Decimal 30 é igual ao Octal 36.
Respostas (Exercício 5)
1- Passo um, dividir sucessivamente o número Decimal por 16, até que o dividendo
seja menor que 16:
16
64202
10
4012
16
12 250
16
10
15
16
15
0
2- Passo dois, coletar os resultados começando pelo resto da última divisão até o
resto da primeira:
15, 10, 12 e 10
3- Converter os dígitos entre 10 e 15 para suas respectivas letras em Hexadecimal:
15=F, 10=A e 12=C.
4- Agrupar os números obtidos:
FACA
Resposta = O Decimal 64202 é igual ao Hexadecimal FACA.