Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A IX
(
1 –SOMA DOS ÂNGULOS
A primeira (e talvez mais importante) relação
válida para todo quadrilátero é a seguinte:
A soma dos ângulos internos de qualquer
quadrilátero é sempre
. Vamos ver isso na figura
abaixo:
)
A área de um trapézio é dada por
, em
que h é a altura do trapézio, B sua base maior (
na
figura 3) e b sua base menor (
na figura 3).
Além disso, como os lados
e
são
transversais a dois lados paralelos, os seus ângulos
colaterais internos são suplementares:
̂
̂
̂
̂
(ângulos colaterais internos)
(ângulos colaterais internos)
Temos alguns tipos especiais de trapézio:
Trapézio Retângulo: Possui dois ângulos retos.
Figura 1 – ângulos internos de um quadrilátero
Afirmamos que ̂
̂
̂
̂
Não é difícil provar isso. Note que qualquer
quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos por
meio de uma diagonal, por exemplo:
Figura 4 – trapézio retângulo
Trapézio Isósceles: Possui lados não paralelos
iguais e ângulos da base iguais. Ou seja, no trapézio
̂ . Além disso,
abaixo, sendo
, então ̂
̂
̂
̂
̂ , logo
nota-se que
e
̂
̂
também tem-se que
.
Figura 2 – quadrilátero dividido em dois triângulos
Assim: Soma dos ângulos do quadrilátero
Soma dos ângulos dos triângulos
e
=
Figura 5 – trapézio isósceles
2.2 – Paralelogramo
2 – QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS
Nosso maior interesse estará em alguns tipos
de quadriláteros com propriedades bem definidas (e
que você tem que conhecer!). Chamaremos eles de
quadriláteros notáveis. Hora de conhecê-los:
O paralelogramo é o quadrilátero com dois
pares de lados paralelos. Na figura abaixo, tem-se que
e
.
2.1 – Trapézio
Figura 6 – paralelogramo
O trapézio é o quadrilátero com um par de
lados paralelos, que são chamados de “bases”, como
está ilustrado na figura abaixo:
Consequências:




)
)
Diagonais se cortam ao meio
A área do paralelogramo é base x altura.
Figura 3 – trapézio
CASD Vestibulares
Lados opostos iguais (
e
̂
̂
̂)
Ângulos opostos iguais (
e ̂
Ângulos consecutivos suplementares
̂
̂
̂ ̂ ̂
̂
(̂ ̂
Geometria
1
2.3 – Losango
ERRATA
O losango é o quadrilátero com todos os lados
iguais ou congruentes. Na figura abaixo, tem-se que
.
- No material de Geometria Plana II, o gabarito correto
do exercício proposto 9 é
, e não
- No material de Geometria Plana IV, no exercício
proposto 14, na terceira afirmativa, troque “A soma de
e
dá, necessariamente,
” por “A soma de e
dá, necessariamente,
”
- No material de Geometria Plana V, a figura do
exercício proposto 10 é a seguinte:
Figura 7 – losango



Consequências:
É um paralelogramo (
Diagonais perpendiculares (
Diagonais são bissetrizes
)
e
)
A área do losango é , em que
diagonais maior e menor do losango.
e
são as
2.4 – Retângulo
O retângulo é o quadrilátero com todos os
àngulos congruentes. Como a soma dos 4 ângulos é
, todos eles são retos, como está ilustrado na
figura abaixo.
Como
é perpendicular a
, o ângulo central
mede
, logo o arco ̂ vale
. Chame o ponto em
que
corta
de
e o ponto que
corta
novamente a circunferência de
(
é
diâmetro). Pelo enunciado, o ângulo ̂ vale
.
̂
Note que ̂
e calcule ̂
Note que ̂ é um ângulo de vértice interior que
enxerga os arcos ̂ e ̂ e calcule o arco ̂ . Como
é um diâmetro, o arco ̂ mede
, logo
̂ ̂
. Calcule o arco ̂ .
Chame o ponto que a tangente à circunferência no
ponto corta a reta
. Note que o ângulo ̂ é um
ângulo de vértice exterior que enxerga ̂ e ̂ .
Figura 8 – retângulo
Consequências:


É um paralelogramo (
Diagonais congruentes (
)
e
Aqui está a versão corrigida das “Dicas e Fatos que
Ajudam” para essa questão (o gabarito continua
)
)
A área do retângulo é base x altura.
2.5 – Quadrado
Observação:
O quadrado é o quadrilátero com todos os
àngulos e lados congruentes, como está ilustrado na
figura abaixo.
̂ NÃO é
, pois
não é raio!
- No material de Geometria Plana VI, no final das dicas
do exercício proposto 15, a versão corrigida é
Seja
o ponto em que
̂
̂
corta
. Então, tem-se:
̂
̂
é um ângulo externo ao triângulo
̂
̂
Figura 9 – quadrado

Consequências:
O Quadrado é um losango e um retângulo (ele
tem as propriedades das duas figuras)
A área do quadrado é lado x lado.
2
As correções estão marcadas em negrito acima.
- No material de Geometria Plana VII, no início da
página 2, troque a primeira frase “A mediatriz de um
segmento é uma semi-reta que divide o ângulo ao
meio.” por “A mediatriz de um segmento é uma reta
perpendicular a ele, passando pelo seu ponto médio.”
Geometria
CASD Vestibulares
8. (G1 - CFTCE - 06) No paralelogramo
, calcule
as medidas das diagonais, de acordo com a figura a
seguir.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. Determine o valor de :
a)
b)
Dados:
;
c)
d)
;
;
9. (UERJ - 00) Se um polígono tem todos os lados
iguais, então todos os seus ângulos internos são
iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado
2. Se
e .
a)
é trapézio de bases
e
, determine
10. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana VI
Nível II
b)
11. Classifique em verdadeiro ou falso.
3. Sendo
̂.
um paralelogramo, determine o ângulo
a) Todo retângulo é paralelogramo
b) Todo paralelogramo é retângulo
c) Todo quadrado é retângulo
d)Todo retângulo é quadrado
e) Todo paralelogramo é losango
f) Todo quadrado é losango
g) Um quadrilátero que as diagonais se cortam ao meio
é paralelogramo
h) As diagonais do losango se cortam ao meio
12. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana VII
13. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana VI
14. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana VIII
4. (UNIFESP - 02) Em um paralelogramo, as medidas
de dois ângulos internos consecutivos estão na razão
.O ângulo menor desse paralelogramo mede
a)
b)
c)
d)
15.
é trapézio de bases
e
. Se
são bissetrizes, determine e o ângulo ̂
e
e)
5. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana XIV
6. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana XIV
7. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana XIV
16. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana XII
17. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana XIV
CASD Vestibulares
Geometria
3
18. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana XII
24. O perímetro de um losango é de
cm. Calcule a
medida de sua área , sabendo que a sua diagonal
maior vale o triplo da menor.
19. Determine a área dos trapézios
a)
25. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana XIV
b)
26. Um fio de
de comprimento é cortado em
duas partes, para formar dois quadrados, de modo que
a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das
partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados
formados?
c)
27. (FUVEST - 97) No retângulo a seguir, o valor, em
graus, de + é:
20. (FUVEST - 00) Um trapézio retângulo tem bases
e e altura . O perímetro desse trapézio é:
a)
b)
c)
d)
e)
21. (UFMG - 06) Esta figura representa o quadrilátero
:
a)
b)
c)
d)
e)
28. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana XIV
29. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana XIV
30. (UFMG - 97) Observe a figura.
Sabe-se que
- ̅̅̅̅
e ̅̅̅̅
- o ângulo ̂ mede
;
;e
é perpendicular aos segmentos
- o segmento
e
.
Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do
segmento
é
a) √
b) √
c) √
d) √
22. No trapézio isósceles
, é conhecido que a
medida da base maior
é o dobro da medida da
base menor
, e que o ângulo
mede
. Se a
medida da base
é √
, deternine, em
a
área do trapézio.
Nessa figura,
e
é:
a)
√
representa um quadrado de lado
. O perímetro do quadrilátero
b)
√
c)
√
d)
√
31. Do trapézio da figura, sabe-se que
e
. Qual o valor do ângulo ̂
23. (G1 - IFSC - 11) O perímetro de um losango é
e uma diagonal mede
. A outra diagonal
mede:
a)
4
b)
c)
d)
e)
Geometria
CASD Vestibulares
32. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana XIV
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
33. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana XIV
1. A soma dos ângulos internos de qualquer
quadrilátero é
.
No item 1d) note que o triângulo
é isósceles, logo
̂
̂
. Além disso, o ângulo ̂ é externo
̂
̂
ao triângulo
, logo ̂
34. (FUVEST - 01) Na figura a seguir, os quadrados
e
têm, ambos, lado
e centro . Se
, qual o valor de ?
2. Em qualquer trapézio, os ângulos colaterais internos
são suplementares.
3. Um paralelogramo possui ângulos opostos de
mesma medida. Lembre-se que o problema pede o
valor de ̂ , e não o de
4. Um paralelogramo possui
consecutivos suplementares.
a)
√
√
b)
√
c)
√
d)
e)
ângulos
internos
5. Como o quadrado
tem área
, o seu
lado é
. Como o quadrado
tem área
, o seu lado é
. Assim, o lado do
quadrado
é
e a sua área é
√
35. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana XIV
36. (UDESC - 09) No paralelogramo
, conforme
mostra a figura, o segmento
é a bissetriz do ângulo
̂ .
6. Se a área de um quadrado é
, o seu lado é √
√
7. A área de cada cédula é
. Ao todo,
são
cédulas, logo
a área total é
. Além disso, lembre-se que
equivale a
. Então a área total é
(
)
8. Em um paralelogramo, as diagonais se cortam ao
meio.
9. Lembre-se que um losango tem todos os ângulos
iguais, mas não tem todos os ângulos iguais (quem
tem todos os ângulos iguais é o retângulo)
Sabendo que
e
perímetro do paralelogramo
a)
b)
c)
, então o valor do
é:
d)
10. Como é o ponto médio de
de
e é o ponto médio de
média do triângulo de base
triângulos
e)
,
e
, é o ponto médio
. Assim,
é base
. Então
, isto é, os
são todos equiláteros.
11. Para cada quadrilátero, preste antenção nas
consequências indicadas na teoria.
37. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana III
38. Sejam
um quadrado,
um triângulo
equilátero interior e
um triângulo equilátero
exterior. Quanto mede o ângulo ̂ ?
12. Seja o ponto em que
corta
. Como
é
um retângulo, as suas diagonais são iguais e se
cortam ao meio. Assim,
, logo o triângulo
̂
é isósceles de base
. Logo ̂
.
é ângulo externo ao triângulo
̂
CASD Vestibulares
Geometria
̂
5
13. Como
é um quadrado, as suas diagonais são
bissetrizes. Assim,
. Seja
̂ . Logo:
, então
̂
base
̂
̂
é um triângulo isósceles de
̂
̂
̂
O diâmetro da semicircunferência é
eé
um cateto do triângulo retângulo. Logo a área do
triângulo retângulo é
(
é um triângulo equilátero,
. Além disso,
. Logo:
15. Como
é um trapézio, os ângulos
são suplementares. Então:
̂
̂
̂ e
Então, a área total da figura é
. Como
, equivale a
,a
área total é
. Como o metro quadrado
é avaliado em
, o valor da área é
Assim,
cada
uma
das
famílias
receberá
17. A figura do problema é a seguinte:
̂
̂
é uma bissetriz, tem-se:
̂
Como o triângulo
̂
é retângulo, tem-se:
̂
̂ e
Como
é um trapézio, os ângulos
suplementares. Então:
̂
)
̂
̂
̂
Note que a base maior do trapézio é
, a base
menor é
e a sua altura é
. Então a sua
área é:
̂
14. Seja o ponto em que
corta
. Como
é
um retângulo, as suas diagonais se cortam ao meio,
logo
é ponto médio de
. Assim,
é uma
mediana do triângulo
. Como é o ponto médio
de
,
é uma mediana do triângulo
. Como
e
se cortam em ,
é o baricentro do
triângulo
. Logo
Como
,a
Usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que a
hipotenusa do triângulo retângulo é √
Como
é um quadrado, as suas diagonais são
perpendiculares. Então ̂
. Logo:
Como
16. Como a semicircunferência tem raio igual a
sua área é
̂
̂
são
̂
̂
Como
é uma bissetriz, tem-se:
̂
̂
̂
̂
̂
(
6
̂
A área do semicírculo de raio
é metade da área
do círculo de raio
. Logo a área original da
superfície do palco era
̂
)
(
)
Geometria
CASD Vestibulares
18. A figura do problema é a seguinte:
23. A figura do problema é a seguinte:
Baixe a altura a partir do ponto , formando o trtiângulo
retângulo
.
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
Como o losango possui os quatro lados iguais e o seu
perímetro é
, cada lado vale
. Seja
o
ponto em que as diagonais
e
se cortam. Como
as diagonais são perpendiculares, o triângulo
é
retângulo. Se
é a diagonal que mede
,
, pois as diagonais se cortam ao meio.
:
Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo
A base maior do trapézio é
é
e a altura é
(
)
:
, a base menor
. Então:
(
)
19. a) Baixe a altura formando um triângulo retângulo
como a figura da questão 18 e use o Teorema de
Pitágoras para calcular a altura.
b) Baixe duas alturas a partir dos vértices da base
menor, formando dois triângulos retângulos como a
figura da questão 17. Note que os dois triângulos
retângulos têm a mesma base e use o Teorema de
Pitágoras para calcular a altura.
c) Baixe a altura formando um triângulo retângulo como
a figura da questão 18 e use a trigonometria para
calcular a altura.
24. Desenhe as duas diagonais do losango, como a
figura da questão 24. Note que se a diagonal maior
vale o triplo da menor, no triângulo retângulo formado
por um lado e pelas metades das diagonais, o cateto
maior vale o triplo do cateto menor. Chame o cateto
menor de e use o e teorema de Pitágoras.
25. Como a área do quadrado
é
, o seu
lado vale
. Assim,
. Como é
ponto médio de
e é ponto médio de
, tem-se
que
. Assim, as áreas dos triângulos
retângulos
e
são:
20. Baixe a altura formando um triângulo retângulo
como a figura da questão 18 e use o Teorema de
Pitágoras para calcular o quarto lado.
21. Baixe a altura a partir do ponto , formando o
triângulo retângulo
. Utilize, então, trigonometria
para descobrir a altura do trapézio (representada pelo
segmento
) e o segmento
. Em seguida,
determine o segmento
e aplique Pitágoras no
triângulo
.
22. Baixe a altura a partir do ponto , formando o
triângulo retângulo
. Utilize, então, trigonometria
no triângulo retângulo
para descobrir a altura do
trapézio, representada pelo segmento
’.
CASD Vestibulares
26. Sejam
o lado do quadrado maior e
o lado do
quadrado menor. Então
,
. Logo:
√
A primeira parte do fio é
(o perímetro do quadrado
maior) e a segunda parte é
(o perímetro do
quadrado menor). Então:
Geometria
7
27. A figura do problema é a seguinte:
29. A figura do problema é a seguinte:
No triângulo retângulo
Seja
. Note que
teorema de Pitágoras no triângulo
̂
, tem-se:
̂
̂
̂
. Usando o
, tem-se:
( √ )
̂
̂
No triângulo retângulo
̂
, tem-se:
̂
Logo,
̂
̂
̂
(
̂
̂
(
)
√ . Usando o teorema de
, tem-se:
Note que
Pitágoras no triângulo
̂
̂
. Pelo mesma razão,
( √ )
)
28. A figura do problema é a seguinte:
( √ )
Pelo mesmo motivo,
Logo,
30.
e
Chame
nos triângulos
e
Como
maneira, ̂
retângulo.
,
̂
A área dos triângulos
. Da
. Logo,
̂
e
mesma
é um
̂
Note que
√
Se
é o lado de
8
)√
̂
(
)
, o triângulo
̂
̂
̂
é isósceles de base
̂
̂ (ângulos alternos internos). Logo
̂
̂
√
̂
̂
(
)
(
)
̂
,
Pelo Teorema de Pitágoras no
(
̂
√
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se que
,
31. Como
, o triângulo
é isósceles de
̂
base
, logo
. Além disso, como
é um
̂
trapézio, tem-se que
(ângulos
colaterais suplementares). Então:
Como
, logo:
é
,
e note que
. Então aplique Pitágoras
e
e calcule ,
,
, tem-se que:
Como
, o trapézio
é isósceles. Assim:
̂
√
Geometria
CASD Vestibulares
32. Seja
o lado do quadrado
.Nesse caso,
Note que o paralelogramo
possui base
altura
. Então a sua área é:
35. Seja
. Como
é paralelo a
e
é
ponto médio de
,
é base média do triângulo
, de base
. Então:
e
Como os triângulos
congruentes, tem-se:
( )
,
,
e
são todos
( )
De ( ) e ( ), tem-se:
Logo, as regiões 1 e 2 têm a mesma área! Assim,
como Miguel gasta
da tinta para pintar a região 1,
ele também vai ter que gastar
da tinta para pintar a
região 2
A área de
é
ponto médio de
,
quadrado, o triângulo
Pitágoras no tiângulo
, logo
. Como é
. Como
é um
é retângulo. Usando
, tem-se:
(
33. Seja
a área original da figura 1. Retirando a sua
metade, a área da figura 2 é
. Retirando um
terço do resto, a área da figura é
√
Usando Pitágoras no triângulo
Retirando um quarto do resto, a área da figura
)
, tem-se:
é
√
Retirando um quinto do resto, a área da figura 5 é
√
√
De maneira geral, a área da figura n é
Assim, a área da figura 100 é
, tem-se:
̂ . Como
36. Seja
̂
.
37. Desenhe a bissetriz do ângulo
ponto em que a bissetriz corta o lado
̂
̂
̂
. Note que
̂
alternos internos). Logo
.
é um quadrado de lado ,
̂
̂
̂
disso,
é paralelo a
é um paralelogramo
√
√
CASD Vestibulares
é bissetriz de
̂ ,
:
√
Como
√
̂ (ângulos alternos internos). Logo
Note que ̂
̂
̂
̂
. Então
o triângulo
é
isósceles de base
. Mas
.
Então
tem lado , tem-se:
Usando Pitágoras no triângulo
√
.
Como a figura 1 é um quadrado de lado
34. Como
√
̂ . Chame o
de . Então
̂
(ângulos
é paralelo a
. Além
. Assim, o quadrilátero
√
(√
)
̂
√
̂
o triângulo
é isósceles de base
.
Geometria
9
38. A figura do problema é a seguinte:
7. D
8. As diagonais são
9. A
10. B
11. a) V b) F c) V d) F e) F f) V g) V h) V
12. D
13. D
14. B
o lado do quadrado
. Então
. Além disso, como
e
triângulos equiláteros,
15. O valor de
Seja
é
e o ângulo
̂
é
são
16. A
17. B
̂
Seja
isósceles de base
̂
̂
̂
o triângulo
̂
é
18. D
19. a)
b)
√
c)
̂
20. D
21. A
̂
̂
22. A área do trapézio é √
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
23. C
̂
Seja
isósceles de base
̂
̂
̂
̂
o triângulo
̂
24. A área do losango é
é
25. D
26. a)
̂
e
b)
e
27. D
̂
28. D
̂
̂
̂
̂
29. E
̂
̂
̂
30. D
31. O ângulo ̂ é
GABARITO
32. D
1. a)
b)
2. a)
3. O ângulo ̂ é
4. A
5. A
6. B
10
c)
b)
d)
33. C
34. E
35. E
36. E
37. E
38. O ângulo
Geometria
̂
mede
CASD Vestibulares