LISTA DE EXERCÍCIOS
Goiânia, ____ de ___________ de 2014
Série: 3ª Série
 Turma: _____
Aluno(a):______________________________________________________________
Disciplina: Matemática  Professor: JR  e-mail: [email protected]
Geometria Plana – Conceitos Primitivos
Os conceitos de ponto, reta e plano são aceitos sem definições. Na
Geometria Euclidiana, qualquer "figura" será considerada como
um conjunto de pontos. Assim, reta é um conjunto de pontos,
plano é um conjunto de pontos, triângulo é um conjunto de
pontos e assim por diante.
RAZÃO DE SECÇÃO
Partes aditivas
AB  AC  BC
O ponto C divide o segmento AB numa dada razão r, com r  IR , se
r
2.
1.
Exercícios de Sala
(FAAP) Dividir um segmento de medida 144 em quatro partes,
tais que: somando 5 a primeira parte, subtraindo 5 da segunda
parte, multiplicando a terceira por 5 e dividindo a quarta por 5 as
medidas resultantes em todas as partes sejam iguais.
(Fuvest) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma
estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual
a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi marcado por
3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada,
localizado entre as cidades B e C e à distância de 210 km de A.
Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C do que de B,
determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o
ponto de encontro.
Exercícios Propostos
(UFG) As imagens a seguir são
representativas
de
períodos
históricos e, em cada uma delas, foi
destacado um par de medidas.
Em oposição a mitos históricos sobre o
uso da razão áurea, esses dois
exemplos mostram o uso de
proporções vindas de números
racionais. As medidas destacadas
na obra da antiguidade clássica
estão na proporção 4:9, enquanto
as da obra renascentista, na
proporção 2:3. Tendo por base
estas informações e considerando
os períodos históricos a que
b
c
pertence cada obra, os valores de
e
, com aproximação até
a
d
a segunda casa decimal, são, respectivamente,
(A)0,44 e 0,67
(B)0,67 e 0,44
(C)1,25 e 2,50
(D)1,50 e 2,25
(E)2,25 e 1,50
2. (Faap) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão
na razão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno
seja 66 m. A largura (em metros) deste terreno é:
a) 25 b) 10
c) 21
d) 15
e) 12
3.
4.
Um tipo especial de razão de secção é a harmônica. Ela
estabelece que:
Um segmento AB está dividido harmonicamente por dois pontos M e N
quando a razão das distâncias do ponto M aos pontos A e B é
igual à razão das distâncias de N aos mesmos dois pontos, ou
seja, a razão de secção de AB dividido em segmentos aditivos,
AB  AM  MB , é igual a razão de secção de AB dividido em
segmentos subtrativos, AB  AN  BN .
AC
CB
Exercício:
Estabeleça em que condições tem-se:
i) r  0
ii) 0  r  1
iii) r  1
iv) r  1
1.
02) O quadrado menor tem área de 25 cm2.
04) O lado do quadrado maior é o dobro do lado do quadrado menor.
08) A soma das áreas dos dois quadrados é 125 cm2.
(UEPG) Um fio de 60 cm de comprimento é cortado em duas
partes para formar dois quadrados de modo que a área de um
deles seja quatro vezes a área do outro. Nesse contexto, assinale
o que for correto.
01) O perímetro do quadrado maior é de 40 cm.
AM AN

MB BN
Com base nessas informações, responda:
a) Considere o segmento AB de medida 120 cm. Na divisão harmônica
AM
 2 , calcule a distância d entre os conjugados
de razão
MB
harmônicos M e N.
b) Calcule x para que os pontos da figura abaixo formem divisão
harmônica.
5.
Qual é a mais agradável divisão de um segmento de reta em duas
partes? Alguns podem dizer que é no ponto médio, porém, desde
a época dos gregos antigos, já se afirmava que a divisão que
produz uma sensação maior de beleza é a seção áurea – ou
divisão em média e extrema razões. Kepler (1571 – 1630)
afirmou certa vez que “a geometria possuía dois grandes
tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um
segmento em média e extrema razões. O primeiro podemos
comparar a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de
jóia preciosa”.
Diz-se que um ponto C divide um segmento AB na seção áurea se
AB AC
AC

, em que AC é maior do que CB. O valor de
,
AC CB
CB
comumente representado pela letra grega  , é chamado de
razão áurea.
Com base no exposto acima, responda.
a) Mostre que o valor de  é dado pela solução positiva da equação
2    1  0 .
b) Determine o valor de  .
6.
(UFRRJ) Observe a figura a seguir que
demonstra um padrão de harmonia,
segundo os gregos.
Há muito tempo os gregos já conheciam o
1  5
número de ouro  
, que é
2
aproximadamente 1,618. Tal número foi durante muito tempo
"padrão de harmonia". Por exemplo, ao se tomar a medida de
uma pessoa (altura) e dividi-la pela medida que vai da linha
umbilical até o chão, vê-se que a razão é a mesma que a da
medida do queixo até a testa, em relação à medida da linha dos
olhos até o queixo, e é igual ao número de ouro. Considere a
cantora Ivete Sangalo, harmoniosa, segundo os padrões gregos.
Goiânia-GO - Fone: 3088-0088 – www.colegiopodium.com.br
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-1-
Assumindo que a sua distância da linha umbilical até o chão é igual a
22
7.


5 1
25
metros, determine a altura da mesma.
Diz-se que um ângulo é agudo quando a sua medida é menor que 90o;
um ângulo é obtuso quando a sua medida é superior a 90o e
inferior a 180o.
*
Ângulos complementares
(UFSJ) O Partenon é uma obra arquitetônica grega, cujas
aberturas entre suas colunas têm o formato de quadriláteros que
são chamados de retângulos de ouro.


    90   e  são complementares.
*
Ângulos suplementares


    180   e  são suplementares.

Bissetriz
A
Eles recebem esse nome porque a razão entre a altura AB e a base AD
é igual ao número de ouro, que é igual a, aproximadamente,
1,618
Para que as portas de uma construção, que têm altura de 2,43 metros
também sejam retângulos de ouro, é CORRETO afirmar que
elas terão suas larguras entre
a) 1,5 m e 1,51 m
b) 1,61 m e 1,62 m
c) 1,4 m e 1,41 m
d) 1,31 m e 1,32 m
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Gabarito - Exercícios Propostos
D
E
15
a) 160 cm
b) x = 2
1 5
a) Demonstração b)  
.
2
1,76 m
A

O
V

B
Diz-se que OP é bissetriz do ângulo AÔB quando os ângulos AÔP
e PÔB são congruentes.
1.
Ângulos
Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem.
P
Exercícios de Sala
(UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente
proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.
O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a
a) 144°
b) 128°
c) 116°
d) 82°
e) 54°
2.
(UEL) Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia.
Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos
minutos é:
a) 90º
b) 100º
c) 110º
d) 115º
e) 125º
vértice
*
Ângulo reto
A intersecção de 2 retas determina 4 regiões angulares adjacentes 2 a
2.
1.
2.
r
s
Quando duas dessas regiões adjacentes forem congruentes, qualquer
uma delas define uma região de ângulo reto.
r
1
r
a
s
o
(UNICAMP) Um relógio foi acertado
exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que
estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter
percorrido um ângulo de 42º.
4.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Complete:
O complemento de 2540'12" é .................................................
O complemento de 2'3' ' é ..........................................................
O complemento de 815" é ........................................................
O complemento de  é ..............................................................
O suplemento de 3515'18" é .....................................................
O suplemento de 710' é ............................................................
O suplemento de 11" é ..............................................................
O suplemento de  é ..................................................................
5.
(UECE) O ângulo igual a 5
a) 100o
6.
*
Ângulo agudo e ângulo obtuso
c) 112,5º d) 120º
3.
s
Medida de um ângulo em grau (o)
Definições
1
1 grau (o) 
do ângulo reto
90
1
1 minuto (' ) 
da grau (o)
60
1
1 segundo ('' ) 
do minuto (' )
60
* Ângulo raso
Seus lados são semi-retas opostas.
(UFRN) O relógio ao lado está marcando
2h30min. Passadas duas horas e quinze
minutos, a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros do relógio será:
a) 127,5º b) 105º
1reto
*
Exercícios Propostos
(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do suplemento deste ângulo. Quanto mede este ângulo?
b) 144o
4
do seu suplemento mede:
c) 36o
d) 80o
(UFU) Dois ângulos consecutivos são complementares. Então, o
ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos mede:
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a) 20o
7.
b) 30o
c) 35o
d) 40o
e) 45o
(FGV) Qual a medida do ângulo, cuja metade do seu
complemento é dada por 22o37´38´´?
8.
Uma outra unidade para medir ângulos é o grado (gr). Sabe-se
que 90o correspondem a 100 grados. Assim, converta:
a) 25 gr em graus;
b) 18o em grados;
c) 144o em grados;
d) 150 gr em graus.
9.
Dois ângulos são complementares e suas medidas são x e y. Sabese também, que o dobro da medida do menor ângulo é igual a
medida do maior aumentada de 30°. Calcule x e y.
10. Dois ângulos suplementares medem 3x  40 e 2x  60 . Qual a
medida do maior desses ângulos?
11. (FATEC) O dobro da medida do complemento de um ângulo
aumentado de 40o é igual à medida do seu complemento. Qual a
medida do ângulo?
12. (UnB) Uma roda gigante possui 12 lugares
igualmente espaçados e gira no sentido antihorário. Se  é a medida, em graus, do
ângulo mínimo que a roda deverá girar para
que o ponto A fique verticalmente sobre B,

calcule
.
3
13. (UDESC) O relógio Tower Clock, localizado em Londres,
Inglaterra, é muito conhecido pela
ângulo interno formado entre os
minutos deste relógio, desprezando
20 minutos é:



a)
b)
c)
36
6
12
sua precisão e tamanho. O
ponteiros das horas e dos
suas larguras, às 15 horas e
d)

18
e)

9
14. (ITA) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das
horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre
um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a
13
7
23
24
25
a)
b)
c)
d)
e) 




6
3
11
11
11
Gabarito - Exercícios Propostos
1. x = 50°
y = 40°
2. A
3. 13h e 24 min
4. a) 6419'48" b) 8957'57" c) 8159'45"
d) 90  
e) 14444'42"
f) 17250'
g) 17859'59"
h) 180  
5. A
6. E
7. 44o45´04´´
8. a) 22,5  ou 2230' . b) 20 gr
c) 160 gr
d) 135
9. x = 50°
y = 40°
10. 124º
11. 130o
12. 55
13. E
14. C
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